函數(shù)、極限與連續(xù)(高等數(shù)學(xué))

（一）函數(shù)的定義（二）極限的概念（三）連續(xù)的概念

第一章主要內(nèi)容2021/6/271函數(shù)的定義反函數(shù)隱函數(shù)反函數(shù)與直接函數(shù)之間關(guān)系基本初等函數(shù)復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)奇偶性單調(diào)性有界性周期性2021/6/2721、函數(shù)的定義2021/6/273▲函數(shù)的兩要素:定義域與對應(yīng)法則.自變量因變量對應(yīng)法則f辨別下列各對函數(shù)是否相同,為什么?不同,定義域不同

不同,對應(yīng)關(guān)系不同

相同,定義域和對應(yīng)關(guān)系都相同2021/6/274▲函數(shù)的定義域在實(shí)際問題中，函數(shù)的定義域由問題的實(shí)際意義確定。

用解析式表示的函數(shù)，其定義域是自變量所能取的使解析式有意義的一切實(shí)數(shù)，通常要考慮以下幾點(diǎn)：(6)如果函數(shù)表達(dá)式是由幾個(gè)數(shù)學(xué)式子組合而成，則其定義域應(yīng)取各部分定義域的交集。(1)在分式中，分母不能為零；(2)在根式中，負(fù)數(shù)不能開偶次方根；

(3)在對數(shù)式中，真數(shù)必須大于零；(5)y=arcsinx和y=arccosx中,x∈[-1,1]2021/6/275例：求下列函數(shù)的定義域

［Ａ］．即所以定義域?yàn)?-∞,-4)∪(-4,1)∪(1,+∞)即解得所以定義域?yàn)閇-1,1)∪(1,+∞)(2)要使函數(shù)有意義,必須有且有解:(1)要使函數(shù)有意義，必須有分母取其公共部分2021/6/276解所以定義域?yàn)?-3,+∞)(4)要使函數(shù)有意義,必須有

所以定義域?yàn)?-1,1)[B].(3)(4)(3)要使函數(shù)有意義，必須有解得練習(xí)：P9232021/6/277例.設(shè)

,求下列函數(shù)值

解:

解:解：

1）2）3）2021/6/278(1)函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)奇函數(shù)yxo2、函數(shù)的性質(zhì)2021/6/279(2)函數(shù)的單調(diào)性:

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，區(qū)間ID，如果對于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)及，當(dāng)時(shí)，恒有：(1),則稱函數(shù)在區(qū)間I上是單調(diào)增加的；或(2),則稱函數(shù)在區(qū)間I上是單調(diào)遞減的；單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。2021/6/2710(3)函數(shù)的有界性:2021/6/2711

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)不為零的數(shù)l,使得對于任一,有.且f(x+l)=f(x)恒成立,則稱f(x)為周期函數(shù),l稱為f(x)的周期.（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.(4)函數(shù)的周期性:oyx2021/6/27122021/6/2713說明：反函數(shù)與直接函數(shù)之間的關(guān)系3、反函數(shù)2021/6/27146、基本初等函數(shù)1）冪函數(shù)2）指數(shù)函數(shù)3）對數(shù)函數(shù)4）三角函數(shù)5）反三角函數(shù)2021/6/27151.冪函數(shù)2021/6/27162.指數(shù)函數(shù)2021/6/27173.對數(shù)函數(shù)2021/6/27184.三角函數(shù)正弦函數(shù)2021/6/2719余弦函數(shù)2021/6/2720正切函數(shù)2021/6/2721余切函數(shù)2021/6/27225.反三角函數(shù)2021/6/27232021/6/27242021/6/2725

冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).2021/6/27267、復(fù)合函數(shù)8、初等函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).練習(xí)：P10112021/6/2727左右極限兩個(gè)重要極限求極限的常用方法無窮小的性質(zhì)極限存在的充要條件判定極限存在的準(zhǔn)則無窮小的比較極限的性質(zhì)數(shù)列極限函數(shù)極限等價(jià)無窮小及其性質(zhì)唯一性無窮小兩者的關(guān)系無窮大2021/6/27281、極限2021/6/27292021/6/2730左極限右極限2021/6/2731函數(shù)的極限與左、右極限有如下關(guān)系：2.常用來判斷分段函數(shù)在分段點(diǎn)的極限是否存在例判斷函數(shù)

在點(diǎn)處是否有極限.

解:因?yàn)樗哉f明：1.左極限與右極限中只要有一個(gè)不存在，或者都存在但不相等，則函數(shù)的極限不存在。2021/6/2732左右極限存在但不相等,證習(xí)題：P1832021/6/2733定理(唯一性定理)如果函數(shù)在某一變化過程中有極限，則其極限是唯一的．定理(有界性定理)若函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)極限存在，則必存在x0的某一鄰域，使得函數(shù)f(x)在該鄰域內(nèi)有界．函數(shù)極限的性質(zhì)2021/6/2734定理(保號性)推論2021/6/2735無窮小:極限為零的變量稱為無窮小.絕對值無限增大的變量稱為無窮大.無窮大:在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.無窮小與無窮大的關(guān)系2、無窮小與無窮大2021/6/2736性質(zhì)3在同一過程中,有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.性質(zhì)1有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.性質(zhì)2有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小.無窮小的運(yùn)算性質(zhì)2021/6/2737一、無窮小量二、無窮小的性質(zhì)三、極限與無窮小的關(guān)系四、無窮大量五、無窮小與無窮大的關(guān)系六、小節(jié)補(bǔ)充無窮大與無窮小2021/6/2738定義若變量Y在某過程下以零為極限，則稱變量Y在此過程下為無窮小量，簡稱無窮小.例1例2時(shí)的無窮小量.時(shí)的無窮小量.因?yàn)樗砸驗(yàn)樗砸?、無窮小量2021/6/2739例如函數(shù)時(shí)的無窮小，但當(dāng)時(shí)不是無窮小。當(dāng)時(shí)，的極限不為零，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)不是無窮小，而當(dāng)時(shí)是無窮小量。應(yīng)該注意無窮小量是在某一過程中，以零為極限的變量，而不是絕對值很小的數(shù)。因此應(yīng)明確指出其變化過程。

2021/6/2740(4)

有界函數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小.(3)常量與無窮小的乘積仍為無窮小.(2)有限個(gè)無窮小的乘積仍為無窮小.注意無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.

(1)有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍為無窮小.二、無窮小的性質(zhì)定理在自變量的同一變化過程中2021/6/2741例3解注意這個(gè)極限不能用極限的四則運(yùn)算法則求得，因?yàn)椴淮嬖?所以時(shí)的無窮小量.為有界變量,2021/6/2742三、無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:證必要性充分性2021/6/2743定義在自變量x的某一變化過程中,若函數(shù)值的絕對值無限增大，則稱f(x)為此變化過程中的無窮大量，簡稱無窮大.記作四、無窮大量2021/6/2744特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大．注意1.無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;3.無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.2021/6/2745簡言之無窮小與無窮大的關(guān)系為：在自變量的同一變化過程中，無窮大的倒數(shù)是無窮小,無窮小(不等于0)的倒數(shù)是無窮大.定理在自變量的同一變化過程中，若f(x)為無窮大,則為無窮小;反之,若f(x)為無窮小且f(x)不等于0,則為無窮大.例如：五、無窮小與無窮大的關(guān)系2021/6/2746以后，遇到類似例6的題目，可直接寫出結(jié)果.例4解例5考察

當(dāng)時(shí)，為無窮大量；

當(dāng)時(shí)，為無窮小量；2021/6/2747六、小結(jié)1、主要內(nèi)容:兩個(gè)定義;定理.2、幾點(diǎn)注意:無窮小與無窮大是相對于過程而言的.（1）無窮小（大）是變量,不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；（2）無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮小.（3）無界變量未必是無窮大.2021/6/2748定理推論1推論23、極限的性質(zhì)2021/6/27494、求極限的常用方法a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.2021/6/2750求極限方法舉例例2解例1解：原式2021/6/2751小結(jié):2021/6/2752解商的法則不能用由無窮小與無窮大的關(guān)系,得例32021/6/2753解例4(消去零因子法)2021/6/2754練習(xí)解解2021/6/2755分母有理化，分子有理化2021/6/2756解：2021/6/2757例5解(無窮小因子分出法)2021/6/2758例6

，然后再求極限，得分母同時(shí)除以分子,3x解2021/6/2759小結(jié):無窮小分出法:以分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無窮小,然后再求極限.2021/6/2760練習(xí)解2021/6/2761例7解先變形再求極限.2021/6/2762例8解2021/6/2763例9解左右極限存在且相等,2021/6/2764說明：1．什么情況下，需要分別求左右極限（１）求分段函數(shù)連接點(diǎn)處的極限

（２）被考慮的函數(shù)中，含有某些項(xiàng)其左右極限不相等

２.下列幾個(gè)極限不存在2021/6/2765一個(gè)重要的結(jié)論則有例題練習(xí)：P19－2012021/6/27665、判定極限存在的準(zhǔn)則(夾逼準(zhǔn)則)2021/6/2767(1)(2)6、兩個(gè)重要極限2021/6/2768=0注意：(1)2021/6/2769例1解1coslim0此題中用到xx=?例2解2021/6/2770例3解2021/6/2771練習(xí)：解答：2021/6/2772(2)注意：2021/6/2773例4解練習(xí)：或2021/6/2774例題2021/6/2775例5解2021/6/2776定義:7、無窮小的比較2021/6/2777定理(等價(jià)無窮小替換定理)8、等價(jià)無窮小的性質(zhì)2021/6/2778幾個(gè)重要的等價(jià)無窮?。寒?dāng)時(shí)，

2021/6/2779例解不能濫用等價(jià)無窮小代換.對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換.注意2021/6/2780例解解錯(cuò)2021/6/2781左右連續(xù)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)初等函數(shù)的連續(xù)性間斷點(diǎn)定義連續(xù)定義連續(xù)的充要條件連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)非初等函數(shù)的連續(xù)性

振蕩間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)第一類第二類2021/6/27821、連續(xù)的定義2021/6/2783從而，則一定滿足以下條件2021/6/2784例1證由定義2知2021/6/27852021/6/27862.單側(cè)連續(xù)定理3、連續(xù)的充要條件2021/6/2787例2解右連續(xù)但不左連續(xù),2021/6/27884.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如通俗的說即一筆劃過2021/6/27895、間斷點(diǎn)的定義2021/6/27901.跳躍間斷點(diǎn)例解6、間斷點(diǎn)的分類2021/6/27912.可去間斷點(diǎn)例2021/6/2792解注意

可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).如上例中,2021/6/2793跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).特點(diǎn):可去型第一類間斷點(diǎn)跳躍型0yx0yx2021/6/27943.第二類間斷點(diǎn)例解2021/6/2795例解2021/6/2796例解函數(shù)在x=-1,x=0,x=1處沒有定義所以x=-1,x=0,x=1是函數(shù)的間斷點(diǎn)所以x=-1是函數(shù)的無窮間斷點(diǎn)所以x=0是函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn)(Ⅰ)(Ⅱ)2021/6/2797所以x=1是函數(shù)的可去間斷點(diǎn)(Ⅲ)202