2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：圓中證切線、求弧長、求面積、新定義探究問題（8題型）（解析版）

搶分秘籍10圓中證切線、求弧長、求面積、新定義探究問題

（壓軸通關(guān)）

目錄

【中考預(yù)測】預(yù)測考向，總結(jié)常考點(diǎn)及應(yīng)對的策略

【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見的易錯點(diǎn)

【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含新考法、新情境等）

中考預(yù)測

圓中證切線、求弧長、求扇形面積問題是全國中考的熱點(diǎn)內(nèi)容，更是全國中考的必考內(nèi)容。每年都有

一些考生因?yàn)橹R殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?/p>

1.從考點(diǎn)頻率看，證明切線是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是高頻考點(diǎn)、必考點(diǎn)，圓通常還會和其他幾何圖形及函

數(shù)結(jié)合一起考查。

2.從題型角度看，以解答題的第六題或第七題為主，分值8?10分左右，著實(shí)不少！

<I搶分通關(guān)

題型一證切線'求面積

典例精講

【例1】（2024?湖北襄陽?一模）48是OO的直徑，4437=45。，AT=AB,87與OO相交于點(diǎn)C.

圖1圖2

⑴如圖1,求證：/T是。。的切線；

（2）如圖2,連接/C,過點(diǎn)。作ODL/C分別交/T,/C于點(diǎn)。，E,交NC于點(diǎn)尸，若48=2收，求圖

中陰影部分的面積.

【答案】⑴見解析

(2)2

【分析】本題考查切線的判定，圓周角定理、垂徑定理以及扇形面積；

(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理求出/a3=90。，再根據(jù)切線的判定方法進(jìn)行解答即可;

(2)根據(jù)垂徑定理，平行線的性質(zhì)以及扇形面積的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】(1)證明：???47=/5,

:.NATB=ZABT=45。，

ZTAB=180?！?5。—45。=90。,

即AB上AT,

???45是。。的直徑，

.?.ZT是。。的切線；

(2)解：如圖，連接OC,

:.ZACB=90°f

即/。_1_取，

'：ACLOD,

OD//BT,

AOD=ZB=45°,

/.AD=AO=-AB=亞，

2

?：BC=TC,AO=BO,

OC//AT,

ZCOF=90°-45°=45°,

1/r廠\廠1廠廠457rx(亞)

=-x|V2+2V2)x72——xV2xV2-----------———

21>2360

3-唱

2囁

通關(guān)指導(dǎo)

本題考查切線的判定，圓周角定理、垂徑定理以及扇形面積；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)切線的判定

方法進(jìn)行解答即可；根據(jù)垂徑定理，平行線的性質(zhì)以及扇形面積的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可.

【例2】(2024,湖北十堰?一模)如圖，CD是O。的直徑，點(diǎn)8在。。上，點(diǎn)A為DC延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)O

作。交的延長線于點(diǎn)E,且=

⑴求證：NE是OO的切線；

⑵若線段與。。的交點(diǎn)廠是OE的中點(diǎn)，的半徑為6,求陰影部分的面積.

【答案】⑴證明見解析

(2)671--

2

【分析】本題考查切線的判定，直徑所對的圓周角是直角，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì),

扇形的面積的計(jì)算等知識點(diǎn).正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

(1)連接03,根據(jù)圓周角定理得到8。，根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得到=90。，

根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；

(2)連接3尸，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AF=O尸，推出AOBF是等邊三角形，得到4。歹=60。，根據(jù)

扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)證明：連接少，

?.,CD是OO的直徑，

BC1BD,SPZCBD=90°,

OE//BC,

:?/DGO=/CBD=90。,

:?/BGE=/DGO=90°,/D+/0OG=90。,

*.?ZD=ZE,

：./DOE=/DBE,

'：OE=OB,

：.ND=ZOBD,

??.ZOBD+ZDBE=ZD+/DOG=90°,

???/OBE=90。,

〈OB是。。的半徑，

J/E是。。的切線；

(2)解：連接3尸，

VZOBE=90°,尸是。E的中點(diǎn)，

:,BF=OF,

;。。的半徑為6,/0GO=90。，

JBF=OF=OB=6,ZBGO=180°-ZDGO=90°,

**?AOBF是等邊三角形，

??.ZBOF=60°,

???ZOBG=90°-ZBOF=30°,

OG=-OB=3,BG=ylOB2-OG2=>^2-32=3出,

2

60x71x62

???陰影部分的面積為：Smp-SOBG=--X3V3X3=6TI

扇形。6尸3602

陰影部分的面積為6兀-逋.

2

名校模擬

1.（2024?廣東佛山?一模）如圖，點(diǎn)E是正方形/3C。的邊8c延長線上一點(diǎn)，且NC=CE,連接/E交CD

于點(diǎn)O,以點(diǎn)。為圓心，。。為半徑作00,00交線段/O于點(diǎn)尸.

⑴求證：NC是。。的切線；

⑵若/8=2近+2,求陰影部分的面積.

【答案】⑴見解析

(2)2A/2+2--^

【分析】(1)作。GL/C,根據(jù)正方形的性質(zhì)得到/CUE=4EC,由NC=CE,得至【J/E/CNAEC,

由角平分線的性質(zhì)定理，得到8=OG,即可求解，

(2)根據(jù)正方形的性質(zhì)，設(shè)。。=。，根據(jù)。。=0￡>+行0￡),求出的長，根據(jù)NE/C=/￡>/￡-ADAC,

2

求出N。。廠的度數(shù)，根據(jù)S陰影=S&ABC~S扇形尸?即可求解,

本題考查了，切線的判定，正方形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，扇形的面積，解題的關(guān)鍵是:熟練掌握

相關(guān)性質(zhì)定理.

【詳解】(1)解：過點(diǎn)。作。GL/C,交/C于點(diǎn)G,

:正方形/3CD,

DA//CB,ODLAD,

：.ADAE=AAEC,

；AC=CE,

NEAC=ZAEC,

：.ZEAC=NDAE,

：.OD=OG,

.?.點(diǎn)G在OO上，

/C是。。的切線，

(2)解：：正方形/BCD,

AZOCG=ZDAC=45°,DC=AB=272+2?

OD=OG,

設(shè)OD=a,貝!]0。=缶，

及

:.DC=Q+6）a=2+2,解得：fl=2,

OD=a=2

?：ZEAC=/DAE=-ADAC=-x4J=225,

22

:.ZDOA=90°-22.5°=67.5°,

ccc1八c67.5兀。。21/_r-_\_67.5TCX22_rr_3

S陰影=SANB?！猄扇形小尸=-xDAOD--=-xpV2+2jx2—=2yj2+2--TI,

乙JUU乙JUU?

故答案為：2五+2-8.

4

2.（2024?遼寧沈陽?一模）如圖，直線/與。。相切于點(diǎn)點(diǎn)尸為直線/上一點(diǎn)，直線尸。交。。于點(diǎn)/、

8,點(diǎn)。在線段尸M上，連接3C,S.CM=BC.

⑴判斷直線BC與。。的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若4B=2BP,。。的半徑為6cm,求圖中陰影部分的面積.

【答案】⑴直線8C是OO的切線，理由見解析

⑵(12萬-9抬"卜m?

【分析】(1)首先證明A。"%OMC(SSS),得出NC8O=NCMO=90。，即可得出直線BC是。。的切線；

(2)利用切線的性質(zhì)定理以及勾股定理和銳角三角函數(shù)關(guān)系得出ZPOM=60°,則ZMOA=nO°,以及AM

的長，再利用三角形面積公式以及扇形面積公式得出答案即可.

【詳解】(1)解：直線8C是OO的切線，

理由：連接"。，CO,

?.?直線/與O。相切于點(diǎn)”，

/.NPMO=9Q°,

在△OBC和AOMC中

BC=MC

<CO=CO,

BO=MO

AOBC知OMC(SSS),

NCBO=ZCMO=90°,

:48為直徑，

?,?直線是O。的切線；

（2）過點(diǎn)。作ON_L/M于點(diǎn)N,

AB=2BP,

PB=BO=MO,

即

2

又；NPMO=90°,貝lJsinNOPM=^=；

：.ZMPO=30°,

：.ZPOM=60°,則/MC%=120。，

120^-x62

=12^(cm2

扇形ZOA/360

VZMOA=120°,ONIAM,

：.ZMON=/AON=60°,

NO=：x6=3(cm),

AW=COsin60。=事x6=3百(cm)

/M=6V§cm，貝iJ又4。材=-xNOxAM=-x

22

..?圖中陰影部分的面積為：S扇形4皿-5“。.=（12萬-96）Icm2

【點(diǎn)睛】此題主要考查了扇形面積公式以及切線的性質(zhì)和判定和銳角三角函數(shù)關(guān)系應(yīng)用以及全等三角形的

判定及性質(zhì)等知識，熟練應(yīng)用切線的性質(zhì)和判定定理是解題關(guān)鍵.

題型二證切線、求線段或半徑

典例精講

【例1】（新考法，拓視野）（2024?廣東深圳?一模）如圖，已知是。。的直徑.點(diǎn)尸在胡的延長線上,

點(diǎn)D是。。上一點(diǎn).連接P。，過點(diǎn)2作BE垂直于尸。，交的延長線于點(diǎn)C、連接并延長，交BE于

點(diǎn)E,S.AB=BE

⑴求證：尸。是OO的切線；

4

⑵若P^=2,tan5=-,求。。半徑的長.

【答案】⑴見詳解

（2）3

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出BE,再根據(jù)垂線、平行線的性質(zhì)得出

ODLCD,由切線的判定方法即可得出結(jié)論；

（2）在直角三角形。。尸中由銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理列方程求解即可.

【詳解】（1）證明：如圖，連接OD,

OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

■：AB=BE,

NBAE=NBEA,

ZODA=ZBEA,

：.OD//BE,

BC±CD,

ODLCD,

???OD是O。的半徑，

二尸。是。。的切線；

(2)解：由(1)可知，OD//BE,

:"B=/POD,

4PD4

在RtAPOD中，tan/POD=tanB=—,即---=—,

3OD3

設(shè)尸。=4%,貝l]O0=3x,

:.OP=yJPD2+OD2=5x，

/.PA=2=5x-3x,

解得x=l,

OD=3x=3,

即半徑為3.

通關(guān)指導(dǎo)

本題考查切線的判定，圓周角定理以及解直角三角形，勾股定理，掌握直角三角形的邊角關(guān)系，

圓周角定理以及切線的判定方法是正確解答的關(guān)鍵.

【例2】(2024?遼寧沈陽?模擬預(yù)測)如圖，在“BC中，44c3=90。，點(diǎn)。是上一點(diǎn)，且

2

點(diǎn)。在3C上，以點(diǎn)。為圓心的圓經(jīng)過C,。兩點(diǎn).

3

⑵若sin3=g,。。的半徑為3,求/C的長.

【答案】⑴見解析

(2)6

【分析】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，切線的判定，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，正確地作出

輔助線是解題的關(guān)鍵.

(1)連接OD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/OCD=/ODC,求得NDOB=NOCD+NODC=2NBCD,等量代

換得到NBOD=ZA,求得/助。=90。,根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)三角函數(shù)的定義得到03=5,求得3C=OB+OC=8,設(shè)/C=3x,AB=5x,根據(jù)勾股定理得到

BC=8,于是得到結(jié)論.

【詳解】(1)證明：連接OD,

???OC=OD,

:.ZOCD=ZODC,

/DOB=ZOCD+NODC=2ZBCD,

/.ZBCD=-ZBOD,

2

???ZBCD=-ZA,

2

/.ZBOD=ZA,

vZACB=90°f

ZA+ZB=90°,

:.ZBOD+ZB=90°f

ZBDO=90°,

?.?0。是。O的半徑，

「?直線45與。O相切；

(2)?.?sinB=^=3，00=3,

OB5

OB=5,

/.BC=OB+OC—8,

AC3

/l：Rt△ylCS中，sinB=-----=—,

4B5

.,.設(shè)ZC=3x,AB=5x,

BC=y/AB2-AC2=4.x=8，

..x=2,

AC=3x=6.

名校模擬

1.（2024?廣東珠海?一模）如圖，是OO的直徑，AC=BC,E是的中點(diǎn)，連結(jié)CE并延長到點(diǎn)R

4吏EF=CE.連結(jié)小交。。于點(diǎn)。，連結(jié)80,BF.

c

⑴求證：直線3尸是OO的切線.

⑵若/尸=5,求5。的長.

【答案】⑴見解析

（2）BD=2

【分析】（1）證明AOCE0AAFE（SAS）,可得NOBF=NCOE=9Q°,可得結(jié)論;

（2）由勾股定理求得和5尸，再根據(jù)等面積法即可求得80.

【詳解】（1）證明：連接。C,如圖所示：

是。。的直徑，

ZACB=90°,

;AC=BC,OA=OB,

：.OCA.AB,

：.ZBOC=90°,

???E是0s的中點(diǎn)，

：.OE=BE,

在△OCE和△Ara1中，

OE=BE

</OEC=/BEF,

CE=EF

：.AOCE^ABFE(SAS),

???ZOBF=ZCOE=90°,

???直線3戶是。。的切線;

(2)由(1)知8尸=OC=L/8,ZA8尸=90°,

2

設(shè)。。的半徑為r,則4B=2r,BF=r,

在尸中，由勾股定理得48?+5尸2=/尸，

即(2r)2+r2=52,解得r=加,

即/8=26，BF=sB，

'：AB為直徑，

/.ZADB=90°,

sMRF=—ABxBF=—AFxBD,

MBF22

即,x2V?x指'=，x5xBD,

22

解得BD=2.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，等腰三角形

的性質(zhì)等，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

2.(2024?湖北隨州?一模)如圖，四邊形/3C。是。。的內(nèi)接四邊形，NB是直徑，C是訪的中點(diǎn)，過點(diǎn)C

作CELAD交AD的延長線于點(diǎn)E.

⑴求證：CE是。。的切線；

(2)若3C=6,NC=8,求的長.

【答案】⑴見解析

【分析】此題考查切線的判定，圓周角定理，勾股定理定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握

相關(guān)性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)"連半徑，證垂直”即可，

(2)先由"直徑所對的圓周角是直角"，證"3C是直角三角形，用勾股定理求出A8長，再通過三角形相似

即可求解.

【詳解】(1)證明：連接OC

E

C

D

O

為加5的中點(diǎn),

,?CD=BC，

：.N1=/2,

又：OA=OC,

：./2=，3,

Z1=Z3,

AE//OC,

又：CE_L/E,

ACELOC,0c為半徑,

:.CE為OO的切線,

(2):/臺為。。直徑,

ZACB=90°,

*.*BC=6,AC=8,

AB=10f

又,.?Z1=Z2,/AEC=ZACB=90°,

：.AAECS"CB,

ACEC8

,EC——,即nn——=——

CBAB610

24

???EC=——

5

-CD=CB，

：.CD=BC=6,

在RtZ^DEC中，由勾股定理得:

18

DE=ylcD2-CE

5

題型三圓與(特殊)平行四邊形綜合問題

典例精講

【例1】（新考法，拓視野）（2024?廣東江門一模）如圖，矩形N8CD中，NB=16,AD=6.E是CD的中

點(diǎn)，以NE為直徑的。。與N8交于尸，過尸作FGLBE于G.

⑴求證：FG是。。的切線.

⑵求COS/E8/的值.

【答案】⑴見解析

（2）1

【分析】（1）連接DF交4E于點(diǎn)O,由圓周角定理推論得到ZAFE=90°,根據(jù)矩形ABCD,得到四邊形ADEF

是矩形，得到/尸=?！?點(diǎn)。是OO的圓心，根據(jù)D￡=CE,證明/尸=3/，根據(jù)4。=?！?得到。尸〃8E,

推出尸G，。尸，即得FG是。。的切線；

4

（2）證明AF=8,EF=6,NBFE=90。,根據(jù)勾股定理得到=10,根據(jù)余弦定義即得cosNE氏4=不

【詳解】（1）連接。下交/E于點(diǎn)O,

AE是。。的直徑，

ZAFE=90°,

?.?四邊形/BCD是矩形，

ABAD=AADC=90°,

，四邊形ADE尸是矩形，

AF=DE,OF=OA=OD=OE,

?,?點(diǎn)。是。。的圓心，

???￡是CQ的中點(diǎn),

DE=CE,

*：DC=AB,

JAF=BF,

;AO=OE,

OF//BE,

■:FGLBE,

???FG1OF,

???bG是。。的切線;

(2)VAB=16,

：.BF=-AB=8,

2

?；EF=AD=6,ZBFE=1SO°-ZAFE=9O°,

?*-BE=y/EF2+BF2=10，

BF4

cosZEBA==—.

BE5

通關(guān)指導(dǎo)

本題主要考查了圓，矩形，三角形綜合.熟練掌握圓的基本性質(zhì)和圓周角定理推論，矩形的判

定和性質(zhì)，三角形中位線的判定和性質(zhì)，切線的判定，勾股定理解直角三角形，銳角三角函數(shù)等知識,

是解題的關(guān)鍵.

【例2】（2024?安徽馬鞍山?一模）如圖，四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形，直徑。E平分NADC.

⑵過點(diǎn)/向圓外作=且/b=C。，求證：四邊形尸為平行四邊形.

【答案】⑴證明見解析

⑵證明見解析

【分析】本題考查的是圓的相關(guān)性質(zhì)-圓周角定理推論、同圓中弧弦間的關(guān)系，平行四邊形的判定,

（1）先證明靛=曲及函5=反￡＞，證出訪=也即可證出結(jié)論；

（2）先證明/尸〃AD,再證明/尸=2。即可證出結(jié)論.

【詳解】（1）證明：:DE為。。直徑，

\EBD=ECD，

???直徑DE平分NBDC,

ZBDE=ZCDE,

:.BE=CE>

\EBD-BE=ECD-CE^

:.BD=CD<

BD=CD；

(2)證明：?:QDAF彳MB,ACB=ADB

AADB=ZDAF

AF//BD

■：AF=CD,BD=CD

AF=BD

四邊形NBQ尸為平行四邊形.

名校模擬

1.（2024?云南?模擬預(yù)測）如圖，線段與。。相切于點(diǎn)3,交。。于點(diǎn)其延長線交。。于點(diǎn)C,

連接8C,N48C=120。，。為O。上一點(diǎn)且弧。8的中點(diǎn)為連接4D,CD.

⑴求//C3的度數(shù)；

⑵四邊形/BCD是否是菱形？如果是，請證明；如果不是，請說明理由;

（3）若ZC=6,求弧CD的長.

【答案】⑴30。

⑵四邊形/BCD是菱形，理由見解析

⑶;

【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)及角的和差求出/08C=30。，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解即可；

（2）根據(jù)圓的有關(guān)性質(zhì)得出/。。/=/2。1/=30。刀"=8”,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出

NCAB=30°=NACB=ZDCM,進(jìn)而推出AB=BC,AB\\CD,根據(jù)圓周角定理得ZCDM=ZCBM=90°,利用

證明RtACDM■之RtACBM,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出CD=Z8,結(jié)合45||CD,推出四邊形/BCD是

平行四邊形，再結(jié)合=進(jìn)而判定四邊形/BCD是菱形；

（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)推出乙CMC=30。,NODC=30。,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及角的和差

推出ZADC=120°,ZADO=90°,ZCOD=120°,根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出OC=2,再根據(jù)弧長

計(jì)算公式求解即可.

【詳解】（1）如圖，連接。8,

??,線段與。。相切于點(diǎn)8,

/.OBVAB,

450=90。，

vZABC=120°,

?.ZOBC=ZABC-ZABO=30°,

???OB=OC,

:?NACB=/OBC=30。；

(2)四邊形/BCD是菱形，理由如下:

???弧。3的中點(diǎn)為

ZDCM=ZBCM=30°,DM=BM,

/CAB+ZABC+/ACB=180°,

???/CAB=30°=/ACB=ZDCM,

AB=BC,AB\\CD,

丁MC為。。的直徑，

ZCDM=ZCBM=90°,

在RLCDM和Rt.CBM中，

(CM=CM

[DM=BM'

^CDM^^CBM(HL),

JCD=CB,

：.CD=AB,

又||CD,

???四邊形/BCD是平行四邊形，

,:AB=BC,

.??四邊形/BCD是菱形；

(3)如圖，連接OD,

AB

??,四邊形力5co是菱形，

JAD=CD,

：.ZDAC=ZDCA=30°,

：.ZADC=180?！狝DAC-NDCA=120。，

?：OD=OC,

：./ODC=/OCD=30。,

：.ZADO=/ADC-NODC=90°,ZCOD=180°-ZOCD-ZODC=120。，

：.OA=2OD=2OC,

AC=OA+OC=6,

：.OC=2f

.mrf—鈣120萬x24

??弧CD的長=-------=—7T.

1803

【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題，考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的

判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、弧長計(jì)算公式等知識，熟練運(yùn)用切線的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形

的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、弧長計(jì)算公式并作出合理的輔助線是解題

的關(guān)鍵.

2.(2024?河南平頂山?一模)如圖，48為。。的直徑，點(diǎn)C是行的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作O。的切線CB,與BD

的延長線交于點(diǎn)E,連接BC.

⑴求證：NCEB=90。

⑵連接。，當(dāng)?！?gt;〃48時(shí)：

①連接OC,判斷四邊形OBDC的形狀，并說明理由.

②若BE=3,圖中陰影部分的面積為（用含有兀的式子表示）.

【答案】⑴見解析

⑵①菱形，理由見解析；②§萬

【分析】（1）連接。C,證明0C〃3E,即可得到結(jié)論.

（2）①根據(jù)（1）的結(jié)論和已知條件先證明四邊形O30C是平行四邊形，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及點(diǎn)C是石

的中點(diǎn)，可得NDC3=ND3C從而證明鄰邊相等，即可得出結(jié)論；

②連接0D,如圖所示，設(shè)交于點(diǎn)尸，證明標(biāo)1二比二前得乙40c=60。，從而可求出/C8E=30。，

解直角三角形得出08=2,根據(jù)CZ）〃/3,從而可得SACO°=SABS，求出扇形COD的面積即可得到陰影

部分的面積.

【詳解】（1）證明：如圖所示，連接OC,

E

:點(diǎn)C是行的中點(diǎn)，

ACDC>

：.NABC=ZEBC,

,?OB=OC,

：.ZABC=ZOCB,

ZEBC=ZOCB,

：.OC//BE,

；CE是。。的切線.

OCICE,

：.BEICE,即：/CEB=90。；

(2)①如圖所示，

E

由（1）可得OC〃BE

CD//AB

：.ZDCB=ZABC,四邊形。助。是平行四邊形,

又：ZABC=/EBC

：.ZDCB=ZEBC

：.DC=DB,

???四邊形。瓦）。是菱形,

②連接0。，如圖所示，設(shè)。交于點(diǎn)尸

E

???也=礪，

'：CD=BD,AC=DC^

?-AC=DC=BC，

???ZAOC=/COD=/BOD=60°,

：.NABC=/CBE=-ZAOC=30°,

2

BE

VcosZCBE=——,BE=3,

BC

.?.8C=.=26則昉=6

2

CD//AB,

?v—v

,,Q4COD—24BCD，

S陰影=%形cc??

2

.cc60%x22%

,?S陰影=5扇形co。=一一=三"

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，切線的判定，弧弦圓心角的關(guān)系，平行線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的

性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，扇形的面積等知識，熟練掌握切線的判斷定理以及扇形

面積的求法是解題的關(guān)鍵.

3.(2024?江蘇南京?一模)如圖，四邊形是平行四邊形，AB=AC；

(2汝口圖②，當(dāng)CD與G。相交于點(diǎn)E時(shí).

(I)若AD=6,CE=5,求。。的半徑.

(II)連接BE,交NC于點(diǎn)尸，若EF-4B=CE2,則N。的度數(shù)是

【答案】⑴見解析

(2)(I)紐1；(II)72

8

【分析】(1)連接CO并延長，交。。于點(diǎn)連接證明=得出/C=BC,根據(jù)48=/C,

得出4B=3C,即可證明結(jié)論；

(2)(I)證明,得出絲=匹，即_L=圖二求出/3=9(負(fù)值舍去)，設(shè)

ABBCAB6

OA=OB=OC=r,則0尸=6亞-廠，根據(jù)勾股定理得出r=僅我一￥+32,求出結(jié)果即可；

(II)證明A/CESAEC/，得出NCEF=NC4E,證明N&4C=/C3E=//BE,根據(jù)=得出

/ABC=ZACB,設(shè)NABC=ZACB=x，貝ljABAC=ZCBE=/ABE=-x,根據(jù)ZABC+ZACB+ABAC=180°,

2

得出x+x+；x=180。，求出x的值即可.

【詳解】(1)解：連接CO并延長，交。。于點(diǎn)連接如圖所示:

：.ZAMC+ZACM=90°,

?:CD與OO相切，

JMCLCD,

：.ZMCD=90°,

JZMCA+ZACD=90°,

：.ZAMC=ZACD,

;AC=AC'

：.ZAMC=ZABC,

：.ZABC=ZACD,

???四邊形ABCD為平行四邊形，

.??ABHCD,

：.ABAC=/ACD,

???ZABC=NBAC,

：.AC=BC,

AB=AC,

：.AB=BC,

???四邊形4BCQ為菱形.

（2）解：（I）連接4。并延長，交BC于點(diǎn)、P,連接05、OC,AE,如圖所示:

???/。垂直平分5C,

ZAPC=ZAPB=90°,BP=CP=LBC=3,

???四邊形/BCD為平行四邊形,

ZABC=ZD,AB=CD,AD=BC=6,

???四邊形ZBCE內(nèi)接于。o,

???ZB+ZAEC=180°f

ZAEC+ZAED=1SO°,

：.ZAED=/ABC,

AB=AC,

：./ABC=ZACB,

：.NABC=AACB=ZZ)=ZAED,

/\ABCs^ADE,

.ADDE

;DE=CD-CE=AB-CE,

.6_AB-5

??—,

AB6

解得：AB=9(負(fù)值舍去)，

AP=YAB?-BP。=792-32=672，

設(shè)OA=OB=OC=r,則Qp=6亞-r>

'：OB2=OP1+BP1,

即/=(6后-j+32,

解得：廠=生色.

8

即圓的半徑為生旦.

8

(II)連接4E,如圖所示：

V四邊形力5s為平行四邊形,

??.AB//CD,

：.AACE=ABAC,

-BC=BC，

/CEB=ABAC,

???/CEB=NACE,

工彘=前，EF=CF

VEFAB=CE2,AB=AC,

.CE_AC

^~CF~~CE'

ZECF=ZACE,

AACES^ECF,

???ZCEF=ZCAE,

-CE=CE，

：.ZCAE=ACBE,

.??ZCEF=ZCBE,

■:凝=前，

：.ZABE=ZCEF,

JZABE=ZCBE,

：.ABAC=ZCBE=/ABE,

?/AB=AC,

：./ABC=ZACB,

設(shè)ZABC=Z.ACB=x,貝UNBAC—Z.CBE=/ABE——x,

2

'：ZABC+ZACB+ABAC=180°,

/.x+x+—x=180°,

2

解得：x=72°,

ZD=ZABC=72°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì),

平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，菱形的判定，解題的關(guān)鍵熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)和判定，作出輔助線.

題型四圓內(nèi)接三角形和四邊形

典例精講

【例1】（2024?湖南?模擬預(yù)測）如圖，及△48C內(nèi)接于eO,N/C8=90。，過點(diǎn)C作CF1/3交48于點(diǎn)E,

交于點(diǎn)。，連接■交。。于點(diǎn)G,連接CG,Z）G,/D,設(shè)tanNDGF=",（加為常數(shù)）.

A

⑴求證：ZAGC=ZDGF；

(2)^：ZGDC-ZGCD=a,ZF=/3,求證：a=2/7；

⑶求半薩的值(用含加的代數(shù)式表示)?

【答案】⑴見解析

⑵見解析

AG-AF\+m2

(3)---；-=----

CD24

【分析】(1)連接3G.根據(jù)圓周角定理得到是。。的直徑，由CF//3,得到方=麗，即可得出結(jié)

論；

(2)設(shè)/B,CG相交于點(diǎn)河，連接M).由(1)可知N/GC=/DGF,得到4GD=NFGC,再根據(jù)

NGAD=NDCG.推出N4DG=NB=〃，由/ADM=4CG=/ADG即可得出結(jié)論；

(3)證明△NCGS/X/FC,得到NGZ/^=NC2,解直角三角形得到ZE=MCE,代入計(jì)算即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)證明：?.?//C8=90。，

.:43是0。的直徑.

如圖，連接BG.

ZAGB=90°,

又???CF_LN3,ABVCD,

:.CB=DB^

ZCGB=ZDGB,

ZAGC=90°-ZCGB,ZDGF=900-ZDGB,

ZAGC=NDGF；

(2)證明：如圖，設(shè)/8,CG相交于點(diǎn)M,連接Affl.

A

B

由(1)可知NZGC=/DGQ,

/.ZAGC+ZCGD=ZDGF+ZCGD,BPZAGD=ZFGC.

又QZGAD=ZDCG.

/ADG=ZF=fi,

又QZADM=ZACG=ZADG,

./.ZMDG=ZADM+ZADG=2J3.

QZMDG=ZGDC-ZMDC=ZGDC-ZGCD=a,

/.a=ip-

(3)I?：QZACD=ZADC=ZAGC,ZCAF=ZGAC,

:.AACGsAAFC,

ACAF口口，

———~~~9即/GZPu/C?.

ACrAC

又Q/DGF=ZACD,

tanZDGF=tanZACD=m,

4E

：.----=m,即AE=mCE,

CE

,AG-AF_AC~_CE?+AE^_CE'mPE?_k/

,CD2CDr~4CE2---4~

通關(guān)指導(dǎo)

本題主要考查圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理，垂

徑定理等，熟練掌握圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【例2】（2024?天津?yàn)I海新?一模）如圖，是。。的直徑，弦與相交于點(diǎn)P,若//DC=24°.

⑴如圖①，求/C43的度數(shù);

⑵如圖②，過點(diǎn)C作O。的切線，與A4的延長線交于點(diǎn)￡,若EP=EC,求的度數(shù).

【答案】⑴66。

(2)45°

【分析】(1)連接3C,根據(jù)圓周角定理得出/4BC=//DC=24。，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得出

ZACB=90°,求出結(jié)果即可；

(2)連接OC,根據(jù)圓周角定理得出N/OC=2/4DC=48。，根據(jù)切線的性質(zhì)得出NOCE=90。，根據(jù)等

1800-42°

腰三角形的性質(zhì)求出/EPC=ZECP=-------------=69。，最后求出/DAP=ZEPC-NADC=45。即可.

2

【詳解】(1)解：如圖①，連接5C,

圖①

;AC=AC'

：.AABC=ZADC=24°,

?/4B為。。的直徑，

乙4c3=90。，

???/CAB=90°-/ABC=90°-24°=66°.

(2)解：如圖②，連接OC.

JZAOC=2ZADC=48°f

*/EC是。。切線，

ZOC￡=90°,

???ZOEC=90°—/AOC=90°-48°=42°,

???PE=CE,

1800-42°

ZEPC=NECP=--------=69°,

2

，/DAP=ZEPC-ZADC=45°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，直徑所對的圓周角為直角，等腰三角形的性質(zhì)，三角

形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，數(shù)形結(jié)合，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì).

名校模擬

1.（2024?安徽蕪湖?一模）四邊形/BCD內(nèi)接于。。，AB=AC.

⑴如圖1,若NBAC=a,求的度數(shù)；

(2)如圖2.連接8。交/C于點(diǎn)E.

①求證：AE2=AE-AB-BE-DE;

②若NBAC=2NDAC,AB=5,BC=6,求的長.

【答案】(1)90°+1?

⑵①見詳解②，

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可；

（2）①先證明^AE-CE=BE-DE,AE-（AC-AE）=AE-AC-Ae=8￡?。石即

可得出結(jié)論；（2）^ZBAC=2ZDAC=2a,pll]ADAC=ZDBC=a,先證明/C/BD,再根據(jù)勾股定理求出

北,3E,CE的長，由①知=求出。E的長，再根據(jù)勾股定理即可.

【詳解】（1）解：?.?AB=AC,若/BZC=a.

?四邊形48co內(nèi)接于OO,

1eno_91

://DC=180。—NB=180。---------=90。+—a；

22

(2)證明①???/4。3=4。氏/(24。=/。5。，

△ADEs^BCE,

AEDE

'BE-CE'

AE-CE=BEDE,

AE■(AC-AE)=AE-AC-AE2=BE-DE,

???AB=AC,

AE?AB-AE?=BE?DE，

AE2=AEAB-BEDE;

ABAC=2ADAC=2a,貝ljNZMC=NDBC=a,

AB=AC=5,

1QAOCi

;./ABC=/ACB=--------=9CP-a,

2

/.AABE=ZABC-ZDBC=9CP-a—a=9CP-2a,

在中/4EB=180O—/C4B—2450=180。—2-(90?！?@=90。,

:.ACLBD,

?「BE1=BC2-CE2=AB2-AE2,

/.62-(5-AE)2=52-AE2,

???IT

/.BE=yjAB2-AE2=—

5

718

一x—°i

由①知AE?CE=BE?DE,DE=^—^=~,

2420

5

■-CD=JDE'CE、糕2+單=.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的有關(guān)性質(zhì)定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練

掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

2.（2024?黑龍江哈爾濱?一模）如圖1,在。。中，直徑48垂直弦CD于點(diǎn)G,連接過點(diǎn)C作CFLAD

于尸，交4B于點(diǎn)、H,交。。于點(diǎn)￡,連接DE.

圖1圖2圖3

⑴如圖1,求證：NE=2NC；

⑵如圖2,求證：DE=CH；

（3）如圖3,連接8E,分別交/￡?、CD于點(diǎn)M、N,當(dāng)OH=2OG,HF=s/lQ,求線段EN的長.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

⑶12

【分析】（1）連接/C,根據(jù)垂徑定理和等弧所對的圓周角相等，結(jié)合等角的余角相等即可證明結(jié)論；

（2）連接3C,運(yùn)用同弧（等?。┧鶎Φ膱A周角相等，結(jié)合同角的余角相等和等量代換即可證明；先證明

BC=CH,再證明BC=1）E；

（3）根據(jù)已知設(shè)出0G和?！ǎY(jié)合（2）表示3G,進(jìn)而用x表示半徑、直徑，結(jié)合勾股定理表示C〃,2E,

結(jié)合ABGNS^BEA,即可求解.

【詳解】（1）證明：連接ZC,

?.?N2是。。的直徑，ABLCD,

-,-BC=BD<ZBAD+ZADG=90°

：.ZCAB=ZBAD=-ZCAD=-NCED,

22

AFICE,

：.ZECD+ZADG=90°,

：.NECD=ABAD,

NE=2ZDCE；

(2)連接3C,

A

???ABLCD.CEJLAD,

???/ECD+ZCHG=/ECD+/CDF=90°,

???ZCHG=ZADC,

又?；/ADC=/B,

：.ZCHG=ZB,

??.CH=CB,

由（1）知：NE=2/ECD,

?*-CD=IDE，

,?*CD=2BC，

?-DE=BC^

：.DE=BC=CH；

（3）連接0cME,WJ：ZAEB=90°,

*.?OH=2OG,

?,?設(shè)OG=x,貝IJOH=2x,

HG—OH+OG=3x,

由（2）知，BC=CH,

ABLCD,

：.BG=GH=3x,

OB=BG+OG—4x,

OC=4x,AB-8x,AH=2x,

?.?ZCHB=NAHE,ZCBH=NCEA,且/CHB=/CBH,

：.ZAHE=/CEA,

：.AE=AH=2x,

■■RtZUBE中，BE=JAB2■-AE?=2回x，

RtMGC中，CG=J。。?-OG?=岳x，

RfGC中，CH=JCG?+G〃2=2限，

DE=BC=BD^

：.ZBAD=ZDCE,

/.sin/.BAD=sinZ.DCE,即：,

AHCH

.V103x

"2x"2屈x'

.2V15

9?x=------,

3

；?BE=2V15x=20,BG=3x=2A/15,AB=Sx=,

?；NABE=ZGBN,ZBGN=NAEB=90°,

ABGNSABEA,

.BNBG

------------?—=8

:.EN=BE-BN=12.

【點(diǎn)睛】此題主要考查圓的綜合問題，涉及到垂徑定理，圓周角定理，弧、弦、角之間的關(guān)系，解直角三

角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，綜合性強(qiáng)，難度較大，熟悉圓的相關(guān)性質(zhì)，會結(jié)合題意靈活運(yùn)用勾股定

理和方程思想，會借助相似三角形構(gòu)建等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

3.（2024?黑龍江哈爾濱?一模）如圖1,在。。中，BD為直徑,和8C為弦，4B=BC且4BJ.BC.

⑴求N/BD的度數(shù);

(2)如圖2,￡為。。上一點(diǎn)，連接/E,作EF_L/E于E交8c于尸，連接EC,求證：EF=EC■,

⑶如圖3,在(2)的條件下，連接0c交"于G,過尸作網(wǎng)，跖于R交EC延長線于N,若EG=\,CN=2,

求CF的長.

【答案】⑴45。

⑵見詳解

（S竽

【分析】(1)利用HL證明RM4BD且MACB。，即可得出乙48。=/C8。，又NABC=/90°,故可得出

ZABD=45°

(2)先求四邊形A8FE內(nèi)角和，進(jìn)而可得出/E陽+44=180。，等量代換可得出=/EFC,證明

“BE^CBE(SAS),由全等得性質(zhì)可得出NN=NC,等量代換得出/EFC=/C,由等角對等邊得出

EF=EC.

(3)在斯=￡1。的條件下，作人或的0人￡。6，可得出EG=EW=1,設(shè)尸G=MC=x，可得NM=NF=2+x,

利用勾股定理解出x,得出FN=4,NE=5,CN=2,EF=3,過C作CK，F(xiàn)N于K,得出生=里=匹,

CNENNF

進(jìn)一步利用勾股定理得出CF的值.

【詳解】(1)解：連接CD,

?；BD是直徑,

???ZBAD=ZBCD=9CP,

在Rt^ABD和RtACBD中，

jBD=BD

[AB=CB'

：.Rt^ABD^Rt^CBD（HL）,

/ABD=ZCBD,

ABIBC,

：.ZABC=Z90°,

：.ZABD=ZCBD=45°.

（2）四邊形NBFE內(nèi)角和為：（4—2）x180。=360。,

ABIBC,EFLAE,

：./ABF=90°,ZAEF=90°

ZEFB+ZA=3600-ZABF-ZAEF=180c,

*：ZEFC+ZEFB=1SO°,

:?ZA=/EFC,

在△45￡和△CHE中，

AB=CB

</ABE=/CBE

BE=BE

八ABE知CBE(SAS)

：.ZA=ZCf

:?/EFC=/C,

：.EF=EC.

(3)在￡尸=￡。的條件下，作AEFM注AECG,如下圖,

JEG=EM=\,

^FG=MC=x,

貝U7W=NF=2+x,

u：FN1EF

：.ZNFE=90。

在RMEFN中:

EF2+NF2=NE2，

即(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2,

解得x=±2f

x>0

x=2,

:?FN=4,NE=5,CN=2,EF=3,

過C作CK_L—V于K,

又,：FNLEF

CK//FE，

.CKNCNK

EF~EN~NF

：.CK=~,KN=-

55

Q12

：.FK=FN-KN=4--=—

55f

可解得CF=

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等的判定以及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，四邊形內(nèi)角

和問題等知識，作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

4.（2024?河北滄州?一