吉林省“BEST”合作體六校2024-2025學年高三上學期第三次聯考數學試卷 含解析

2024-2025學年度上學期吉林省“BEST”合作體高三年級六校聯考高三數學試題本試卷分主觀題和客觀題兩部分，共19題，共150分，共2頁.考試時間為120分鐘.考試結束后，只交答題卡.第I卷客觀題一?單選題：本題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.已知，則的虛部為（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】利用復數的乘方運算和四則運算法則求出復數，繼而得的虛部.【詳解】由，則，的虛部為2.故選：D.2.已知數列{an}是等差數列，若a1+a2+a3=1，a4+a5+a6=3，則a7+a8+a9=（）A.5 B.4 C.9 D.7【答案】A【解析】【分析】由等差數列的性質可知a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9成等差數列，根據等差中項求解即可.【詳解】由數列{an}是等差數列可知，a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9成等差數列，所以a7+a8+a9=，故選：A3.已知集合，集合，如果命題“”為假命題，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據題意得到命題“”為真命題，討論和兩種情況可求得結果.【詳解】因為命題“”為假命題，所以，命題“”為真命題，因為集合，集合，所以，當時，即時，成立，當時，由“”得，解得，綜上，實數的取值范圍為.故選：B.4.已知，若與的夾角為120°，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據投影向量的定義，結合數量積的運算即可求解.【詳解】，在上的投影向量為，故選：C5.將函數的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象，則在上的值域為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等變換得到，得到平移后的解析式，即，整體法求出函數的值域.【詳解】，圖象向左平移個單位長度，得到，上，，則在上的值域為.故選：C.6.已知數列滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據數列的遞推公式，利用累加法可得通項公式，再根據對勾函數的性質，可得答案.【詳解】因為，所以由遞推公式可得當時，等式兩邊分別相加，得，因為，則，而滿足上式，所以，即，函數在上單調遞減，在上單調遞增，又因為，當時，，當時，，因為，所以的最小值為.故選：A.7.已知函數，若恒成立，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，，解得和，分，和三種情況，結合函數不等式恒成立得到，從而求出的最大值，得到答案.【詳解】由，解得，令，解得，當時，，則，不符合題意；當時，，則，不符合題意；所以，即，則，當時等號成立,的最大值為.故選：C.8.在中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，，，，則線段CD長度的最小值為（）A.2 B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】本題通過正弦定理得到，再通過余弦定理得到，對向量式整理得，通過平方，將向量關系轉化為數量關系即，利用基本不等式即可求解.【詳解】解：由及正弦定理，得，即，由余弦定理得，，∵，∴．由，，兩邊平方，得即，當且僅當，即時取等號，即，∴線段CD長度的最小值為．故選：D．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，滿分18分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯或不選的得0分9.已知函數的部分圖象如圖所示，則（）A.B.C.的圖象與軸的交點坐標為D.函數的圖象關于直線對稱【答案】ACD【解析】【分析】根據圖象求周期，然后可判斷A；根據正切函數定義域可判斷B；代入驗證可判斷C；判斷關于點對稱，然后由圖象的對稱變換可判斷D.【詳解】對A，由圖可知，的最小正周期，則，A正確；對B，由圖象可知時，函數無意義，故，由，得，即，B錯誤；對C，，C正確；對D，由，則的圖象關于點對稱，由圖象對稱變換可得函數的圖象關于直線對稱，D正確.故選：ACD10.已知函數，則下列正確的是（）A.的極小值為B.在單調遞增C.有三個實根D.，當時，恒成立，則的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】求導后可得單調性，結合極值定義可知AB正誤；作出圖象，根據與的交點個數可得C正確；將D中問題轉化為在上單調遞增，由，采用分離參數的方式可求得D正確.【詳解】由題意知：定義域為，；當時，；當時，；的單調遞減區(qū)間為，；單調遞增區(qū)間為；對于A，的極小值為，A正確；對于B，當時，單調遞減，B錯誤；對于C，的極大值為，且當時，，由此可得圖象如下圖所示，由圖象可知：與有三個不同的交點，即有三個實根，C正確；對于D，由當時，恒成立可得：，令，則在上單調遞增，在上恒成立，在上恒成立；在上的最大值為，，D正確.故選：ACD.11.定義在的函數滿足，且，都有，若方程的解構成單調遞增數列，則下列說法中正確的是（）A.B.若數列為等差數列，則公差為6C.若，則D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】對于A：根據題意結合周期性運算求解；對于B：根據題意結合圖象分析判斷；對于B：整理可得，結合圖象分析判斷；對于D：根據圖象結合對稱性分析可得數列是以首項為7，公差為12的等差數列，進而利用等差數列知識運算求解.【詳解】因為都有，即的圖象關于對稱，令，則，即，可知在內的圖象關于點對稱，根據題意作出在內的圖象，如圖所示：對于選項A：因為定義在的函數滿足，則，故A正確；對于選項B：由圖象可知：若數列為等差數列，則，此時與在內有且僅有一個交點，因為，則，所以公差為6，故B正確；對于選項C：若，則，可得，則，即與在內有且僅有2個交點，結合圖象可得，故C錯誤；對于選項D：若，則與在內有且僅有3個交點，且，因為，則，所以數列是以首項為7，公差為12的等差數列，可得，所以，故D正確；故選：ABD.【點睛】方法點睛：應用函數思想確定方程解的個數的兩種方法（1）轉化為兩熟悉的函數圖象的交點個數問題、數形結合、構建不等式(方程)求解；（2）分離參數、轉化為求函數的值域問題求解．第II卷主觀題三?填空題：本題共3小題，每小題5分，滿分15分.12.已知曲線在點處的切線的傾斜角為,則的值為______.【答案】##【解析】【分析】對原函數進行求導,代入得出切線斜率.曲線在處的切線傾斜角為可得出斜率.構造關于的方程，解方程即可.【詳解】曲線的導數,∵曲線在處的切線的傾斜角為,∴,∴,∴故答案為:.13.已知數列的通項公式為，若數列是單調遞增數列，則實數的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據是遞增數列以及解析式，可得的范圍，又，代入求解，即可求得答案.【詳解】因為數列是遞增數列，當時，，可得，當時，，即，解得，又，所以，解得或.綜上，實數的取值范圍是.故答案：.14.如圖1點，我們知道復數可用點表示.一般地，任何一個復數都可以表示成的形式，即其中為復數的模，叫做復數的輻角（以非負半軸為始邊，所在射線為終邊的角），我們規(guī)定范圍內的輻角的值為輻角的主值.由復數的三角形式可得出，若，則.其幾何意義是把向量繞點按逆時針方向旋轉角（如果，就要把繞點按順時針方向旋轉角），再把它的模變?yōu)樵瓉淼谋?如圖2，已知在復平面的上半平面內有一個菱形，其邊長為，點所對應的復數分別為.若，以為邊作正方形，點在下方，若長度為，則復數__________.【答案】【解析】【分析】設，先相繼求出、、對應的復數，再求，由條件列方程求，由此可得結論；【詳解】設，設對應復數為，對應的復數為，則，，設對應的復數為，所以，所以，由已知可得，所以，又，所以，所以，故答案為：.【點睛】方法點睛：“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，解決對于此類問題的關鍵是對新定義的透徹理解，解讀出題干中的信息，正確理解問題的本質，轉化為熟悉的問題來進行解決.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知的內角的對邊分別為．（1）求的值；（2）若的面積為，且，求的周長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據題意，由正弦定理和三角恒等變換的公式，化簡求得，進而得到的值；（2）由若的面積為，求得，再由余弦定理，求得，進而求得的周長.【小問1詳解】解：因為，由正弦定理得，可得，即，因為，可得，所以，即，所以.【小問2詳解】解：由（1）知，因為若的面積為，可得，即，解得，又因為，由余弦定理得，整理得，解得，所以，所以的周長為.16.已知函數．（1）若恰有兩個極值點，求實數的取值范圍；（2）若的兩個極值點分別為，證明:．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由題意導函數在0,+∞（2）根據題意可得是方程的兩個不同的根，所以再代入化簡，進而構造函數，再求導分析的單調性與最值，進而可證明不等式.【小問1詳解】在0,+∞上恰有兩個不同的解，令，所以解得，即實數的取值范圍是；【小問2詳解】證明：由（1）知是方程的兩個不同的根，所以所以，令，令在上恒成立，所以在上單調遞減，即在上單調遞減，所以，所以在上單調遞減，所以，所以．17.已知數列中，，且，為數列的前n項和，，數列是等比數列，，．（1）求數列和的通項公式；（2）若，求數列前項和．【答案】（1），；（2）數列的前項和為.【解析】【分析】（1）由關系證明數列為等差數列，由此可求數列的通項公式，再求數列的通項公式，設數列的公比為，由條件列方程求，，結合等比數列通項公式可得結論.（2）由（1）可得，利用裂項相消法求數列的前項和.【小問1詳解】由已知當，時，，，所以，又，所以，所以，所以數列為等差數列，公差為，又，所以，所以當，時，，又，所以，，設等比數列的公比為，因為，，所以，，所以，所以，【小問2詳解】由（1），所以，所以數列的前項和，所以.18.已知函數.（1）若的定義域為，求的取值范圍；（2）設，若對任意，函數在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依題意轉化為在R上恒成立問題，結合二次函數的圖象，需使即得；（2）先判斷函數在區(qū)間上的單調性，得對任意恒成立，即對任意恒成立，則需使，就參數的取值分類討論函數的最小值即得的范圍.【小問1詳解】由函數的定義域為R，可得，在R上恒成立，結合二次函數的圖象可知，需使，解得，即的取值范圍為；【小問2詳解】設，則在定義域內是增函數，因，,故對任意，函數在區(qū)間上單調遞增，故，，依題意，對任意恒成立，即對任意恒成立，即對任意恒成立，即對任意恒成立，令，則需使，因函數圖象的對稱軸為，①當，即時，在上單調遞增，故由，解得，不合題意，舍去；②當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，故，解得，因，故.綜上，的取值范圍是.19.已知函數.（1）討論函數的單調性；（2）設函數有兩個不同的零點，（i）求實數的取值范圍：（ⅱ）若滿足，求實數的最大值.【答案】（1）答案見解析；（2）（i）；（ⅱ）【解析】【分析】（1）求導，分類討論參數和時，函數的單調性即可.（2）（?。├脜捣蛛x可得，令，利用導數研究函數的單調性，極值，數形結合即可；（ⅱ）由已知，設，可得，設，利用導數研究函數的單調性，可求額，再利用的單調性可求得，進而求得結果.【小問1詳解】函數的定義域為，求導得，當時，恒成立，函數在上單調遞增；當時，由，得，由，得，即函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，的遞增區(qū)間是，無遞減區(qū)間；當時，的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.【小問2詳解】（?。┯桑?，令，求導得，當時，，當時，，則函數在上單調遞增，在上單調遞減，，而當時，恒成立，且，由有兩個零點，即方程有兩個不等的正根，亦即直線與的圖象有兩個公共點，因