2024學(xué)年黔西南州金成實(shí)驗(yàn)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次質(zhì)檢試卷及答案解析

學(xué)年黔西南州金成實(shí)驗(yàn)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次質(zhì)檢試卷答卷注意事項(xiàng)：學(xué)生必須用黑色（或藍(lán)色）鋼筆、圓珠筆或簽字筆在試卷上答題。填涂答題卡必須使用2B鉛筆填涂。答題時(shí)字跡要清楚、工整本卷共19小題，總分為150分。一、單選題（共40分）1．（本題5分）已知空間向量，，且，則（

）A． B．16 C．4 D．2．（本題5分）已知圓：，圓：，則兩圓的公共弦所在直線(xiàn)的方程為（

）A． B．C． D．3．（本題5分）已知圓與圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則的方程為（

）A． B．C． D．4．（本題5分）已知圓，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與圓相切，則的方程為（

）A． B． C． D．5．（本題5分）一動(dòng)圓與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為（

）A． B．C． D．6．（本題5分）經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，則的周長(zhǎng)是（

）A．8 B．9 C．10 D．207．（本題5分）已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則的面積為（

）A．3 B．4 C．6 D．108．（本題5分）已知雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若在的右支上存在關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，使得為正三角形，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題（共18分）9．（本題6分）已知雙曲線(xiàn)，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為B．雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為8C．雙曲線(xiàn)的焦距為D．雙曲線(xiàn)的離心率為10．（本題6分）已知圓，點(diǎn)是圓上的點(diǎn)，直線(xiàn)，則（

）A．直線(xiàn)與圓相交弦長(zhǎng)B．的最大值是C．圓上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于1D．過(guò)點(diǎn)向圓引切線(xiàn)，為切點(diǎn)，則最小值為11．（本題6分）下列說(shuō)法正確的是（

）A．已知，則在上的投影向量為B．若是四面體的底面的重心，則C．若，則四點(diǎn)共面D．若向量（都是不共線(xiàn)的非零向量），則稱(chēng)在基底下的坐標(biāo)為，若在單位正交基底下的坐標(biāo)為，則在基底下的坐標(biāo)為三、填空題（共15分）12．（本題5分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，橢圓上一點(diǎn)滿(mǎn)足，則線(xiàn)段．13．（本題5分）雙曲線(xiàn)C:x2a14．（本題5分）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為.四、解答題（共77分）15．（本題13分）已知方程.(1)若此方程表示圓，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若m的值為（1）中能取到的最大整數(shù)，則得到的圓設(shè)為圓E，若圓E與圓F關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，設(shè)為圓F上任意一點(diǎn)，求到直線(xiàn)的距離的最大值和最小值.16．（本題15分）已知橢圓，(1)已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍.求橢圓的方程；(2)已知橢圓的離心率為，直線(xiàn)與圓相切，求橢圓的方程；17．（本題15分）如圖，在多面體中，四邊形是邊長(zhǎng)為3的正方形，，，且，，面，，為中點(diǎn)．

(1)若是中點(diǎn)，求證：面；(2)求平面與平面夾角的正弦值．18．（本題17分）已知橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，且橢圓的離心率，其左右焦點(diǎn)分別為．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)斜率為且過(guò)的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，求的面積．19．（本題17分）已知雙曲線(xiàn)的虛軸長(zhǎng)為2，且離心率為．(1)求的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)設(shè)的右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線(xiàn)交于兩點(diǎn)，若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，求．高二數(shù)學(xué)期中考試答案一、單選題（共40分）1．（本題5分）已知空間向量，，且，則（

）A． B．16 C．4 D．【答案】A【分析】利用向量平行的關(guān)系計(jì)算未知數(shù)，然后求解即可.【詳解】由題可知，解得，所以.故選：A.2．（本題5分）已知圓：，圓：，則兩圓的公共弦所在直線(xiàn)的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)兩圓的公共弦所在直線(xiàn)的特點(diǎn)，兩圓方程相減即可得解.【詳解】圓：，圓：兩圓方程相減得公共弦所在直線(xiàn)的方程為：.故選：B3．（本題5分）已知圓與圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，得到直線(xiàn)過(guò)的中點(diǎn)且與垂直，結(jié)合垂直的斜率結(jié)論可解.【詳解】圓的圓心為，圓的圓心為，所以線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，又，則，所以直線(xiàn)的方程為，即.故選：D.4．（本題5分）已知圓，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與圓相切，則的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】點(diǎn)斜式設(shè)出方程，利用相切可求答案.【詳解】顯然斜率不存在時(shí)，不合題意；斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，圓心到直線(xiàn)的距離為，因?yàn)榕c圓相切，所以，即，解得，即的方程為.故選：A5．（本題5分）一動(dòng)圓與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】計(jì)算兩個(gè)已知圓的圓心和半徑，根據(jù)圓的位置關(guān)系得到動(dòng)圓圓心到兩已知圓圓心距離和為定值，結(jié)合橢圓的定義即可得到結(jié)果.【詳解】圓可化為，圓心，半徑為.圓可化為，圓心，半徑為.設(shè)動(dòng)圓圓心為點(diǎn)，半徑為，圓與圓外切于點(diǎn)，圓與圓內(nèi)切于點(diǎn)，如圖所示：由題意得，三點(diǎn)共線(xiàn)，三點(diǎn)共線(xiàn)，，，∴，∴點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，且，，∴，∴點(diǎn)的軌跡方程為.故選：C.6．（本題5分）經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，則的周長(zhǎng)是（

）A．8 B．9 C．10 D．20【答案】D【分析】為焦點(diǎn)三角形，周長(zhǎng)等于兩個(gè)長(zhǎng)軸長(zhǎng)，再根據(jù)橢圓方程，即可求出的周長(zhǎng)．【詳解】為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，，的周長(zhǎng)為．故選：D．7．（本題5分）已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則的面積為（

）A．3 B．4 C．6 D．10【答案】C【分析】由橢圓定義和得到，結(jié)合，由余弦定理得，進(jìn)而得到正弦值，利用三角形面積公式求出答案.【詳解】由橢圓定義可得，故，又，則由余弦定理得，故，故.故選：C8．（本題5分）已知雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若在的右支上存在關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，使得為正三角形，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件，利用幾何關(guān)系得到，又，得到，再結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義得到，即可求解.【詳解】設(shè)雙曲線(xiàn)的焦距為，右焦點(diǎn)為，直線(xiàn)交于點(diǎn)，連接，因?yàn)闉檎切危?，所以為的中點(diǎn)，所以，故，易知，所以，由雙曲線(xiàn)的定義知，即，得.故選：D．二、多選題（共18分）9．（本題6分）已知雙曲線(xiàn)，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為B．雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為8C．雙曲線(xiàn)的焦距為D．雙曲線(xiàn)的離心率為【答案】BD【分析】由雙曲線(xiàn)方程可得、，即可得，即可得雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程、實(shí)軸長(zhǎng)、焦距與離心率.【詳解】因?yàn)椋?，焦點(diǎn)在軸上，所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，實(shí)軸長(zhǎng)為8，故A錯(cuò)誤，B正確；因?yàn)椋噪p曲線(xiàn)的焦距為，離心率為，故C錯(cuò)誤，D正確．故選：BD.10．（本題6分）已知圓，點(diǎn)是圓上的點(diǎn)，直線(xiàn)，則（

）A．直線(xiàn)與圓相交弦長(zhǎng)B．的最大值是C．圓上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于1D．過(guò)點(diǎn)向圓引切線(xiàn)，為切點(diǎn)，則最小值為【答案】ACD【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離判斷弦長(zhǎng)及圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，根據(jù)的幾何意義可得最值，再根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)的計(jì)算公式可得最值.【詳解】如圖所示，由已知圓，則圓心，半徑，A選項(xiàng)：圓心到直線(xiàn)的距離，則弦長(zhǎng)為，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：可表示點(diǎn)與點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，易知當(dāng)直線(xiàn)與圓相切時(shí)，斜率取得最值，設(shè)斜率，則直線(xiàn)，即，則，解得，所以，其最大值為，錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：，，所以圓上恰有個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于，正確；D選項(xiàng)：由圓可知圓心，半徑，由切線(xiàn)長(zhǎng)可知，所以當(dāng)取得最小值時(shí)，取最小值，又，即的最小值為，所以的最小值為，D選項(xiàng)正確；故選：ACD.11．（本題6分）下列說(shuō)法正確的是（

）A．已知，則在上的投影向量為B．若是四面體的底面的重心，則C．若，則四點(diǎn)共面D．若向量（都是不共線(xiàn)的非零向量），則稱(chēng)在基底下的坐標(biāo)為，若在單位正交基底下的坐標(biāo)為，則在基底下的坐標(biāo)為【答案】BCD【分析】根據(jù)投影向量的定義結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可判斷A，根據(jù)空間向量基本定理可判斷B，根據(jù)四點(diǎn)共面的結(jié)論可判斷C，根據(jù)空間向量基本定理分析可判斷D.【詳解】對(duì)于A：由于，則在的投影向量為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由于點(diǎn)為的底面的重心，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，故，整理得，故，故，故B正確；對(duì)于C：對(duì)于，由于，故四點(diǎn)共面，故C正確；對(duì)于D：在單位正交基底下的坐標(biāo)為，即，所以在基底下滿(mǎn)足，，整理得，解得，則在基底下的坐標(biāo)為，故D正確；故選：BCD.三、填空題（共15分）12．（本題5分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，橢圓上一點(diǎn)滿(mǎn)足，則線(xiàn)段．【答案】32/【分析】由已知可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入橢圓方程即可求得點(diǎn)坐標(biāo)，得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闄E圓，則，所以，，因?yàn)?所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入求得縱坐標(biāo)為，即．故答案為：13．（本題5分）雙曲線(xiàn)C:x2a【答案】【分析】根據(jù)離心率求出的值，即可求出漸近線(xiàn)方程.【詳解】雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，又離心率，所以，則或（舍去），所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為.故答案為：14．（本題5分）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為.【答案】/【分析】根據(jù)橢圓定義可將轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)可得的最小值為，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式即得答案.【詳解】由為橢圓上任意一點(diǎn)，則MF1又為圓上任意一點(diǎn)，則（當(dāng)且僅當(dāng)M、N、E共線(xiàn)時(shí)取等號(hào)），∴，當(dāng)且僅當(dāng)M、N、E、共線(xiàn)時(shí)等號(hào)成立.∵，，則，∴的最小值為．故答案為：．四、解答題（共77分）15．（本題13分）已知方程.(1)若此方程表示圓，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若m的值為（1）中能取到的最大整數(shù)，則得到的圓設(shè)為圓E，若圓E與圓F關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，設(shè)為圓F上任意一點(diǎn)，求到直線(xiàn)的距離的最大值和最小值.【答案】(1)(2)最大值為，最小值【分析】（1）根據(jù)表示圓的限制條件可得實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）先確定圓E的方程，再利用對(duì)稱(chēng)性得到圓F的方程，根據(jù)圓心到直線(xiàn)的距離可得答案.【詳解】（1）若此方程表示圓，則，解得，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是；（2）由（1）可知，此時(shí)圓E：，圓心坐標(biāo)為，半徑為1，因?yàn)閳AF和圓E關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以圓F圓心坐標(biāo)是，半徑是1，故圓F方程為，則圓心到直線(xiàn)的距離，故到直線(xiàn)的距離的最大值為，最小值.16．（本題15分）已知橢圓，(1)已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍.求橢圓的方程；(2)已知橢圓的離心率為，直線(xiàn)與圓相切，求橢圓的方程；【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意結(jié)合橢圓中的關(guān)系即可求解；（2）由題意利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離可得，根據(jù)離心率公式可得，繼而即可求解.【詳解】（1）由題意得，解得，所以橢圓的方程為.（2）直線(xiàn)與圓相切，則圓心到直線(xiàn)的距離為，解得，由題意得，解得，所以橢圓的方程為.17．（本題15分）如圖，在多面體中，四邊形是邊長(zhǎng)為3的正方形，，，且，，面，，為中點(diǎn)．

(1)若是中點(diǎn)，求證：面；(2)求平面與平面夾角的正弦值．【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析(2)【分析】（1）作出輔助線(xiàn)，得到線(xiàn)面平行，進(jìn)而證明出面面平行，即平面平面，證明出平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出兩平面的法向量，從而求出面面角的余弦值，進(jìn)而得到正弦值.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，為中中點(diǎn)，，所以，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，同理可得平面，又，平面，故平面平面，又平面，所以平面；?）因?yàn)槊?，平面，所以，又四邊形是邊長(zhǎng)為3的正方形，⊥，故，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?，所以四邊形為矩形，其中，，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，解得，令，則，故，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，解得，令，則，故，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以，故平面與平面夾角的正弦值為.18．（本題17分）已知橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，且橢圓的離心率，其左右焦點(diǎn)分別為．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)斜率為且過(guò)的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）由橢圓的基本性質(zhì)得到橢圓的值，寫(xiě)出橢圓方程.（2）寫(xiě)出直線(xiàn)方程，聯(lián)立方程組，由韋達(dá)定理得到和，用交點(diǎn)弦長(zhǎng)公式得到線(xiàn)段長(zhǎng)，由點(diǎn)到直線(xiàn)距離得到三角形高，從而算出三角形面積.【詳解】（1）由題意可知：，則，∵，∴，∴，∴橢圓（2），∴直線(xiàn)：，聯(lián)立方程組得,設(shè)，則，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離∴

19．（本題17分）已知雙曲線(xiàn)的虛軸