多邊形的面積幾何模型篇之等積模型-2024-2025學年蘇教版五年級數(shù)學上冊典型例題（解析版）

2024-2025學年五年級數(shù)學上冊典型例題系列

第二單元多邊形的面積?幾何模型篇?等積模型【七大考點】

函【第一篇】專題解讀篇

目專題名稱第二單元多邊形的面積幾何模型篇?等積模型

邕專題內(nèi)容本專題以等積模型為主，其中共包括七種常見問題。

回總體評價★★★★★

京講解建議幾何模型篇是用來專門總結(jié)小學數(shù)學幾何模型的特別篇章，

其中大多數(shù)涉及奧數(shù)思維拓展內(nèi)容，綜合性極強，難度極大，

因此，建議根據(jù)學生實際掌握情況和總體水平，選擇性講解

部分考點考題。

品考點數(shù)量七個考點。

匿匿【【第第二二篇篇】】目目錄錄導導航航篇篇

【考點一】等積模型問題一：繪制等積三角形（平行線之間的等積變形問題）.....3

30【考點二】等積模型問題二：等積模型引申與差不變原理........................6

30【考點三】等積模型問題三：梯形中的等積模型................................9

30【考點四】等積模型問題四：連接平行線構(gòu)建等積模型（兩個正方形的聯(lián)排問題）-10

【考點五】等積模型問題五：多次連接平行線構(gòu)建等積模型（多個正方形的聯(lián)排問題）

..................................................................................................................................................15

【考點六】等積模型問題六：分組平行線構(gòu)建等積模型（多個正方形的聯(lián)排問題）

【考點七】等積模型問題七：構(gòu)造平行線構(gòu)建等積模型.........................21

Qj【第三篇】典型例題篇

30【考點一】等積模型問題一：繪制等積三角形（平行線之間的等

積變形問題）。

，【方法點撥】

1.等積模型。

如圖，三角形ABC和三角形BCD夾在一組平行線之間，兩條平行線之間的距

離處處相等，且有公共底邊BC,那么三角形ABC和三角形BCD面積相等，即

等底等高的三角形的面積相等。

2.解題方法。

（1）等積模型一般用來解決平行線之間三角形的面積問題，首先先找到平行線,

再運用等積模型將圖形的面積進行轉(zhuǎn)化，最后運用三角形的面積公式解答。

（2）當然，部分復雜的圖形可能需要我們添加輔助線構(gòu)造平行線，再進行轉(zhuǎn)化

計算。

【典型例題】

如圖，直線7"〃77,AV3為直線"上的兩點，CP為直線加上的兩點，如果A、

B、C三點固定不動，點P在加上移動，那么無論P點移動到何處，則圖中面積

相等的三角形有：（）。

【答案】APAB與AABC、APAC^APBC

【分析】平行線間的距離處處相等，三角形面積=底、高+2,4PAB與AABC

的面積相等，理由是：同底等高；APAC的面積與APBC的面積相等，根據(jù)是

同底等高，據(jù)此解答即可。

【詳解】圖中面積相等的三角形有：4PAB與AABC、APAC^APBCO

【點睛】本題考查三角形的面積、平行，解答本題的關(guān)鍵是掌握三角形的面積

計算公式。

【對應練習11

本學期課本的第92頁有一道題如圖所示（兩條虛線互相平行），你認為三角形

ABE和三角形CDE面積是否相等？請你用學過的知識進行說明。

【答案】相等，說明見詳解

【分析】等底等高的三角形面積相等，而平行線之間的距離都相等，因為三角

形ABD與三角形ACD是等底等高的三角形，根據(jù)三角形面積公式：面積=底

x高一2,確定三角形面積形ABD與三角形ACD的面積之間的關(guān)系，進而求出

三角形ABE與三角形CDE的關(guān)系（答案不唯一）。

【詳解】根據(jù)分析可知，三角形ABD與三角形ACD是等底等高的三角形，

所以三角形ABD面積=三角形ACD面積。

三角形ABE的面積=三角形ABD的面積一三角形ADE的面積；

三角形CDE的面積=三角形ACD的面積一三角形ADE的面積；

三角形ABD的面積=三角形ACD的面積，

兩個三角形都減去同一個三角形，所以三角形ABE的面積=三角形CDE的面

積。

【對應練習2]

下面兩條平行線之間有兩個三角形（①號和②號）。

（1）這兩個三角形的面積相等嗎？（）（選填“相等”或“不相等”。）

（2）請在下面表格中畫一個與②號三角形面積相等的三角形。

【答案】（1）相等；（2）見詳解

【分析】（1）三角形面積=底義高+2,這兩個三角形的底均為2,高均為4,

那么這兩個三角形等底等高、面積相等；

（2）可以畫一個與②號三角形等底等高的三角形，使它們的面積相等。

【詳解】（1）這兩個三角形的面積相等嗎？相等。

（2）如圖：

（答案不唯一）

【對應練習31

（1）下圖中，兩條虛線互相平行，圖中哪幾對三角形的面積相等？（至少寫兩

對）

（2）請你在圖中畫一個和三角形ABC面積相等的三角形。

（3）在圖中和三角形ABC面積相等的三角形能畫多少個？你有什么發(fā)現(xiàn)？請

你把你的發(fā)現(xiàn)寫出一條來。

【答案】（1）三角形ABC和三角形BCD；三角形ABD和三角形ACD；（答

案不唯一）

(2)圖見詳解；

(3)無數(shù)；見詳解

【分析】(1)等底等高的三角形面積相等，而平行線之間的距離都相等，據(jù)此

在圖中找出等底等高的兩對三角形即可；

(2)在上面的那條虛線上任選一點F,分別把它和點B、點C連接起來，所形

成的三角形和三角形ABC等底等高，則面積相等。

(3)因為上面那虛線上有無數(shù)個點，任意找一個點，只要把它與點B、點C連

接起來，那么畫出的三角形就會和三角形ABC的面積相等，所以通過畫圖發(fā)

現(xiàn)，只要在兩條平行線之間，并且底相等的情況下，它們的面積就會相等。

【詳解】(1)根據(jù)三角形的面積公式可知，只要滿足等底等高，兩個三角形的

面積就會相等。

答：三角形ABC和三角形BCD面積相等，三角形ABD和三角形ACD面積相

等。

(2)如圖：

(3)答：在圖中和三角形ABC面積相等的三角形能畫無數(shù)個，我發(fā)現(xiàn)：兩條

平行線間的底相等的三角形，它們的面積也相等。

【點睛】本題需要熟練掌握等底等高的三角形面積相等的特點，根據(jù)平行線的

特點，明確圖中這些三角形等高是解題的關(guān)鍵。

【考點二】等積模型問題二：等積模型引申與差不變原理。

，【方法點撥】

1.等積模型。

如圖，三角形ABC和三角形BCD夾在一組平行線之間，兩條平行線之間的距

離處處相等，且有公共底邊BC,那么三角形ABC和三角形BCD面積相等，即

等底等高的三角形的面積相等。

D

2.解題方法。

（1）等積模型一般用來解決平行線之間三角形的面積問題，首先先找到平行線,

再運用等積模型將圖形的面積進行轉(zhuǎn)化，最后運用三角形的面積公式解答。

（2）當然，部分復雜的圖形可能需要我們添加輔助線構(gòu)造平行線，再進行轉(zhuǎn)化

計算。

【典型例題】

下圖是由兩個完全一樣的直角三角形疊在一起而成的，則陰影部分的面積是

解析:

如圖:

[(8-3)+8R5+2

=[5+8]x5-2

=13x5+2

=65+2

=32.5(平方厘米)

【對應練習11

如圖，兩個完全一樣的直角三角形重疊一部分，圖中涂色部分的面積是

）平方厘米。

解析：

陰影部分面積：（12—4+12）x3+2

=（8+12）x3+2

=20*3+2

=60-2

=30（平方厘米）

【對應練習21

兩個完全相同的直角三角形重疊在一起，如圖所示，陰影部分的面積是

（）（單位：cm）

【答案】27cm2

【分析】紅色部分是個梯形,

15

根據(jù)梯形面積=（上底+下底）義高+2,計算即可。

【詳解】(15-3+15)x2-2

=27x1

=27（平方厘米）

【點睛】關(guān)鍵是看懂圖示，掌握梯形面積公式。

【對應練習31

如圖，兩個完全一樣的直角三角形重疊一部分，圖中陰影部分面積是

）平方厘米。

18

【答案】75

【分析】這兩個直角三角形完全一樣，它們的面積相同，所以陰影面積等于下

面梯形的面積，只要求出梯形的面積即可。

【詳解】(18-6+18)X5-2

=30x5+2

=75(平方厘米)

【點睛】此題考查了梯形的面積公式的靈活應用，關(guān)鍵是把不能直接計算的圖

形面積轉(zhuǎn)化為容易計算的圖形面積。

【考點三】等積模型問題三：梯形中的等積模型。

A【方法點撥】

1.等積模型。

如圖，三角形ABC和三角形BCD夾在一組平行線之間，兩條平行線之間的距

離處處相等，且有公共底邊BC,那么三角形ABC和三角形BCD面積相等，即

等底等高的三角形的面積相等。

2.解題方法。

(1)等積模型一般用來解決平行線之間三角形的面積問題，首先先找到平行線,

再運用等積模型將圖形的面積進行轉(zhuǎn)化，最后運用三角形的面積公式解答。

(2)當然，部分復雜的圖形可能需要我們添加輔助線構(gòu)造平行線，再進行轉(zhuǎn)化

計算。

【典型例題】

如右圖，在梯形ABCD中，AC與BD是對角線，其交點0,求證：AAOD與

△BOC面積相等。

解析：

由等積模型可知，三角形ADC與三角形BDC面積相等，它們都減去重疊部分,

剩下的部分面積仍相等。

【對應練習】

如右圖，在梯形ABCD中，共有八個三角形，其中面積相等的三角形共有哪幾

解析：根據(jù)同底等高三角形面積相等，梯形左右對角三角形面積相等可得。

答：共有3對，分別為：SAAOD=SABOC；SAABD=SAABC；SAADC

=SABCDo

30【考點四】等積模型問題四：連接平行線構(gòu)建等積模型（兩個正

方形的聯(lián)排問題）。

■【方法點撥】

1.等積模型。

如圖，三角形ABC和三角形BCD夾在一組平行線之間，兩條平行線之間的距

離處處相等，且有公共底邊BC,那么三角形ABC和三角形BCD面積相等，即

等底等高的三角形的面積相等。

D

2.解題方法。

（1）等積模型一般用來解決平行線之間三角形的面積問題，首先先找到平行線,

再運用等積模型將圖形的面積進行轉(zhuǎn)化，最后運用三角形的面積公式解答。

（2）當然，部分復雜的圖形可能需要我們添加輔助線構(gòu)造平行線，再進行轉(zhuǎn)化

計算。

【典型例題】

已知圖中大正方形和小正方形的邊長分別是4厘米和6厘米，陰影部分的面積

是多少平方厘米？

【答案】18平方厘米

【分析】如下圖所示，連接FD,三角形AFD的面積是（6x4+2）平方厘米，

三角形FDC的面積是（6x4+2）平方厘米，則三角形AFD的面積等于三角形

FDC的面積。假設AD與FC相交于點0,則三角形AF0的面積等于三角形

0DC的面積。陰影部分三角形的面積就等于大正方形內(nèi)三角形ADC的面積。

根據(jù)三角形的面積=底、高+2,求出陰影部分三角形的面積。

=36+2

=18（平方厘米）

答：陰影部分的面積是18平方厘米。

【對應練習11

兩個正方形如圖放置，其中D、C、G在同一條直線上，小正方形ECGF的邊

長為6,連AE、EG、AG,求圖中陰影部分的面積。

【答案】18

【詳解】連接AC,

貝USAAEC=SAACG)

SAAEC-SAAHC=SAACG-S^AHC,

即SAAEH=SAHCG,

所以陰影部分的面積=；x6x6,

=3x6,

=18；

答：圖中陰影部分的面積是18。

【對應練習2]

如圖所示，正方形ABCD邊長為10,正方BEFG形邊長為6,正方形JIHC面

溫馨小提示：連接IC構(gòu)建平行線IC與DF,5A_=5ADFrO

【答案】20

【分析】連接CI,CF,如下圖所示：如果注意到DF為正方形ABCD的對角線

（或者說一個等腰直角三角形的斜邊）的一部分，那么容易想到DF與CI是平

行的。所以可以連接CI,CFo由于DF與CI互相平行，兩條平行線之間的距

離相等，也就是三角形DFI與三角形DFC的高相等，所以三角形DFI的面積

等于三角形DFC的面積。三角形DFC中，底邊DC長10,高長(10—6),根

據(jù)三角形的面積=底義高+2,求得三角形DFC的面積，即三角形DFI的面積。

【詳解】10x(10-6)+2

=10x4+2

=20

答：陰影部分的面積是20。

【點睛】連接CI、CF,找到平行線間的兩個面積相等的三角形是解決此題的關(guān)

鍵。

【對應練習3】

如圖，是長方形ADEF和直角梯形ABCD組成的組合圖形，已知長方形AFED

的面積是90平方厘米，求陰影部分面積。

【答案】45平方厘米

【分析】利用等積變換思想，將所求陰影部分面積轉(zhuǎn)化成一個規(guī)則的易求的幾

何圖形的面積。首先，4GCD的面積等于AGDB的面積，而ABDE的面積等于

ADEF的面積。

【詳解】如圖，連接BD,FDo

F

A

B

因為ADIIBC

所以SAGCD=SAGDB

因為FE||AD,

所以SABDE=SADEF=gx90=45（平方厘米）

答：陰影部分面積是45平方厘米。

【點睛】本題主要考查了三角形面積的等積變換，難度不大，但卻是一道經(jīng)典

好題。巧妙地將所求陰影部分的面積轉(zhuǎn)化成4EFD的面積是解決本題的關(guān)鍵。

【對應練習41

如圖，大正方形的邊長是5厘米，陰影部分的面積是（）平方厘米。

【答案】12.5

【詳解】試題分析：如圖所示，因為三角形DHG和三角形DHF等底等高，則

二者的面積相等，于是可知：陰影部分的面積就等于三角形AGD的面積，利

于三角形的面積公式即可求解.

解：5x5-2=12.5（平方厘米），

答：陰影部分的面積是12.5平方厘米.

故答案為12.5.

點評：由題意得出：陰影部分的面積就等于三角形AGD的面積，是解答本題

的關(guān)鍵.

【對應練習51

如圖，已知正方形ABCD和正方形CEFG的邊長分別是8厘米和6厘米，那

么陰影部分的面積是()平方厘米。

【答案】18

【詳解】試題分析：根據(jù)題意，陰影部分的面積等于兩個正方形的面積減去三

角形ABE的面積減去三角形EFH的面積再減去三角形ADG的面積，可根據(jù)正

方形的面積公式和三角形的面積公式進行計算即可得到答案.

解：(8X8+6X6)-(8+6)*8+2-6x6-2-(8-6)x8+2,

=(64+36)-14x8-2-18-2x8+2,

=100-56-18-8,

=44-18-8,

=26-8,

=18(平方厘米)；

答：陰影部分的面積為18平方厘米.

故答案為18.

點評：此題主要考查的是三角形的面積公式和長方形的面積公式的應用.

【考點五】等積模型問題五：多次連接平行線構(gòu)建等積模型(多

個正方形的聯(lián)排問題)。

A【方法點撥】

1.等積模型。

如圖，三角形ABC和三角形BCD夾在一組平行線之間，兩條平行線之間的距

離處處相等，且有公共底邊BC,那么三角形ABC和三角形BCD面積相等，即

等底等高的三角形的面積相等。

D

2.解題方法。

(1)等積模型一般用來解決平行線之間三角形的面積問題，首先先找到平行線,

再運用等積模型將圖形的面積進行轉(zhuǎn)化，最后運用三角形的面積公式解答。

(2)當然，部分復雜的圖形可能需要我們添加輔助線構(gòu)造平行線，再進行轉(zhuǎn)化

計算。

如圖所示，分兩次連接對角線，構(gòu)建不同的等積模型，最終得到紅色陰影部分

與所求陰影部分面積相等。

2x2=4(cm)

S=4x4+2=8(cm2)

【對應練習11

如圖，大小三個正方形的邊長分別是6cm、4cmv2cm,求S陰影部分。

解析:

如圖所示，連接對角線，構(gòu)建等積模型。

S=6x(6-4)+2=6(cm2)

【對應練習21

如圖，大小兩個正方形的邊長分別是6cm、4cm,求S陰影部分。

解析：

如圖所示，連接對角線，構(gòu)建等積模型。

【對應練習31

如圖，大小三個正方形如下排列，其邊長分別是3cm、4cm\2cm,求S陰影部分。

【考點六】等積模型問題六：分組平行線構(gòu)建等積模型（多個正

方形的聯(lián)排問題）。

A【方法點撥】

1.等積模型。

如圖，三角形ABC和三角形BCD夾在一組平行線之間，兩條平行線之間的距

離處處相等，且有公共底邊BC,那么三角形ABC和三角形BCD面積相等，即

等底等高的三角形的面積相等。

2.解題方法。

（1）等積模型一般用來解決平行線之間三角形的面積問題，首先先找到平行線,

再運用等積模型將圖形的面積進行轉(zhuǎn)化，最后運用三角形的面積公式解答。

（2）當然，部分復雜的圖形可能需要我們添加輔助線構(gòu)造平行線，再進行轉(zhuǎn)