等角存在性問題-2024年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題

等角存在性問題

一、知識(shí)導(dǎo)航

除了特殊幾何圖形存在性問題外，相等角存在性也是今年二次函數(shù)壓軸題中常見的題型，根據(jù)題目給

的不同的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆绞饺?gòu)造相等角，是此類問題的關(guān)鍵.

回顧一下在幾何圖形中有哪些方法能得到相等角，大概如下:

(1)平行：兩直線平行，同位角、內(nèi)錯(cuò)角相等；

(2)角平分線：角平分線分的兩個(gè)角相等；

(3)等腰三角形：等邊對(duì)等角；

(4)全等(相似)三角形：對(duì)應(yīng)角相等；

(5)三甭函數(shù)：若兩個(gè)角的三角函數(shù)值相等，則兩角相等；

(6)圓周角定理：同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.

也許還有，但大部分應(yīng)該都在此了，同樣，在拋物線背景下亦可用如下思路構(gòu)造相等角.

等腰三角形：Z1=Z2

圓周角定理：Z1=Z2

三角函數(shù)：若tanNl=tanN2,則N1=N2

想得到相等角，先考慮如何度量角，除了角度之外，另外的方法便是求出角的三角函數(shù)值，因此在以上6

種方案當(dāng)中，若無明顯條件，可考慮求出角的三角函數(shù)值來構(gòu)造相等角.

二、典例精析

如圖，已知拋物線過點(diǎn)A(4,0),B(-2,0),C(0,-4).

(1)求拋物線的解析式;

(2)點(diǎn)C和點(diǎn)C1關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，點(diǎn)尸在拋物線上，且NPAB=NCAG,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

【分析】

(1)拋物線：y=^.x2-x-4;

(2)由題意得：G坐標(biāo)為(2,-4),

考慮到A、C、G三點(diǎn)坐標(biāo)均已知，故可求NC4G的三角函數(shù)值.

思路1:構(gòu)造直角三角形

過點(diǎn)G作交AC于H點(diǎn)，不難求得”點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3),

故//C]=應(yīng)，HA=3y/2,

tanZCAq,則tanNPAB=1.

轉(zhuǎn)化“tanNPAB=g"為即％=±[

①當(dāng)七4=g時(shí)，設(shè)以解析式為y=gx+6，

14

將A(4,0)代入，得：=

33

ii44

聯(lián)立方程：_%2_x_4=_%——,解得：x=4,與=——，

2333

故片坐標(biāo)為1-:,-令］;

②當(dāng)原A=—g時(shí)，設(shè)以解析式為y=—gx+人，

14

將A(4,0)代入，得：7=--%+-,

33

聯(lián)立方程：-X2-X-4=--X+-,解得：x=4,x.=~-

2333

故鳥坐標(biāo)為

48

綜上所述，尸點(diǎn)坐標(biāo)為-？或-2.

33

思路2:發(fā)現(xiàn)特殊角.

如圖構(gòu)造等腰直角三角形AMC,易解M點(diǎn)坐標(biāo)為(4,-4),

故△4WC是等腰直角三角形.ZMAC=45°,

考慮tanZMAC{=g,可知tanNC4cl=；,

下同思路1求解尸點(diǎn)坐標(biāo).

三、中考真題演練

1.(2023?湖南常德?中考真題)如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A(TO),3(5,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,

頂點(diǎn)為DO為坐標(biāo)原點(diǎn)，tanZACO=1.

y*DJAD

備用圖

⑴求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(3)P是拋物線上的一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，若ZACO=NPBC,求尸點(diǎn)的坐標(biāo).

【分析】(1)用兩點(diǎn)式設(shè)出二次函數(shù)的解析式，然后求得C點(diǎn)的坐標(biāo)，并將其代入二次函數(shù)的解析式，求

得。的值，再將。代入解析式中即可.

(3)根據(jù)各點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系及同角三角函數(shù)相等的結(jié)論可以求得相關(guān)聯(lián)的函數(shù)解析式，最后聯(lián)立一次函數(shù)

與二次函數(shù)的解析式，求得點(diǎn)P的坐標(biāo).

【詳解】(1)???二次函數(shù)的圖象與x軸交于A(T0)1(5,0)兩點(diǎn).

.?.設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a(x+l)(x—5)

'/AO=1,tanZ.ACO=g,

：.OC=5,即C的坐標(biāo)為(0,5)

則5=a(0+l)(0_5),得a=T

二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-(x+l)(x-5)；

(3)如圖，P是拋物線上的一點(diǎn)，且在第一象限，當(dāng)NACO=/P3C時(shí),

連接尸3,過C作CEL3C交3產(chǎn)于E,過E作防，OC于尸，

,：OC=OB=5,貝UAOCB為等腰直角三角形，ZOCB=45°.

由勾股定理得：CB=5A/2，

,?ZACO=ZPBC,

tanZACO=tan/PBC,

1C￡C￡

即0n廣-赤-=0'

CE=A/2

由C"_L5C,得NBCE=90。,

???ZECF=180°-ZBCE-ZOCB=180°-90°-45°=45°.

是等腰直角三角形

???FC=FE=1

E的坐標(biāo)為(1,6)

315

所以過反石的直線的解析式為y=-]

f315

V=——XH----

令＜,22

j=-(x+l)(x-5)

1

X--

x=52

解得或

27

y二一

4

所以的直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)為8(5,0),尸

即所求尸的坐標(biāo)為尸

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)以及與坐標(biāo)系幾何圖形的綜合證明計(jì)算問題，解題的關(guān)鍵

是將所學(xué)的知識(shí)靈活運(yùn)用.

2.(2023?湖北十堰?中考真題)已知拋物線y=ax2+6尤+8過點(diǎn)3(4,8)和點(diǎn)C(8,4),與J軸交于點(diǎn)A.

圖1圖2

(1)求拋物線的解析式;

(3)如圖2,點(diǎn)P是拋物線上對(duì)稱軸右側(cè)的點(diǎn)，〃(m,0)是&軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，若線段上存在點(diǎn)G(與

點(diǎn)0,3不重合)，使得/GBP=NHGP=/BOH,求機(jī)的取值范圍.

【分析】(1)待定系數(shù)法求解析式即可求解；

(3)根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，結(jié)合已知條件得出=證明則器=器，設(shè)

BCJBP

6F交工軸于點(diǎn)S,過點(diǎn)5作軸于點(diǎn)T,求得直線5s的解析式為y=-耳41+寸40，聯(lián)立

[11

y=——x2+—x+o8

82得出p]F，-1｝勾股定理求得總的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出加關(guān)于〃的二次

440

[33

函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得最值，即可求解.

【詳解】(1)解：：拋物線>=加+灰+8過點(diǎn)3(4,8)和點(diǎn)6(8,4),

.J16Q+4Z?+8=8

??164。+80+8=4

b=-

2

解得：J

18

???拋物線解析式為丁=一1—+:龍+8；

o2

(3)ZGBP=ZHGP=ZBOH,

又ZOGH+ZHGP=Z.GBP+ZBPG,

:.ZOGH=ZBPG,

：?AOGHSABPG,

.OHOG

??而一麗‘

設(shè)叱交工軸于點(diǎn)S,過點(diǎn)8作軸于點(diǎn)T,

?.*/GBP=/BOH,

：.SB=SOf

?.?OT=4,BT=8,

OB=^OT2+BT2=4A/5，

沒BS=k,貝U7S=)t—4,

在Rt/JBS中，SB2=ST2+BT2,

：.V=(^t-4)2+82,

解得：左=10,

???5(10,0),

設(shè)直線BS的解析式為y=ex+f,

J10e+/=0

(4e+/=8

440

?,?直線5s的解析式為尸+

y=--x2+—x+8

82

聯(lián)立＜

440

y=——x+一

33

32

x=一

x=43

解得:或<

y=88

y二—一

9

???唁8

9

PB=

..OH

BGBP

設(shè)OG=〃，貝！JBG=OB—OG=4?—九，

mn

,?4石—n100,

9

9n2-36有n百）2

整理得：m---2/+蛀…72-2+|,

10010025

???G在線段08上（與點(diǎn)8不重合）,

???0<OG<26

***0<n<2A/5，

???當(dāng)〃=26時(shí)，加取得的最大值為|,

9

0<m<—.

5

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，面積問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握

二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?湖南岳陽?中考真題）已知拋物線Q：y=-尤2+桁+。與x軸交于4（-3,0）,3兩點(diǎn)，交V軸于點(diǎn)

C（0,3）,

圖1圖2備用圖

⑴請(qǐng)求出拋物線。1的表達(dá)式.

⑶如圖2,將拋物線2向右平移2個(gè)單位，得到拋物線。2,拋物線的頂點(diǎn)為K,與X軸正半軸交于點(diǎn)

拋物線2上是否存在點(diǎn)尸，使得NCPK=NCHK?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【分析】(1)把A(-3,0),C(0,3)代入。[：＞=-/+法+。，求出8=-2,c=3即可；

(3)先求得拋物線。2的解析式為＞=-。+1-2)2+4=-口一1)2+4,得出K(l,4),H(3,0),運(yùn)用待定系數(shù)法

可得直線BC的解析式為y=-x+3,過點(diǎn)K作軸于點(diǎn)T,連接8C,設(shè)KP交直線8C于/或N,

如圖2,過點(diǎn)C作PSLy軸交必于點(diǎn)S,交拋物線?！坑邳c(diǎn)尸，連接PK,利用等腰直角三角形性質(zhì)和三角

函數(shù)定義可得tanZCHK=空=，=工，進(jìn)而可求得點(diǎn)P的坐標(biāo).

CH3723

【詳解】(I):拋物線0“=-尤2+云+。與工軸交于4(-3,0),兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)c(0,3),

.?.把4(一3,0),。(0,3)代入2：了=一尤2+云+的得，

J-9-36+c=0

jc=3

[b=-2

解得，。，

[c=3

,解析式為：y=-x2-2x+3；

(3)解:拋物線2上存在點(diǎn)P,使得NCPK=NCHK.

y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,

.??拋物線01的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,4),

???將拋物線2向右平移2個(gè)單位，得到拋物線Q2,

拋物線Q的解析式為y=-(x+1-2)2+4=-(x-1),+4,

???拋物線2的頂點(diǎn)為K,與x軸正半軸交于點(diǎn)H,

.?.K(l,4),H(3,0),

f〃=3

設(shè)直線3c的解析式為丁=履+〃，把CQ3),"(3,0)代入得

3K+n=0

k=-l

解得:

n=3

直線3C的解析式為y=-X+3,

過點(diǎn)K作"，》軸于點(diǎn)T,連接3C,設(shè)KP交直線3c于M或N,如圖2,過點(diǎn)C作尸S，y軸交部于點(diǎn)

S,交拋物線2于點(diǎn)尸，連接尸K,

圖2

:.KT=TC=1,NQC=90°,

:△CKT是等腰直角三角形，

:.NKCT=45。,CK=y/2KT=y/2,

?：OH=OC=3,^COH=90°,

.?.△CO"是等腰直角三角形，

:.ZHCO=45°,CH=V2OC=3V2，

NKCH=180°-NKCT—NHCO=90°,

CK>/21

tan/CHK-----=-——,

CH3723

?.-ZCPK=ZCHK,

tanZCPK=tanZCHK=-,

3

,/tanNBCO=,

OC3

:.ZBCO=/CHK,

???BK//OC,

:./CBK=/BCO,

"CBK=/CHK,

即點(diǎn)?與點(diǎn)5重合時(shí)，NCPK=NCHK,

.*(1,0)；

???SK=1,PS=3,

,/…7SK1

..tanNCPK--—，

PS3

:.ZCPK=ZCHKf

,??點(diǎn)戶與點(diǎn)C關(guān)于直線產(chǎn)-1對(duì)稱，

.02,3)；

綜上所述，拋物線。1上存在點(diǎn)P,使得NCPK=NCHK,點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1,0)或(-2,3).

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性

質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識(shí)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題是解題的關(guān)鍵.

4.(2023?浙江金華?中考真題)如圖，直線>=心彳+迅與x軸，V軸分別交于點(diǎn)A,8,拋物線的頂點(diǎn)尸在

2

直線A8上，與x軸的交點(diǎn)為C,。，其中點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,0).直線3c與直線尸。相交于點(diǎn)E.

(1)如圖2,若拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O.

①求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；②求笠的值.

(2)連接PCNCPE與能否相等？若能，求符合條件的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不能，試說明理由.

【答案】⑴①y=-拽一+3君門②(

23

(2)能，6或彳2或-6g或-14

313

【分析】（1）①先求頂點(diǎn)的坐標(biāo)，然后待定系數(shù)法求解析式即可求解；

②過點(diǎn)E作EWLOC于點(diǎn)H.設(shè)直線3c為丫=丘+石，把C（2,0）代入，得0=2k+布,解得人=-手，

直線BC為y=一號(hào)+小.同理，直線。尸為y=^x.聯(lián)立兩直線解析式得出Eg手，根據(jù)EH//BO,

由平行線分線段成比例即可求解;

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為1，券f+正J,則點(diǎn)。的坐標(biāo)為（2/-2,0）.①如圖2-1,當(dāng)時(shí)，存在

ZCPE=ZBAO.記NCPE=NBAO=a,NAPC=/7,則NAPO=a+￡.過點(diǎn)P作尸廠JLx軸于點(diǎn)尸，貝”

AF2

AF=，+2.在Rt^AP/中，cosZBAO=進(jìn)而得出點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為6.②如圖2-2,當(dāng)0＜%?2時(shí)，

/\rJ

存在/CPE=ZBAO.記NCPE=/BAD=a,ZAPD=￡.過點(diǎn)P作PF軸于點(diǎn)/，則AF=f+2.在

RbAPF中，cosZBAO=—=-,得出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為③如圖2-3,當(dāng)—2＜七0時(shí)，存在

AP33

NCPE=NBAO.i&ZBAO=a.過點(diǎn)P作尸/_Lx軸于點(diǎn)/，則AF=f+2.在RjAP尸中，

，=cos/BAO=],得出點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為-④如圖2-4,當(dāng)區(qū)一2時(shí)，存在NCPE=/S4O.記

/X.1J/

AF2

ZBAO=a.過點(diǎn)尸作依，光軸于點(diǎn)尸，則AF=T—2.在R^AP尸中，—=cosZPAF=-,得出點(diǎn)。的

AP3

一14

橫坐標(biāo)為-"—.

【詳解】（1）解：①???OC=2,

???頂點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為1.

.,.當(dāng)x=l時(shí)，＞=2+君=地,

22

點(diǎn)P的坐標(biāo)是1，

設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=a（x-1）?+孚，把（0,。）代入,

得0=。+垣,

2

解得a=-邁

2

???該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為＞=-手5-1）2+羋,

即＞=_手/+3后.

設(shè)直線3c為丁=履+百，把C（2,0）代入，得0=2k+右,

解得.手,

直線3c為了=一?x+G

同理，直線。尸為y=±5x.

2

-^-x+\[5,

y=

2

由＜

3A/5

y二-----X.

2

1

X=2'

解得

375

『工

113

：.OH=-,HC=2——=—.

222

EH//BO,

.BEOH

(J5冷

(2)設(shè)點(diǎn)2的坐標(biāo)為"t+非,則點(diǎn)。的坐標(biāo)為(2/-2,0).

①如圖2—1,當(dāng)/>2時(shí)，存在/CPE=/BAO.

記NCPE=NBAO=a,ZAPC=0,貝iJNAPD=a+月.

???NPCO為AB4c的外角，

/PCD=a+J3.

'：PC=PD.

：.ZPDC=ZPCD=a+/3.

:.ZAPD=ZADP.

：.AP=AD=2t.

過點(diǎn)P作P尸，x軸于點(diǎn)尸，貝UAF=/+2.

AF2

在Rt^APF中，cosZBAO=——=—,

AP3

**?f———,解得t=6,

2t3

^ZCPE=ZBAD=a,ZAPD=j3.

???N"C為的外角，

NPDC=a+/3.

：./PCD=ZPDC=a+P

：.ZAPC=ZACP.

???AP=AC=4.

過點(diǎn)P作尸尸，工軸于點(diǎn)尸，則M=，+2.

AF2

在BIAAPF中，cosZBAO=——=—,

AP3

.t+22-2

??丁=3'斛倚"r

???點(diǎn)p的橫坐標(biāo)為A.

③如圖2-3,當(dāng)一2<fW0時(shí)，存在NCPE=NE4O.^ZBAO=a.

,?PC=PD,

：.ZPDC=NPCD=-NCPE」a.

22

NAPD=NBAO-ZPDC=

22

ZAPD=ZPDA.

：.AD=AP=-2t.

過點(diǎn)P作尸軸于點(diǎn)P,貝|AF=f+2.

在RtAABF中,—=cosZBAO=~,

AP3

.，+22b.n/r\6

解得￡=一三

-It37

???點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為-與.

④如圖2-4,當(dāng)，（一2時(shí)，存在NCPE=NBAO.記NBAO=a.

,:PC=PD,

：./PCD=ZPDC=-ZCPE=-a.

22

ZAPC=ZBAO-ZPCD=a--a=-a.

22

???P4=C4=4.

過點(diǎn)尸作"軸于點(diǎn)尸，則A尸=T—2.

AF2

在RtAPF中，——=cosZPAF=—,

AAP3

???點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為.

綜上，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，解直角三角形，平行線分線段成比例，熟練掌握以上知識(shí)，分類

討論是解題的關(guān)鍵.

5.（2022?山東荷澤?中考真題）如圖，拋物線＞=4+法+C（QWO）與％軸交于A（-2,0）、B（8,0）兩點(diǎn)，與y

軸交于點(diǎn)C（0,4）,連接AC、BC.

⑴求拋物線的表達(dá)式；

(3)點(diǎn)P是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)NPCB=NABC時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

13

【答案】⑴-"+9+4

42

『、

⑶Pn(6,4)-或［寸34-司10-0J

【分析】(1)直接利用待定系數(shù)法求拋物線解析式即可；

(3)分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)尸在x軸上方時(shí)，當(dāng)點(diǎn)尸在x軸下方時(shí)，分別求解即可.

【詳解】⑴將4(-2,0),5(8,0),。(0,4)代入拋物線y=o?+6x+c(aw0),得

1

a=——

0=4a-2b+c4

b=)

<0=64a+8Z?+c,角軍得<

2

4=c

c=4

當(dāng)點(diǎn)尸在X軸上方時(shí),

??NPCB=ZABC,

：.CP〃x軸，

???點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為4,即4=一；尤2+：尤+4,

42

解得x=6或。（舍去）

;.P（6,4）；

當(dāng)點(diǎn)尸在x軸下方時(shí)，設(shè)直線CP交x軸于R

NPCB=ZABC,

CF=BF,

設(shè)。歹=r,貝i|CF=3尸=8—r,

在RMCOP中，由勾股定理得oc?+o/2=叱2,

即4?+產(chǎn)=（8-。）

解得t=3,

“（3,0）,

/.設(shè)直線CF的解析式為y=kx+4,

4

即0=3上+4,解得左=一§,

4

直線CF的解析式為y=-§》+4,

41334

^>--%+4=--X2+-X+4,解得x=丁或0（舍去）,

3423

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題目，涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，勾股定理的逆定理，折疊

的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，求一次函數(shù)的解析式，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)并

能夠靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

6.（2022.四川達(dá)州?中考真題）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y=以2+陵+2的圖象經(jīng)過點(diǎn)

A(-LO),5(3,0),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)連接3C,在該二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)尸，使NPCB=NABC?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)：若不存

在，請(qǐng)說明理由；

24

【答案】⑴y=_鏟2+產(chǎn)2

(2)PM(2,02)/或2(8彳,-2元86|、

【分析】(1)待定系數(shù)法求解析式即可求解；

(2)根據(jù)題意，分情況討論，①過點(diǎn)C作關(guān)于x=l的對(duì)稱點(diǎn)P,即可求P的坐標(biāo)，②x軸上取一點(diǎn)D,使

得DC=DB,則NDCB=/ABC,設(shè)。(d,0),根據(jù)勾股定理求得。。,即，建列方程，解方程求解即可；

【詳解】(1)解：：由二次函數(shù)，=0^+法+2,令x=0,則y=2,

??.C(0,2),

?.?過點(diǎn)A(-l,0),8(3,0),

設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a(x+l)(x—3)=。(/一2*一3),

將點(diǎn)C(0,2)代入得，

2=-3a,

2

解得〃=-2,

(2)：二次函數(shù)〉=加+Zw+2的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(-1,O),8(3,0),

拋物線的對(duì)稱軸為x=l,

①如圖，過點(diǎn)C作關(guān)于x=l的對(duì)稱點(diǎn)P,

:.CP//AB,

:.NPCB=ZABC,

?■-C(0,2),

“(2,2),

②x軸上取一點(diǎn)。，使得。C=Z?,則/DCB=/ABC,設(shè)￡>(d,O),

則CD=7?^=3-d，

.-.22+^2=(3-d,

解得d=〈，

O

即喉4

設(shè)直線CD的解析式為y=依+"

-k+b=0

<6,

b=2

\12

k=___

解得~5,

b=2

12

???直線CD的解析式為y=-二％+2,

12

y=---x+2

S

聯(lián)立4J

y=——x+—X+2

[33

28

x=一

5

解得或‘

286'

y=------

25

綜上所述，P(2,2)或(事,-等1,

7.（2022?湖北黃石?模擬預(yù)測(cè)）如圖：已知拋物線>=依2+灰-3與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),

（1）求拋物線的解析式

（3）P為拋物線上一點(diǎn)且/PCB=NACO,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【答案】（1）產(chǎn)-爐+標(biāo)-3

⑶P[]一；）或尸（2』）；

【分析】（1）根據(jù)拋物線>=加+次-3與y軸交于C點(diǎn)，OB=OC=3OA,可得B（3,0）,A（l,0）,再利用

待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；

（3）①過點(diǎn)C作軸，過點(diǎn)B作軸交。于點(diǎn)。，CP交BD于點(diǎn)H,將AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋

轉(zhuǎn)90。交3。延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接AH,根據(jù)正方形的判定與性質(zhì)可得NACP=45。，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得

ZACO=ZGCD,從而可證AAOC絲AGDC,可得AO=GO=1,ZGCH=45°,可證AAC“四可得

AH=GH,設(shè)尸他孑+48-3）,利用待定系數(shù)法求得直線CP的解析式為，=（-6+4卜-3,可得

"(3,—36+9),利用勾股定理可得A"?=%2一546+85,從而可得處?—546+85=9廿—788+169,再求解即

可；②通過構(gòu)造全等三角形求解即可.

【詳解】(1)解：：拋物線>=加+云-3與y軸交于C點(diǎn)，

.-.C(0,-3),

,?OB=OC=3OA,

.?.3(3,0),A(l,0),

把B(3,0),A(l,0)代入y=62+bx-3得，

即+36-3=0

[a+b-3^0'

解得[a/——,1，

拋物線解析式為尸-X2+4X-3；

(3)解：①以O(shè)C、OB為邊作正方形OCD3,連接CP交于點(diǎn)

???四邊形OCD5是正方形，

AZOCB=ZDCB=45°,OC=CD,

???ZACO+ZACB=45。,/PCB=ZACO,

：.ZACM=45°,

延長(zhǎng)AO,使O歹二DM,

在△on?和△DMC中，

'FO=MD

<ZFOC=ZMDC,

OC=DC

???OFC沿ADMC(SAS),

；?FC=MC,/FCO=/MCD,

???ZMCD+N尸CB=45。，ZACB+NPCB=45。，

:.ZACB=ZMCD=ZFCO,

:?/FCO+/OCA=ZACB+/PCB,即ZFC4=ZMC4,

在△FC4和△MC4中，

FC=MC

<ZFCA=ZMCAf

AC=AC

：.△FC4RMC4（&4S）,

：.AF=AM,

設(shè)AF=AAf=x,貝（JFO=A/D=x-1,BM=4-x,

在獨(dú)△ABM中，22+（4—X）2=%2,

解得x=g，

...《3,一I）

設(shè)直線CM的解析式為y=kx-3,

把代入y=丘一3得，303=-|,

解得彳=

直線CM的解析式為y=?-3,

=1-3

聯(lián)立方程組得，y-2X,

y=-x2+4%-3

???點(diǎn)G是。8的中點(diǎn)，OB=BD,

：.OG=-OB=-DB=DM,

22

在AOCG和ADCM中,

GO=MD

ZGOC=NMDC,

OC=DC

：.^OCG^DCM(SAS),

:?CG=CM,ZGCO=ZMCD,

VZGCO+ZBCP=45°,ZMCD+ZBCM=45°,

：.ZBCP=ZBCM,

：.ZACO=ZBCP=ZBCM,

設(shè)直線CG的解析式為y=kx-3f

把G（|,0）代入y=H-3得,|"3=0,

解得k=2,

/.直線CG的解析式為y=2x-3,

fy=2x—3

聯(lián)立方程組得，，

[y=-k+4x-3

解得士=。（舍），x2=2,

/.P（2,l）,

綜上所述，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為[（，-；）或（2,1）；

【點(diǎn)睛】本題考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和一次函數(shù)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、解一元一次方程和一元二次

方程、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、正方形的判定與性質(zhì)，熟練掌握用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解

析式和一次函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

8.（2022?湖南株洲二模）如圖1,已知拋物線>=。（爐-27nx-3〃22）（a>0,租>0）交x軸于A、8兩點(diǎn)（點(diǎn)A

在點(diǎn)B的左側(cè))，交y軸于點(diǎn)C

(1)若根=1,求A5的長(zhǎng)度；

(2)若a=l,m=l,尸是對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)NACP=NABC時(shí)，求尸點(diǎn)的坐標(biāo);

【答案】(1)4

FM

⑶義是為定值，該定值為2

ON

【分析】(1)當(dāng)機(jī)=1時(shí)，y=a^x2-2mx-3m2^=a(^x2-2x-3^,根據(jù)當(dāng)y=0時(shí)，

a(d-2尤一3)=以尤—3)(尤+1)=0,解得匹=3,電=-1,得到點(diǎn)A的坐標(biāo)是(—1,0),點(diǎn)8的坐標(biāo)是(3,0),即

可得到A3的長(zhǎng)度；

(2)當(dāng)。=1,7〃=1時(shí)，y=/_2x-3,求出的坐標(biāo)是(TO),點(diǎn)8的坐標(biāo)是(3,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,-3),

貝|JOC=OB=3,連接AC、BC,△03C是等腰直角三角形，得至U/ABC=45。，則NACP=/ABC=45。，過

點(diǎn)A作ADLAC,使得4)=AC,延長(zhǎng)線段8交拋物線于點(diǎn)P,過點(diǎn)。作OE_Lx軸于點(diǎn)E,貝U

ZAOC=ZDEA-90°,證明A/MEWICOIAAS),AE=OC=3,￡>E=AO=1,得到的坐標(biāo)是(2,1),求出CD

的解析式為y=2x-3,與二次函數(shù)聯(lián)立即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

【詳解】(1)解：當(dāng)機(jī)=1時(shí)，、=。(尤2-2根^一352)=4(尤2-2元一3),

當(dāng)y=0時(shí)，a(尤2_2*—3)=o(x-3)(x+l)=0,

丁aw0,

(%-3)(x+l)=0,

解得“1=3,芯=—1,

???點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)，

.?.點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-1,0),點(diǎn)8的坐標(biāo)是(3,0),

AB=3-(-l)=4,

即AB的長(zhǎng)度為4；

(2)當(dāng)a=l,根=1時(shí)，y=x2-2r-3,

當(dāng)>=0時(shí)，X2-2X-3=0，

解得％=3,招=—1,

???點(diǎn)4的坐標(biāo)是(TO),點(diǎn)2的坐標(biāo)是(3,0),

當(dāng)x=0時(shí)，y=x2-2x-3=-3,

???點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,-3),

,OC=OB=3,

連接AC、BC,

△O3C是等腰直角三角形，

ZABC=45°,

ZACP=ZABC=45°,

過點(diǎn)A作ADLAC,使得AD=AC,延長(zhǎng)線段8交拋物線于點(diǎn)P,過點(diǎn)。作DELx軸于點(diǎn)E,

則ZAOC=〃E4=90。，

?/ZDAE+ZCAO=ADAC=90°,ZACO+ZCAO=90°,

ZDAE=