高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：幾何證明選講試題-理（含解析）

a

專題14.1幾何證明選講

【三年高考】

1.12016高考天津】如圖，是圓的直徑，弦與相交于點(diǎn)E,BE=2AE=2,BD=ED,則線段CE的

長(zhǎng)為.

【答案耳

【解析】設(shè)=則由相交弦定理得%。七=月七5七，DE=L又BD=DE=L所以

xx

AC=AE=1因?yàn)?5是直徑，則==20,,在圓中A5CESDAE,

則能=至，即-^==手，解得工=范

.IDAE413

2.12016高考新課標(biāo)1卷】如圖,△。48是等腰三角形,NAQB=120。.以。為圓心一。4為半徑作圓.

2

(I)證明：直線AB與。相切;

(II)點(diǎn)C,。在0。上，且CQ四點(diǎn)共圓,證明：AB//CD.

1

a

【解析】(I)設(shè)E是.45的中點(diǎn),連結(jié)。旦因?yàn)镼d=0B40B=120。：所以O(shè)E_L,?ZAOE=60。.在

Rt^iOE中：OE=(X。,即O到直線AB的距離等于圓O的半徑，所以直線AB與。O相切.

(II)因?yàn)?。?2。＞,所以。不是4氏四點(diǎn)所在圓的圓心及。’是4瓦C。四點(diǎn)所在圓的圓心作

直線。?！?由已知得。在線段的垂直平分線上:又O在線段的垂直平分線上:所以0O_LAB.同

理可證。。'_L.所以州＞!CD.

312016高考新課標(biāo)2】如圖，在正方形ABCD中，E,G分別在邊DA,DC上(不與端點(diǎn)重合)，且OE=￡＞G,

過。點(diǎn)作。尸，CE,垂足為

(I)證明：B,C,G,尸四點(diǎn)共圓；

(II)若AB=LE為ZM的中點(diǎn)，求四邊形3CG廠的面積.

【解析】(D因?yàn)?。尸，EC,所以ADEF?AC。工則有NGDE=/DEE=ZFCB,4-=—=—所

CFCDCB

以ADGF?ACBF,由此可得ZDGF=ZCBF,由此NCGF+ZCBF=180°,所以5C,G,尸四點(diǎn)共圓.

(II)由氏C,G,尸四點(diǎn)共圓，CGLCB知產(chǎn)GLEB,連結(jié)G5,由G為品△D/C斜邊CD的中點(diǎn)，知

GF=GC,故RtABCG?RtABFG,因此四邊形BCGF的面積S是AGCB面積S^GCB的2倍，即

S=2S&GCB=2x—X—xl=-

1

a

4.12016高考新課標(biāo)3】如圖，。中AB的中點(diǎn)為P,肱PC,PD分別交A8于E,尸兩點(diǎn).

(I)若NPFB=2ZPCD,求NPCD的大??；

(II)若EC的垂直平分線與FD的垂直平分線交于點(diǎn)G,證明OGLCD.

【解析】(I)連結(jié)尸氏BC,則/8P。=/。氏4+/875。,/?8=/?。8+/88.因?yàn)?73=373,所

以NPBA=NPCB,又NBPD=NBCD,所以/BFD=NPCD.又

ZPFD+ZBFD=180°,ZPFB=2ZPCD,所以3NPCD=180°,因此ZPCD=60°.

(II)因?yàn)?PCD=ZBFD,所以NPCD+NEFE>=180。，由此知C,D,￡E四點(diǎn)共圓，其圓心既在CE

的垂直平分線上，又在。尸的垂直平分線上，故G就是過C,D,”E四點(diǎn)的圓的圓心，所以G在的垂

直平分線上，又。也在CD的垂直平分線上，因此OGLCD.

5.12015高考新課標(biāo)2,】如圖，。為等腰三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，圓。與AA5C的底邊交于V、N兩

點(diǎn)與底邊上的高AD交于點(diǎn)G,與A3、AC分別相切于E、歹兩點(diǎn).

1

a

(I)證明：EF//BC；

(II)若AG等于O。的半徑，且AE=MN=2y^,求四邊形EBCF的面積.

【解析】(I)由于AA5C是等腰三角形，ADL6C,所以A。是NC4B的平分線.又因?yàn)?。分別與A3、

AC相切于E、尸兩點(diǎn)，所以AE=A尸，故ADJ_E尸.從而EF//BC.

(II)由(I)知，AE=AF,AD±EF,故AD是所的垂直平分線，又所是「0的弦，所以。在AD

上.連接0E,,則OE，AE.由AG等于。。的半徑得AO=2OE,所以ZOAE=30°.所以AABC

和AAER都是等邊三角形.因?yàn)锳E=2^,所以40=4,OE=2.

因?yàn)镼W=0E=2,DM=-MN=y[3,所以。D=1.于是A￡)=5,=所以四邊形EBCF

23

的面哆畔樣一加如圣哈

6.12015高考陜西一,】如圖，AB切。Q于點(diǎn)B,直線AD交。于D,E兩點(diǎn)，BC±DE,垂足為C.

(I)證明：NCBD=ZDBA；

(II)若AD=3DC,BC=J5,求.：0的直徑.

1

a

【解析】(D因?yàn)镈E為圓O的直徑,則ABED+ZEDB=9(T,又BC，DE,所以NCBD+zEDB=90,

從而NCBD=NBED.又AB切圓O于點(diǎn)B,得/DBA=NBED,所以NCBD=/DBA.

(ID由⑴知BD平分NCBA,則巴=些=3又BC=0,從而.45=30,所以

BCCD

AC=^4BZ-BCZ=4,所以，D=3.由切割線定理得AB:=AD-AE，即,江=理1=6,故

DE=AE-AD=3,即圓O的直徑為3

7.12015高考新課標(biāo)1】如圖，AB是一。的直徑，AC是。的切.線，BC交。于E.

(I)若。為AC的中點(diǎn)，證明：DE是O的切線；

(II)若OA=6CE,求NACB的大小.

【解析】(I)連結(jié)AE,由已知得，AELBC,AC±AB,在放AAEC中，由已知得QE=Z)C,：.ZDEC=Z

DCE,

連結(jié)OE,ZOBE=ZOEB,,：ZACB+ZABC=90°,：..ZDEC+ZOEB=90°,：.ZOED=90°,是圓。的

切線.

(II)設(shè)CE=1,AE=x，由已知得A8=2g,BE=4T2—￡,由射影定理可得，AE?=CE.BE,

8.12015高考湖南】如圖，在圓。中，相交于點(diǎn)E的兩弦A3,CD的中點(diǎn)分別是N,直線與

直線

1

a

CD相交于點(diǎn)R,證明：

(1)/MEN+ZNOM=180；

(2)FEFN=FMFO

【解析】(1)如圖a所示，'：M,N分別是弦A3,CD的一中點(diǎn)，ONLCD,

即NOME=90,ZENO=90,NOME+NENO=180,又四邊形的內(nèi)角和等于360,故

ZMEN+ZNOM；

(2)由(D知，O,M,E,N四點(diǎn)共圓，故由割線定理即得=

9.12014高考遼寧第22題】如圖，EP交圓于E、C兩點(diǎn)，PD切圓于D,G為CE上一點(diǎn)且PG=PD,連

接。G并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)A,作弦A8垂直EP,垂足為足

(I)求證：AB為圓的直徑；

(II)若AC=B。，求證：AB=ED.

1

a

【解析】（I）因?yàn)槭琎=PG,所以/PDG=/PGD由于PD為切線，i^ZPDA=ZDBA,又由于/PGO=/

EGA,故/DBA=NEGA,所以/DBA+NBAZ）=NEGA+/BA。,從而/BD4=/尸剛.由于AP垂直EP,所以/

PFA=90°,于是NBZM=90。，故A2是直徑.

（11）連接8。OC由于AB是直徑，故/BZM=NACB=90。，在BDA與ACB中,AB=BA,AC=BD,

從而RtABDA義RfAACB,于是RdBZX4與NZMB=NCA4.又因?yàn)镹OC8=NZMB,所以/￡>CB=/C3A,故

DC//AB.

由于ED是直徑，由（I）得ED=AB.

10.12014高考全國(guó)2第22題】如圖，P是e。外一點(diǎn)，PA是切線，A為切點(diǎn)，割線PBC與e。相交于點(diǎn)

B,C,PC=2PA,D為PC的中點(diǎn)，AD的延長(zhǎng)線交e。于點(diǎn)E.

證明：（I）BE=EC；

（II）ADDE=2PB2

1

a

【解析】(I)連結(jié)AB,AC,由題意知？A=PD,故因?yàn)?尸。X=NZUC+NOC"

/.PAD=MAD+NPAB,ZDCA=APAB,所以ADAC=ABAD,從而BE=EC,因此BE=EC.

(II)由切割線定理得：尸/=PBPC,因?yàn)槭珻=2PA,所以PA=?PB,PC=APB,

由相交弦定理得:ADDE=BDDC=(PD-PB)PD=&PC-PB)qPC

=(2PB-PB)-2PB=2PBZ,所以等式成立.

11.12014高考全國(guó)1第22題】如圖，四邊形A5c。是二。的內(nèi)接四邊形，A5的延長(zhǎng)線與OC的延長(zhǎng)

線交于點(diǎn)石，且CB=CE.

(1)證明：ZD=ZE：

(II)設(shè)不是匚O的直徑，AO的中點(diǎn)為M,且Affi=MC,證明：AM)石為等邊三角形.

【解析】(I)由題設(shè)知A,3,C,。四點(diǎn)共圓，所以ND=NCBE.由已知得NE=NCBE,故ND=/E.

(ID設(shè)ZC的中點(diǎn)為N,連接MN,則由MB=MC知跖VL5C,故。在直線上.又不是C。

的直徑，的中點(diǎn)為M,故即肱VLAD.所以AD/ABC,故NA=NCBE.又

ZE=ZCBE,故NE=/4.由(1)知，ZD=ZE,所以A4Z汨為等邊三角形.

1

a

【三年高考命題回顧】

縱觀前三年各地高考試題，高考對(duì)幾何證明的考查，主要考查有關(guān)三角形相似、全等、面積、線段長(zhǎng)度及

角相等的求解及證明，以平行線等分線段定理，平行線截割定理，相似三角形的判定與性質(zhì)定理，直角三

角形射影定理，圓心角、圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理及判定定理，圓的割線定理，切割線定

理，弦切角定理，相交弦定理等為主要考查內(nèi)容，題目難度一般為中、低檔，備考中應(yīng)嚴(yán)格控制訓(xùn)練題的

難度.

【2017年高考復(fù)習(xí)建議與高考命題預(yù)測(cè)】

由前三年的高考命題形式可以看出，高考對(duì)這部分要求不是太高，要求會(huì)以圓為幾何背景，利用直角三角形

射影定理，圓周角定理、圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理，相交弦定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定

定理、切割線定理證明三角形相似，全等，求線段長(zhǎng)等，預(yù)測(cè)2017年高考還會(huì)以圓為幾何背景，考查相交

線定理，切割線定理，以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的能力.“幾何證明選

講”是選修系列4的一個(gè)專題，該專題在高考中只考查“相似三角形”和“圓”這兩部分平面幾何內(nèi)容，且與另三

個(gè)選修4的專題一起命題，供考生選擇作答.其核心內(nèi)容為:線段成比例與相似三角形，圓的切線及其性質(zhì)，與圓

有關(guān)的相似三角形等.對(duì)同學(xué)們來說，“幾何證明選講”是初中所學(xué)知識(shí)的深化,因而倍感親切.試題題型為解答

題，且難度不大.題型以比例問題為主，平行線分線段成比例定理、相似形、角平分線定理、直角三角形中的

射影定理、圓中的割線定理、切割線定理和相交弦定理等，都涉及線段成比例，因此比例問題是本專題中所占

比重最大的題型.解決這類問題，主要方法就是設(shè)法利用上述定理，并靈活變形.復(fù)習(xí)建議：圓內(nèi)接四邊形的重

要結(jié)論：內(nèi)接于圓的平行四邊形是矩形；內(nèi)接于圓的菱形是正方形；內(nèi)接于圓的梯形是等腰梯形.應(yīng)用這些

性質(zhì)可以大大簡(jiǎn)化證明有關(guān)幾何題的推證過程.與圓有關(guān)的比例線段的證明要訣：相交弦、切割線定理是法

寶，相似三角形中找訣竅，聯(lián)想射影定理分角線，輔助線來搭橋，第三比作介紹，代數(shù)方法不可少，分析

綜合要記牢，十有八九能見效.

1

a

[2017年高考考點(diǎn)定位】

幾何證明選講的內(nèi)容涉及的考點(diǎn)可歸納為:①相似三角形的定義與性質(zhì);②平行線截割定理;③直角三角形射

影定理;④圓周角與圓心角定理;⑤圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理;⑥弦切角的性質(zhì);⑦相交弦定理;⑧圓內(nèi)接

四邊形的性質(zhì)定理和判定定理;⑨切割線定理.

【考點(diǎn)1】相似三角形的判定與性質(zhì)

【備考知識(shí)梳理】

1.平行線等分線段定理

如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等.

推論1：經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊.

推論2：經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線平分另一腰.

2.平行線分線段成比例定理

三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

3.相似三角形的判定與性質(zhì)

(1)判定定理：

內(nèi)容

判定定理1兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似

判定定理2兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等的兩個(gè)三角形相似

判定定理3三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似

(2)性質(zhì)定理:

1

a

內(nèi)容

性質(zhì)定理1相似三角形對(duì)應(yīng)高、中線、角平分線和它們周長(zhǎng)的比都等于相似比

性質(zhì)定理2相似三角形的面積比等于相似比的平方

相似三角形外接圓的直徑比、周長(zhǎng)比等于相似比，外接圓的面積比等于相似

結(jié)論

比的平方

直角三角形中，每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中

射影定理

項(xiàng)；斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊上的射影的比例中項(xiàng)

【規(guī)律方法技巧】

1.判定兩個(gè)三角形相似的常規(guī)思路

(1)先找兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等；

(2)若只能找到一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，則判斷相等的角的兩夾邊是否對(duì)應(yīng)成比例；

(3)若找不到角相等，就判斷三邊是否對(duì)應(yīng)成比例，否則考慮平行線分線段成比例定理及相似三角形的“傳遞

性

2.借助圖形判斷三角形相似的方法

(1)有平行線的可圍繞平行線找相似；

(2)有公共角或相等角的可圍繞角做文章，再找其他相等的角或?qū)?yīng)邊成比例；

(3)有公共邊的可將圖形旋轉(zhuǎn)，觀察其特征，找出相等的角或成比例的對(duì)應(yīng)邊.

3.比例線段常用平行線產(chǎn)生，利用平行線轉(zhuǎn)移比例是常用的證題技巧，當(dāng)題中沒有平行線條件而有必要轉(zhuǎn)移

比例時(shí)，也常添加輔助平行線，從而達(dá)到轉(zhuǎn)移比例的目的.

4.判定兩個(gè)三角形相似要注意結(jié)合圖形特征靈活選擇判定定理,特別要注意對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊.在一個(gè)題目中，

相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理可能多次用到.相似三角形的性質(zhì)可用來證明線段成比例、角相等；也

可間接證明線段相等.

5..在使用直角三角形射影定理時(shí)，要學(xué)會(huì)將“乘積式”轉(zhuǎn)化為相似三角形中的“比例式”.證題時(shí)，要注意作

垂線構(gòu)造直角三角形是解直角三角形時(shí)常用的方法.

6.相似關(guān)系的證明中，經(jīng)常要應(yīng)用比例的性質(zhì)：

1

a

,,ac?.??b?,,^a+bc+d?a-bc-d^a+bc+d?aa+c

若一=-,則①一=-；②ad=bc；③------=-----；④-----=-----；⑤-----=-----；⑥一=-----.

bdcdbdbda-bc-dbb+d

7.輔助線作法：幾何證明題的一個(gè)重要問題就是作出恰當(dāng)?shù)妮o助線，相似關(guān)系的基礎(chǔ)就是平行截割定理，故

作輔助線的主要方法就是作平行線，見中點(diǎn)取中點(diǎn)連線利用中位線定理，見比例點(diǎn)取等比的分點(diǎn)構(gòu)造平行

關(guān)系，截取等長(zhǎng)線段構(gòu)造全等關(guān)系，立體幾何中通過作平行線或連結(jié)異面直線上的點(diǎn)化異為共等等都是常

用的作輔助線方法.

【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】

1.【2016屆河南省鄭州一中高三考前沖刺四】如圖所示，已知圓O外有一點(diǎn)P,作圓O的切線PM,M為切

點(diǎn)，過PM的中點(diǎn)N作割線NAB,交圓。于A,B兩點(diǎn)，連接PA并延長(zhǎng)，交圓。于點(diǎn)C,連接PB交圓O

于點(diǎn)D,若MC=BC.

(1)求證：△APMs△ABP；

(2)求證：四邊形PMCD是平行四邊形.

【解析XD因?yàn)镻M是圓。的切線,NAB是圓。的割線，N是PM的中點(diǎn)，所以MA*=PNZ=NA-NB,

PV\A

所以j=上.又因?yàn)锳PNA=乙BNP,所以APAN8A5XP.所以^4PX=乙PBX,即

BNPN

UPNI=APBA

因?yàn)镸C=BC,所以NAL4c=ABAC,所以ZSL4P=NPAB.所以MPMs&4BP

(2)因?yàn)橐?C0=APBN,所以乙4CD=乙PBN=AAPN,即APCD=ZCPM.所以PM〃8.因?yàn)?/p>

Z14PJ/8SABP,所以RPMA=ABPA

因?yàn)镻M是圓。的切線，所以NR也d=NMCP所以ZPM4=ABPA=ZA/CP,即ADPC=Zi/CP

所以，所以四邊形RUCO是平行四邊形.

1

a

2.【2016年山西省右玉一中高考沖刺壓軸卷三】如圖，已知。。和。/相交于A、B兩點(diǎn),AO為。M的

直徑，直線30交。。于點(diǎn).C,點(diǎn)G為弧3。中點(diǎn)，連結(jié)AG分別交。。、BD于點(diǎn)E、F,連結(jié)CE.

(I)求證：AGEF=CEGD；

GFEF2

(II)求證:

~AG~CEi

【解析】(I)連結(jié)為。"的直徑，NA3D=90°,為。。的直徑，

ZCEF=ZAGD,,/NDFG=ZCFE,：.NECF=ZGDF,:G為弧3。中點(diǎn)，，ZDAG=ZGDF,

AG

?:ZECB=ZBAG,：.ZDAG=ZECF,：.ACEF-AAGD,=：.AGEF=CEGD.

EFGD

(II)由(I)知/DAG=NGDF,ZG=ZG,：.ADFG-AADG,：.DG2^AGGF,由(I)

八EF2GD2.GFEF2

知---7=-------,??------=-------■

CE2AG2AGCE2

【考點(diǎn)2］圓的有關(guān)問題

【備考知識(shí)梳理】

1.圓周角定理

(1)圓周角：頂點(diǎn)在圓周上且兩邊都與圓相交的角.

(2)圓周角定理：圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.

(3)圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù).

推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等.

推論2：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角；90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑.

2.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理

1

a

⑴性質(zhì)：

定理1:圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).

定理2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角.

(2)判定:

判定定理：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.

推論：如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.

另外：若兩點(diǎn)在一條線段同側(cè)且對(duì)該線段張角相等，則此兩點(diǎn)與線段兩個(gè)端點(diǎn)共圓，特別的，對(duì)定線段張

角為直角的點(diǎn)共圓.

3.圓的切線

(1)直線與圓的位置關(guān)系

直線與圓交點(diǎn)的個(gè)數(shù)直線到圓心的距離d與圓的半徑廠的關(guān)系

相交兩個(gè)

相切一個(gè)d=r

相離無4r

(2)圓的切線性質(zhì)及判定定理

性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.

推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn).

推論2：經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.

判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

(3)切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線長(zhǎng)相等.

3.弦切角

(1)弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊與圓相切,另一邊與圓相交的角.

(2)弦切角定理及推論

①定理：弦切角的度數(shù)等于所夾弧的度數(shù)的一半.

②推論：同弧(或等弧)上的弦切角相篁，同弧(或等弧)上的弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角.

1

4.與圓有關(guān)的比例線段

定理名稱基本圖形條件結(jié)論應(yīng)用

(1)B4P8=(1)在以、PB、PC、

弦AB、C￡＞相交PCPD；尸￡＞四線段中知三

相交弦定理

&于圓內(nèi)點(diǎn)P(2)AACPs求一；

△DBP(2)求弦長(zhǎng)及角

⑴

抬切。。于A,(1)已知B4、PB、

PBPC；

切割線定理P8C是。。的PC知二可求一；

(2)APAB^^x

割線(2)求解AB、AC

PCA

⑴求線段小、尸8、

PC、PD及AB、

PAB,PCD是。PCPD；

割線定理CD-,

0的割線(2)ABAC^A

(2)應(yīng)用相似求

PDB

AC,BD

(1)相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等.

(2)割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等.

(3)切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng).

(4)切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾

角.

【規(guī)律方法技巧】

1.與圓有關(guān)的比例線段：(1)應(yīng)用相交弦定理、切割線定理要抓住幾個(gè)關(guān)鍵內(nèi)容：如線段成比例與相似三角

形、圓的切線及其性質(zhì)、與圓有關(guān)的相似三角形等.

(2)相交弦定理、切割線定理主要是用于與圓有關(guān)的比例線段的計(jì)算與證明.解決問題時(shí)要注意相似三角形

知識(shí)及圓周角、弦切角、圓的切線等相關(guān)知識(shí)的綜合應(yīng)用.

1

a

（3）相交弦定理、切割線定理、割線定理、切線長(zhǎng)定理統(tǒng)稱為圓幕定理：圓的兩條弦或其延長(zhǎng)線若相交，各

弦被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等.當(dāng)兩交點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)為相交弦定理，當(dāng)兩交點(diǎn)在圓外時(shí)為割線定理，兩

交點(diǎn)重合時(shí)為切線，一條上兩點(diǎn)重合時(shí)為切割線定理，兩條都重合時(shí)為切線長(zhǎng)定理，應(yīng)用此定理一定要分

清兩條線段是指哪兩條.

2.弦切角定理及推論的應(yīng)用

（1）圓周角定理及其推論與弦切角定理及其推論多用于推出角的關(guān)系，從而證明三角形全等或相似，可求線

段或角的大小.

（2）涉及圓的切線問題時(shí)要注意弦切角的轉(zhuǎn)化；關(guān)于圓周上的點(diǎn)，常作直線（或半徑）或向弦（?。﹥啥水媹A周角

或作弦切角.

3.證明多點(diǎn)共圓，當(dāng)兩點(diǎn)在一條線段同側(cè)時(shí)，可證它們對(duì)此線段張角相等，也可以證明它們與某一定點(diǎn)距

離相等；如兩點(diǎn)在一條線段異側(cè)，則證明它們與線段兩端點(diǎn)連成的凸四邊形對(duì)角互補(bǔ).

4.涉及圓的切線問題時(shí)要注意弦切角的轉(zhuǎn)化；關(guān)于圓周上的點(diǎn)，常作直徑（或半徑）或向弦（?。﹥啥水媹A周角

或作弦切角.

5.一般地，涉及圓內(nèi)兩條相交弦時(shí)首先要考慮相交弦定理，涉及兩條割線時(shí)要想到割線定理，涉及切線和割

線時(shí)要注意應(yīng)用切割線定理，要注意相交弦定理中線段之間的關(guān)系與切割線定理線段關(guān)系之間的區(qū)別.

6.在平面幾何的有關(guān)計(jì)算中往往要使用比例線段，產(chǎn)生比例線段的一個(gè)主要根據(jù)是兩三角形相似.在涉及兩

圓的公共弦時(shí)，通常是作出兩圓的公共弦.如果有過公共點(diǎn)的切線就可以使用弦切角定理.在兩個(gè).圓內(nèi)實(shí)

現(xiàn)角的等量代換，這是解決兩個(gè)圓相交且在交點(diǎn)處有圓的切線問題的基本思考方向.

【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】

1.12016屆湖北七市教研協(xié)作體高三4月聯(lián)考】已知AABC中，AB=AC,。是AA6C外接圓劣弧AC上

的點(diǎn)（不與點(diǎn)AC重合），延長(zhǎng)5D至E,延長(zhǎng)AD至尸.

1

a

(2)若NA3C=75,AABC中BC邊上的高為2+6,求AABC外接圓的面積.

【解析】(1)如圖，由A5=AC得NA5C=NACB,；NACfi與NADS都是同弧A3所對(duì)的圓周角,

；.NACB=NADB且NADB=/EDF,故ZABC=/EDF.

(2)設(shè)。為外接圓圓心，連接A0交于H,則連接。C,由題意易得/BAC=30°,

NQ4C=NOC4=15°,且NACfi=75°NOCH=60°,設(shè)圓半徑為廠，則廠+理r=2+退，

2

解得廠=2,故外接圓面積為4》.

2.【2016屆陜西省高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)檢二】如圖，己知圓。與。2相交于A3兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作圓。1的切線

交圓。2于點(diǎn)C，過點(diǎn)8作兩圓的割線，分別交圓。1、圓。2于點(diǎn)。、E,OE與AC相交于點(diǎn)P.

(I)求證：ADEC；

(II)若AD是圓。2的切線，且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的長(zhǎng).

D

【解析】（I）連接B4.〈AC是圓。的切線，???/BAC=ND.又???NH4C=NE,???NO=NE,???

1

a

ADEC.

(II)證明：設(shè)==9：PA=6,PC=2,?,?孫=12.又???ADEC,：.—=——，

PEPC

9+x6

——=—.又???x>0,y>0,聯(lián)立上述方程得到％=3,y=4,DE=9+x+y=16.???AD是圓。2的切

y2

線，AAD2=DB-DE=916.：.AD=12.

【應(yīng)試技巧點(diǎn)撥】

1.輔助線作法：

幾何證明題的一個(gè)重要問題就是作出恰當(dāng)?shù)妮o助線，相似關(guān)系的基礎(chǔ)就是平行截割定理，故作輔助線的主

要方法就是作平行線，見中點(diǎn)取中點(diǎn)連線利用中位線定理，見比例點(diǎn)取等比的分點(diǎn)構(gòu)造平行關(guān)系，截取等

長(zhǎng)線段構(gòu)造全等關(guān)系，立體幾何中通過作平行線或連結(jié)異面直線上的點(diǎn)化異為共等等都是常用的作輔助線

方法.

2.比例的性質(zhì)的應(yīng)用

相似關(guān)系的證明中，經(jīng)常要應(yīng)用比例的性質(zhì)：

,,ac??Z??,,?a+Z?c+d?a-bc-d^a+bc+d?

若一=一,則①一=一；②ad=bc；③------=-----；④-----=-----；⑤-----=-----；⑥

bdcdbdbda-bc-d

a_a+c

bb+d

3.同一法：先作出一個(gè)滿足命題結(jié)論的圖形，然后證明圖形符合命題已知條件，確定所作圖形與題設(shè)條件

所指的圖形相同，從而證明命題成立.

4.證明多點(diǎn)共圓，當(dāng)兩點(diǎn)在一條線段同側(cè)時(shí)，可證它們對(duì)此線段張角相等，也可以證明它們與某一定點(diǎn)距離

相等；如兩點(diǎn)在一條線段異側(cè)，則證明它們與線段兩端點(diǎn)連成的凸四邊形對(duì)角互補(bǔ).

1

a

5.與圓有關(guān)的比例線段

(1)應(yīng)用相交弦定理、切割線定理要抓.住幾個(gè)關(guān)鍵內(nèi)容：如線段成比例與相似三角形、圓的切線及其性質(zhì)、

與圓有關(guān)的相似三角形等.

(2)相交弦定理、切割線定理主要是用于與圓有關(guān)的比例線段的計(jì)算與證明.解決問題時(shí)要注意相似三角形

知識(shí)及圓周角、弦切角、圓的切線等相關(guān)知識(shí)的綜合應(yīng)用.

二年模擬

1.【2016年山西榆林高三二次?？肌咳鐖D所示，在AABC中，是NACfi的平分線，AACD的外接圓

交BC于點(diǎn)、E,AB=2AC.

(1)求證：BE=2AD；(2)當(dāng)AC=1,EC=2時(shí)，求AD的長(zhǎng).

【解析】(1)連接OE,因?yàn)樗倪呅蜛CED是圓內(nèi)接四邊形，所以NBDE=NBCD,所以ADfiEACBA,

BEDE

即有——=——，又A6=2AC,所以BE=2DE，又是NACB的平分線，所以4。=￡)石，從而

BACA

BE=2AD-,

(2)由條件得AB=2AC=2,設(shè)=根據(jù)割線定理得：BD.BA=BE.BC,即

1

a

(AB-AD)?BA=2AD.(2AD+CE),所以有(2T)x2=212f+2),解得：Z=1,所以=

2.【2016年湖北八校高三四次聯(lián)考】如圖，在銳角三角形ABC中，AB=AC,以AB為直徑的圓。與邊

3cAe另外的交點(diǎn)分別為D,E,且。尸，AC于F.

(I)求證：。尸是。。的切線；

7

(II)若CD=3,EA=-,求AB的長(zhǎng).

5

【解析】(I〉連結(jié)則加_L3C,又看=M?,.'D為的中點(diǎn)，而。為看中點(diǎn)，

又DFLAC,：.ODLDF,而OD是半徑，二.D尸是。。的切線.

(II)連DE,貝ijNCED=N3=NC,貝49。尸經(jīng)AD￡F,二CF=莊，設(shè)CF=fZ=x,貝i]D尸：=9-x：,

Z

由切割線定理得：DF=FE-FAf即9-x：=x：t-?,解得：x：=g,三=-：(舍)，...耶=皿？=5.

\5J52

B

3.【2016年安徽安慶二模】如圖，以AABC的邊A3為直徑作圓。，圓。與邊的交點(diǎn)。恰為BC邊的中

點(diǎn)，過點(diǎn)。作DE_LAC于點(diǎn)E.

(I)求證：DE是圓。的切線；

A17

(II)若N5=30，求上的值.

DC

1

a

【解析】（1）如圖，連接.因?yàn)?。是AB的中點(diǎn).Z）是BC的中點(diǎn)師以O(shè)D/C.因?yàn)镈E，KC所以

DE_8,所以DE是。。的切線.

（ID因?yàn)榍?是。。的直徑點(diǎn)。在。。上:所以.n）_3c.又。是BC的中點(diǎn)，所以-如=XC.故

乙4CD=NB=3（T.因?yàn)镈E_/C.所以乙IDE=30:在直角三角形，回中土=tan30=；在直角三

DE

角形.,電器=向3°\于是言（

4.【2016年江西高三九校聯(lián)考】如圖所示，AC為e。的直徑，。為的中點(diǎn)，E為3C的中點(diǎn).

(1)求證：DE//AB-,

(2)求證：ACBC=2ADX：D.

【解析】（I）連接OE,因?yàn)?。為的中點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn)，所以。ED三點(diǎn)共線.因?yàn)镋為BC的

中點(diǎn)且。為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)E//AB,故DE//AB.

（II）因?yàn)椤榈闹悬c(diǎn)，所以4LD^ZZMC,又NBAD=NDCB,NDAC=NDCB.又因?yàn)?/p>

AC47)

AD±DC,DE±C,ADACAECD.—=—ADCD=ACCE,2AD-CD=AC-2CE,

CDCE

2ADCD=ACBC.

1

a

5.【2016年安徽淮北一中高三?？肌咳鐖D，A,3是圓。上的兩點(diǎn)，P為圓。外一點(diǎn)，連結(jié)分別

交圓。于點(diǎn)C,。，且=連結(jié)并延長(zhǎng)至E,使/PEB=/PAB.

(1)求證：PE=PD；

(2)若AB=EP=1,且/54。=120°,求AP.

【解析】(1)連結(jié)。C,因?yàn)镹PCEMNACBMNAOB.NPCDMNAB。，又因?yàn)锳B=A￡>,所以

ZABD=ZADB,所以NPCE=NPCD,由已知NPE5=NB45NPDC=NPAB,所以

ZPEC=ZPDC,且FC=PC,所以"EC合"DC,所以PE=PD.

(2)因?yàn)閆ACB=NPBA,NBAC=NPAB,所以AABCAAPB,則AB?=AP.AC=AP(AP-PC),

所以AP2—AB?=AP.PC=PD.PB=PD(PD+BD),又因?yàn)镻D=AB,AB=1,所以

6.【2016年江西南昌高三一?！咳鐖D，圓M與圓N交于A,B兩點(diǎn)，以A為切點(diǎn)作兩圓的切線分別

交圓M和圓N于C、D兩點(diǎn)，延長(zhǎng)DB交圓M于點(diǎn)E,延長(zhǎng)CB交圓N于點(diǎn)F.已知BC=5,DB=10.

(I)求AB的長(zhǎng)；

1

a

CF

(II)求J

DE

【解析】(I)根據(jù)弦切角定理，知NB4C=NADA,/ACB=/DAB,：?叢ABCs4DBA,貝(j

—,故AB?=8。-5。=50,43=5后.

DBBA

「42「RCF

(II)根據(jù)切割線定理，知CA2=CBCF,DA2=DBDE,兩式相除,得一-=--------(*).由△ABC

DA2DBDE

AC_AB_572V2C421cB51CF

s'DBA,/H____—_,----------由(*)得J=L

^~DA~~DB~~[G~^rZM2-2DB102DE

7.【2016年河南八市高三三?！恳阎?，AABC內(nèi)接于圓，延長(zhǎng)A3到。點(diǎn)，使得￡＞。=2。&￡＞。交圓于E

點(diǎn).

(1)求證：AD=2DE；

(2)若AC=DC,求證：DB=BE.

r)DnF

【解析】(1)如圖，連結(jié)BEDBDA=DEDC..——=——.又DC=2DB,DA=2DE.

DCDA

(2)■,AC=DC,：.ZD=ZA/BED=ZA,：./BED=ZD.：.BD=BE.

1

a

A

8.12016屆河北省石家莊市高三二模】如圖，H7AABC內(nèi)接于O。，NC=90。，弦3歹交線段AC于E,

E為AC的中點(diǎn)，在點(diǎn)A處作圓的切線與線段OE的延長(zhǎng)線交于。，連接。尸.

(I)求證：DE-EO=FE-EB；

(II)若NCE3=45°,。。的半徑r為2芯，求切線的長(zhǎng).

【解析】〈D證明：???在。。中，弦AC、BF相交于E,，F(xiàn)E-￡B=TE-EC,又E為AC的中點(diǎn)，所

以FEEB=㈤,又因?yàn)镺S:OE^AE,根據(jù)射影定理可得

AE1=DEEO,:.DEEO=FEEB;

<ID因?yàn)?5為直徑，所以NC=90：,又因?yàn)镹C3E=451所以A5CE為等腰直角三角

形.二XC=2BC,根據(jù)勾股定理得AC'+SC：=53C：=80,解得3C=4,所以=4,OE=2,

由(1)得所以DE=8,所以，切=4AE，+DE：=+針=4在.

9.【2016屆陜西省高三高考全真模擬四】如下圖,A3,CD是圓。的兩條互相垂直的直徑,E是圓。上的點(diǎn),

過E點(diǎn)作圓。的切線交AB的延長(zhǎng)

線于連結(jié)CE交AB于G點(diǎn).

1

a

(1)求證：FG?=FA.FB；

(2)若圓。的半徑為2百,03='G,求EG的長(zhǎng).

【解析】(1)證明：連接OE,DE,由弦切角定理知NREG=N。，ZC+ZD=90ZC+ZFEG^90,

又NC+NCGO=90,ZCGO=ZFGE,ZC+ZFGE=90NPGE=NFEG,即尸G=FE.由切割

線定理得FE1=FA.FB，所以FG2=FA.FB.

(2)由03=百06=2石知，OG=2.在處AOCG中，由OC=20,OG=2得，CG=4,NC=30.

在RfACD石中，由C￡>=4g,NC=30得CE=6,于是EG=CE—CG=6—4=2.

10.12016屆山西右玉一中高三下學(xué)期模擬】已知如圖，四邊形ABC。是圓。的內(nèi)接四邊形,對(duì)角線AC,8。

交于點(diǎn)E,直線AP是圓。的切線，切

點(diǎn)為A,ZPAB^ZBAC.

⑴若BD=5,BE=2,求AB的長(zhǎng);

1

a

(2)在AD上取一點(diǎn)E,若NFED=NCED,求4LF+NB防的大小.

【解析】(1)?..”是圓。的切線，；.々43=/406,由NQ45=NB4C,NADB=/B4C.又

A_BBD

/ARD=/ERA,：.AABDAEBA,：.——=—.又BD=5,BE=2,：.AB?=BD?BE=1。，：.

EBAB

AB=710.

(2)由(1)知，ZBAD=ZBEA,ZBEA=NCED=/FED,；.ZBAD=/FED,：.

ZBAF+ZBEF=ZBAD+ZBEF=ZFED+ZBEF=180.

11.【2015屆陜西西安西北工大附中高三下學(xué)期5月模擬】如圖，。和「。'相交于A,B兩點(diǎn)，過A作

兩圓的切線分別交兩圓于C,D兩點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交00于點(diǎn)E.

證明：(I)ACBD^ADAB；(II)AC=AE.

【解析】(1)由AC與。相切于A,得NC鉆=NADfi,同理NACB=NZM5,

Ac47?

所以AACBAZM5從而=二￡2,即4€\8￡>=4￡>.他

ADBD

(2)由AD與。。相切于A,得NAED=NBAD,XZADE=ZBDA,得AEM>AABD

spAr)

從而一=——，即AE,BD=AD.AB,綜合(1)的結(jié)論，AC=AE

ABBD

12.12015屆陜西省西工大附中高三下學(xué)期模擬考試一】如圖,。。的直徑A5的延長(zhǎng)線與弦CD的延長(zhǎng)線相

交于點(diǎn)73,后為。。上一點(diǎn)八￡=人(2,。石交45于點(diǎn)R,且46=25。=4,

(I)求PR的長(zhǎng)度.

(II)若圓F與圓。內(nèi)切，直線PT與圓F切于點(diǎn)T,求線段PT的長(zhǎng)度

1

a

【解析】(I)連結(jié)OCODOE,由同弧對(duì)應(yīng)的圓周角與圓心角之間的關(guān)系結(jié)合題中條件弧長(zhǎng)AE等于弧長(zhǎng)

AC可得ZCDE=NAOC,又NCDE=ZP+ZPFD,ZAOC=NP+NOCP,從而NPFD=NOCP,故APED-

APCO,,由割線定理知PCPD=RbP8=12,故尸產(chǎn)="￡2="=3.

PCPOPO4

(II)若圓F與圓。內(nèi)切，設(shè)圓尸的半徑為r,因?yàn)镺F=2—r=l即廠=1,所以08是圓尸的直徑，且

過P點(diǎn)圓P的切線為PT,則PT?=P5?PO=2x4=8,即PT=2J5

13.12015屆吉林省吉林市高三第三次模擬考試】如圖，在△ABC中，ZB=90,以AB為直徑的。。交AC

于。，過點(diǎn)。作。O的切線交3C于E,AE交。。于點(diǎn)尸.

(I)證明：E是的中點(diǎn)；

(II)證明：ADAC=AEAF.

【解析】(I)證明：連接3。，因?yàn)?5為。。的直徑，所以又