河北省石家莊市2023屆高三上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷

河北省石家莊市2023屆高三上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、單選題1．若復(fù)數(shù)z滿足iz=?2+i，則z的虛部為（）A．2i B．2 C．1 D．i2．設(shè)集合A={x|?5<x<4}，B={x|A．{x|?3<x<4} B．{x|?3<x<6}C．{x|?5<x<3} D．{x|?6<x<4}3．已知拋物線C：y2=2x的焦點為F，準(zhǔn)線為l，點P在C上，過點P作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為A，若∠FPA=πA．1 B．2 C．3 D．24．折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征（如圖1）.圖2是一個圓臺的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若兩個圓弧DE，AC所在圓的半徑分別是3和6，且∠ABC=120°，則該圓臺的體積為（）A．5023π B．9π C．7π5．△ABC中，點M是BC的中點，點N為AB上一點，AM與CN交于點D，且AD=45AM，A．23 B．34 C．456．已知函數(shù)f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)在區(qū)間A．[12，34] B．(07．四面體ABCD的所有棱長都是3，點M，N，P分別在棱AB，AD，CD上，AM=2MB，AN=12NDA．17 B．14 C．18．已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0，b>0)的左右焦點分別是F1，F(xiàn)2，左右頂點分別是A1，A2A．1 B．2 C．3 D．2二、多選題9．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公差為A．d>0 B．a(chǎn)1>0 C．S2210．下列選項中，正確的命題是（）A．已知隨機(jī)變量X~B(n，p)，若E(X)=30B．(12x?2y)C．用χ2獨立性檢驗進(jìn)行檢驗時，χD．樣本相關(guān)系數(shù)|r|越接近1，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.11．已知函數(shù)f(x)=2x?1+21?xA．x1+xC．x3x412．三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AC=AA1，點O是△ABC的外心，A1A．三棱柱的側(cè)面積為6B．A1B與AC．點A1到平面BCCD．若四棱錐A1?BC三、填空題13．已知1+cosθsinθ14．冬奧會設(shè)有冬季兩項、雪車、冰壺、雪橇，滑冰，滑雪、冰球7個大項，現(xiàn)有甲、乙、丙三名志愿者，設(shè)A表示事件為“甲不是雪車項目的志愿者，乙不是雪橇項目的志愿者”，B表示事件為“甲、乙、丙分別是三個不同項目的志愿者”，則P(A|B)=.15．已知O為坐標(biāo)原點，A，B在直線x?y?4=0上，|AB|=22，動點M滿足|MA|=2|MB|，則|OM|的最小值為16．若直線y=kx+b是曲線y=lnxx的切線，也是曲線y=2四、解答題17．已知數(shù)列{an}（1）求數(shù)列{a（2）若數(shù)列{bn}滿足bn=18．在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且滿足2sin（1）求C；（2）若△ABC內(nèi)切圓面積為3π，b=a+3求△ABC的周長.19．黨的二十大已勝利閉幕，某市教育系統(tǒng)為深入貫徹黨的二十大精神，組織黨員開展了“學(xué)習(xí)二十大”的知識競賽活動.隨機(jī)抽取了1000名黨員，并根據(jù)得分（滿分100分）按組別[60，70)，[70，80)，（1）若此次活動中獲獎的黨員占參賽總?cè)藬?shù)20%，試估計獲獎分?jǐn)?shù)線；（2）采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法，從得分不低于80的黨員中隨機(jī)抽取7名黨員，再從這7名黨員中隨機(jī)抽取3人，記得分在[90，100]的人數(shù)為ξ，試求20．如圖，在四棱錐P?ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AD=DC=1為直徑的半圓上（不包括端點），平面ABP⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是BC，AP的中點.（1）證明：EF//（2）當(dāng)PB=321．已知橢圓C：x2a2+y（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l：y=kx+m與橢圓C有兩個不同的交點A，B，原點O到直線l的距離為2，求△ABO的面積的最大值.22．已知函數(shù)f(x)=sin（1）設(shè)F(x)=f(x)?mx，若F(x)≤0在[0，+∞)上恒成立，求實數(shù)（2）設(shè)G(x)=23f(x)+x?53aln

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】復(fù)數(shù)z滿足iz=?2+i，故z=?2+i故z的虛部為2，故答案為：B

【分析】把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡z，再由復(fù)數(shù)虛部的概念可得答案.2．【答案】C【解析】【解答】因為集合B={x|由交集的定義可得：A∩B={故答案為：C.

【分析】求出集合B，然后進(jìn)行交集的運算即可得答案.3．【答案】D【解析】【解答】因為|PF|=|PA|，所以∠PAF=∠PFA=π設(shè)準(zhǔn)線l與x軸交于點Q，因為PA//QF，所以∠AFQ=∠PAF=π因為|QF|=p=1，所以|AF|=2，所以，在等邊△PAF中，|PF|=2故答案為：D

【分析】畫出圖象，由已知條件結(jié)合拋物線的定義進(jìn)行求解，可得答案.4．【答案】D【解析】【解答】設(shè)圓臺上下底面的半徑分別為r1，r2，由題意可知13×2π×6=2πr圖中OD=r1=1過點D向AP作垂線，垂足為T，則AT=r所以圓臺的高h(yuǎn)=A則上底面面積S1=π×1V=1故答案為：D.

【分析】將圓臺的側(cè)面展開圖還原可得圓臺，并根據(jù)圓弧所在圓的半徑和圓心角計算出圓臺的高和上底面面積，再根據(jù)圓臺的體積公式可求出答案.5．【答案】A【解析】【解答】因為點M是BC的中點，所以AM=故AD=45故AN=λ因為N，D，C三點共線，所以存在即AD?AN=m(所以52λ?λ=1+m?m=1，解得：故答案為：A

【分析】利用空間向量基本定理以及線性運算結(jié)合三點共線，列出方程，可求出λ的值.6．【答案】C【解析】【解答】f(x)=sin由題意可得：T2≥π?π2=若x∈(π2，∵函數(shù)f(x)在區(qū)間(π2，π)上單調(diào)遞減，則故實數(shù)ω的取值范圍為[1故答案為：C.

【分析】利用輔助角公式進(jìn)行化簡f(x)，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解，即可求出實數(shù)ω的取值范圍.7．【答案】C【解析】【解答】因為四面體ABCD的所有棱長都是3，AM=2MB，AN=12ND所以AM=2，延長NM交DB于T，TP交BC于Q點，過N作NE∥BD交AB于E，因為△AEN為邊長為1的等邊三角形，M為EB的中點，所以△ENM≌△BTM，所以EN=BT=1，所以DT=BT+BD=4，過P作PF∥BC交BD于點F點，所以△PDF為邊長為1的等邊三角形，所以PF=DF=1，所以TF=3，因為PF∥BC，所以BTTF=BQPF，即故答案為：C

【分析】延長NM交DB于T，TP交BC于Q點，過N作NE∥BD交AB于E，利用三角形全等可得EN=BT=1，由△PDF為邊長為1的等邊三角形可得PF=DF=1，根據(jù)BTTF8．【答案】A【解析】【解答】∵e=∴c=2a∵∴||x∵∵所以k=故xP由①②③，得54a故答案為：A.

【分析】根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合雙曲線的性質(zhì)，列出等式，可求出a的值.9．【答案】A,D【解析】【解答】因為S11<S10<故等差數(shù)列首項為負(fù)，公差為正，所以d>0，a1由S10<S12，可知因為a11<0，所以故答案為：AD.

【分析】利用Sn-Sn-1=an(n≥2)，結(jié)合已知判斷a11，a12的符號，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合前項n和公式，逐項進(jìn)行判斷可得答案.10．【答案】A,C【解析】【解答】A：因為隨機(jī)變量X~B(n，p)，所以由np=30npB：二項式(12x?2y)令r=3，所以x2y3C：由χ2的意義可知χD：因為樣本相關(guān)系數(shù)|r|越接近1，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越高，所以本選項說法不正確，故答案為：AC

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可判斷A；根據(jù)二項式的通項公式可判斷B；根據(jù)獨立性假設(shè)檢驗的原理，可判斷C；根據(jù)線性相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)可判斷D.11．【答案】A,B,D【解析】【解答】如圖示，作出f(x)=2x?1+當(dāng)x=0時，f(0)=1因為存在x1，x2，由圖示可知x1，x2關(guān)于x=?1對稱，所以令f(x)=12，即2x?1+2所以由圖示可知：0<x因為當(dāng)x≥0時，f(x)=2x?1+21?x?2，所以f(1+x)=2x+2?x?2，f(1?x)=2?x+2x?2，所以0≤x≤2時，有因為x3<1，所以因為x3，x4關(guān)于x=1對稱，所以又因為x1+x故答案為：ABD

【分析】作出f(x)=2x?1+21?x?2，12．【答案】A,C,D【解析】【解答】如圖，三棱柱ABC?A1B1C1中，A1O⊥平面ABC，連接因為OA，OB，故A1O⊥OA，故Rt△A1OA?Rt△又AB=AC=AA1，所以設(shè)E為A1A的中點，連接BE，CE，則而BE?平面BAA1，CE?平面CAA1，故則∠BEC=π3，故因為BC=3，故BE=CE=所以AA1=3sinπ3延長AO交BC于D，由于AB=AC，點O是△ABC的外心，∴OB=OC，則△AOB?△AOC，所以∠BAO=∠CAO，即AO為△BAC的角平分線，則AO也為△ABC的中線，則D為BC的中點，設(shè)F為B1C1的中點，連接A即四邊形A1FDA為平行四邊形，所以因為AB=AC，D為BC的中點，故AD⊥BC，而A1O⊥平面ABC，BC?平面ABC，故A1O∩AD=O，A1O，AA1?平面A又AA1//BB1，故BC⊥B所以三棱柱的側(cè)面積為SBC設(shè)AC1，A1C交于G，連接故DG//A1B，則∠DGC1在△DGC1中，DC故cos∠DG由于A1B與AC1所成角范圍為[0，π由于BE⊥A1A，CE⊥故A1A⊥平面BEC，ED?平面BEC，故而DF//AA1，所以又BE=CE，D為BC中點，故ED⊥BC，DF∩BC=D，DF，BC?平面BCC又因為DF//AA1，DF?平面BCC1B故AA1//平面BCC1B1在正三角形△BEC中，BC=3在四棱錐A1?BCCBC=3設(shè)H為底面BB1C則BH=12B設(shè)四棱錐A1?BCC1B1的外接球球心為由于cos∠B即∠BA1C設(shè)外接球半徑為R，則(O'B解得R=4故答案為：ACD

【分析】由已知可得AA1=A1B=A1C13．【答案】3【解析】【解答】因為1+cosθsin所以tanθ故答案為：3.

【分析】根據(jù)正、余弦的二倍角公式結(jié)合弦化切可得答案.14．【答案】31【解析】【解答】P(A|B)=P(AB)P(AB)表示A事件與B事件同時發(fā)生的概率，冬奧會設(shè)有7個大項，有甲、乙、丙三名志愿者，則每人可有7種選擇，共有73對B事件：若甲、乙、丙分別是三個不同項目的志愿者，則P(B)=A對于AB事件：若甲、乙、丙分別是三個不同項目的志愿者，甲不是雪車項目的志愿者，乙不是雪橇項目的志愿者，甲不能選雪車，則甲有6種選法，乙有6種選法，丙有5種選法，共6×6×5種，但甲不選雪橇，則乙就有可能選雪橇，則要減去乙選雪橇，甲從剩下的5種選，丙依然有5種選擇，共5×5種，則P(AB)=6×6×5?5×5則P(A|B)=P(AB)

【分析】根據(jù)條件概率的公式與求法分析求解，可得答案.15．【答案】2【解析】【解答】設(shè)M(x，因為|AB|=22，所以|AB|因為|MA||MB|=2，所以(x?x整理得(x?4x2可得M點在以D(4x2MA=(x1可得x?x2圓心在D(4x2過O做x?y?4=0的垂線，當(dāng)垂足為圓心D點時，OD長度最小，|OM|的長度也最小，且OD長度最小值為|0?0?4|2=22，此時|OM|故答案為：22【分析】根據(jù)已知條件可得M點在以D(4x2?x13，4y2?y1316．【答案】?【解析】【解答】由y=lnx設(shè)直線y=kx+b與曲線y=lnxx相切于(m所以切線方程可表示為y?n=1?lnm由y=2x設(shè)直線y=kx+b與曲線y=2x相切于(s，所以切線方程可表示為y?t=?2s2所以1?lnmm2=?2s所以斜率k=1?故答案為：?

【分析】設(shè)直線y=kx+b與曲線y=lnxx相切于(m，n)17．【答案】（1）解：由題意知：1a當(dāng)n=1時，得a1當(dāng)n≥2時，1a①-②得：nan=檢驗：a1=1成立，故（2）解：由（1）可知：bn令Sn14③-④得：33化簡得：S【解析】【分析】(1)分情況n=1和n≥2，由數(shù)列{an}的遞推式用消去法求通項公式an，需驗證最后兩式，可得數(shù)列{an}的通項公式；

(2)由（1）可知：18．【答案】（1）解：由正弦定理得：2sin2sin(3sinA+cosA)因為0<C<π，所以在△ABC中，C=π（2）解：法一：△ABC內(nèi)切圓面積為3π，所以內(nèi)切圓的半徑為3，由△ABC面積公式得：S=34ab=又由余弦定理得：a2+由已知得b=a+3③，由①②③得a4?2a又a>0，解得a=5，b=8，c=7，所以△ABC周長為20；法二：△ABC內(nèi)切圓面積為3π，所以內(nèi)切圓的半徑為3，由△ABC面積公式得S=34ab=1又由余弦定理得：a2即(a+b)2?c2把①代入②得：a+b?c=6③，由①③得：4(a+b)=12+ab④，又由b=a+3，得a2又a>0，由④得：a=5，b=8，c=7，所以△ABC周長為20.【解析】【分析】(1)根據(jù)正弦定理結(jié)合sinA>0得sin(C?π6)=12，結(jié)合0<C<π，可得C的值；

(2)求出內(nèi)切圓的半徑，由△ABC19．【答案】（1）解：根據(jù)直方圖可知，成績在[80，100]的頻率為成績[90因此獲獎的分?jǐn)?shù)線應(yīng)該介于[80設(shè)分?jǐn)?shù)線為x∈[80，90)，使得成績在[即(90?x可得x=86，所以獲獎分?jǐn)?shù)線劃定為86；（2）解：應(yīng)從[80，90則ξ的可能取值為0，1，2，P(P(P(ξ的分布列為ξ012P241數(shù)學(xué)期望E(【解析】【分析】(1)先確定獲獎分?jǐn)?shù)線在[80，90)之間，設(shè)分?jǐn)?shù)線為x∈[80，90)，使得成績在[x，100]的概率為020．【答案】（1）證明：設(shè)AD的中點為G，連接EG，F(xiàn)G，則FG//PD，因為FG?平面PCD，PD?平面PCD，所以FG//平面PCD同理GE//平面PCD∵FG∩EG=G，F(xiàn)G?平面EFG，GE?平面EFG，∴平面EFG∥平面PCD，∴EF//平面PCD（2）解：∵點P在以AB為直徑的半圓上，∴PA⊥PB.設(shè)AD=DC=12AB=2∵PB=3PA，∴PA=2∵平面ABP⊥平面ABCD，AD⊥DC，∴AD⊥平面PAB.如圖示，在平面ABP內(nèi)過A作Ax⊥AB.以A為原點，Ax，AB，所以A(0，0，0)，B(0，4所以EF=(32，設(shè)平面PBC的一個法向量n=(x，y取y=1，得n=設(shè)θ為直線EF與平面PBC所成角，則sinθ=|所以直線EF與平面PBC所成角的正弦值為1010【解析】【分析】（1）設(shè)AD的中點為G，連接EG，F(xiàn)G，先根據(jù)線面平行的判定定理可得FG//平面PCD，GE//平面PCD，進(jìn)而得平面EFG∥平面PCD，再由面面平行的性質(zhì)定理可得EF//平面PCD；

（2）以A為原點，Ax21．【答案】（1）解：由題意可得：4a2+3b可得ba=12，那么a=2b，代入可得：所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）