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文檔簡介
江蘇鎮(zhèn)江市2025屆高三下學(xué)期一模考試數(shù)學(xué)試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題:“三百七十八里關(guān),初行健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān),要見次日行里數(shù),請公仔細(xì)算相還.”意思為有一個人要走378里路,第一天健步行走,從第二天起腳痛,每天走的路程為前一天的一半,走了六天恰好到達(dá)目的地,請問第二天比第四天多走了()A.96里 B.72里 C.48里 D.24里2.已知函數(shù)的圖像與一條平行于軸的直線有兩個交點,其橫坐標(biāo)分別為,則()A. B. C. D.3.若復(fù)數(shù)z滿足,則()A. B. C. D.4.空氣質(zhì)量指數(shù)是反映空氣狀況的指數(shù),指數(shù)值趨小,表明空氣質(zhì)量越好,下圖是某市10月1日-20日指數(shù)變化趨勢,下列敘述錯誤的是()A.這20天中指數(shù)值的中位數(shù)略高于100B.這20天中的中度污染及以上(指數(shù))的天數(shù)占C.該市10月的前半個月的空氣質(zhì)量越來越好D.總體來說,該市10月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好5.已知的垂心為,且是的中點,則()A.14 B.12 C.10 D.86.將3個黑球3個白球和1個紅球排成一排,各小球除了顏色以外其他屬性均相同,則相同顏色的小球不相鄰的排法共有()A.14種 B.15種 C.16種 D.18種7.設(shè),為非零向量,則“存在正數(shù),使得”是“”的()A.既不充分也不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.充分不必要條件8.已知集合M={x|﹣1<x<2},N={x|x(x+3)≤0},則M∩N=()A.[﹣3,2) B.(﹣3,2) C.(﹣1,0] D.(﹣1,0)9.已知m為實數(shù),直線:,:,則“”是“”的()A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件10.已知是等差數(shù)列的前項和,,,則()A.85 B. C.35 D.11.要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)()A.伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再將得到的圖象向右平移個單位長度B.伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再將得到的圖像向左平移個單位長度C.縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變),再將得到的圖象向左平移個單位長度D.縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變),再將得到的圖象向右平移個單位長度12.雙曲線C:(,)的離心率是3,焦點到漸近線的距離為,則雙曲線C的焦距為()A.3 B. C.6 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在一次醫(yī)療救助活動中,需要從A醫(yī)院某科室的6名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中分別抽調(diào)3名男醫(yī)生、2名女醫(yī)生,且男醫(yī)生中唯一的主任醫(yī)師必須參加,則不同的選派案共有________種.(用數(shù)字作答)14.已知函數(shù)的定義域為R,導(dǎo)函數(shù)為,若,且,則滿足的x的取值范圍為______.15.在三棱錐中,已知,且平面平面,則三棱錐外接球的表面積為______.16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知A0,a,B3,a+4三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在極坐標(biāo)系中,已知曲線C的方程為(),直線l的方程為.設(shè)直線l與曲線C相交于A,B兩點,且,求r的值.18.(12分)已知函數(shù)的最大值為,其中.(1)求實數(shù)的值;(2)若求證:.19.(12分)已知函數(shù)的最大值為2.(Ⅰ)求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間;(Ⅱ)中,,角所對的邊分別是,且,求的面積.20.(12分)在本題中,我們把具體如下性質(zhì)的函數(shù)叫做區(qū)間上的閉函數(shù):①的定義域和值域都是;②在上是增函數(shù)或者減函數(shù).(1)若在區(qū)間上是閉函數(shù),求常數(shù)的值;(2)找出所有形如的函數(shù)(都是常數(shù)),使其在區(qū)間上是閉函數(shù).21.(12分)已知(1)當(dāng)時,判斷函數(shù)的極值點的個數(shù);(2)記,若存在實數(shù),使直線與函數(shù)的圖象交于不同的兩點,求證:.22.(10分)已知,函數(shù).(Ⅰ)若在區(qū)間上單調(diào)遞增,求的值;(Ⅱ)若恒成立,求的最大值.(參考數(shù)據(jù):)
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
人每天走的路程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列,設(shè)此人第一天走的路程為,計算,代入得到答案.【詳解】由題意可知此人每天走的路程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列,設(shè)此人第一天走的路程為,則,解得,從而可得,故.故選:.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.2、A【解析】
畫出函數(shù)的圖像,函數(shù)對稱軸方程為,由圖可得與關(guān)于對稱,即得解.【詳解】函數(shù)的圖像如圖,對稱軸方程為,,又,由圖可得與關(guān)于對稱,故選:A【點睛】本題考查了正弦型函數(shù)的對稱性,考查了學(xué)生綜合分析,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.3、D【解析】
先化簡得再求得解.【詳解】所以.故選:D【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運算和模的計算,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.4、C【解析】
結(jié)合題意,根據(jù)題目中的天的指數(shù)值,判斷選項中的命題是否正確.【詳解】對于,由圖可知天的指數(shù)值中有個低于,個高于,其中第個接近,第個高于,所以中位數(shù)略高于,故正確.對于,由圖可知天的指數(shù)值中高于的天數(shù)為,即占總天數(shù)的,故正確.對于,由圖可知該市月的前天的空氣質(zhì)量越來越好,從第天到第天空氣質(zhì)量越來越差,故錯誤.對于,由圖可知該市月上旬大部分指數(shù)在以下,中旬大部分指數(shù)在以上,所以該市月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好,故正確.故選:【點睛】本題考查了對折線圖數(shù)據(jù)的分析,讀懂題意是解題關(guān)鍵,并能運用所學(xué)知識對命題進(jìn)行判斷,本題較為基礎(chǔ).5、A【解析】
由垂心的性質(zhì),得到,可轉(zhuǎn)化,又即得解.【詳解】因為為的垂心,所以,所以,而,所以,因為是的中點,所以.故選:A【點睛】本題考查了利用向量的線性運算和向量的數(shù)量積的運算率,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.6、D【解析】
采取分類計數(shù)和分步計數(shù)相結(jié)合的方法,分兩種情況具體討論,一種是黑白依次相間,一種是開始僅有兩個相同顏色的排在一起【詳解】首先將黑球和白球排列好,再插入紅球.情況1:黑球和白球按照黑白相間排列(“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”),此時將紅球插入6個球組成的7個空中即可,因此共有2×7=14種;情況2:黑球或白球中僅有兩個相同顏色的排在一起(“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”),此時紅球只能插入兩個相同顏色的球之中,共4種.綜上所述,共有14+4=18種.故選:D【點睛】本題考查排列組合公式的具體應(yīng)用,插空法的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題7、D【解析】
充分性中,由向量數(shù)乘的幾何意義得,再由數(shù)量積運算即可說明成立;必要性中,由數(shù)量積運算可得,不一定有正數(shù),使得,所以不成立,即可得答案.【詳解】充分性:若存在正數(shù),使得,則,,得證;必要性:若,則,不一定有正數(shù),使得,故不成立;所以是充分不必要條件故選:D【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的運算,向量數(shù)乘的幾何意義,還考查了充分必要條件的判定,屬于簡單題.8、C【解析】
先化簡N={x|x(x+3)≤0}={x|-3≤x≤0},再根據(jù)M={x|﹣1<x<2},求兩集合的交集.【詳解】因為N={x|x(x+3)≤0}={x|-3≤x≤0},又因為M={x|﹣1<x<2},所以M∩N={x|﹣1<x≤0}.故選:C【點睛】本題主要考查集合的基本運算,還考查了運算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】
根據(jù)直線平行的等價條件,求出m的值,結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】當(dāng)m=1時,兩直線方程分別為直線l1:x+y﹣1=0,l2:x+y﹣2=0滿足l1∥l2,即充分性成立,當(dāng)m=0時,兩直線方程分別為y﹣1=0,和﹣2x﹣2=0,不滿足條件.當(dāng)m≠0時,則l1∥l2?,由得m2﹣3m+2=0得m=1或m=2,由得m≠2,則m=1,即“m=1”是“l(fā)1∥l2”的充要條件,故答案為:A【點睛】(1)本題主要考查充要條件的判斷,考查兩直線平行的等價條件,意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)本題也可以利用下面的結(jié)論解答,直線和直線平行,則且兩直線不重合,求出參數(shù)的值后要代入檢驗看兩直線是否重合.10、B【解析】
將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式,求得,由此求得.【詳解】設(shè)公差為,則,所以,,,.故選:B【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項公式的基本量計算,考查等差數(shù)列前項和的計算,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】
分析:根據(jù)三角函數(shù)的圖象關(guān)系進(jìn)行判斷即可.詳解:將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),
得到再將得到的圖象向左平移個單位長度得到故選B.點睛:本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換,結(jié)合和的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.12、A【解析】
根據(jù)焦點到漸近線的距離,可得,然后根據(jù),可得結(jié)果.【詳解】由題可知:雙曲線的漸近線方程為取右焦點,一條漸近線則點到的距離為,由所以,則又所以所以焦距為:故選:A【點睛】本題考查雙曲線漸近線方程,以及之間的關(guān)系,識記常用的結(jié)論:焦點到漸近線的距離為,屬基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
首先選派男醫(yī)生中唯一的主任醫(yī)師,由題意利用排列組合公式即可確定不同的選派案方法種數(shù).【詳解】首先選派男醫(yī)生中唯一的主任醫(yī)師,然后從名男醫(yī)生、名女醫(yī)生中分別抽調(diào)2名男醫(yī)生、名女醫(yī)生,故選派的方法為:.故答案為.【點睛】解排列組合問題要遵循兩個原則:一是按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類;二是按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步.具體地說,解排列組合問題常以元素(或位置)為主體,即先滿足特殊元素(或位置),再考慮其他元素(或位置).14、【解析】
構(gòu)造函數(shù),再根據(jù)條件確定為奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減,最后利用單調(diào)性以及奇偶性化簡不等式,解得結(jié)果.【詳解】依題意,,令,則,故函數(shù)為奇函數(shù),故函數(shù)在上單調(diào)遞減,則,即,故,則x的取值范圍為.故答案為:【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性以及利用函數(shù)性質(zhì)解不等式,考查綜合分析求解能力,屬中檔題.15、【解析】
取的中點,設(shè)等邊三角形的中心為,連接.根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求得,,由等腰直角三角形的性質(zhì),得,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得平面,,由勾股定理求得,可得為三棱錐外接球的球心,根據(jù)球體的表面積公式可求得此外接球的表面積.【詳解】在等邊三角形中,取的中點,設(shè)等邊三角形的中心為,連接.由,得,,由已知可得是以為斜邊的等腰直角三角形,,又由已知可得平面平面,平面,,,所以,為三棱錐外接球的球心,外接球半徑,三棱錐外接球的表面積為.故答案為:【點睛】本題考查三棱錐的外接球的表面積,關(guān)鍵在于根據(jù)三棱錐的面的關(guān)系、棱的關(guān)系和長度求得外接球的球心的位置,球的半徑,屬于中檔題.16、(-53,【解析】
求出AB的長度,直線方程,結(jié)合△ABC的面積為5,轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離進(jìn)行求解即可.【詳解】解:AB的斜率k=a+4-a3-0=4=3設(shè)△ABC的高為h,則∵△ABC的面積為5,∴S=12|AB|h=即h=2,直線AB的方程為y﹣a=43x,即4x﹣3y+3若圓x2+y2=9上有且僅有四個不同的點C,則圓心O到直線4x﹣3y+3a=0的距離d=|3a|則應(yīng)該滿足d<R﹣h=3﹣2=1,即|3a|5得|3a|<5得-53<故答案為:(-53,【點睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,求出直線方程和AB的長度,轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離是解決本題的關(guān)鍵.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】
先將曲線C和直線l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,可得圓心到直線的距離,再由勾股定理,計算即得.【詳解】以極點為坐標(biāo)原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,可得曲線C:()的直角坐標(biāo)方程為,表示以原點為圓心,半徑為r的圓.由直線l的方程,化簡得,則直線l的直角坐標(biāo)方程方程為.記圓心到直線l的距離為d,則,又,即,所以.【點睛】本題考查曲線和直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,是基礎(chǔ)題.18、(1)1;(2)證明見解析.【解析】
(1)利用零點分段法將表示為分段函數(shù)的形式,由此求得的最大值,進(jìn)而求得的值.(2)利用(1)的結(jié)論,將轉(zhuǎn)化為,求得的取值范圍,利用換元法,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,證得,由此證得不等式成立.【詳解】(1)當(dāng)時,取得最大值.(2)證明:由(1)得,,,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,令,則在上單調(diào)遞減當(dāng)時,.【點睛】本小題主要考查含有絕對值的函數(shù)的最值的求法,考查利用基本不等式進(jìn)行證明,屬于中檔題.19、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】
(1)由題意,f(x)的最大值為所以而m>0,于是m=,f(x)=2sin(x+).由正弦函數(shù)的單調(diào)性可得x滿足即所以f(x)在[0,π]上的單調(diào)遞減區(qū)間為(2)設(shè)△ABC的外接圓半徑為R,由題意,得化簡得sinA+sinB=2sinAsinB.由正弦定理,得①由余弦定理,得a2+b2-ab=9,即(a+b)2-3ab-9=0②將①式代入②,得2(ab)2-3ab-9=0,解得ab=3或(舍去),故20、(1);(2).【解析】
(1)依據(jù)新定義,的定義域和值域都是,且在上單調(diào),建立方程求解;(2)依據(jù)新定義,討論的單調(diào)性,列出方程求解即可?!驹斀狻浚?)當(dāng)時,由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知,在區(qū)間上是增函數(shù),即有,解得;同理,當(dāng)時,有,解得,綜上,。(2)若在上是閉函數(shù),則在上是單調(diào)函數(shù),①當(dāng)在上是單調(diào)增函數(shù),則,解得,檢驗符合;②當(dāng)在上是單調(diào)減函數(shù),則,解得,在上不是單調(diào)函數(shù),
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