2022年北京市昌平初三（上）期末數(shù)學(xué)試卷及答案

1/12022北京昌平初三（上）期末數(shù)學(xué)一、選擇題（本題共8道小題，每小題2分，共16分）下面各題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是符合題意的.1．已知為銳角，且，那么等于A． B． C． D．2．已知，則下列各式正確的是A． B． C． D．3．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A． B． C． D．4．已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則的值為A．3 B．4 C．5 D．65．如圖，是的外接圓的直徑，若，則A． B． C． D．6．如圖，面積為18的正方形內(nèi)接于，則的半徑為A． B． C．3 D．7．關(guān)于二次函數(shù)，以下說法正確的是A．當(dāng)時(shí)，隨增大而減小 B．當(dāng)時(shí)，隨增大而增大 C．當(dāng)時(shí)，隨增大而減小 D．當(dāng)時(shí)，隨增大而增大8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為2，與軸，軸的正半軸分別交于點(diǎn)，，點(diǎn)，，，，均為上的點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），若，則點(diǎn)的位置為)A．在上 B．在上 C．在上 D．在上二、填空題（本題共8道小題，每小題2分，共16分）9．寫出一個(gè)開口向下，與軸交于點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式：．10．已知的半徑為，圓心到直線的距離為，那么直線與的位置關(guān)系是．11．若扇形的圓心角為，半徑為2，則該扇形的弧長是（結(jié)果保留．12．點(diǎn)，是二次函數(shù)圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，則（填“”，“”或“”．13．如圖，為的直徑，弦于點(diǎn)，若，，則的長度為．14．已知反比例函數(shù)的圖象分布在第二、四象限，則的取值范圍是．15．如圖，，分別與相切于，兩點(diǎn)，是優(yōu)弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則．16．點(diǎn)，，，是圖象上的點(diǎn)，存在時(shí)，成立，寫出一個(gè)滿足條件的值．三、解答題（本題共12道小題，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27、28題，每小題5分，共68分）17．（5分）計(jì)算：．18．（5分）如圖，在中，，，，點(diǎn)在上且，于點(diǎn)，求的長．19．（5分）已知：二次函數(shù)．（1）求出二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)及與軸交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）在坐標(biāo)系中畫出圖象，并結(jié)合圖象直接寫出時(shí)，自變量的取值范圍．20．（5分）如圖，在中，，，于點(diǎn)且，求的長．21．（5分）已知：如圖，為銳角三角形，．求作：一點(diǎn)，使得．作法：①以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫圓；②以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，交于點(diǎn)，兩點(diǎn)；③連接并延長交于點(diǎn)．點(diǎn)即為所求．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明：證明：連接，．，點(diǎn)在上．，．．點(diǎn)，在上，．（填推理的依據(jù)）．22．（5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的交點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）過點(diǎn)且垂直于軸的直線與一次函數(shù)圖象，反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)分別為，，當(dāng)時(shí)，直接寫出的取值范圍．23．（6分）居庸關(guān)位于距北京市區(qū)50余公里外的昌平區(qū)境內(nèi)，是京北長城沿線上的著名古關(guān)城，有“天下第一雄關(guān)”的美譽(yù)．某校數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們使用皮尺和測(cè)角儀等工具，測(cè)量南關(guān)主城門上城樓頂端距地面的高度，下表是小強(qiáng)填寫的實(shí)踐活動(dòng)報(bào)告的部分內(nèi)容：請(qǐng)你幫他計(jì)算出城樓的高度．（結(jié)果精確到，，，題目測(cè)量城樓頂端到地面的高度測(cè)量目標(biāo)示意圖相關(guān)數(shù)據(jù)，，，24．（6分）如圖，是的外接圓，是的直徑，于點(diǎn)，是延長線上一點(diǎn)，且．（1）求證：是的切線；（2）連接并延長，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．若的半徑為5，，求和的長．25．（6分）隨著冬季的到來，干果是這個(gè)季節(jié)少不了的營養(yǎng)主角，某超市購進(jìn)一批干果，分裝成營養(yǎng)搭配合理的小包裝后出售，每袋成本20元．銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每天銷售量（袋與銷售單價(jià)（元之間的關(guān)系可近似地看作一次函數(shù)：，設(shè)每天獲得的利潤為（元．（1）求出與的關(guān)系式；（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每天可獲得最大利潤？最大利潤是多少？26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)和點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上．（1）當(dāng)時(shí)．①求這個(gè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；②若點(diǎn)，在二次函數(shù)的圖象上，且，則的取值范圍是；（2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．27．（7分）已知，點(diǎn)，分別在，上，，連接，在上方作等邊，點(diǎn)是延長線上一點(diǎn)，且，連接．（1）補(bǔ)全圖形；（2）連接，求證：；（3）連接，交于點(diǎn)，請(qǐng)你寫出一個(gè)的值，使一定成立，并證明．28．（7分）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)，，給出如下定義：若且，我們稱點(diǎn)是線段的“潛力點(diǎn)”．已知點(diǎn)，．（1）在，，，中是線段的“潛力點(diǎn)”是；（2）若點(diǎn)在直線上，且為線段的“潛力點(diǎn)”，求點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍；（3）直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，當(dāng)線段上存在線段的“潛力點(diǎn)”時(shí)，直接寫出的取值范圍．

參考答案一、選擇題（本題共8道小題，每小題2分，共16分）下面各題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是符合題意的.1．【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解．【解答】解：，為銳角，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是掌握幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值．2．【分析】比例的性質(zhì)：內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積，依此即可求解．【解答】解：、由可得，故選項(xiàng)正確；、由可得，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；、由可得，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；、由可得，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．【分析】根據(jù)頂點(diǎn)式的坐標(biāo)特點(diǎn)，直接寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)即對(duì)稱軸．【解答】解：拋物線是頂點(diǎn)式，根據(jù)頂點(diǎn)式的坐標(biāo)特點(diǎn)可知，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為．4．【分析】把點(diǎn)坐標(biāo)代中即可求出的值．【解答】解：反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟知反比例函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．5．【分析】根據(jù)圓周角定理推論：直徑所對(duì)圓周角為直角、同圓中等弧所對(duì)圓周角相等即可得到結(jié)論．【解答】解：是的外接圓的直徑，點(diǎn)，，，在上，，，是的外接圓的直徑，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，由圓周角定理得到，是解題的關(guān)鍵．6．【分析】連接、，則為等腰直角三角形，由正方形面積為18，可求邊長為，進(jìn)而可得半徑為3．【解答】解：如圖，連接，，則，四邊形是正方形，，是等腰直角三角形，正方形的面積是18，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形和圓、正方形的性質(zhì)、構(gòu)造等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．7．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式可以得出圖象的對(duì)稱軸和開口方向，從而確定函數(shù)的增減性．【解答】解：拋物線的解析式為，該拋物線的對(duì)稱軸為直線，開口向下，當(dāng)時(shí)，隨增大而增大，當(dāng)時(shí)，隨增大而減小，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵是要牢記頂點(diǎn)式與圖象的關(guān)系．8．【分析】如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，利用勾股定理求出、、的值，觀察點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律即可得出答案．【解答】解：如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，，，，由圖可知：隨著角度逐漸變小，點(diǎn)、、的橫坐標(biāo)逐漸增大，縱坐標(biāo)逐漸減小，，點(diǎn)在上．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，運(yùn)用勾股定理求出、、的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．二、填空題（本題共8道小題，每小題2分，共16分）9．【分析】開口向下可確定二次項(xiàng)系數(shù)小于0，與軸交于點(diǎn)可確定常數(shù)項(xiàng)為1．【解答】解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為，該函數(shù)的圖象開口向下，，可以取，當(dāng)，，，滿足條件的一個(gè)函數(shù)為，故答案為：，（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關(guān)系，關(guān)鍵是要牢記系數(shù)和圖象開口，頂點(diǎn)，對(duì)稱軸，坐標(biāo)軸交點(diǎn)之間的關(guān)系．10．【分析】由題意得出，根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系的判定方法判斷即可．【解答】解：的半徑為，如果圓心到直線的距離為，，即，直線與的位置關(guān)系是相交．故答案為：相交．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用；注意：已知的半徑為，如果圓心到直線的距離是，當(dāng)時(shí)，直線和圓相離，當(dāng)時(shí)，直線和圓相切，當(dāng)時(shí)，直線和圓相交．11．【分析】利用弧長公式計(jì)算即可．【解答】解：扇形的圓心角為，半徑為2，扇形的弧長．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查弧長公式：，關(guān)鍵是記住弧長公式，屬于中考基礎(chǔ)題．12．【分析】由于知道二次函數(shù)的解析式，且知道、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，故可將兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別代入二次函數(shù)解析式求出、的值，再比較即可．【解答】解：把、代入二次函數(shù)得，；，所以．故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，要明確：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)符合函數(shù)解析式．13．【分析】根據(jù)垂徑定理由得到，再根據(jù)勾股定理計(jì)算出．【解答】解：連接，，，直徑，，在中，，故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?4．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，由即可解得答案．【解答】解：反比例函數(shù)的圖象分布在第二、四象限，．解得．故答案是：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)：當(dāng)時(shí)，圖象分別位于第一、三象限；當(dāng)時(shí)，圖象分別位于第二、四象限．15．【分析】連接、，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理求出，再根據(jù)圓周角定理計(jì)算，得到答案．【解答】解：連接、，，分別與相切于，兩點(diǎn)，，，，，，故答案為：65．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．16．【分析】根據(jù)題意當(dāng)時(shí)，則，由，得到，解得．【解答】解：，對(duì)稱軸為軸，，、不在對(duì)稱軸的異側(cè)，，當(dāng)時(shí)，則，，，，，，故答案為：1（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)題意設(shè)出、的值，代入解析式即可求得的值．三、解答題（本題共12道小題，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27、28題，每小題5分，共68分）17．【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．18．【分析】由得到，然后得到，再利用相似三角形的性質(zhì)求得的長．【解答】解：于點(diǎn)，，，，，，，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知垂直的定義得到．19．【分析】（1）將函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式求解頂點(diǎn)坐標(biāo)，令求圖象與軸交點(diǎn)坐標(biāo)．（2）通過觀察拋物線在軸下方的取值范圍求解．【解答】（1）解：，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為．令，則．解得，．圖象與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，，．（2）如圖，當(dāng)時(shí)，自變量的取值范圍為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．20．【分析】在和中，分別求出、、，再利用線段的和差關(guān)系求出．【解答】解：于點(diǎn)，，為直角三角形．中，，，，．中，，，．．．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．21．【分析】（1）根據(jù)要求作圖即可；（2）根據(jù)圓周角定理求解即可．【解答】解：（1）如圖所示．（2）證明：連接，．，點(diǎn)在上．，．．點(diǎn)，在上，．（一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半），．故答案為：，，一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查作圖—復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A周角定理．22．【分析】（1）把代入，求出，得到點(diǎn)坐標(biāo)，再將點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式即可求得的值；（2）先畫出兩函數(shù)的圖象，再根據(jù)時(shí)，即可得出的取值范圍．【解答】解：（1）把代入，得，，解得，點(diǎn)坐標(biāo)為．把代入，得，，解得．所以反比例函數(shù)表達(dá)式為．；（2）一次函數(shù)的圖象與的圖象相交于點(diǎn)和．觀察函數(shù)圖象可知：過點(diǎn)且垂直于軸的直線與一次函數(shù)圖象，反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)分別為，，當(dāng)時(shí)，，則的取值范圍是或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．23．【分析】設(shè)為，根據(jù)三角函數(shù)列方程求得的值，進(jìn)而求出即可．【解答】解：根據(jù)題意，得，，設(shè)為，在中，，，，在中，，又，，解得，，答：城樓頂端距地面約為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解直角三角形的知識(shí)，熟練利用三角函數(shù)求值是解題的關(guān)鍵．24．【分析】（1）連接．根據(jù)圓周角定理和同角的余角相等可得．然后由切線的判定方法可得結(jié)論；（2）由垂徑定理及三角形的中位線定理可得，．然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得答案．【解答】（1）證明：連接．，．于點(diǎn)，．．．，．．是半徑，是的切線．（2）于點(diǎn)，為中點(diǎn)．為中點(diǎn)，為的中位線．，．．．，．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是切線的判定與性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理及圓周角定理，正確作出輔助線是解決此題關(guān)鍵．25．【分析】（1）由利潤每袋利潤銷量求解．（2）將函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式求解．【解答】解：（1）由題意可得．與的關(guān)系式為．（2），，且，當(dāng)時(shí)，．答：當(dāng)銷售單價(jià)定為每袋30元時(shí)，每天可獲得最大利潤，最大利潤是200元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是通過題意列出等式，掌握求二次函數(shù)求最值的方法．26．【分析】（1）①利用待定系數(shù)法即可求得解析式，把解析式化成頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；②根據(jù)二次函數(shù)的增減性和對(duì)稱性即可得到的取值范圍；（2）分兩種情況討論，根據(jù)題意得到關(guān)于的不等式組，解不等式組即可求得．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)．①把點(diǎn)代入，得，二次函數(shù)表達(dá)式為，所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為；②拋物線．開口向上，對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)，在二次函數(shù)的圖象上，且，或，故答案為：或；（2）將點(diǎn)，代入，可得，．當(dāng)時(shí)，有兩種情況：①若把，代入可得此時(shí)不等式組無解．②若把，代入可得解得．所以．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，分類討論是解題的關(guān)鍵．27．【分析】（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形；（2）在上截取，連接，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義證明即可；（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和判定定理得到，再證明，結(jié)合圖形證明結(jié)論．【解答】（1）解：補(bǔ)全圖形如圖1所示；（2）證明：如圖2，在上截取，連接，為等邊三角形，，，，，，，在和中，，，，，，；（3）解：時(shí)，，證明如下：