廣東省廣州市大灣區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)第一次聯(lián)合模擬試題

Page1廣東省廣州市大灣區(qū)2024屆高三數(shù)學(xué)第一次聯(lián)合模擬試題本試卷共6頁(yè)，22小題，滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．留意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的市（縣、區(qū)）、學(xué)校、姓名、班級(jí)、座位號(hào)和準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，并填涂10位準(zhǔn)考證號(hào)（考號(hào)）．2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答案不能答在試卷上．3．非選擇題必需用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必需寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)運(yùn)用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答無(wú)效．4．考生必需保證答題卡的整齊．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，則（

）A． B．C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿意(其中為虛數(shù)單位)，則的值為（

）A． B． C． D．3．為深化推動(dòng)“五育”并舉，促進(jìn)學(xué)生身心全面和諧發(fā)展，某校于上周六舉辦跳繩競(jìng)賽.現(xiàn)通過(guò)簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣獲得了22名學(xué)生在1分鐘內(nèi)的跳繩個(gè)數(shù)如下（單位：個(gè)）：估計(jì)該校學(xué)生在1分鐘內(nèi)跳繩個(gè)數(shù)的第65百分位數(shù)為（

）A．124 B． C． D．4．圖1是南北方向、水平放置的圭表（一種度量日影長(zhǎng)的天文儀器，由“圭”和“表”兩個(gè)部件組成）示意圖，其中表高為h，日影長(zhǎng)為l.圖2是地球軸截面的示意圖，虛線表示點(diǎn)A處的水平面.已知某測(cè)繪愛(ài)好小組在冬至日正午時(shí)刻（太陽(yáng)直射點(diǎn)的緯度為南緯）在某地利用一表高為的圭表按圖1方式放置后，測(cè)得日影長(zhǎng)為，則該地的緯度約為北緯（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．5．函數(shù)中的圖像可能是（

）A． B．C． D．6．已知為雙曲線的左焦點(diǎn)，為其右支上一點(diǎn)，點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C． D．7．與正三棱錐6條棱都相切的球稱(chēng)為正三棱錐的棱切球.若正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為3，則此正三棱錐的棱切球半徑為（

）A． B． C． D．8．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.若對(duì)隨意的正整數(shù)，都有成立，則滿意等式的全部正整數(shù)為（

）A．1或3 B．2或3 C．1或4 D．2或4二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知圓，直線，則（

）A．直線過(guò)定點(diǎn)B．直線與圓可能相離C．圓被軸截得的弦長(zhǎng)為D．圓被直線截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，直線的方程為10．函數(shù)的部分圖像如圖所示，，則下列選項(xiàng)中正確的有（

）A．的最小正周期為B．是奇函數(shù)C．的單調(diào)遞增區(qū)間為D．，其中為的導(dǎo)函數(shù)11．隨著春節(jié)的接近，小王和小張等4位同學(xué)打算相互送祝愿.他們每人寫(xiě)了一個(gè)祝愿的賀卡，這四張賀卡收齊后讓每人從中隨機(jī)抽取一張作為收到的新春祝愿，則（

）A．小王和小張恰好互換了賀卡的概率為B．已知小王抽到的是小張寫(xiě)的賀卡的條件下，小張抽到小王寫(xiě)的賀卡的概率為C．恰有一個(gè)人抽到自己寫(xiě)的賀卡的概率為D．每個(gè)人抽到的賀卡都不是自己寫(xiě)的概率為12．已知正數(shù)滿意等式，則下列不等式中可能成立的有（

）A． B．C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)，則a＝________．14．的綻開(kāi)式中的系數(shù)是________．（用數(shù)字作答）15．若，則__________.16．設(shè)是平面直角坐標(biāo)系中關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，且.若存在，使得與垂直，且，則的最小值為_(kāi)_________.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．已知等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù).若分別從下表的第一?二?三列中各取一個(gè)數(shù)，依次作為，且中任何兩個(gè)數(shù)都不在同一行.第一列其次列第三列第一行4511其次行3109第三行876(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為.求證：.18．如圖，在中，角的對(duì)邊分別為.已知.(1)求角；(2)若為線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，求.19．如圖，三棱柱中，側(cè)面為矩形，且為的中點(diǎn)，．(1)證明：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值．20．在數(shù)字通信中，信號(hào)是由數(shù)字“0”和“1”組成的序列.現(xiàn)連續(xù)放射信號(hào)次，每次放射信號(hào)“0”和“1”是等可能的.記放射信號(hào)“1”的次數(shù)為.(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)已知切比雪夫不等式：對(duì)于任一隨機(jī)變量，若其數(shù)學(xué)期望和方差均存在，則對(duì)隨意正實(shí)數(shù)，有.依據(jù)該不等式可以對(duì)事務(wù)“”的概率作出下限估計(jì).為了至少有的把握使放射信號(hào)“1”的頻率在與之間，試估計(jì)信號(hào)放射次數(shù)的最小值.21．設(shè)拋物線方程為，過(guò)點(diǎn)的直線分別與拋物線相切于兩點(diǎn)，且點(diǎn)在軸下方，點(diǎn)在軸上方.(1)當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，求；(2)點(diǎn)在拋物線上，且在軸下方，直線交軸于點(diǎn).直線交軸于點(diǎn)，且.若的重心在軸上，求的最大值.22．已知函數(shù).(1)探討的單調(diào)性；(2)設(shè)是兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.1．B【分析】利用交集的定義即可求解.【詳解】因?yàn)榧?，所?故選：B．2．B【分析】利用復(fù)數(shù)運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，即可得到答案；【詳解】∵復(fù)數(shù)滿意，∴，故選：B.3．C【分析】依據(jù)百分位數(shù)的概念干脆計(jì)算即可得答案.【詳解】解：因?yàn)椋?2名學(xué)生的跳繩成果從小到大第15個(gè)數(shù)為，所以，該校學(xué)生在1分鐘內(nèi)跳繩個(gè)數(shù)的第65百分位數(shù)為故選：C4．B【分析】由題意有，可得，從而可得【詳解】由圖1可得，又，所以，所以，所以，該地的緯度約為北緯，故選：．5．D【分析】首先推斷函數(shù)的奇偶性，再依據(jù)函數(shù)在上函數(shù)值的正負(fù)狀況，利用解除法推斷即可.【詳解】解：因?yàn)槎x域?yàn)?，又，所以為奇函?shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故解除A、B，又時(shí)，，所以，所以，故解除C；故選：D6．B【分析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，由雙曲線方程可求出，b，c的值，利用雙曲線的定義以及三點(diǎn)共線即可求出的周長(zhǎng)的最小值．【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，由雙曲線的方程可得：，則，所以，且，所以，的周長(zhǎng)為，當(dāng)且僅當(dāng)M，P，A三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，則周長(zhǎng)的最小值為．故選：B．7．C【分析】由題意構(gòu)造直角三角形，列出關(guān)于高及得方程組，即可求解出正三棱錐的棱切球半徑.【詳解】如圖三棱柱為正三棱錐，且底面邊長(zhǎng)，側(cè)棱設(shè)正三棱錐的棱切球球心為，半徑為，則頂點(diǎn)在底面的投影為也為的中心，取的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作垂足為，則，設(shè)，在中，因?yàn)闉榈闹行?，則，，在中即；在中，，即，在中，，則；在中，，則，在中，，則，又因?yàn)?，則，化簡(jiǎn)得，由得解得.故選：C.8．A【分析】依據(jù)與的關(guān)系，求出，則①，又②，②－①×3得，得，進(jìn)而求出，由題意得，記，探討的單調(diào)性，求出的解即可．【詳解】，時(shí)，，相減可得：，即又時(shí)，，解得，滿意，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，所以．對(duì)隨意正整數(shù)n，都有成立，得①，又②，②－①×3得：，又，所以，得，進(jìn)而，由，得，即，記，則，以下證明時(shí)，，因?yàn)?，即時(shí)，單調(diào)遞減，，綜上可得，滿意等式的全部正整數(shù)的取值為1或3．故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及數(shù)列的單調(diào)性以及數(shù)列的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，難度較大，解答時(shí)要結(jié)合幾何學(xué)問(wèn)，能嫻熟的應(yīng)用數(shù)列的相關(guān)學(xué)問(wèn)作答，關(guān)鍵是要留意構(gòu)造新數(shù)列解決問(wèn)題.9．AC【分析】直線，由求出定點(diǎn)，即可推斷A；由點(diǎn)與圓心距離推斷直線與圓位置關(guān)系，即可推斷B；令，求出圓與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)可得弦長(zhǎng)，即可推斷C；依據(jù)直線l被圓C截得弦長(zhǎng)最短，只需與圓心連線垂直于直線，求出直線的方程，即可推斷D．【詳解】直線，由，得，即l恒過(guò)定點(diǎn)，故A正確；點(diǎn)與圓心的距離，故直線l與圓C恒相交，故B錯(cuò)誤；令，則，可得，故圓C被y軸截得的弦長(zhǎng)為，故C正確；要使直線l被圓C截得弦長(zhǎng)最短，只需與圓心連線垂直于直線，所以直線l的斜率，可得，故直線l為，故D錯(cuò)誤．故選：AC．10．AD【分析】依據(jù)題意可求得函數(shù)的周期，即可推斷A，進(jìn)而可求得，再依據(jù)待定系數(shù)法可求得，再依據(jù)三角函數(shù)的奇偶性可推斷B，依據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性即可推斷C，求導(dǎo)計(jì)算即可推斷D.【詳解】解：由題意可得，所以，故A正確；則，所以，由，得，所以，則，又，所以，則，由，得，所以，則為偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；令，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，故C錯(cuò)誤；，則，故D正確.故選：AD.11．BC【分析】計(jì)算出四個(gè)人每人從中隨機(jī)抽取一張共有種抽法，依據(jù)古典概型的概率公式以及條件概率的概率公式計(jì)算各選項(xiàng)，可得答案.【詳解】對(duì)于A,四個(gè)人每人從中隨機(jī)抽取一張共有種抽法，其中小王和小張恰好互換了賀卡的抽法有種，故小王和小張恰好互換了賀卡的概率為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B,設(shè)小王抽到的是小張寫(xiě)的賀卡為事務(wù)A,則,小張抽到小王寫(xiě)的賀卡為事務(wù)B,則已知小王抽到的是小張寫(xiě)的賀卡的條件下，小張抽到小王寫(xiě)的賀卡的概率為,B正確；對(duì)于C,恰有一個(gè)人抽到自己寫(xiě)的賀卡的抽法有種，故恰有一個(gè)人抽到自己寫(xiě)的賀卡的概率為，C正確；對(duì)于D,每個(gè)人抽到的賀卡都不是自己寫(xiě)的抽法共有種，故每個(gè)人抽到的賀卡都不是自己寫(xiě)的概率為，D錯(cuò)誤，故選：12．B【分析】依據(jù)題目形式構(gòu)造函數(shù)，利用求導(dǎo)和同構(gòu)即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，①?dāng)時(shí)，令，所以，令所以，所以在單調(diào)遞增，，所以在單調(diào)遞減，所以，所以，所以，所以，所以，令，，所以單調(diào)遞增，所以由得，所以,所以，故此時(shí)，C,D選項(xiàng)不行能；由，即構(gòu)造所以當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減又，，所以，則所以，構(gòu)造，所以在單調(diào)遞增所以故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于構(gòu)造函數(shù)以及，利用導(dǎo)數(shù)以及參數(shù)的范圍進(jìn)行推斷.13．1【分析】先求得，依據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，得到，即可求解.【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，則，可得，又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，即，解得.故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的解析式，以及函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，其中解答中熟記函數(shù)的奇偶性，合理運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力.14．【分析】首先分析出存在有兩項(xiàng)，然后分別求出這兩項(xiàng)系數(shù)，相加即可.【詳解】依據(jù)題意,的項(xiàng)在的綻開(kāi)式中有兩項(xiàng)，分別為：和，即和，則的系數(shù)為：.故答案為：.15．##【分析】利用協(xié)助角公式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】，或，當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)，明顯沒(méi)有意義；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以有，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：考慮到分母不為零解題的關(guān)鍵.16．【分析】依據(jù)向量的線性運(yùn)算，令，，從而得出有共線，結(jié)合題設(shè)推出，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值2，此時(shí)面積最大，則O到的距離最遠(yuǎn)，此時(shí)取到最小值，即可求解.【詳解】如圖示，是平面直角坐標(biāo)系中關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，且，由題意得：，令，則三點(diǎn)共線，則三點(diǎn)共線故有共線，由題意與垂直,,知,且為定值，在中，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值2，此時(shí)面積最大，則O到的距離最遠(yuǎn)，而，故當(dāng)且僅當(dāng)即關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)時(shí)，最小，此時(shí)O到的距離為，所以,故，即的最小值為，故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：依據(jù)向量的線性運(yùn)算，可令，

，從而得出共線,由此依據(jù)題設(shè)可推出，即當(dāng)且僅當(dāng)即關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)時(shí)，最小，從而問(wèn)題可解.17．(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)和定義即可求出；（2）求出，利用裂項(xiàng)相消法求出，即可證明.【詳解】（1）由題可得，故.（2）且，則于是.18．(1)(2)【分析】(1)運(yùn)用正弦定理以及誘導(dǎo)公式求解；(2)依據(jù)條件運(yùn)用正弦定理求解.【詳解】（1）由條件及正弦定理可得：，即故，則有，又，故有，或（舍去），或（舍去），則，又，所以；（2）設(shè)，在和中，由正弦定理可得于是，又，則，，；綜上，，.19．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接與交于點(diǎn)，連接，則，利用線面平行的判定定理即可證明；（2）由已知條件得面，則，由得.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，由面得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，由求得，然后利用向量夾角公式求解即可.【詳解】（1）連接與交于點(diǎn)，連接為三棱柱，為平行四邊形，點(diǎn)為的中點(diǎn)又為的中點(diǎn)，則，又平面平面，平面．（2）解法1：，面面，，，即以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，面，則平面的一個(gè)法向量為設(shè)平面的法向量為，則，即令設(shè)平面與平面的夾角為，平面與平面的夾角的余弦值是．解法2：設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)且，點(diǎn)為的中點(diǎn)為矩形，又平面，在中，，可得為等腰直角三角形，其中而點(diǎn)為的中點(diǎn)，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)且，又在Rt中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，在中，，且點(diǎn)為的中點(diǎn)且即為平面與平面的夾角在中，．平面與平面的夾角的余弦值是．20．(1)(2)1250【分析】(1)依據(jù)二項(xiàng)分布公式計(jì)算；(2)運(yùn)用二項(xiàng)分布公式算出和，再依據(jù)題意求出中a的表達(dá)式，最終利用切比雪夫不等式求解.【詳解】（1）由已知，所以；（2）由已知，所以，若，則，即，即.由切比雪夫不等式，要使得至少有的把握使放射信號(hào)“1”的頻率在與之間，則，解得，所以估計(jì)信號(hào)放射次數(shù)的最小值為1250；綜上，，估計(jì)信號(hào)放射次數(shù)的最小值為1250.21．(1)；(2).【分析】（1）設(shè)，依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線方程，利用切線方程與拋物線方程可得，，進(jìn)而即得；或利用條件可得切點(diǎn)所在直線，利用韋達(dá)定理法即得；（2）設(shè)，依據(jù)三角形面積公式結(jié)合條件可表示，然后依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件即得.【詳解】（1）解法一：設(shè)，，，由，可得，所以，直線PA的斜率，直線PA：，又在上，，所以，又，所以，同理可得，，；解法二：設(shè)，，，由，可得，所以，直線PA的斜率，直線PA：，又在上，故，即，因?yàn)?，所以，同理可得，故直線的方程為，聯(lián)