高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：橢圓離心率及其范圍11類題型（解析版）

專題3-3橢圓離心率及其范圍11類題型匯總

總覽4題型解讀

【題型1】結(jié)合正余弦定理求離心率

【題型2】利用對稱性補(bǔ)成平行四邊形

【題型3】雙焦點(diǎn)三角形模型之導(dǎo)邊

【題型4］余弦定理用2次型

【題型5】結(jié)合幾何性質(zhì)求值

【題型6】與向量結(jié)合求離心率

【題型7】由齊次式方程求離心率

【題型8】點(diǎn)差法與離心率

【題型9】橢圓的第三定義與離心率

【題型10］設(shè)點(diǎn)運(yùn)算求值問題

【題型11］求離心率范圍

題型匯編、知識(shí)梳理與?？碱}型

【題型1】結(jié)合正余弦定理求離心率

核心?技巧

若已知焦點(diǎn)三角形中某個(gè)角可以考慮結(jié)合正余弦定理求其它量

/“典型例題/

22

1.已知橢圓C：A+當(dāng)=1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為《，月，點(diǎn)p為c上一點(diǎn)，/尸建居=120。，△

ab

片2心的內(nèi)切圓與外接圓的半徑分別為小飛若弓=6個(gè)則C的離心率為（）

AA/3R后c12D2

242010

【答案】D

【解答】解：設(shè)|月月|=2c,則2馬=一!而

sin120°J3

因?yàn)閨「耳|+|巡|=2a,

所以|耳耳『=（|/耳|+1P瑪I?—21/耳|||（1+cos120°）,

22

則4c2=4a-\PFl\\PF2\,則|PR||PF2\=4b.

由等面積法可得］（2a+2c）4=-X4Z?2Xsin120°=后（片-c2）,

整理得rx=6（。-。），

因?yàn)楣?6q,所以定=6百（a-c）,故e=￡=\.

fv27

2.已知橢圓c：/+方=1（〃〉"0）的左、右焦點(diǎn)分別為％F2,p為C上一點(diǎn),且cos4PK=§,若片

關(guān)于/￡尸工平分線的對稱點(diǎn)。在。上，則C的離心率為.

【答案】B

3

【解析】設(shè)匕關(guān)于/月產(chǎn)居平分線的對稱點(diǎn)為Q,

則尸,工,。三點(diǎn)共線,

設(shè)|夕耳1=根，則I尸。|=力,

7

又cos/￡P(guān)K=§,所以在△尸耳。中，由余弦定理有：

|f；2|2=m2+m2-2m2x1=^m2,即|f；Q卜與

由橢圓定義可知|尸團(tuán)+|尸。|+|。制=相+根+==4〃，可得m=

3，

31

所以|p周=5。,|尸周=5。

在△尸￡耳中，由余弦定理可得：

忸閭:PF：+尸疫_(dá)2P耳,PF2-COSNFFB,

0429212c32742",212

即4c——a~\—Q—2x—ax—=—a所"以c——〃

444933

所以e=￡=走.

a3

/“鞏固練習(xí)/

22

【鞏固練習(xí)1】如圖所示，已知橢圓的方程為上+乙=1,若點(diǎn)尸為橢圓上的點(diǎn)，且/尸的丹=120。，則APKE

43一一

的面積是.

【分析】根據(jù)橢圓的定義、余弦定理等知識(shí)求得|正片|,|耳用，從而求得4尸耳氏的面積.

【詳解】由已知a=2,>=g,得c==J"3=1，

則國閶=2c=2,\PFl\+\PF2\=2a=4,

在“耳尸中，由余弦定理，得忸耳『=|Pf；「+|￡g『—2|P￡||f；g|cosl20。，

所以|尸耳「=|Pf；『+4+2]尸團(tuán)，

由忸耳|+|尸閶=2°=4,得忸閭=4—|P￡|,

所以（4一|P娟丫=|%『+4+2]P娟，化簡解得|尸耳|=[,

所以AP耳巴的面積為力與卜陽周sinl20o=；x?x2x'=￥.

【鞏固練習(xí)2】已知耳，尸2是橢圓G「■+卷=1（。>>>0）的左，右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)尸在過A且

斜率為正的直線上，鳥為等腰三角形，/片工尸=120。，則C的離心率為

6

A.-B.1C.-D.-

3234

【答案】D

【詳解】分析：先根據(jù)條件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c關(guān)系，即得離心率.

詳解：因?yàn)樵旅麨榈妊切危?月鳥尸=120。，所以PF2=FIF2=2C,

由"斜率為洛得，tan/PAE=

sin/PAE,=cos/PAE,=,

6713V13

PFsinZPAF

由正弦定理得22

AF2~sinZAPF2'

11

2c而_而_2

所以

a+csin(--ZPAF.)且.也一L—L5

3-27132V13

22

【鞏固練習(xí)3】設(shè)橢圓C:J+與=l（a>6>0）的焦點(diǎn)為耳，居，直線/過k且和橢圓C交于4B兩點(diǎn)，且

ab

|A周=3山用,3忸閭=5|然|,則橢圓C的離心率為

【答案】顯

2

【分析】利用橢圓的定義列方程，再利用余弦定理求得離心率.

〔IiiiiII13〃+3機(jī)=2。n

【詳解】設(shè)|然|=3〃，田可=〃,忸閭=5叫A閭=3根，由橢圓的定義得|,解得根=〃=可

IYI十DrTZ—NQj

222222

人a+a-（2c）4a）+a-（|?）

令橢圓焦距為c,在△4耳月和AAB工中，由余弦定理得cosA=------甘一-=--------------,

2ac4

2'—a-a

3

整理得°2=2/,￡=變,

a2

所以橢圓C的離心率為也.

2

故答案為：也

2

【題型2】利用對稱性補(bǔ)成平行四邊形

生心?技巧’

橢圓具有中心對稱性，若遇到焦點(diǎn)三角形為直角三角形或者兩條焦點(diǎn)弦平行時(shí)可以考慮通過對稱性補(bǔ)成平

行四邊形來解題

///典型例題/

22

3.已知產(chǎn)是橢圓E:=+多=1（。>6>0）的左焦點(diǎn)，經(jīng)過原點(diǎn)。的直線/與橢圓E交于P,。兩點(diǎn)，若

ab

\PF\=3\QF\,且NPbQ=120。，則橢圓E的離心率為（）

【答案】A

【解答】解：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)一，連接尸尸，QF',根據(jù)橢圓對稱性可知四邊形PEF。為平行四邊形,

則1。91=1尸尸'1,且由NP尸。=120。，可得NFPF=60°,

13

所以|「尸|+|尸產(chǎn)'|=4|P尸|=2a,則|尸尸|=；。，\PF\=^a

由余弦定理可得(2c)2=|PF|2+1PF'i1-21PF||PF'\cos60°=(|PF|+1PF'\)2-3\PF||PF'\,

r2v23b

4.已知橢圓C:=+當(dāng)=l(0<8<aV當(dāng)?shù)淖螅医裹c(diǎn)分別為片，鳥，過原點(diǎn)的直線與C相交于M,N兩

ab2

點(diǎn)，若麗?福=0且閃個(gè)刊網(wǎng)，則橢圓C的離心率為.

【答案】JL

3

【詳解】因?yàn)檫^原點(diǎn)的直線與C相交于M,N兩點(diǎn)，礪?訪'=(),故四邊形崢叫為矩形，故閶=|百N|,

又IEM|+|gAf|=2a,|砒,2|麗

2

所以2a—|印0|22|gM|,^\F2M\<-af

222

又|￡M|+1F2M|=4C,

即(2a-|6")2+|K〃|2=402,且2c2〉片,

解得17yli=a-J2c2—〃2,IEM|=a+J2c2—〃2(由于區(qū)g。，故舍去)

2吉合'|F2M區(qū)§〃，古攵a—J2c之—儲(chǔ)<]Q,即—tz2<c2

火aW生na?<—(a2-c2}^>—a2>c2,

24V79

因此3/=02,故/=?,解得e=好，

993

故答案為：旦

3

22

5.己知橢圓C:1y+%=l(a>6>0)的右焦點(diǎn)為尸，過坐標(biāo)原點(diǎn)。的直線/與橢圓C交于A,B兩點(diǎn).在

△AEB中，NAEB=120。，且滿足鼠,=技0,則橢圓C的離心率為

［答案］其二2

2

【分析】設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為尸，連接4尸，BF',根據(jù)對稱性可知四邊形AFBF為平行四邊形，即可得

到ZE4F=60°,再由余弦定理及橢圓的定義求出斗|4廠［,即可求出S^F.AF,最后由

'AF'BF=S"HF得到關(guān)于e的方程，解得即可.

【詳解】設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為廣，連接AF,BF',根據(jù)對稱性可知四邊形AFBF為平行四邊形,

又/AFB=120°,所以/E49=60°,

又S^ABF=3^aAF,BF=c.F,AF=石℃,

5^\AF\+\AF'\=2a,\AFf+\AF'[-2\AF\-\AF'\cosZFAF'=\FF'^,

Fp|AF|2+\AF'^+2\AF\-\AF'\=4a2,

lAF^+lAFf-\AF\-\AF'\=A：c-,

所以14斗IAF[=4（aj）=號(hào)1,

./?

2

所以5raF=-|AF|-|Ar|sinZFAF'=^b,

即扃。=立〃，

3

訴V/"。一—c-1.部\/13—3—A/13—3

所以一=------=——e=3,解仔e=-------或e=------------.

acace22

又因?yàn)?<e<l,所以6=如-3.

2

故答案為：U

2

/“鞏固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)1】己知產(chǎn)為橢圓C：r+/=l（a>0）的右焦點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線與C相交于A,3兩點(diǎn)，且

a

軸，若3|明=5|AF|,則C的長軸長為（）

A.竿B.乎C26D.空

【答案】B

【分析】根據(jù)橢圓的對稱性可知，怛口就是A到橢圓左焦點(diǎn)的距離；再根據(jù)橢圓的定義和“焦點(diǎn)三角形”求

a的值.

【詳解】設(shè)廠（G。），如圖，記尸為C的左焦點(diǎn)，連接A尸,

則由橢圓的對稱性可知|AF'|=忸刊,由3忸尸|=5|AF|,設(shè)〔AFI=3詞3同=5%,JJi]\AF'\=5m.

又AR_Lx軸，所以|尸尸[=，3尸'「一|=4%=2C,即C=2〃Z,

2A/3

\AF'\+\AF\=Sm=2a

所以21242，解得

a-l=c=4m

m二——

6

所以C的長軸長為2a=延

3

22

【鞏固練習(xí)2】（高二下?廣東深圳?期末）已知橢圓C:=+當(dāng)=1（。>6>0）的右焦點(diǎn)為尸，過原點(diǎn)的直線/與

ab

C交于AB兩點(diǎn)，若AFJLM,M|AF|=3|BF|,則C的離心率為（）

【答案】A

【分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為月，由橢圓的對稱性可得四邊形AEB6為矩形，再根據(jù)橢圓的定義求出

|A耳|,仙耳，再利用勾股定理構(gòu)造齊次式即可得解.

【詳解】如圖，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為耳，

由橢圓的對稱性可得|明|=忸耳，忸=|AF|,

所以四邊形AFBFt為平行四邊形，

又尸，所以四邊形AF8月為矩形，所以AK_LAP,

由|AF|=3|阿,^\AF\=3\AF.\,

又|4耳|+|4刊=2許所以|A耳|=會(huì)4刊=當(dāng)，

在RSAF耳中，由L+M舊產(chǎn)圖2,

得《+叱=402,即至=4H，所以￡=巫，

442a4

即C的離心率為?.

4

【鞏固練習(xí)3】（2024?遼寧?一模）已知尸為橢圓C:=+丁=1伍＞0）的右焦點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線與。相交于

a

A3兩點(diǎn)，且AELx軸，若3忸川=5|AF|,則C的長軸長為（）

A.正B*C.2+D,也

333

【答案】B

【分析】根據(jù)橢圓的對稱性可知，怛司就是A到橢圓左焦點(diǎn)的距離；再根據(jù)橢圓的定義和“焦點(diǎn)三角形”求。

的值.

【詳解】設(shè)尸（c,0）,如圖，記尸'為C的左焦點(diǎn)，連接49，

則由橢圓的對稱性可知|4川=忸司,由3怛同=5|AF|,it\AF\=3m,\BF\=5m,則|AF[=5〃z.

又AF_Lx軸，所以|尸=J|4-「_|A/『=4〃?=2c,即c=2m,

2A/3

Cl=-----

\AF'\+\AF\=8m=2a3

所以解得

a2-l=c2=4m2百.

m=—

6

所以C的長軸長為2°=逑

2

【鞏固練習(xí)4]設(shè)橢圓C:「+%=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，工，點(diǎn)在C上（M位于第一象

a

限），且點(diǎn)M,N關(guān)于原點(diǎn)0對稱，若麗?麗=0,后閭=|N閭，則C的離心率為（）

715R行「2岳-2V15-2

AA.--D.----C.-------nL）.---------

4774

【答案】C

【分析】根據(jù)對稱以及垂直可證四邊形片是矩形，即可根據(jù)橢圓定義，以及勾股定理求解

,才艮據(jù)上|5|=|叫|得2c=4（°——/一26],即可求解離心率.

【詳解】點(diǎn)M,N關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以線段MNX瑪互相平分，故四邊形崢叫為平行四邊形，

又礪?砒1=（）,故/不陷=],所以四邊形岬”是矩形，故|MN|=|耳司，其中|N胤=|M局，

i^\MF2\=x,則|町|=24—x,由|肛『+眼名「=山閭2,得（2"尤）2+/=公2,整理得/一2分+2〃=0,

由于點(diǎn)M在第一象限，所以x=q節(jié)，

由而眼段=|N段，^\MN\=4\MF2\,即2c=4（a-J/-262）,

整理得7c2+4“c-8/=0,即7e2+4e-8=0,解得e=R氏2.

7

故選：C

【題型3】雙焦點(diǎn)三角形模型之導(dǎo)邊

逢心?技巧7

若橢圓中出現(xiàn)了過焦點(diǎn)的弦這類條件，可以分成2個(gè)焦點(diǎn)三角形來分析，進(jìn)而找出4條焦半徑之間的關(guān)系,

再結(jié)合其它條件求出離心率

/“典型例題/

22

6.己知小B分別是橢圓C：|y+}=l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)，M,N是橢圓C上兩點(diǎn)，且2兩=3而,

底.麗=0,則橢圓C的離心率為（）

75

,3

【答案】B

【分析】設(shè)1陽=2〃，結(jié)合橢圓定義得I年|=2a-3〃，\NF2\=2a-2n,在RIAMN瑪中由勾股定理得〃=光,

再結(jié)合求解.

【詳解】連接黑，設(shè)|N￡|=2w,則|叫|=3〃，\MF2\=2a-3,n,\NF2\=2a-2n,

在RtzJVW八中，|MN『+|M&|2=|NK「，即（5”）？+Qa-34=（2。-2/1）2,

所以〃=||,所以|M4|=1,|憶言，

在RtZXM片工中，|西『+|/鳥|2=|月8|2,即25c2=174,所以e=平.

故選:B.

22

7.已知橢圓斗+2=l（a>b>0）,耳，F(xiàn)?分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，A是橢圓的下頂點(diǎn)，直線A乙交橢

圓于另一點(diǎn)P,若忸胤=|以|,則橢圓的離心率為

【答案】縣

3

Q1

【分析】由題意結(jié)合橢圓定義可得|「團(tuán)=￡,|尸耳|=］，在△"月中，由余弦定理可得cos/PAK=§,再

利用二倍角的余弦公式可得sin=-,從而求出橢圓的離心率.

【詳解】如圖,

點(diǎn)尸在橢圓上,所以|尸耳|+|尸閭=2a,

由|尸制=|"|=|尸耳+|然|,M用=。代入上式得，|「劇=^，|尸用=￡

…耳二國D尸父

在J_

2\AF^\AP3

2

又cos/PAf；=1-2sin2/OA耳=；,所以sinNOA月=乎，

即sinZOAF=-=e=—

1a3

8.已知橢圓C:江+亡=1(。>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為片，居，過點(diǎn)F?的直線/與橢圓C交于P,。兩

/b2

點(diǎn).若忸耳|=|尸耳|，且2A瓦=3月。,則C的離心率為.

【答案】|

【分析】取線段PF2的中點(diǎn)憶連接耳M,由題意可得優(yōu)。|=g(2a-2c),陽口=笥土，進(jìn)而求得

2222

\MF2\=a-c,|^M|=3c-a+2ac,\MQ^=(\MF2\+\F2Q^=^-(a-c),

49i

利用Rt△耳MQ,可得3/—/+2"+豆5―C)2=,(2Q+4c>,求解即可.

【詳解】由題意知，比閭=|P娟=2c,由橢圓定義，

2

得|尸聞=2a-2c,則|gQ|=§(2a_2c),

國Q|=2a_g(2a_2c)=2號(hào)￡取線段PF?的中點(diǎn)M,連接耳M,如圖所示.

易知也|=a-c,閨M「=（2c）2-{a-c）2=3c2-a2+2ac,

——2

I匡。『=（<2-c）+|（2t7-2c）=y（a-c）2.

在Rt△耳MQ中，得國叫2+|M2『=|居

491

即3c2-儲(chǔ)+2ac+（a—c）2=—（2a+4c）2,得5c2—Sac+3/=o,

3

即5/-8e+3=O,又0<e<l,解得e=1.

22

9.已知橢圓石：3+a=1（八匕>0）的上、下焦點(diǎn)分別為G、F2,焦距為2石，與坐標(biāo)軸不垂直的直線/過

居且與橢圓E交于A、8兩點(diǎn)，點(diǎn)P為線段A&的中點(diǎn)，若乙48工=/2尸8=90。，則橢圓E的離心率

為.

【答案】76-73

【分析】作出圖形，分析可知△AB鳥為等腰直角三角形，設(shè)|AB|=|%|=機(jī)（兀：>0）,則恒耳|=鬲，利用

橢圓的定義可得出根=（4-20）0,怛耳|=倒0-2）“，在RL%居中，利用勾股定理可得出關(guān)于。、c的齊

次等式，即可求出該橢圓的離心率的值.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，ZABF2=ZF2PB=90°,貝盟

所以，△AB8為等腰直角三角形，

il|AB|=\BF2\=m（m>0）,則卜周="〃，

由橢圓的定義可得|人國+忸周+|A聞=（|4居|+|4巴|）+（忸浦+忸圖）=4a=（2+0）〃z,

所以，m=（4-2點(diǎn)）a,

所以，=2a-m=2q_（4_2&）a=（20-2）a,

由勾股定理可得「+解「=|即『，即（2夜-2）Z+（4-2⑹2a2=布，

整理可得,式幾-也”,因此，該橢圓的離心率為e=￡=卡―道.

a

/u鞏固練習(xí)/

22

【鞏固練習(xí)。如圖所示，點(diǎn)/是橢圓三+2=1（。>6>0）的右焦點(diǎn)，AC是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)。對稱

ab

的兩點(diǎn)，直線"與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為B,若4=3忸同，則橢圓加的離心率為（）

【答案】D

【分析】作片為橢圓M的左焦點(diǎn)，連接A￡,CE，B耳.設(shè)|BF|=根，則仙尸|=3加，再利用橢圓的定義及對

稱性建立方程組求出離心率.

【詳解】令片為橢圓M的左焦點(diǎn)，連接入月,瑪,3月，由A,C是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)O對稱的兩點(diǎn)，

知四邊形A尸C片是平行四邊形，又AF，"，則DAPC耳是矩形，

令|月_F|=2c,|BF|=m,貝|||4/|=3根，|AF；|=2a—3〃z,|BF1|=2a-mt

團(tuán)即(3m)2+(2a-3m)2=4c2_72

于是(2a-3m)2+(4m)2=(2a-in)2牛仔’2a

\AEI2+\AB^\BEI2'

所以橢圓M的離心率為—

2

22

【鞏固練習(xí)2】已知橢圓C:3+4=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳，B，過點(diǎn)冗的直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),

ab

若［4￡|=耳|￡8|,且44區(qū)3=90。，則橢圓的離心率為（）

A.立B.也C.好D.交

2353

【答案】C

【分析】設(shè)耳8二2乙根據(jù)題目條件和橢圓定義表示其他邊長，利用勾股定理得出，和。的關(guān)系，分別在

△耳人耳和直角△A5&中表示cosA,建立等量關(guān)系求橢圓離心率.

【詳解】設(shè)耳3二2乙則=3%,AB=5/,

由橢圓的定義得，AF2=2a-3t,BF2=2a-2t,

222222

由ZAF2B=900得AF2+BF2=AB,即Qa-3z)+(2〃-2t)=(5t),

整理得3戶+5R-2a2=0,解得/=，或,=一2。(舍去)，

AB=^a,AF=a,AF=

2xa,故點(diǎn)A在丁軸上.

如圖，在直角△ABK中，COSA=4^=3,

AB5

在A與A瑪中，cosA=^t菠葛度_a2+a2-4c2_3

2A與黑鳥2a?a5'

化簡得］=L；?橢圓的離心率e=、5

a'55

22

【鞏固練習(xí)3】設(shè)大，鳥是橢圓C:=+當(dāng)=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，過K的直線/與C交于A,8兩

ab

點(diǎn)，若4鳥，86，|AB|=y,則C的離心率為（）

A.垣B.-C.-D.好

5555

【答案】D

【分析】設(shè)|A4I=x,忸4|=y,（0<x<y）,根據(jù)橢圓的定義及勾股定理求出x、y,即可求出忸閶、|然|,

再由余弦定理求出〃與c的關(guān)系，即可求出離心率.

［詳解］不妨設(shè)|A耳|二x,\BFx\=yf（0<x<y）,貝［人耳|=2〃_%,\BF2\=2a-y.

又AK_L3弱，所以（2々一1）2+（2々一?=（1+?,化簡得孫+2〃（X+,）=4片，

顯然x+y=|AB|=?，所以孫=手，解得x=g,y=a,所以|A用=：,忸閶=a,

(町+(2靖/44

故C的離心率為逝.

故cosNA耳F2=--=--------,解得a=&,

02x”5

22

【鞏固練習(xí)4】設(shè)片，F(xiàn),分別是橢圓E:二+多=1(。>。>())的左、右焦點(diǎn)，過招的直線交橢圓于A,B

ab

__,>.HULLULUl

兩點(diǎn)，且伍?M=0,AB=4F2B,則橢圓E的離心率為()

A,-B.我C.好D.五

2234

【答案】B

［分析】設(shè)愿=x,根據(jù)橢圓定義結(jié)合勾股定理解得x=|,進(jìn)而可得=|A閭=々，在△Rtz^AF；鳥中,

利用勾股定理列式求解即可.

【詳解】設(shè)此=X,

勢

ULUUUU....

因?yàn)锳B=4EB,則|4月|=3彳，但8|=》,

由橢圓的定義可得|AF；|=2a-3x,怛制=2a-x,

因?yàn)辂?亞'=(),即N￡AK=5，

在RtZ\AK3中，則|A￡「+|A/球=忸￡「，即(2a-3無產(chǎn)+(4x)2=(2a-無產(chǎn),

解得x=］,可得|A司=|A月|=a,

在ARSA月月中，可得/+/=(2C)2,整理得/=202,

所以橢圓E的離心率為e=￡=走.

a\a22

22

【鞏固練習(xí)5］已知橢圓￡:=+當(dāng)=1(a>A>0)的左、右焦點(diǎn)為耳、B，圓一+曠=/一〃與E的

3

一個(gè)交點(diǎn)為夕，直線P8與石的另一個(gè)交點(diǎn)為。，tanZ^e^=-,則石的離心率為（）

A.-B.正C.-D.立

5242

【答案】B

【分析】由題意可得尸耳，「工，設(shè)|尸耳|=》，由橢圓的定義可知，|尸閶的表達(dá)式，再由tanN耳空的值，可

4

\PQ\=-x,在RtA尸。居中，可得x=a,可得點(diǎn)尸為短軸的端點(diǎn)，在△內(nèi);￡中，由余弦定理可得“，c的關(guān)

系，即求出橢圓的離心率的值.

【詳解】由題意知，圓Y+V=/一匕2=c2過橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，

因?yàn)槭瑸閳A與橢圓的交點(diǎn)，所以尸身,尸巴，

因?yàn)閠an4QK=f^=],

4

設(shè)IWI=x,可得|%|=2a-x,\PQ\=-x,

47

所以|Q&\^PQ\-\PF2\=-x-（2a-x）=-x-2a,

7

所以磔1=2。-磔|=4。-丁，

在RtA尸。鳥中，I。耳『=|尸?！?I陽2,

2575（7

即「+/=4〃——x解得§%=4。_丁或§尤=_14〃_-X

33

解得X=Q或X=6。（舍去），

此時(shí)點(diǎn)尸為橢圓短軸的頂點(diǎn),

sinZFiQF23

tanZEQF2=--------,一”=—4

又〈一cos/耳Q64,解得cos4QB=m（負(fù)值舍去）,

22

sin/耳QF2+cosZFtQF2=l

且31=$,\QFt\=^a,

1252_A2

I。耳『+|。工|2_|耳月2+§"一_4

在△?;g中，由余弦定理可得cosNKQK=

2\QF\\QF\1~~5-5

l292x-ax-a

33

￡=@.故選：B.

整理可得〃2=202,所以e

a2

【題型4】余弦定理用2次型

核心?技巧

若橢圓中三點(diǎn)組成的三篇形孑看一條邊過橢圓焦點(diǎn)，可以*捻用鄰補(bǔ)前余弦值和有次紙得到一個(gè)等式.

//典型例題/

22

10.橢圓C:=+2=l（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,過點(diǎn)片的直線/交橢圓C于A,B兩點(diǎn)，若

ab

|FtF2HAF21,通=2卷，則橢圓C的離心率為（）

R0

AD

-72-I

【答案】D

【解析】因?yàn)镮片鳥|=|A島|=2c,由橢圓定義知|AGI=2“-2c,

又麗=2陌，所以|8月|=a-c,再由前有圓定義|2￡：|=20-（4一＜?）=。+0,

因?yàn)閆AFlF2+ZBFlF2=兀，所以cosNA￡鳥=-cosZBFtF2,

|4片『+|下月『一月『二|3百|(zhì)2+|大月|2一|3月|2

所以由余弦定理可得

2\AF1\-\FlF2\2|34|.|片8I

(2a-2c)2+(2c)2-(2c)2(a-c)2+(2c)2-(?+c)2

即

2(267-2c)-2c2(。-c)-2c

化簡可得/+3c2—4ac=0,即3e2-4e+l=0,

解得e=；或e=l（舍去）

22

11.已知我|,歹2分別為橢圓C：=+與=1（。＞。＞0）的左、右焦點(diǎn)，過月的直線與C交于尸，。兩點(diǎn),

ab

若|正耳|:歸耳］:閨Q|=6:3:2,則橢圓C的離心率為.

【答案】交4百

33

【分析】設(shè)|「耳|=6.，|尸閭=3叫耳Q|=2根,由橢圓定義得到怩0=7%分別在△尸耳鳥和A通g上,利

用cos/PKE+cos/QKE,=0,求出機(jī)=冬叵。，故|「引=述。，|PF,|=—c，從而得到

9113113

|「耳|+|尸閭=2&=2a,求出離心率.

【詳解】設(shè)|尸耳|=6"?,則歸瑪|=3加，閨0=2加，

由橢圓定義知|P周+儼閭=|耳。|+優(yōu)0,故國0=7機(jī)，

其中國局=2c,

在APK鳥中，由余弦定理得

22222

=\PF^+\FXF^-\PF^=36m+4c-9m=27m+4c

C°S12=—2|.團(tuán)?閨工|—=-2x6m-2c-=24mc'

在△例［中，由余弦定理得

=1d山.『一|°「『=4療+4c2-49療=-45療+?

C0S

QI2一2|°周.陽國―_2x2m-2c-

因?yàn)?兀，所以cos/尸耳工+cos/QGK=0,

Z.PFXF2+AQFXF2

2

即27m+4c2+-45加2+4c?=。,故27/+4c?+3（T5〃+4c?）=0,

24mc8mc

解得m=2近/

9

故忸耳上華c，1尸周=子c，

由|尸團(tuán)+戶段=殍c+半C=2A/§C=2“，

/“鞏固練習(xí)/

22

【鞏固練習(xí)1】己知橢圓C：二+多=1（。>6>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為耳，月，過F1作直線與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),

ab

若|A周=2忸周且忸叫=|AB|,則橢圓C上的離心率為（

A.-B.-C.且D.正

3433

【答案】C

解析：設(shè)陽用=/，則|A/=2f,優(yōu)，=3力,

由橢圓定義：區(qū)川+叵川=4”2〃，耳A|+優(yōu)山=〃+怩川=2〃，.?.優(yōu)山二〃，

a2429/

222------|——

cosNA耳居=—cos/B耳月，.”+4廠-.=_/一----二，化簡3c2=",.,=也，故選C

2-a-2cc1。3

2?一a,2c

2

22

【鞏固練習(xí)2]（2024?河北滄州?二模）已知可心為橢圓E:?+3=1（Q〉?！怠＃┑淖?、右焦點(diǎn)，過冗的直線

ab

與E交于M,N兩點(diǎn)，若|肛|=3|叫|=4|岫|,則E的離心率為.

【答案】巫

5

【分析】利用給定條件，結(jié)合橢圓的定義、余弦定理建立關(guān)于的等式，即可求出離心率.

【詳解】由|9|=3|叫|=4|岫|及|岫|+|年|=24,得阿國=9,眼耳卜￡,口娟=當(dāng)，

228

又|g|+|四|=2°,則囚用=史，設(shè)/M/但=仇閨閶=2c,

在△A/耳罵中，由余弦定理得，|"寫（=閨引2+|”G「-2阿盟.閨閭8$6,

在△”耳中，由余弦定理得，

〒日。之29/3a八門169片/29/3a八

于—=4cH--------2x2cx—cosg,-EL---------=4cH--------F2x2cx—cos。，

44264648

22

整理得2c之+々2=3accos。，A5a—8c=3accos0,因此g=2,—=

a5a5

所以月的離心率為6=強(qiáng).

5

故答案為：叵

5

22

【鞏固練習(xí)3】設(shè)斗月分別為橢圓C：3+2=im>b>0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A3均在C上,若不=2”,

2閨a=5陽A|,則橢圓C的離心率為（）

A.正B.立C如叵

234~5~

【答案】B

解析：設(shè)閨A|=f,則同理=；,忸耳|=$,

2

4a彳216〃2225〃

---+4c------——+a4c-4--2------

99二99化簡9。2=5〃，.、=好，故選B

c2c一「1C

2--a-2c2?一〃?2c3

33

V2V2

【鞏固練習(xí)4】已知橢圓C=+與=1（。＞“0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為％工，過月作直線與橢圓相交于A,5兩點(diǎn),

ab

若|4娟=2忸用且忸工|=則橢圓c上的離心率為（

A-1

【答案】C

解析：設(shè)閨同=，,則|44|=2/，|工回=31,

由橢圓定義：出