安徽省六安市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

Page18安徽省六安市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題總分：150分時(shí)間：120分鐘本試題分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分.第Ⅰ卷為選擇題，共60分；第Ⅱ卷為非選擇題，共90分，滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合要求的)1.對(duì)于實(shí)數(shù)，“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【詳解】試題分析：由于不等式的基本性質(zhì)，“a＞b”?“ac＞bc”必需有c＞0這一條件．解：主要考查不等式的性質(zhì)．當(dāng)c=0時(shí)明顯左邊無法推導(dǎo)出右邊，但右邊可以推出左邊．故選B考點(diǎn)：不等式的性質(zhì)點(diǎn)評(píng)：充分利用不等式的基本性質(zhì)是推導(dǎo)不等關(guān)系的重要條件．2.已知m，n為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】B【解析】【分析】A：結(jié)合兩直線的位置關(guān)系可推斷或異面；B：結(jié)合線面平行的性質(zhì)可推斷；C：結(jié)合線面的位置關(guān)系可推斷或相交；D：結(jié)合線面的位置關(guān)系可推斷或.【詳解】A：若，則或異面，故A錯(cuò)誤；B：因?yàn)?，所以在平面?nèi)存在不同于n的直線l，使得，則，從而，故，故B正確；C：若，則或相交，故C錯(cuò)誤；D：若，則或，故D錯(cuò)誤.故選：B3.在△ABC中，若其面積為S，且=2S，則角A的大小為（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】A【解析】【分析】由數(shù)量積的定義，結(jié)合條件即可求解.【詳解】因?yàn)?，而，所以，所以，?故選：A4.若一個(gè)水平放置的圖形的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)底角為45°且腰和上底均為1的等腰梯形，則原平面圖形的面積是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先計(jì)算出等腰梯形的面積為，再利用計(jì)算得到答案.【詳解】等腰梯形的面積則原平面圖形的面積.故選：C.5.如圖，三棱柱中，底面三角形是正三角形，E是BC的中點(diǎn)，則下列敘述正確的是（）A.直線與直線是異面直線 B.直線與直線AE是共面直線C.直線AE與直線是異面直線 D.直線AE與直線是共面直線【答案】C【解析】【分析】依據(jù)異面直線的判定定理求解即可.【詳解】由于與均在平面內(nèi)，不是異面直線，故A錯(cuò)誤；平面，平面，點(diǎn)不在直線上，所以和是異面直線，故B錯(cuò)誤；平面，平面，點(diǎn)不在直線上，則與是異面直線，故C正確；平面，平面，點(diǎn)不在直線上，則與是異面直線，故D不正確.故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：推斷兩條直線是否為異面直線，第一兩條直線平行或相交，則兩條直線共面，其次若一條直線與一個(gè)平面相交于一點(diǎn)，那么這條直線與這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線，這是推斷兩條直線是異面直線的方法，要依據(jù)題目所供應(yīng)的線線、線面關(guān)系精確的做出推斷.6.直三棱柱的6個(gè)頂點(diǎn)在球的球面上.若，.，，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由于直三棱柱的底面為直角三角形，我們可以把直三棱柱補(bǔ)成四棱柱，則四棱柱的體對(duì)角線是其外接球的直徑，求出外接球的直徑后，代入外接球的表面積公式，即可求出該三棱柱的外接球的表面積.【詳解】解：將直三棱柱補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，則球是長(zhǎng)方體的外接球.所以體對(duì)角線的長(zhǎng)為球的直徑.因此球的外接圓直徑為，故球的表面積.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查球的內(nèi)接體與球的關(guān)系、球的半徑和球的表面積的求解，考查運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題型.7.八卦是中國(guó)文化的基本哲學(xué)概念，圖1是八卦模型圖，其平面圖形為圖2所示的正八邊形，其中，給出下列結(jié)論：圖1圖2①與的夾角為；②；③；④在上的投影向量為（其中為與同向的單位向量）．其中正確結(jié)論為（）A.① B.② C.③ D.④【答案】C【解析】【分析】依據(jù)圖形的特征進(jìn)行推斷即可.【詳解】由圖:正八邊形，因?yàn)榕c的夾角為，故①錯(cuò)誤；因?yàn)?，故②錯(cuò)誤；因?yàn)?故③正確；因?yàn)樵谏系耐队跋蛄颗c向量反向，故④錯(cuò)誤；故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的加減法及向量的投影向量等，屬于簡(jiǎn)潔題.8.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，D是邊BC上一點(diǎn)，，且，和的面積分別為，，對(duì)于給定的正數(shù)m，當(dāng)取得最小值時(shí)，等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由可推出，即，故利用基本不等式，結(jié)合“乘1法”即可求出取到最小值時(shí)，化簡(jiǎn)得解.詳解】由題可知，由三角形面積公式可得：，化簡(jiǎn)得，即，=，當(dāng)今當(dāng)即時(shí)能取到最小值，此時(shí)==.故選：A.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列命題中正確的是（）A.若，，，則B.若復(fù)數(shù)，滿意，則C.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則D.若復(fù)數(shù)滿意，則的最大值為【答案】AD【解析】【分析】A由復(fù)數(shù)相等條件即可推斷正誤；B、C應(yīng)用特別值法，代入驗(yàn)證即可；D依據(jù)的幾何含義：以為圓心2為半徑的圓，求為該圓上的點(diǎn)到最大距離，推斷正誤.【詳解】A：由復(fù)數(shù)相等知：，有，正確；B：若，有，錯(cuò)誤；C：若時(shí)，，錯(cuò)誤；D：令，則為圓O：，而表示圓O上的點(diǎn)到的最大距離，所以，正確.故選：AD.10.下列有關(guān)平面對(duì)量的命題中，不正確的是（）A若，則B.已知，，則C.若非零向量，，，滿意，則D.若，則且【答案】ABC【解析】【分析】A選項(xiàng)，當(dāng)且方向相同，才有，故A錯(cuò)誤，D正確；B選項(xiàng)可以舉出反例，C選項(xiàng)利用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出，故C錯(cuò)誤.【詳解】A選項(xiàng)，，但向量方向可能不同，故A錯(cuò)誤；若，則滿意，，但可能不平行，故B錯(cuò)誤；若，即，因?yàn)椋?，均為非零向量，所以，故不肯定成立，C錯(cuò)誤；若，則且，D正確.故選：ABC11.下列說法正確的是（）A.在中，是的充要條件B.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象C.存在實(shí)數(shù)，使得等式成立D.在中，若，則是鈍角三角形【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)正弦定理，余弦定理，可推斷A、D的正誤；依據(jù)圖象平移原則，可推斷B的正誤；依據(jù)協(xié)助角公式及正弦型函數(shù)的性質(zhì)，可推斷C的正誤，即可得答案.【詳解】對(duì)于A：由正弦定理可得，因?yàn)?，所以，同理，若，則有，所以是的充要條件，故A正確；對(duì)于B：將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得，故B正確；對(duì)于C：，所以不存在x，滿意，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：在中,因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，所以，所以，為鈍角，故D正確.故選：ABD.12.如圖，直三棱柱中，，，，側(cè)面中心為O，點(diǎn)E是側(cè)棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，有下列推斷，正確的是（）A.直三棱柱側(cè)面積是 B.直三棱柱體積是C.三棱錐的體積為定值 D.的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】由題意畫出圖形，計(jì)算直三棱柱的側(cè)面積和體積即可推斷A與B；由棱錐底面積與高為定值推斷C；設(shè)BE＝x，列出AE+EC1關(guān)于x的函數(shù)式，結(jié)合其幾何意義求出最小值推斷D．【詳解】在直三棱柱中，，，底面和是等腰直角三角形，側(cè)面全是矩形，所以其側(cè)面積為1×2×2+，故A正確；直三棱柱的體積為，故B不正確；由BB1∥平面AA1C1C，且點(diǎn)E是側(cè)棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，三棱錐的高為定值，××2＝，××＝，故C正確；設(shè)BE＝x，則B1E＝2﹣x，在和中，∴＝．由其幾何意義，即平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)（x，1）與兩定點(diǎn)（0，0），（2，0）距離和的最小值，由對(duì)稱可知，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，其最小值為，故D正確．故選：ACD．【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假推斷與應(yīng)用，考查直三棱柱的側(cè)面積和體積的求法，函數(shù)思想求最值問題，空間想象實(shí)力和思維實(shí)力，屬于中檔題．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知向量，，則與夾角的余弦值是______．【答案】##【解析】【分析】求出向量的坐標(biāo)，利用平面對(duì)量夾角的坐標(biāo)表示可求得結(jié)果.【詳解】由已知可得，所以，.故答案為：.14.在中，已知，則________________．【答案】【解析】【分析】先利用余弦定理求出，再依據(jù)向量的數(shù)量積定義即可求出．【詳解】解：，．故答案為：．15.如圖，在中，已知，，，，，線段AM，BN相交于點(diǎn)P，則的余弦值為___________.【答案】【解析】【分析】依次算出、、，然后可得答案.【詳解】由已知，，，，得，又由得，因?yàn)?，所以所以故答案為?6.如圖，長(zhǎng)方體中，，分別為中點(diǎn)，點(diǎn)P在平面內(nèi)，若直線平面，則線段長(zhǎng)度的最小值是___________.【答案】【解析】【分析】首先找出過點(diǎn)且與平面平行的平面，然后在所作的平面內(nèi)找線段長(zhǎng)度的最小值即可.【詳解】連接，因?yàn)榉謩e為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槊?，面，所以面，同理面，又因?yàn)?，所以面面，因?yàn)橹本€平面，所以點(diǎn)在直線上，且當(dāng)時(shí)，線段的長(zhǎng)度最小，在中，，，，所以，，所以，在中，設(shè)邊上的高為，則，所以，即線段長(zhǎng)度的最小值為.故答案為：.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知復(fù)數(shù)是方程的解.（1）求的值；（2）若復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)在第四象限，且為純虛數(shù)，其中，求的值.【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）由求根公式求得，進(jìn)而求得；（2）由（1）得到，求得，依據(jù)為純虛數(shù)，得到，即可求解.小問1詳解】解：由題意，復(fù)數(shù)是方程的解，由求根公式，可得，則.【小問2詳解】解：由（1）且表示的點(diǎn)在第四象限，所以.又由，因?yàn)闉榧兲摂?shù)，則，解得.18.在中，，為邊上一點(diǎn)，且．（1）若為邊上的中線，求邊的最大值；（2）若為的平分線，且為銳角三角形，求邊的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在與中分別用余弦定理，再應(yīng)用基本不等式即可求解的最大值；（2）設(shè)，由已知確定范圍，在與中分別用正弦定理，得到與的關(guān)系求解即可.【小問1詳解】設(shè)，，又為邊上的中線，所以，在中，由余弦定理得，，又，所以，①在中，由余弦定理得，，即，②由①＋②得，又由①得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以，所以，即．綜上，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，邊取得最大值．【小問2詳解】因?yàn)闉榈钠椒志€，所以可設(shè)，則，，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以.在中，由正弦定理得，③在中，由正弦定理得，④④÷③得，又，所以，設(shè)，又，所以，所以在上為增函數(shù)，所以．19.如圖，在正方體中，對(duì)角線與平面交于點(diǎn)，、交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．求證：

（1）三點(diǎn)共線；（2）、、、四點(diǎn)共面；（3）、、三線共點(diǎn)．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）可證、、三點(diǎn)在平面與平面內(nèi)，從而可證三點(diǎn)共線.（2）可證，從而可得四點(diǎn)共面.（3）設(shè)與交于一點(diǎn)P，可得P在上，從而可得三線共點(diǎn).【小問1詳解】∵平面，∴，平面；又∵平面，∴平面；∵、交于點(diǎn)M，∴，；又平面，平面，∴平面，平面；又平面，平面；∴、、三點(diǎn)在平面與平面的交線上，∴、、三點(diǎn)共線；【小問2詳解】連接，

∵E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，∴，又∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴；∴，∴E、F、C、四點(diǎn)共面；【小問3詳解】∵平面平面，設(shè)與交于一點(diǎn)P，則：，平面，∴平面，同理，平面，∴平面平面，∴直線、、三線交于一點(diǎn)P，即三線共點(diǎn)20.已知函數(shù)．（1）若對(duì)隨意，都有成立，求的取值范圍；（2）若先將的圖象上每個(gè)點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，然后再向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的全部零點(diǎn)之和．【答案】(1).(2)【解析】【分析】(1)先由倍角公式以及兩角和的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再求出函數(shù)的最小值即可求出a的范圍；(2)依據(jù)函數(shù)圖像的對(duì)稱性即可求出結(jié)果.【詳解】（1）.若對(duì)隨意，都有成立，則只需即可∵，∴，∴當(dāng)，即時(shí)，有最小值，故.（2）依題意可得，由得，由圖可知，在上有4個(gè)零點(diǎn)：，依據(jù)對(duì)稱性有，從而全部零點(diǎn)和為.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的值域以及函數(shù)圖像的對(duì)稱性，熟記兩角和與差的正弦公式等以及圖像的變換即可，屬于常考題型.21.如圖四棱錐P-ABCD的底面為平行四邊形，E是PB的中點(diǎn)，過A，D，E的平面α與平面PBC的交線為l．（1）證明：平面PAD；（2）求平面α截四棱錐P-ABCD所得的上、下兩部分幾何體的體積之比．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由，得到平面，依據(jù)平面與平面的交線為，結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理，即可證得平面；（2）設(shè)l與PC交于點(diǎn)F，則F為PC的中點(diǎn)，連接DF，DE，DB，EC，設(shè)四棱錐P-ABCD的體積為V，得到，，進(jìn)而求得平面截四棱錐P-ABCD所得的下面部分的幾何體的體積，求得上、下兩部分幾何體的體積之比．【小問1詳解】證明：因?yàn)椋移矫?，平面，所以平面，又平面與平面的交線為，且平面，則，又平面，平面，故平面.【小問2詳解】解：設(shè)l與PC交于點(diǎn)F，則F為PC的中點(diǎn)，連接DF，DE，DB，EC，設(shè)四棱錐P-ABCD的體積為V，則．又由，則，所以平面截四棱錐P-ABCD所得的下面部分的幾何體的體積為，所以上面部分幾何體的體積為，故平面截四棱錐P-ABCD所得的上、下兩部分幾何體的體積之比為．22.“精準(zhǔn)扶貧，修路先行”，為解決城市A和山區(qū)B的物流運(yùn)輸問題，便利B地的農(nóng)產(chǎn)品運(yùn)輸?shù)匠鞘蠥交易，安排在鐵路AD間的某一點(diǎn)C處修建一條筆直的馬路到達(dá)B地．示意圖如圖所示，千米，千米，．已知農(nóng)產(chǎn)品的鐵路運(yùn)費(fèi)為每千米1百元，馬路運(yùn)費(fèi)為每千米2百元，農(nóng)產(chǎn)品從B到A的總運(yùn)費(fèi)為百元．為了求總運(yùn)費(fèi)的最小值，現(xiàn)供應(yīng)兩種方案建立函數(shù)關(guān)系，方案1：設(shè)千米；方案2：設(shè)．（1）試將分別表示為關(guān)于、的函數(shù)關(guān)系式和；（2）請(qǐng)只選擇一種方案，求出