2025年中考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破與訓(xùn)練：相似三角形中的旋轉(zhuǎn)型相似模型（解析版）

專題12相似三角形中的旋轉(zhuǎn)型相似模型

【模型展示】

.4

特點(diǎn)

如圖，若AABCsAADE,則AN50s△ACE.

結(jié)論若△ABCsAADE,則

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，正方形中，點(diǎn)尸是3c邊上一點(diǎn)，連接4尸，以4尸為對角線作正方形4EFG,邊尸G與正方

形48CD的對角線ZC相交于點(diǎn)〃，連接DG.以下四個(gè)結(jié)論：①NEAB=NGAD；②MFCs“GD；

@2AE2=AH-AC-,?DG±AC.其中正確的個(gè)數(shù)為（)

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【分析】①四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形，NEAB、ZGAD與NBAG的和均為90°,即可證明

ArAp

/EAB與NGAD相等；②由題意易得AD=DC,AG=FG,進(jìn)而可得一=—,ZDAG=ZCAF,然后問題

ADAG

ApAT

可證；③由四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形'可求證△HAFS^FAC,則有初=二萬'然后根據(jù)

等量關(guān)系可求解；④由②及題意知/ADG=NACF=45。，則問題可求證.

【詳解】解：①???四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形

???ZEAG=ZBAD=90°

又???NEAB=9()o-NBAG,ZGAD=90°-ZBAG

JZEAB=ZGAD

...①正確

②：四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形

，AD=DC,AG=FG

.,.AC=V2AD,AF=V2AG

03,”3

ADAG

口nACAF

即——=——

ADAG

又ZDAG+ZGAC=ZFAC+ZGAC

ZDAG=ZCAF

AAFC^\AGD

②正確

③：四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形，AF、AC為對角線

ZAFH=ZACF=45°

又：/FAH=/CAF

.,.△HAF^AFAC

?AFAC

即AF2=ACAH

又：AF=V^AE

2AE2^AH-AC

...③正確

④由②知MFCsA4G。

又?.?四邊形ABCD為正方形，AC為對角線

ZADG=ZACF=45°

ADG在正方形另外一條對角線上

.\DG±AC

二④正確

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)綜合運(yùn)用，同時(shí)利用到正方形相關(guān)性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于找

到需要的相似三角形進(jìn)而證明.

2.如圖，在矩形/BCD中,￡是/。邊的中點(diǎn),BEL4c于點(diǎn)R連接。凡給出下列四個(gè)結(jié)論:①

②CF=2AF；?DF=DC；@S/\ABF：SmCDEF^2：5,其中正確的結(jié)論有（）

C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【分析】①根據(jù)四邊形ABCD是矩形，BE_LAC,可得NABC=/AFB=90。，又NBAF=/CAB,于是

△AEF^ACAB,故①正確；

②根據(jù)點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，以及AD〃:BC,得出△AEFs/\CBF,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例，可得

CF=2AF,故②正確；

③過D作DM〃:BE交AC于N,得到四邊形BMDE是平行四邊形，求出BM=DE=

yBC,得到CN=NF,根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得結(jié)論，故③正確；

④根據(jù)△AEFs^CBF得至IJEF與BF的比值，以及AF與AC的比值，據(jù)此求出SAAEF=7SAABF，S^ABF=JS

26

矩形ABCD，可得s四邊形CDEF=S/\ACD-S^AEF=，^S矩形ABCD，即可得到s四邊形CDEF——SAABF,故④正確.

【詳解】如圖，過。作〃麻1交4C于N,

???四邊形是矩形,

：.AD//BC,ZABC=90°,AD=BC,

?：BELAC于點(diǎn)、F,

AZEAC=ZACB,ZABC=ZAFE=90°,

:.dAEFsACAB,故①正確；

?：AD〃BC,

AJ7AF

:?△AEFs^CBF,：.——,

BCCF

'：AE=^AD=^BC,

AJ71

A—=，：.CF=2AF,故②正確，

CF72

'CDE//BM,BE//DM,

.??四邊形BMDE是平行四邊形，

/.BM=DE=yBC,：.BM=CM,

:.CN=NF,

于點(diǎn)凡DM//BE,

：.DN±CF,：.DF=DC,故③正確；

AAEFs^CBF,

.EF_AE

"BF~BC~2，

:.S4AEF=；S4ABF,S/\ABF=-S^ABCD,

26

???S4AEF=)S矩形ABCD,

又VS四邊彩CDEF=SAACD-SAAEF=；S^ABCD--S矩形48CD=垓；S矩形4BCD,

21212

：.S/\ABF：S啦汲CDEF=2：5,故④正確；

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，圖形面積的計(jì)算，正確的作出輔助線是解題

的關(guān)鍵.

二、填空題

3.已知正方形。EFG的頂點(diǎn)廠在正方形/5CD的一邊40的延長線上，連結(jié)/G,CE交于點(diǎn)77,若45=3,

DE=6,則CH的長為.

BC

【答案】嚕

【分析】連接EG,與DF交于N,設(shè)CD和AH交于M,證明△ANGSADM,得到器=當(dāng)，從而求出

NGAN

DM的長，再通過勾股定理算出AM的長，通過證明4ADG名ZkCDE得到NDAG=NDCE,從而說明

△ADM-ACHM,得到多=槳，最后算出CH的長.

CHCM

【詳解】解：連接EG,與DF交于N,設(shè)CD和AH交于M,

AZGNA=90°,DN=FN=EN=GN,

VZMAD=ZGAN,ZMDA=ZGNA=90°,

???△ANGSADM,

,DM_AD

,:DE=C，

???DF=EG=2,

ADN=NG=1,

VAD=AB=3,

?DM_3

??13+1

3

解得：DM=:，

4

9i--------------a/i7

???MC=一，AM=^AD2+DM2=,

44

ZADM+ZMDG=ZEDG+ZCDG,

???NADG=NEDC,

在AADG和ACDE中，

AD=CD

<ZADG=ZCDE,

DG=DE

AAADG^ACDE(SAS),

AZDAG=ZDCE,

ZAMD=ZCMH,

???ZADM=ZCHM=90°,

AAADM^ACHM,

.AD_AM

3后

即3=Y-

CH9

4

解得：0<=誓

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，綜

合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是找到合適的全等三角形和相似三角形，通過其性質(zhì)計(jì)算出CH的長.

4.如圖，正方形ABCD的邊長為8,線段CE繞著點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，且CE=3,連接BE,以BE為邊

作正方形BEFG,M為AB邊的中點(diǎn)，當(dāng)線段FM的長最小時(shí)，tan/EC3=.

【答案】|

【分析】連接BD,BF,FD,證明△EBCS^FBD,根據(jù)題意，知道M,F,D三點(diǎn)一線時(shí)，F(xiàn)M最小，然

后過點(diǎn)M作MGLBD,垂足為G,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理分別求出MG和DG的長，再根

據(jù)正切的定義計(jì)算即可.

【詳解】解:連接BD,BF,FD,如圖，

?:嘰里=亞,

BCBE

.BDBC

??而一而’

VZFBD+ZDBE=45°,ZEBC+ZDBE=45°,

AZFBD=ZEBC,

.,.△EBC^AFBD,

DF

???NFDB=NECB,

CE

.?.DF=0C￡=3A/L

由題意知：FM、DF、DM三條線段滿足FM+DFNMD,其中DM、DF的值一定,

...當(dāng)M,F,D三點(diǎn)一線時(shí)，F(xiàn)M最小，

過點(diǎn)M作MN_LBD,垂足為G,

VZMBN=45°,BM=yAB=4,

.\MN=BN=2V2>

*?'MD=ylAM2+AD2=A/42+82=4V5，

?*-DG=4MD1-MG1=J(4后-(2&1=6④,

：.tanZECB=tanZFDG=—=

DG6723

故答案為：j.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，手拉手相似模型，銳角三角函數(shù)，勾股定理，三角形面積，線段最值

模型，熟練構(gòu)造相似模型，準(zhǔn)確確定線段最小值的條件是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，在矩形N2CD中，E是4D邊的中點(diǎn)，BE上AC于點(diǎn)、F,連接。R分析下列結(jié)論：①△/￡尸

②CF=2AF；?DF=DC-,?Sgg^CDEF^|S^ABF,其中正確的結(jié)論有(填正確的序號)

【答案】①②③④

【分析】根據(jù)四邊形是矩形，BELAC,可得4BC=ZAFE=9。。,又NEAC=ZACB,于是

\AEF^\CAB,故①符合題意；根據(jù)點(diǎn)E是/。邊的中點(diǎn)，以及AD!/BC,得出尸，根據(jù)相似三

角形對應(yīng)邊成比例，可得CF=2NF,故②符合題意；過。作ZZM/ABE交NC于N,得到四邊形8MDE是平

行四邊形，求出BM=DE=3BC,得到CN=7VF,根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得結(jié)論，故③符合題意;

根據(jù)。EFSACB廠得到E尸與質(zhì)的比值，以及反與/C的比值，據(jù)此求出%EF=：%酎，=js矩/BCD，

26

可得S四邊形⑺既=SMCO-SMEE=矩形488,即可得到S四邊形c團(tuán)'=，故④符合題意?

【詳解】解：如圖，過Q作?！啊˙E交NC于N,交BC于M,

???四邊形4BCZ）是矩形，

AD//BC,ZABC=90°,AD=BC,

/EAC=ZACB,

BE上4c于點(diǎn)F,

ZABC=ZAFE=90°f

AAEFsACAB,故①符合題意；

,AD〃BC,AD=BC,

\AEF^\CBF,而石是的中點(diǎn),

AEAF

5C-FC-2?

AF_1

~CF~2"

，CF=2AF,故②符合題意;

,?DE//BM,DM//BE,

...四邊形物〃加是平行四邊形，

:.BM=DE=-BC,

2

BM=CM,CN=NF,

?.?8￡_L/C于點(diǎn)尸，DM//BE,

DNLCF,

DN垂直平分CF,

:.DF=DC,故③符合題意;

???MEFs'CBF,

.AF_EF_AE

,FC_2

-S*EF=5S*BF，SRABF-彳SyBFC_:S\ABC~T$矩形A8CZ),

236

-S*EF=WS矩形43CZ>，

又,S四邊形CQE產(chǎn)—S^ACD-S*EF=S矩形43C￡>一五S矩形工"。~"^^J^ABCD，

S四邊形8"-3sMBF，故④符合題意；

故答案①②③④.

【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，圖形面積的計(jì)算的

綜合應(yīng)用，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.解題時(shí)注意，相似三角形的對應(yīng)邊成比例.

6.如圖，正方形48CD中，點(diǎn)9是8C邊上一點(diǎn)，連接/凡以N尸為對角線作正方形/EFG,邊FG與AC

相交于點(diǎn)〃，連接。G.以下四個(gè)結(jié)論：

①/EAB=NBFE=ZDAG；

②△ACFsMDG；

@AH-AC=42AE2;

@DG±AC.

其中正確的是.（寫出所有正確結(jié)論的序號）

【答案】①②④

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可知NB=NE=90°,有對頂角相等,可證/及42=/BFE,由ZEAG=ABAD=90°

ArArf—

可證可判斷結(jié)論①正確；由F=F=NFAC=/GAD,兩邊對應(yīng)成比例且夾角相

ADAG

等即可得△/C/s4/DG,可判斷結(jié)論②正確；由結(jié)論②可知NZCb=/ADG=45。，可得。G平分/4DC,

由正方形可知AZC。是等腰直角三角形，可推出。GL/C,結(jié)論④正確；利用兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形

相似可得根據(jù)相似的性質(zhì)可得4H=AF貝尸2,又有工廠2=2/￡2,則結(jié)論

AFAC

③錯誤.

【詳解】解：設(shè)A8與昉相交于點(diǎn)。，如圖所示,

四邊形/8CO和四邊形/EFG都是正方形,

NB=NE=90°,ZEAG=ABAD=90°.

又：ZAOE=ZBOF,

ZEAB=ZBFE.

,/ZEAG-NBAG=ABAD-ZBAG,

ZEAB=ZDAG,

：.NEAB=/BFE=/DAG,

故結(jié)論①正確;

'.'AC./尸是正方形和正方形/昉G的對角線，

：-AC=4iAD，AF=42AG，

.??生=〃=

ADAGa.

又ZFAG=ZCAD=45°,

/.ZFAG-ZGAH=ZCAD-ZGAH,

即ZFAC=ZGAD.

：.AACFS^ADG.

故結(jié)論②正確；

由LACFs/\ADG可知NADG=ZACF=45°,

.?.DG平分/ADC.

,/A/CD是等腰直角三角形，

：.DG±AC.

故結(jié)論④正確；

ZFAC=ZHAF,ZACF=ZAFH=45°,

/\ACF^/\AFH,

.AHAF

??#一就’

二AH-AC=AF2.

,/在等腰直角REF中，AF2=2AE2，

；?AH-AC=2AE?，

故結(jié)論③錯誤，

.?.正確的結(jié)論是①②④，

故答案為：①②④.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定

理，熟練掌握相似三角形的判定定理證明三角形相似是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，在一個(gè)12x13的網(wǎng)格中，點(diǎn)43都在格點(diǎn)上，。月=48=8,點(diǎn)P是線段上的一個(gè)動點(diǎn)，

連接OP,將線段0A沿直線0P進(jìn)行翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)C處，連接BC,以BC為斜邊在直線BC的左側(cè)（或

下方）構(gòu)造等腰直角三角形3DC,則點(diǎn)P從/運(yùn)動到B的過程中，線段8C的長的最小值為,

線段所掃過的區(qū)域內(nèi)的格點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（不包含所掃過的區(qū)域邊界上的點(diǎn)）

【答案】8^/2-84

【分析】根據(jù)0B-0CV8C僅當(dāng)C在上時(shí)等號成立，由折疊性質(zhì)可知O/=OC,從而求出8C的最小值;

再證明而且相似比為0：1,從而得出點(diǎn)。在以字。/為半徑的圓弧瓦萬上運(yùn)動，由此

畫出圖形即可得出格點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【詳解】解：如圖，連接03,AD.

,：OA=AB=S,N04B=90°

?*-OB=^OA2+AB2=8A/2，

又-OCW8C僅當(dāng)。在08上時(shí)等號成立,

.?.2C的最小值=。8-。C,

又：OC=OA=S,

.?.2C的最小值=08-OC=80-8，

ACMB和ABDC均為等腰直角三角形，

ZOBA=ZCBD=45°,—=—=V2,

ABBD

又NOBA=ZABC+ZOBC,ZDBC=ZABC+ZABD,

ZOBC=ZABD,

AOCB~/\ADB,

.OCBCr：HnV2r

??———■—A/2,即AD=OC=4V2,

ADBD2

...如圖：點(diǎn)。在以走CM為半徑的圓弧西上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)N重合時(shí)，點(diǎn)。在4處，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)、B

2

重合時(shí)，點(diǎn)。在。處，

.??線段2D所掃過的區(qū)域內(nèi)的格點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（不包含所掃過的區(qū)域邊界上的點(diǎn)）4個(gè).

故答案為：8后-8，4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了對稱變換和旋轉(zhuǎn)相似，解題關(guān)鍵是通過旋轉(zhuǎn)相似證明/。=正。。=4庭,從而得

2

出點(diǎn)。在以包。4為半徑的圓弧而上運(yùn)動，再根據(jù)畫圖得出結(jié)論.

2

三、解答題

8.【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1,在口△/BC中，/B4C=90。,AB=AC,。為斜邊3c上一點(diǎn)（不與點(diǎn)3,C重合）,

將線段繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到連接EC,則線段8。與C￡的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)系是

【探究證明】如圖2,在比△4BC和放中，NBAC=NDAE=90。,AB^AC,AD=AE,將△4DE繞

點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C,D,E在同一條直線上時(shí)，3。與CE具有怎樣的位置關(guān)系，說明理由；

【拓展延伸】如圖3,在RtABCD中,ZBCD=90°,BC=2CD=4,過點(diǎn)C作C4_L3。于/.將△/CD繞

點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)￡.設(shè)旋轉(zhuǎn)角/C4E為a（0°<a<360°）,當(dāng)C,D,￡在同一條直

線上時(shí)，畫出圖形，并求出線段BE的長度.

【答案】BD=CE,BDLCE；BDLCE,理由見解析；圖見解析，y

【分析】(1)證明△BADgACAE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；

(2)連接BD,根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及垂直的定義即可得到結(jié)論；

(3)如圖3,過A作AFLEC,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解：(1)BD=CE,BDLCE；

(2)BDLCE.理由如下：在用△/8C和MzX/DE中，/AEC=45。,"：ZCAB=ZDAE

=90°,/.ZBAD=ZCAE,：.ACEA^^BDA,

：.NBDA=N4EC=45°,：.NBDE=/BDA+乙4DE=90。,C.BDLCE.

(3)如圖所示，過點(diǎn)/作//，CE,垂足為點(diǎn)?

根據(jù)題意可知，R&BCSRAED,ZBAC=ZEAD,

.AB_AC.ABAE

?,花―茄，"AC~AD'

ZBAC=ZEAD=90°,：.ZBAE=ZCAD,：./\BAE^/\CAD,

：.ABEA=ZCDA,ZBEC+ZDEA=ZDEA+90°,

；./BEC=90。,C.BELCE.

在旋轉(zhuǎn)前，在及△BCD中，NBCD=90。,BC=2CD=4,

?*-BD=-JBC2+CD2=26?'：AC±BD,

ii4

aBCD22V5

AD=y)CD2-AC2

45

c

AC-AD44

在放△4C。中，CD邊上的高〃=?口=《'旋轉(zhuǎn)后，得4F=:,

CE=2CF=2dAe2-AF?=2.1--—=—

\5255

BE=NBC?-CE?=,42-(3]=—.

【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題,考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理,

等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，關(guān)鍵是添加恰當(dāng)輔助線.

9.如圖，在正方形48CD中，點(diǎn)尸在對角線AD上，直線NP交CD于￡,PFL4E交BC于點(diǎn)、F,連接/尸

交BD于M.

(1)判斷△/尸尸的形狀，并說明理由；

(2)連接￡尸，求￡尸:尸」彼的值.

【答案】尸是等腰直角三角形，理由見解析

Q)EF：PM=2：V2.

【分析】(1)過點(diǎn)尸作PG,3c于點(diǎn)G,交AD于點(diǎn)、H,根據(jù)正方形的性質(zhì)證明即可得結(jié)

論；

(2)將繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△45N,利用全等三角形的性質(zhì)證明然后證明

△APMS^AFE,可得EF：PM=AP：AF,根據(jù)尸尸是等腰直角三角形，進(jìn)而可以解決問題.

(1)

解：△人尸尸是等腰直角三角形，理由如下：

如圖，過點(diǎn)尸作尸GL5C于點(diǎn)G,交AD于點(diǎn)H,

:?GH=CD,

???四邊形/BCD是正方形,

AZADB=45°,AD=CD,

*.*/PHD=90。,

：.NHPD=45。,

：.HD=HP,

:?AH=GP,

u：PFLAE,

：.ZAPF=90°f

：.ZAPH+ZFPG=90°,

NP4H+NAPH=9U。,

：.ZPAH=ZFPG,

在尸7/和△尸9G中，

/PAH=ZFPG

<AH=PG,

ZAHP=ZPGF=90°

:?△APH"APFG(ASA),

：.AP=FP,

???LAPF是等腰直角三角形；

(2)

解：如圖，將△4DE繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△45N,

?：/ADE=NABN=90。,ZABC=90°,

：.NABC+NABN=T80。,

AC,B,N共線，

ZEAF=45°,

：.NNAF=NE4B+/BAN=NE4B+/DAE=45。,

：.ZE4E=ZE4N,

在△E4N和中，

AF=AF

<ZFAN=ZFAEf

、AN=AE

：.AE4N^/\E4E(SAS)f

???ZAFN=ZAFE,

?:/FMB=/AMP,ZMBF=ZPAM=45°f

：./BFM=/APM,

：./APM=NAFE,

：./\APM^/\AFE,

：.EF：PM=AP：AF,

由(1)知：尸尸是等腰直角三角形，

：.AF：AP=2：41，

:.EF：PM=2：y/2.

【點(diǎn)睛】本題屬于幾何綜合題，考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì),

等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形

解決問題，屬于中考題的壓軸題.

10.某校數(shù)學(xué)活動小組探究了如下數(shù)學(xué)問題:

圖1

(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,中，/B4C=90。,AB=AC.點(diǎn)尸是底邊8c上一點(diǎn)，連接/P,以/尸為腰

作等腰Rt^NP。，且NP/0=9O。，連接C0、則8尸和C0的數(shù)量關(guān)系是.

(2)變式探究：如圖2,A48C中，NB4c=90°,AB=AC.點(diǎn)尸是腰48上一點(diǎn)，連接CP,以CP為底邊

作等腰Rt^CPQ,連接判斷8尸和N。的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

(3)問題解決：如圖3,在正方形N2C。中，點(diǎn)尸是邊2C上一點(diǎn)，以。尸為邊作正方形DPEF,點(diǎn)。是正方

形DPE尸兩條對角線的交點(diǎn)，連接CQ.若正方形DP斯的邊長為C0=VL求正方形A8CD的邊長.

【答案】(1)8尸=C。

(2)8尸=屈0

(3)3

【分析】(1)根據(jù)已知條件利用邊角邊證明尸也EC。，再利用全等三角形的性質(zhì)即可得到8尸和CQ

的數(shù)量關(guān)系；

(2)根據(jù)任意等腰直角三角形的直角邊與斜邊的比是相等的，利用兩邊長比例且夾角相等的判定定理證明

△CBPsMAQ,之后再由相似三角形對應(yīng)邊成比例即可得到BP和AQ的數(shù)量關(guān)系；

(3)連接3。，如圖(見詳解)，先由正方形的性質(zhì)判斷出△BCD和△尸。。都是等腰直角三角形，再利用

與第二問同樣的方法證出由對應(yīng)邊成比例，依據(jù)相似比求出線段2P的長，接著設(shè)正方形

/5CD的邊長為x,運(yùn)用勾股定理列出方程即可求得答案.

(1)解：?.?△/尸。是等腰直角三角形，ZPAQ=90°,在A48c中，NB4C=90。,AB=AC,：.AP=AQ,

AB=AC

ZBAP+APAC=ACAQ+APAC,：.ZBAP=ZCAQ.在和A/CQ中，\/-BAP=ZCAQ,

AP=AQ

：.AABP^XACQ^SAS),：.BP=CQ-

(2)解：判斷8尸=后，0,理由如下：；ACP。是等腰直角三角形，A4BC中，NBAC=90。,AB=AC,

.QCAC

NACB=ZQCP=45°.；NBCP+ZACP=ZACQ+ZACP=45°,：.NBCP=ZACQ,

"7C-5C-V，

...ACBPMCAQ,

(3)解：連接BD:四邊形ABCD與四邊形DPEF是正方形,

.QDCD42

DE與PF交于點(diǎn)、Q,???△BCD和△尸QD都是等腰直角三角形,

,?而一防一號'

NBDC=ZPDQ=45°.:ABDP+NPDC=ZCDQ+ZPDC=45°,ZBDP=ZCDQ,：.^BDP^ACDQ,

...空=0=包=變?:CQ=母,:.BP=4iCQ=2.在Rt△尸C。中，CD?CP。=DP°,設(shè)CD=x,

PDBDBP2

則CP=x-2,又：正方形。PEF的邊長為麗，：.DP=y/10,.1.x2+(x-2)2=(VTo)2,解得玉=-1(舍去),

x2=3.：.正方形ABCD的邊長為3.

【點(diǎn)睛】本題是一道幾何綜合題，考查了全等三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，以及正方形和等腰三角

形的性質(zhì)，正確識圖并能熟練地掌握幾何圖形的性質(zhì)與判定定理進(jìn)行證明是解題的關(guān)鍵.

11.［問題發(fā)現(xiàn)］

(1)如圖1,在中，AB=AC,/A4c=90。，點(diǎn)。為3C的中點(diǎn)，以為一邊作正方形CDE廠，

點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，已知A4C/SMCE.請直接寫出線段BE與4尸的數(shù)量關(guān)系；

［實(shí)驗(yàn)研究］

(2)在(1)的條件下，將正方形CDE尸繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，連接BE,CE,AF.請猜想線段8E

和/尸的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

［結(jié)論運(yùn)用］

(3)在(1)(2)的條件下，若AA8C的面積為8,當(dāng)正方形CAE尸旋轉(zhuǎn)到B,E,尸三點(diǎn)共線時(shí)，請求出線

段4尸的長.

【答案】八)BE=4iAF

Q)BE=4iAF，證明見解析

⑶線段AF的長為-2或+2

【分析】(1)先判斷出為等腰直角三角形，進(jìn)而求出/3=收40,即可得出結(jié)論；

(2)先利用三角函數(shù)得出會=裳，證明夾角相等即可得出進(jìn)而求出結(jié)論；

nCEC

(3)分兩種情況計(jì)算，當(dāng)點(diǎn)￡在線段AF上時(shí)，先用勾股定理求出斯=。尸=4。=8，BF=加即可得出

5￡=&-血，借助⑵得出結(jié)論；當(dāng)點(diǎn)￡在線段5/延長線上同前一種情況一樣即可得出結(jié)論.

(1)

解：vAB=AC,/BAC=90。,

:.NB=ZACB=45。,

???四邊形。。石尸是正方形，

:.EF=CF,ZF=90°,

:./FEC=/FCE=45。,

ZFEC=ZB,ZFCE=ZACB,

???點(diǎn)E與點(diǎn)、A重合，

ZFEC=ZFAC=ZB,ZFCE=AFCA=ZACB,AB=BE,

:.\ACF^\BCE；

?AF_AC

..AC_.__?__V2

,-sinB—sind45o——,

BC2

.AFV2

??---=---9

BE2

：.BE=42AF;

(2)

解：BE=y[2AF-

證明：由(1)得，-^-=sin5=sin45°=^-,

BC2

,??四邊形CZ)￡b是正方形，

:.EF=CF,NEFC=90。,

;"FEC=/FCE=45。,

/.—=sinAFEC=sin45°=—,

EC2

.ACFC42

BCEC2

???/ACF=NBCE=45°-/ACE,

:.\ACF^\BCE,

,AFAC41

??------------,

BEBC2

：.BE=4IAF-,

(3)

解：如圖1,?.?AB=AC,/A4c=90。，點(diǎn)。為BC的中點(diǎn),

:.AD,BC,ADIBC,

2

:.BC=2AD,

MBC的面積為8,

/.-BCAD=S,

2

:.AD2=8,

AD=26，

BC=4也，

,??點(diǎn)￡與點(diǎn)A重合，四邊形CDE尸是正方形，

EF=CF=DE=AD=242■,

如圖2,B、E、尸三點(diǎn)共線且點(diǎn)E在線段即上，

E

BC

D

圖2

ZBFC=90°,

BF=VSC2-CF2=7(472)2-(2V2)2=276，

BE=BF-EF=276-272,

■：BE=41AF-

■■立AF=2屈-2母，

:.AF=2yf3-2;

則BE=BF+EF=2娓+2近，

■：BE=42AF-

@尸=2痛+2及，

:.AF=2y/3+2，

綜上所述，線段ZF的長為2。-2或2。+2.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，以及等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，分

類討論和畫出圖形是解決本題的關(guān)鍵.

12.如圖1,已知點(diǎn)G在正方形4BCD的對角線NC上，GELBC,垂足為點(diǎn)E,GF±CD,垂足為點(diǎn)尸.

(1)證明：四邊形CEG尸是正方形;

(2)探究與證明：將正方形CEGF繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a角(0。<01<45。)，如圖2所示，試探究線段

NG與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

(3)拓展與運(yùn)用：正方形CEGP繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a角(0°<a<45°),如圖3所示，當(dāng)2,E,斤三

若NG=9,GH=3也，求的長.

圖3

【答案】(1)答案見解析；(2)AG=6BE；理由見解析；(3)BC=^-

2

【分析】(1)先說明G￡_L3C、GFLCD,再結(jié)合N2C￡)=90?？勺C四邊形CEGb是矩形，再由/ECG=45唧

可證明;

(2)連接CG,證明△ZCGs^BCE,再應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)解答即可;

(3)先證△4”GsACH4可得絲=①=里,設(shè)BC=CD=AD=a,貝Ij/C=a,

ACAHCH

求出DH=^a,S=半“最后代入即可求得a的值.

【詳解】(1)???四邊形是正方形,

AZ5CZ)=90°,N2CN=45°,

,:GELBC、GFLCD,

ZCEG=ZCFG=/ECF=90。,

：.四邊形CEGP是矩形，NCGE=NECG=45。,

：.EG=EC,

.??四邊形CEG尸是正方形.

(2)結(jié)論：AG=叵BE；

理由：連接CG,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知4BCE=NNCG=a,

在RtACEG和Rt/\CBA中,

里—顯,

CG2

CA2

，史上=后，

CECB

：.AACGsABCE,

BECB

???線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系為AG=V2BE；

(3)'：ZCEF=45°,點(diǎn)、B、E、尸三點(diǎn)共線，

???/BEC=135。,

'：AACGsABCE,

：.NAGC=NBEC=135。,

：.ZAGH=ZCAH=45°,

?:/CHA=NAHG,

：.△AHGsdCHA,

.AGGHAH

設(shè)BC=CD=AD=a,則

AG_GH'曰93A/2

由二=屈'侍而=/'

.?.AAHU=~2a,

則。CH-y/CD2+DH2^—a,

33

2

.AG=AH得/=

"ACCH''72a向

------a

3

解得：°=當(dāng)叵，gpBC=^-.

22

【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查相似形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是

正確尋找相似三角形解決問題并利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.

13.如圖，A4BC和V4DE是有公共頂點(diǎn)直角三角形，NBNC=NZUE=90。，點(diǎn)尸為射線AD,CE的交點(diǎn).

圖1圖2備用圖

（1）如圖1,若A48C和V4DE是等腰直角三角形，求證：CPLBD-,

（2）如圖2,若NADE=NABC=30°,問：（1）中的結(jié)論是否成立？請說明理由.

（3）在（1）的條件下，43=4,40=3,若把V/DE繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)，當(dāng)NE4c=90。時(shí)，請直接寫出PB的

長度

【答案】（1）見解析；（2）成立，理由見解析；（3）總的長為14或三28.

【分析】（1）由條件證明△4BD之△NCE,即可得可得出N2PC=90。，進(jìn)而得出3。_LCP；

（2）先判斷出△/DBS/UEC,即可得出結(jié)論；

（3）分為點(diǎn)E在48上和點(diǎn)E在48的延長線上兩種情況畫出圖形，然后再證明△尸E8s△NEC,最后依據(jù)

相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明即可.

【詳解】解：（1）證明：如圖，

VZBAC=ZDAE=90°,

：.ZBAE+ZCAE=ZBAD+ZBAE,

即/84Z>/C4及

???MBC和VADE是等腰直角三角形，

:?AD=AE,AB=AC

在△42。和△4CE中，

AD=AE

</BAD=/CAE,

AB=AC

：./\ABD^/\ACE(S/S),

JZABD=ZACE.

ZCAB=90°,

：./ACF+NAFC=90。,

：.ZABP+ZBFP=90°.

：.ZBPF=90°,

：.BD±CP；

(2)(1)中結(jié)論成立，理由：

在放△,呂。中，N/5C=30。，

：.AB=y]3AC,

在放中，NADE=30。,

:?ADfAE,

.AD_AE

??布一就

NBAC=NDAE=90。,

：.NBAD=/CAE,

：.△%￡)吐△4EC.

???/ABD=/ACE

同(1)得CPLBD；

(3)解：,:△/BC和是等腰直角三角形,

：.AD=AE=3,AB=AC=4

①當(dāng)點(diǎn)E在45上時(shí)，BE=AC-AE=\.

D

*：NE4c=90。,

???CE=4AE?+/02='32+42=5.

同（1）可證△4D5會/XZEC

???ZDBA=ZECA.

*.*/PEB=/AEC,

：.APEBsdAEC.

.PB_BE

??就一而

?PB_1

??一.

45

.4

：.PB=-.

5

②當(dāng)點(diǎn)石在A4延長線上時(shí)，BE=5.

：.CE=5.

同（1）可證△/OBZAJEC.

???ZDBA=ZECA.

9：/BEP=/CEA,

：.APEBsAAEC.

,PB_BE

，9^4C~~CE'

???PB一」?

45

28

:.PB=——.

5

綜上所述，可的長為］4或三28.

【點(diǎn)睛】此題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的性

質(zhì)和判定，證明得△尸EBs△/EC是解題的關(guān)鍵.

14.一次小組合作探究課上，老師將兩個(gè)正方形按如圖所示的位置擺放（點(diǎn)E、/、。在同一條直線上）,

發(fā)現(xiàn)BE=DGS.BEJ.DG.

小組討論后，提出了下列三個(gè)問題，請你幫助解答:

（1）將正方形4EFG繞點(diǎn)/按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（如圖1）,還能得到3E=DG嗎？若能，請給出證明，請說

明理由;

（2）把背景中的正方形分別改成菱形4EFG和菱形N3CD,將菱形NEFG繞點(diǎn)/按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（如圖2）,

試問當(dāng)ZEAG與ZBAD的大小滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，BE=DG；

ApJR7

⑶把背景中的正方形分別改寫成矩形"EFG和矩形"3。,且萬=而二，AE=2a,AB=2b（如圖

3）,連接DE,BG.試求。l+BG?的值（用6表示）.

圖3

【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)/"G=/A4D時(shí),BE=DG,理由見解析；（3）13/+13/.

【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出/E=ZG,ZEAG=90°,AB=AD,/8/。=90。，得出=,

則可證明之△/GO（SNS）,從而可得出結(jié)論;

（2）由菱形的性質(zhì)得出NE=NG,AB=AD,則可證明△AE3多△ZGD（SZS）,由全等三角形的性質(zhì)可得

出結(jié)論;

（3）設(shè)班與。G交于0,BE與AG交于點(diǎn)、P,證明△￡<48s△G4。，得出=得出G￡>J_E3,

連接EG,BD,由勾股定理可求出答案.

【詳解】（1）..?四邊形"EFG為正方形,

AAE=AGfZEAG=90°,

又???四邊形ZBCQ為正方形,

AB=AD,/BAD=90°,

JZEAG-ZBAG=ABAD-/BAG

：./EAB=/GAD,

在和△/GQ中，

AE=AG

</EAB=/GAD,

AB=AD

：./\AEB^2\AGD(SAS),

：.BE=DG；

(2)當(dāng)/=時(shí)，BE=DG,

理由如下：

ZEAG=/BAD,

.,?/EAG+NBAG=/BAD+/BAG

：?/EAB=/GAD,

又,/四邊形AEFG和四邊形ABCD均為菱形,

AE—AG,AB-AD,

在△，防和△4G。中，

AE=AG

</EAB=NGAD,

AB=AD

??.公AEB沿公AGD(SAS),

：.BE=DG；

(3)設(shè)跳1與DG交于0,BE與AG交于點(diǎn)、P,

由題意知，AE=2a,

AEAB2

——=—=—，ZEAB=ZGDA=90°+ZGAB,

AGAD3

AEABS/\GAD,

???ZEBA=ZGDA,

?.?ZADB+ZABD=ZGDA+ZQDB+ZABD=90°,

ZQDB+ZQBD=ZEBA+ZQDB+ZABD=90°,

C.GDLEB,

連接￡G,BD,

：.ED2+GB2

=EQ2+QD2+西

=EG2+BD\

AEAB2

-----=-----=—fAE=2Q,AB=2b,

AGAD3

AG=3a,AD=3b,

在放△E/G中，由勾股定理得：EG2=AE2+AG2,mBD2=AB2+AD2f

ED2+GB2

=（2a）2+（3a）2+（2/））2+（3Z＞）2

=13a2+13b2.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形、菱形、正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，

勾股定理等知識，熟練掌握特殊平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.由（3）可得結(jié)論：當(dāng)四邊形的對角線相互

垂直時(shí)，四邊形兩組對邊的平方和相等.

15.在△ABC中，AB^AC,/A4C=a,點(diǎn)P是△/BC外一點(diǎn)，連接3P,將線段3P繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a

得到線段PD,連接8。，CD,AP.

觀察猜想：

（1）如圖1,當(dāng)a=60。時(shí)，丁7的值為,直線CD與工尸所成的較小角的度數(shù)為

類比探究:

(2)如圖2,當(dāng)a=90。時(shí)，求出不；的值及直線CD與/尸所成的較小角的度數(shù)；

AP

拓展應(yīng)用：

(3)如圖3,當(dāng)a=90。時(shí)，點(diǎn)￡,尸分別為/瓦/C的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段的延長線上，點(diǎn)/,D,尸三

點(diǎn)在一條直線上，BD交PF于點(diǎn)G,CD交48于點(diǎn)〃若CD=2+0,求的長.

【答案】(1)1,60；(2),直線。與/P所成的較小角的度數(shù)為45。；(3)BD=42.

AP

【分析】(1)根據(jù)a=60。時(shí)，是等邊三角形，再證明△PBAgZ^DBC,即可求解，再得到直線CZ)

與/尸所成的度數(shù)；

(2)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明△PBAs^DBC,再得到坐=空，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出直

APAB

線CD與/P所成的度數(shù)；

(3)延長C4,2。相交于點(diǎn)K,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)及中位線定理證得NBCDnNKCO,

由(2)的結(jié)論求出4P的長，再利用在凡△P5D中，設(shè)PB=PD=x,由勾股定理可得應(yīng)x=/D,再

列出方程即可求出x