第3講-直線的投影

§2-2直線一、直線的投影XOZYHYWa'aa"b'bb"直線的投影可由直線上任意兩點(diǎn)的投影決定1.直線的傾角：對水平投影面的夾角——

對正投影面的夾角——

對側(cè)投影面的夾角——

二、各種位置直線的投影1）

投影面的平行線2）

投影面的垂直線3）

一般位置線2.各種位置的直線：

直線所平行的投影面不同，投影面平行線又可分為：水平線直線平行于H面，傾斜于V、W面。正平線直線平行于V面，傾斜于H、W面。側(cè)平線直線平行于W面，傾斜于H、V面。投影面平行線(1)投影面平行線

水平線的投影特性：1.水平線的H投影反映真長，真長投影與OX夾角為β；與OY軸的夾角為γ；α=0°。2.水平線的V投影a′b′∥OX；W投影a″b″∥OY；a′b′b″a″baβγ

反映實(shí)長YHYWXZaa″a′b′Bb″AβγbZXY水平線

正平線的投影特性：1、正平線的V投影反映真長，真長投影與OX夾角為α；與OZ軸的夾角為γ；β=0°。2、正平線的H投影ab∥OX；W投影a″b″∥OZ；a′b′b″a″baγα反映實(shí)長YHYWXZa′b′AabαBa″b″γZXY正平線a′b′b″a″baα反映實(shí)長βYHYWXZa′b′AabαBa″b″βZXY

側(cè)平線的投影特性：1.側(cè)平線的W投影反映真長，真長投影與OY夾角為α；與OZ軸的夾角為β；γ=0°。2.側(cè)平線的V投影a′b′∥OZ；H投影ab∥OY；側(cè)平線水平線的投影特征：平行線的投影特征：（1）在與其平行的投影面上的投影反映實(shí)長；（2）該投影與相應(yīng)投影軸之間的夾角反映直線與另外兩個(gè)投影面的傾角；（3）其余的兩個(gè)投影平行于投影軸，但不反映實(shí)長。25XOZYHYWa'aa"30°b"b'b例題1例題2-4：過點(diǎn)A向右上方作一正平線AB,使其實(shí)長為25，與H面的傾角

=30°。按直線所垂直的投影面不同，投影面垂直線又可分為：鉛垂線直線垂直于H面，平行于V、W面。正垂線直線垂直于V面，平行于H、W面。側(cè)垂線直線垂直于W面，平行于H、V面。投影面垂直線(2)投影面垂直線a′b′b″a″b(a)YHYWXZa′b′A(a)bBa″b″ZXY

鉛垂線投影特性：1、鉛垂線的H投影積聚為一點(diǎn)；2、鉛垂線的V、W投影反映直線的真長，且平行于OZ軸。鉛垂線b″a″a(b′)ba′YHYWXZa′(b′)Bb″Aaba″ZXY

正垂線投影特性：1、正垂線的V投影積聚為一點(diǎn)；2、正垂線的H、W投影反映直線的真長，且平行于OY軸。正垂線a′b′（b″）a″baYHYWXZa′b′AabBa″(b″)ZXY

側(cè)垂線投影特性：1、側(cè)垂線的W投影積聚為一點(diǎn)；2、側(cè)垂線的V、H投影反映直線的真長，且平行于OX軸。側(cè)垂線（1）直線在與其垂直的投影面上的投影積聚為一點(diǎn)；（2）其余的兩個(gè)投影垂直于相應(yīng)的投影軸，且反映實(shí)長。垂直線的投影特征：XOZYHYWb"a'aa"b'（b）例題2例題2-5：根據(jù)投影圖判斷下列直線的空間位置b"XOZYHYWa'aa"b'bXOZYHYWa'aa"b'bb"（b"）XOZYHYWa'aa"b'b討論1、在垂直線投影圖上能否量得

、

和？2、既然垂直線也平行于投影面，能否稱它為平行線呢？討論XOZYHYWb"a'aa"b'（b）b"XOZYHYWa'aa"b'bXOZYHYWa'aa"b'bb"一般位置線的投影特征：（1）三個(gè)投影均不反映實(shí)長；（2）三個(gè)投影均不反映直線與投影面的傾角。(3)一般位置直線例題2-6：在表中填寫指定線對投影面的相對位置。ABACDEDFBE水平線側(cè)垂線一般線一般線側(cè)平線A0

z

y

xXOZYHYWa'aa"

b'bb"實(shí)長

實(shí)長實(shí)長

Za-Zb直角三角形法：兩直角邊、斜邊、銳角三、求直線對投影面的傾角及線段的實(shí)長例題3例題2-7：

已知直線AB的正面投影和點(diǎn)A的水平投影a,并知AB=25,求AB的水平投影ab及AB對V面的傾角。

XOa'ab'25

b例題4例題2-8

：已知直線AB的水平投影ab，和正面投影a’,并知AB對H面的傾角為30°，求AB的正面投影及實(shí)長。XOa'abb'b1'30oc'cd'd點(diǎn)在直線上，點(diǎn)的投影必在直線的同名投影上定比性：AC：CB=a'c':c'b'=ac:cb=a"c":c"b"四、直線上的點(diǎn)bXOa'ab'dDd'e'e例題2-9:在直線AB上找一點(diǎn)K,使AK:KB=3:2。

bXOa'ab'32kk'例題6例題2-10:判定點(diǎn)K是否在直線AB上。

k"OZYHYWa"b"k'kXa'ab'bXa'ab'bk'k例題7例題2-11:

已知點(diǎn)C在直線AB上，且AC=20,求C點(diǎn)的投影。

bXOa'ab'20c'c思考題XOZYHYW(a')b'aba"b"b"XOZYHYWa'aa"b'b1、判斷AB線的空間位置ABCDEFHILKOJMN2、請指出立體上棱線的空間位置，并畫出相應(yīng)的投影。思考練習(xí)題ABCDEFHGILKOJMN請指出立體棱線的空間位置,并找出其相應(yīng)的投影a"(d")a'd'adb"(c")b'(c')bci'(j')jij"i"k(o)k'o'(k")(o")f'f(f")(h")(h')he'ee"兩直線的相對位置兩直線交叉兩直線相交兩直線平行五.兩條直線的相對位置關(guān)系(一)平行兩條直線平行同名投影平行ca'b'c'd'abdabcdc

a

b

d

例：判斷圖中兩條直線是否平行。對于一般位置直線，只要有兩個(gè)同名投影互相平行，空間兩直線就平行。AB//CD①例一：a"c"d"b"a'b'c'd'abdc例二：c'd'a'b'a"b"c"d"abcd當(dāng)兩條直線為某一投影面的平行線時(shí)，必須在該投影面內(nèi)判斷兩條直線是否平行(二)相交兩條直線相交

同名投影相交ca'b'c'd'abdkk'ca'b'c'd'abd交點(diǎn)的投影符合點(diǎn)的投影規(guī)律例題2-12：過點(diǎn)A，作直線AB，與已知直線CD相交。a'ac'd'cd例題2-13：過點(diǎn)A，作水平線AB，與已知直線CD相交。a'ac'd'cd無數(shù)解唯一解例題2-14：過線外一點(diǎn)A，作正平線與CD相交。a'ac'd'cd例題2-15：從F點(diǎn)作直線，使其與AB、CD均相交。cf'fa'b'abc'(d')dk'ke(e')例題2-16：已知兩平行線AB、CD，求作與其相交的水平線MN，使其距H面的距離為15。a'b'abc'd'dc15m'n'mn(三)交叉交叉直線的特征:即不平行也不相交Ob’Xa’abc’d’dc11’(2’)2XOBDACbb’aa’c’cdd’211’(2’)21兩直線交叉的投影特性：既不滿足兩直線平行的投影特性,也不滿足兩直線相交的投影特性，均屬于兩直線交叉.ca'b'c'd'abdeff'(e')g'h'g(h)例題2-17：判定重影點(diǎn)的可見性。(四)垂直定理：互相垂直的兩直線，當(dāng)其中有一條直線平行于投影面時(shí)，兩直線在該投影面上的投影反映直角。證明：

bcab

ABBC,BCBb

BC

平面ABab

bc//BC

bc

平面ABab逆定理也成立：如果兩直線在某一投影面上的投影互相垂直，而其中有一條直線平行于該投影面，那么這兩條直線在空間一定垂直。d'dca'b'c'abd'dca'b'c'abd'dca'b'c'ab相交垂直交叉垂直垂直的兩種情況：判斷垂直d'dca'b'c'abd'dca'b'c'ab例題2-18：求兩直線AB與CD之間的距離。aaˊbbˊcˊdˊc(d)nˊmˊm兩交叉線間距離(n)kk′a