安徽省合肥市2024-2025學年高二年級上冊數(shù)學統(tǒng)一作業(yè)7（含答案）

安徽省合肥市2024-2025學年高二上學期數(shù)學統(tǒng)一作業(yè)7

學校:.姓名:.班級:考號:

一、單選題

直線岳-偈+1=°的傾斜角為（

1.）

冗24715%

A.§B.3C.6D.6

2.與直線3xD4y+5=0關(guān)于y軸對稱的直線方程是（)

A.3x+4y+5=0B.3x+4yD5=0C.3xD4y+5=0D.3xD4yD5=0

經(jīng)過原點和點G，T）且圓心在直線3x+V-5=°上的圓的方程為

3.

A.(X-5)2+(J+10)2=125B.(X+1)2+(^-2)2=5

(x-l)2+(y-2)2=5x-|

cD.i+T

若直線依一y一2=°與曲線/一3一1）2二無一1有兩個不同的交點，則實數(shù)上的取值范圍

4.

是)

A.AB.*

。心42

一2,一卜8

C.3D.

若橢圓焦點在x軸上且經(jīng)過點（一4，0）,焦距為6,則該橢圓的標準方程為（）

5.

22

1上+匕=1

A.168B.167

222,2

X

%J-1—+匕=1

C.916D.716

若圓（龍一3）一+3+5）2=/上至少有三個點到直線4》_3k2=0的距離為］,則半徑『的

6.

取值范圍是（）

卜+

A.(d+8)B.8）c.(4,6]D.[4,6]

22y-i

7.實數(shù)x,N滿足x2-4x+/-6y+9=°,則7TI的取值范圍是（）

「51」12）[12[「n5]

5

A.L12JB.LJC.I5」D.L12」

8.在等腰直角三角形/8C中，/8=NC=4,點P是邊上異于43的一點，光線從

點產(chǎn)出發(fā)，經(jīng)2C,G4發(fā)射后又回到原點P（如圖）.若光線0R經(jīng)過8c的重心，則

/尸等于

B.1

4

D.§

二、多選題

9.以下四個命題表述正確的是（）

A.直線（3+Mx+4y-3+3m=0（加e?恒過點y,-3）

B.圓/+丁=4上有且僅有3個點到直線/：X7+亞=°的距離都等于1

C.圓G：/+r+2》=0與圓。2：/+產(chǎn)一以_8了+加=0恰有三條公切線，則片彳

D.已知圓0d+/=4,過點9（3,4）向圓C引兩條切線P/、P2,4、B為切點,

貝U直線方程為3X+4'-4=°

22

工+工=1

10.若方程3-ft-1所表示的曲線為c,則下面四個說法中正確的是（）

A.曲線C可能是圓

B.若1<"3,則C為橢圓

C.若C為橢圓，且焦點在x軸上，貝"2</<3

D.若C為橢圓，且焦點在y軸上，貝口7<3

11.如圖，在棱長為2的正方體中，E,F,G,H分別是D，，4A,

CD,2C的中點，則下列說法正確的有（）

A.E,F,G,〃四點共面

71

B.8。與斯所成角的大小為H

C.在線段3。上存在點M,使得■平面EFG

D.在線段48上任取一點N,三棱錐N-EFG的體積為定值

三、填空題

12.圓G：x2+「+2xT2=0與圓6：/+/+4工一4k0的交點為/,以則弦的長為

13.已知網(wǎng)一1，°）,8是圓C：（x-l）'V=16上的任意一點，線段86的垂直平分線交

BC于點P.則動點P的軌跡方程為.

14.已知直線/與圓°：/+產(chǎn)=4交于/（再,必），2伍,％）兩點，且|力司=2百，則

國+4必-10|+|3%+4%-10|的最大值為.

四、解答題

15已知直線4："+4ay-2=0（〃>0）,/2：2x+y+2=0.

⑴當。=1時，直線/過4與/2的交點，且垂直于直線x-2y-i=o,求直線/的方程；

（2）求點3，到直線4的距離d的最大值.

16.已知點4L2),圓c：x2+y2+2mx+2y+2=0

(1)若過點./可以作兩條圓的切線，求m的取值范圍;

(2)當加=-2時，過直線2%->+3=°上一點9作圓的兩條切線求四邊形尸MCN

面積的最小值.

17.在四棱錐尸-/BCD中，力，平面底面是正方形，E,尸分別在棱尸

PE=-PDCF=-BC

BC上且33

⑴證明：成||平面為尸；

(2)若尸，求直線。與平面及尸所成角的正弦值.

18.已知圓力：x2+3一中=3,過點尸(°，一1)的直線/與圓。相交于M,N兩點，且

\MN\=2,圓。是以線段"N為直徑的圓.

⑴求圓。的方程；

⑵設(shè)'(°，，+6)(-5W/V-2),圓。是△場：的內(nèi)切圓，試求me面積的取值范

圍.

參考答案:

題號12345678910

答案CBDABBCDBCDAD

題號11

答案AD

1.C

【分析】將直線方程轉(zhuǎn)化為斜截式，進而可得傾斜角.

_V|

【詳解】由直線后x-V^+l=O,即36,

./1

所以傾斜角a滿足皿。一=23,々?、椋?/p>

71

a=—

所以6,

故選：C.

2.B

【分析】分別求出直線孔-4了+5=°與坐標軸的交點，分別求得關(guān)于夕軸的對稱點，即可

求解直線的方程.

y=。（0—）

【詳解】令x=。，則-4,可得直線3x-4y+5=°與y軸的交點為54,

X二（二0）

令片0,則3,可得直線/--+5=°與％軸的交點為'3',

此時關(guān)于y軸的對稱點為10,

所以與直線版一47+5=°關(guān)于y軸對稱的直線經(jīng)過兩點N3',

室=1

55

其直線的方程為34，化為3x+4y-5=0,故選乩

【點睛】本題主要考查了直線方程點的求解，以及點關(guān)于線的對稱問題，其中解答中熟記

點關(guān)于直線的對稱點的求解，以及合理使用直線的方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與

運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.D

【分析】令圓心為（友5-3尤），由圓所經(jīng)過的點及兩點距離公式列方程求出圓心坐標，即可

寫出圓的方程.

【詳解】由題設(shè)，令圓心為（x，5-3x）,又圓經(jīng)過原點和點（3，T）,

22255

所以/=/+（5_3》）~=（尤-3）-+（6-3》）一,整理可得》-],故圓心為￡

225/5。225

丫2=一x--+y=—

所以半徑平方9,則圓的方程為I3J9.

故選：D

4.A

【分析】根據(jù)題意，化簡曲線為（X-1）2+”T）2=1（XN1）,再由直線恒過定點PQ-2）,結(jié)

合圖象和圓心到直線的距離，列出方程，即可求解.

【詳解】由曲線]一3-1）2=X_1,可得（x-l）2+"-1）2=1（x21）,

又由直線履-y-2=°,可化為了=丘-2,直線恒過定點尸（°，-2）,

作出半圓與直線的圖象，如圖所示，

ML-1,4

方—；tk=一

當直線與半圓相切時，可得必+1，解得3,

（-,2]

所以實數(shù)上的取值范圍為3」.

故選：A.

5.B

【分析】由平方關(guān)系結(jié)合已知即可求出區(qū)4C,由此即可得解.

【詳解】由題意得橢圓焦點在X軸上且經(jīng)過點G4'。），焦距為6,

22

土+匕

所以a=4,2c=6,貝ijc=3,b2=a2-c2=l,橢圓的標準方程為167

故選：B.

6.B

【分析】先求出圓心（3，一5）到直線4x-3y-2=°的距離為5,由此可知當圓的半徑為

“5+1=6時，圓上恰有三點到直線4x-3y-2=°的距離為1,當圓的半徑廠＞5+1=6

時，圓上恰有四個點到直線4》-3了-2=0的距離為1,故半徑『的取值范圍是「25+1=6,

即可求出答案.

【詳解】由已知條件得G-3）一+&+ST=/的圓心坐標為8—5）,

^__|4x3-3x（-5）-2|：5

圓心（3，一5）到直線4x-3y-2=0為^42+32,

...圓（x-3）2+&+5）2=r2上至少有三個點到直線?-3y-2=0的距離為1,

二圓的半徑的取值范圍是-25+1,即『26,即半徑r的取值范圍是I6,+00）.

故選：B.

7.C

【詳解】判斷出點（X/）的軌跡，根據(jù)斜率、直線與圓的位置關(guān)系等知識求得正確答案.

【分析】方程-6了+9=0,即（x-2）~+（y-3）2=4,

所以（XJ）是以（2,3）,半徑為2的圓上的點，

y-1

^+1表示點（XJ）與點（T1）連線的斜率，

設(shè)直線yT=M'+l）也-V+1+X與圓（、一2）2+&-3）2=4相切,

|2"3+1+1_|3._2|_2

（2,3）到直線區(qū)-y+l+左=0的距離Jr+1VF+1,

解得人=0或5,

Zzl0,—

所以x+1的取值范圍是L5」.

故選：C

【詳解】建立如圖所示的坐標系，可得B（4,0）,C（0,4）,

故直線的方程為x+y=4,

（0+0+40+4+0）

的重心為（3'3

設(shè)尸（。,0）,其中0<a<4,

則點P關(guān)于直線BC的對稱點,

a+xy+0,

------+-——=4

f22

解得y=4-a>即月(4,4-°),

易得P關(guān)于V軸的對稱點￡（一凡°）,

由光的反射原理可知0C凡？四點共線,

b7-—_4_-_a__-_0_—_4_-_tz_

直線跳的斜率為4-（-。）4+a,

故直線QA的方程為+

44

由于直線QR過A43c的重心（§'?）,

代入化簡可得3/-4a=0,

_4

解得"3,或?=°（舍去），

44

尸（一，0）AP=-

故3，故3.

故選D.

考點：與直線關(guān)于點、直線對稱的直線方程.

【思路點睛】建立坐標系，設(shè)點尸的坐標，可得P關(guān)于直線8C的對稱點4的坐標，和尸關(guān)

于〉軸的對稱點鳥的坐標，由62尺名四點共線可得直線的方程，由于過的重心，

代入可得關(guān)于。的方程，解之可得尸的坐標，進而可得/尸的值.本題考查直線與點的對稱

問題，涉及直線方程的求解以及光的反射原理的應(yīng)用，屬中檔題.

9.BCD

【分析】根據(jù)直線過定點、點到直線距離、圓與圓的位置關(guān)系，相交弦所在直線方程等知

識對選項進行分析，由此確定正確選項.

［詳解］A選項，（3+機）x+4y-3+3機=0n〃7（x+3）+3x+4y-3=0,

卜+3=0卜=-3

13x+4T-3=0^V=3,所以定點為（T3）,人錯誤.

叵=1

B選項，圓一+/=4的圓心為原點，半徑為2,圓心到直線/的距離為加,

所以圓一+丁=4上有且僅有3個點到直線l-X-y+42=0的距離都等于J,B選項正確.

C選項，圓G的圓心為（一1，°）,半徑為1.圓C?的圓心為（2,4）,半徑為

（6+64一.=病7

2,

由于J、G有三條公切線，所以兩個圓外切，所以1+420-加=］（-1-2）2+（0-4）2,

加=4,C選項正確.

D選項，圓U/+必=4的圓心為原點°,半徑為2」°尸1=5,以O(shè)P為直徑的圓的方程為

（3?/八225

4,即/+/一3、-4y=0,則所在直線方程為

/+/W_3xf）=4一0,3x+4廣4=0刀選項正確.

故選：BCD

10.AD

【分析】根據(jù)方程為圓列式求解判斷A,排除B,根據(jù)橢圓標準方程的特征列不等式求解

范圍即可判斷CD.

22

U12-

【詳解】當3一="1>0即f=2時，方程3-，/-I為x+N=1,

表示圓心為原點，半徑為1的圓，故選項A正確，選項B錯誤；

若C為橢圓，且焦點在x軸上，則3-7>/1>0,解得1</<2,故選項C錯誤；

若C為橢圓，且焦點在y軸上，則解得2<1<3,故選項D正確.

故選：AD.

11.AD

【分析】建立空間直角坐標系，利用向量的共面定理可判斷A選項，利用坐標法求異面直

線夾角可直接判斷B選項，假設(shè)在線段8。上存在點新，設(shè)薊'=2而，條1,利用

坐標法驗證線面垂直，可判斷C選項；分別證明AMG與43上的所有點到平面EFG的距

離為定值，即可判斷D選項.

【詳解】以A為原點，以油,AD,44所在直線分別為x軸、V軸、z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

則4（0,0,0）,3（2,0,0）,C（2,2,0）,。（0,2,0）,旦（2,0,2）,々（0,2,2）,E（0,2,l）,

尸（1,0,2）,"（2,1,0）,G（l,2,0）,

設(shè)AH=xAE+yAF+z/G,

則(2,1,0)=x(0,2,1)+y(1,0,2)+z(1,2,0)

x=-1

y+z=2

v2x+2z=13

所以［x+2歹=0z=—

，解得〔2

故x+〉+z=l,即石，F(xiàn),G,"四點共面，故A正確;

因為麗=(-2,2,0),EF=(1,-2,1)

叵?司63

\cos(BD,EF

函.同78x762

所以

n

所以與所所成角的大小為不，故B錯誤;

假設(shè)在線段8。上存在點符合題意，

設(shè)兩=2而（0W條1）,則西=苑-前=畫々麗=3,2-242）,

若MCJ平面EFG,則MQE產(chǎn)=。，MCJEG=0

因為而=（1，一2，1）,.=（1,。,-1）,

j22-4+42+2=0

所以122-2=°,此方程組無解，

所以在線段8。上不存在點“，使得MCiJ■平面EFG,故C錯誤;

因為4?=（2,0,-2）=2EG,所以&B//EG,

又42a平面EFG,￡6<=平面￡尸6,所以48〃平面EFG,

故"田上的所有點到平面MG的距離即為B到平面EFG的距離，是定值，

又AMG的面積是定值，

所以在線段/田上任取一點N,三棱錐N-EFG的體積為定值，故D正確；

故選：AD.

12.40

【分析】先求出兩圓的公共弦方程，觀察發(fā)現(xiàn)。2d+/+41-4），=°的圓心在公共弦上,

從而得到弦N2的長為圓G的直徑，求出公共弦長.

【詳解】圓￡、+/+2工-12=°與圓。2：/+/+4X-4了=°聯(lián)立可得:

公共弦的方程為"27+6=0,

2222

C2:x+y+4x-4j=0^^C2:(x+2)+(>>-2)=8,

故G：Y+/+4x-4y=0的圓心為。2(-2,2),半徑為272,

而J(一2,2)滿足x-2y+6=0,故弦AB的長為圓G的直徑，

故弦N2的長為40.

故答案為：，收.

【分析】結(jié)合線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等及橢圓定義得到正確答案.

【詳解】解：圓0：(無一1)2+.=16,圓心為(1,0),半徑為%

因為線段B尸的垂直平分線交BC于p點，所以|尸8|=|尸尸

所以|PC|+|P"|=|尸。1+1尸切=|5。|=4>|/。］=2.

W

所以由橢圓定義知，尸的軌跡是以C,尸為焦點的橢圓，方程為43.

W

故答案為：43.

14.30

13石+4%一101|3X2+4%-101

【分析】5'5的幾何意義為點48到直線3x+4y-10=0的距離

之和，根據(jù)梯形中位線知其最大值是的中點初到直線3》+4k10=0的距離的2倍.由

題意依赫卜1,所以42的中點M的軌跡是以原點°為圓心，1為半徑的圓，利用圓的性質(zhì)

即可得解.

13X1+4%—10113%2+4%—101

【詳解】5’5的幾何意義為點"，8到直線3x+4y-10=°的距離

之和，

根據(jù)梯形中位線知其最大值是的中點“到直線3x+4."T0=°的距離的2倍，

由題可知，圓。：/+/=4的圓心。(0,0),半徑為2,囪=26,

則"痔）』

所以的中點〃的軌跡是以原點°為圓心，1為半徑的圓,

10

+1=3

故點M到直線3x+4y-10=0的最大距離732+42

13再+4凹-10113%+4%-101

所以55的最大值為2*3=6,

則|3%+4^-10|+|3X2+4J2-10|的最大值為30.

故答案為：30.

⑵行

【分析】（1）計算兩直線的交點，根據(jù)垂直得到直線斜率，得到直線方程.

（2）確定直線過定點，點到定點的距離即最大距離，計算即可.

（3x+4y-2=0

【詳解】⑴當。=1時，直線L3x+4y-2=0,￡2x+y+2=0,則12x+y+2=°,

解得交點（-2,2），

k=-

又由直線/垂直于直線x-2y-l=0,而直線》-2"1=0的斜率32,

兩直線垂直得斜率乘積為T,得到方=<?

又因為直線/過4與4的交點（々2）,直線/的方程為V-2=-2（X+2）,即2x+y+2=0.

（2）直線4：3x+4ay-2=0（°>0）過定點N（§，0）,又叫1），

,l^|=.（---）2+（1-0）2=V2.

點M到直線人的距離d的最大值為'33

11,

---<m<-\

16.（1）2或%>1

z而

（2）5

【分析】（1）利用點在圓外代入得到不等式，結(jié)合曲線方程表示圓即可解答；

（2）首先得到,四邊形由w=6?小PCt-3,再根據(jù)點到直線的距離公式求出依尸|的最小值,

最后得到四邊形面積的最小值.

_11

【詳解】⑴由題意得川’2）在圓外，則1+4+2根+6>0,即機>一萬

又4m2+4—8>0,艮|］冽>1或加<一1

111

---<m<-\

所以2或冽>1.

（2）機=-2時，圓方程為（x-2）2+（y+l）2=3,則圓的半徑圓心。0一），

S四邊形,N=|尸M?r=G1PM=^\PC\2-r2=-3.

直線方程為2x_y+3=0,設(shè)圓心（2，T）到直線2x_y+3=0的距離為d,

8

17.（1）證明見解析

2匹

⑵13

PG=LpA

【分析】（1）在棱尸/上取點G,使得3,連接EG,FG,即可證明四邊形

FGEC為平行四邊形，再由線面平行的判定定理，即可證明；

（2）以A為原點，AB,AD,/P所在的直線分別為x軸，V軸，z軸建立空間直角坐標

系，結(jié)合空間向量的坐標運算，代入計算，即可得到結(jié)果.

【詳解】（1）

E

PG=-PA

證明：如圖，在棱4上取點G,使得3,連接EG,FG,

PEPG11

-----=-GE=—AD

因為尸DPA3,所以GE///D且3,

CF=-BCCF=-AD

由正方形”88,3,得CF//4D且3,

所以GE〃叱且GE=CF,

所以四邊形FGEC為平行四邊形，所以CE〃GF,

又CE①平面尸/尸，G尸u平面尸/尸，所以CE〃平面尸/尸.

（2）

若=則可設(shè)AD=/P=3,所以工3=8。=3.

以A為原點，AB,AD,/尸所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角

坐標系，

則點/（0,0,0）,C（3,3,o）,0（0,3,0）,尸（0,0,3）,尸（3,2,0）

則麗=（一3,0,0）,萬=（0,0,3）,方=（3,2,0）,

設(shè)平面P/尸的法向量為或=（x，％z）,則

麗?/P=（x,y,2）（O,O,3）=3z=OI

由麗?/尸=（羽％2）（3,2,0）=3》+2y=0得x=

令＞=3,得平面尸/尸的一個法向是為所=（-2,3,0）,

設(shè)直線CD與平面PAF所成角的大小為9,

\m-CD\