2025屆內(nèi)蒙古土默特左旗金山學(xué)校高三3月份第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2025屆內(nèi)蒙古土默特左旗金山學(xué)校高三3月份第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖,點(diǎn)E是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中點(diǎn),點(diǎn)F,M分別在線段AC,BD1(不包含端點(diǎn))上運(yùn)動,則()A.在點(diǎn)F的運(yùn)動過程中,存在EF//BC1B.在點(diǎn)M的運(yùn)動過程中,不存在B1M⊥AEC.四面體EMAC的體積為定值D.四面體FA1C1B的體積不為定值2.己知函數(shù)若函數(shù)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)有2對,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.3.下列說法正確的是()A.“若,則”的否命題是“若,則”B.在中,“”是“”成立的必要不充分條件C.“若,則”是真命題D.存在,使得成立4.已知底面是等腰直角三角形的三棱錐P-ABC的三視圖如圖所示,俯視圖中的兩個小三角形全等,則()A.PA,PB,PC兩兩垂直 B.三棱錐P-ABC的體積為C. D.三棱錐P-ABC的側(cè)面積為5.某四棱錐的三視圖如圖所示,記S為此棱錐所有棱的長度的集合,則()A.B.C.D.6.下列函數(shù)中,值域?yàn)镽且為奇函數(shù)的是()A. B. C. D.7.《九章算術(shù)》勾股章有一“引葭赴岸”問題“今有餅池徑丈,葭生其中,出水兩尺,引葭赴岸,適與岸齊,問水深,葭各幾何?”,其意思是:有一個直徑為一丈的圓柱形水池,池中心生有一顆類似蘆葦?shù)闹参铮冻鏊鎯沙撸舭阉虬哆?,正好與岸邊齊,問水有多深,該植物有多高?其中一丈等于十尺,如圖若從該葭上隨機(jī)取一點(diǎn),則該點(diǎn)取自水下的概率為()A. B. C. D.8.某學(xué)校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間(單位:小時(shí)),制成了如圖所示的頻率分布直方圖,其中自習(xí)時(shí)間的范圍是17.5,30],樣本數(shù)據(jù)分組為17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,30).根據(jù)直方圖,這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是()A.56 B.60 C.140 D.1209.在中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,D是AB的中點(diǎn),若,且,則面積的最大值是()A. B. C. D.10.已知數(shù)列滿足:)若正整數(shù)使得成立,則()A.16 B.17 C.18 D.1911.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,,則公比()A. B.4 C. D.212.一個幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖是一個正三角形,則這個幾何體的體積為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)的圖象在處的切線方程為__________.14.若復(fù)數(shù)(是虛數(shù)單位),則________15.小李參加有關(guān)“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的答題活動,要從4道題中隨機(jī)抽取2道作答,小李會其中的三道題,則抽到的2道題小李都會的概率為_____.16.已知兩點(diǎn),,若直線上存在點(diǎn)滿足,則實(shí)數(shù)滿足的取值范圍是__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè),函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).(1)設(shè)函數(shù).①若,試判斷函數(shù)與的圖像在區(qū)間上是否有交點(diǎn);②求證:對任意的,直線都不是的切線;(2)設(shè)函數(shù),試判斷函數(shù)是否存在極小值,若存在,求出的取值范圍;若不存在,請說明理由.18.(12分)底面為菱形的直四棱柱,被一平面截取后得到如圖所示的幾何體.若,.(1)求證:;(2)求二面角的正弦值.19.(12分)設(shè)函數(shù)其中(Ⅰ)若曲線在點(diǎn)處切線的傾斜角為,求的值;(Ⅱ)已知導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn),證明:當(dāng)時(shí),.20.(12分)在四棱錐的底面中,,,平面,是的中點(diǎn),且(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值;(Ⅲ)線段上是否存在點(diǎn),使得,若存在指出點(diǎn)的位置,若不存在請說明理由.21.(12分)某貧困地區(qū)幾個丘陵的外圍有兩條相互垂直的直線型公路,以及鐵路線上的一條應(yīng)開鑿的直線穿山隧道,為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀,計(jì)劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路,以所在的直線分別為軸,軸,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,山區(qū)邊界曲線為,設(shè)公路與曲線相切于點(diǎn),的橫坐標(biāo)為.(1)當(dāng)為何值時(shí),公路的長度最短?求出最短長度;(2)當(dāng)公路的長度最短時(shí),設(shè)公路交軸,軸分別為,兩點(diǎn),并測得四邊形中,,,千米,千米,求應(yīng)開鑿的隧道的長度.22.(10分)如圖所示,三棱柱中,平面,點(diǎn),分別在線段,上,且,,是線段的中點(diǎn).(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)若,,,求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

采用逐一驗(yàn)證法,根據(jù)線線、線面之間的關(guān)系以及四面體的體積公式,可得結(jié)果.【詳解】A錯誤由平面,//而與平面相交,故可知與平面相交,所以不存在EF//BC1B錯誤,如圖,作由又平面,所以平面又平面,所以由//,所以,平面所以平面,又平面所以,所以存在C正確四面體EMAC的體積為其中為點(diǎn)到平面的距離,由//,平面,平面所以//平面,則點(diǎn)到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離,所以為定值,故四面體EMAC的體積為定值錯誤由//,平面,平面所以//平面,則點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離,所以為定值所以四面體FA1C1B的體積為定值故選:C【點(diǎn)睛】本題考查線面、線線之間的關(guān)系,考驗(yàn)分析能力以及邏輯推理能力,熟練線面垂直與平行的判定定理以及性質(zhì)定理,中檔題.2、B【解析】

考慮當(dāng)時(shí),有兩個不同的實(shí)數(shù)解,令,則有兩個不同的零點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)和零點(diǎn)存在定理可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)榈膱D象上關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)有2對,所以時(shí),有兩個不同的實(shí)數(shù)解.令,則在有兩個不同的零點(diǎn).又,當(dāng)時(shí),,故在上為增函數(shù),在上至多一個零點(diǎn),舍.當(dāng)時(shí),若,則,在上為增函數(shù);若,則,在上為減函數(shù);故,因?yàn)橛袃蓚€不同的零點(diǎn),所以,解得.又當(dāng)時(shí),且,故在上存在一個零點(diǎn).又,其中.令,則,當(dāng)時(shí),,故為減函數(shù),所以即.因?yàn)椋栽谏弦泊嬖谝粋€零點(diǎn).綜上,當(dāng)時(shí),有兩個不同的零點(diǎn).故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn),一般地,較為復(fù)雜的函數(shù)的零點(diǎn),必須先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,再結(jié)合零點(diǎn)存在定理說明零點(diǎn)的存在性,本題屬于難題.3、C【解析】

A:否命題既否條件又否結(jié)論,故A錯.B:由正弦定理和邊角關(guān)系可判斷B錯.C:可判斷其逆否命題的真假,C正確.D:根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷D錯.【詳解】解:A:“若,則”的否命題是“若,則”,故A錯.B:在中,,故“”是“”成立的必要充分條件,故B錯.C:“若,則”“若,則”,故C正確.D:由冪函數(shù)在遞減,故D錯.故選:C【點(diǎn)睛】考查判斷命題的真假,是基礎(chǔ)題.4、C【解析】

根據(jù)三視圖,可得三棱錐P-ABC的直觀圖,然后再計(jì)算可得.【詳解】解:根據(jù)三視圖,可得三棱錐P-ABC的直觀圖如圖所示,其中D為AB的中點(diǎn),底面ABC.所以三棱錐P-ABC的體積為,,,,,、不可能垂直,即不可能兩兩垂直,,.三棱錐P-ABC的側(cè)面積為.故正確的為C.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖還原直觀圖,以及三棱錐的表面積、體積的計(jì)算問題,屬于中檔題.5、D【解析】

如圖所示:在邊長為的正方體中,四棱錐滿足條件,故,得到答案.【詳解】如圖所示:在邊長為的正方體中,四棱錐滿足條件.故,,.故,故,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖,元素和集合的關(guān)系,意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.6、C【解析】

依次判斷函數(shù)的值域和奇偶性得到答案.【詳解】A.,值域?yàn)椋瞧娣桥己瘮?shù),排除;B.,值域?yàn)椋婧瘮?shù),排除;C.,值域?yàn)?,奇函?shù),滿足;D.,值域?yàn)?,非奇非偶函?shù),排除;故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的值域和奇偶性,意在考查學(xué)生對于函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.7、C【解析】

由題意知:,,設(shè),則,在中,列勾股方程可解得,然后由得出答案.【詳解】解:由題意知:,,設(shè),則在中,列勾股方程得:,解得所以從該葭上隨機(jī)取一點(diǎn),則該點(diǎn)取自水下的概率為故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型中的長度型,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

試題分析:由題意得,自習(xí)時(shí)間不少于小時(shí)的頻率為,故自習(xí)時(shí)間不少于小時(shí)的頻率為,故選C.考點(diǎn):頻率分布直方圖及其應(yīng)用.9、A【解析】

根據(jù)正弦定理可得,求出,根據(jù)平方關(guān)系求出.由兩端平方,求的最大值,根據(jù)三角形面積公式,求出面積的最大值.【詳解】中,,由正弦定理可得,整理得,由余弦定理,得.D是AB的中點(diǎn),且,,即,即,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號成立.的面積,所以面積的最大值為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查正、余弦定理、不等式、三角形面積公式和向量的數(shù)量積運(yùn)算,屬于中檔題.10、B【解析】

計(jì)算,故,解得答案.【詳解】當(dāng)時(shí),,即,且.故,,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的相關(guān)計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和對于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.11、D【解析】

由得,又,兩式相除即可解出.【詳解】解:由得,又,∴,∴,或,又正項(xiàng)等比數(shù)列得,∴,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

由已知中的三視圖,可知該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐,求出底面面積,代入錐體體積公式,可得答案.【詳解】由已知中的三視圖,可知該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐,其底面面積,高,故體積,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是由三視圖求幾何體的體積,解決本題的關(guān)鍵是得到該幾何體的形狀.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,對求導(dǎo)后在計(jì)算在處導(dǎo)函數(shù)的值,再利用點(diǎn)斜式列出方程化簡即可.【詳解】,則切線的斜率為.又,所以函數(shù)的圖象在處的切線方程為,即.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程問題,需要注意求導(dǎo)法則與計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

直接根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式四則運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】,.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式四則運(yùn)算法則的應(yīng)用.15、【解析】

從四道題中隨機(jī)抽取兩道共6種情況,抽到的兩道全都會的情況有3種,即可得到概率.【詳解】由題:從從4道題中隨機(jī)抽取2道作答,共有種,小李會其中的三道題,則抽到的2道題小李都會的情況共有種,所以其概率為.故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)古典概型求概率,關(guān)鍵在于根據(jù)題意準(zhǔn)確求出基本事件的總數(shù)和某一事件包含的基本事件個數(shù).16、【解析】

問題轉(zhuǎn)化為求直線與圓有公共點(diǎn)時(shí),的取值范圍,利用數(shù)形結(jié)合思想能求出結(jié)果.【詳解】解:直線,點(diǎn),,直線上存在點(diǎn)滿足,的軌跡方程是.如圖,直線與圓有公共點(diǎn),圓心到直線的距離:,解得.實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線方程、圓、點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)①函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有交點(diǎn);②證明見解析;(2)且;【解析】

(1)①令,結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的判定定理判斷即可;②設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為,求出切線方程,得到,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可;(2)求出的解析式,通過討論的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,確定的范圍即可.【詳解】解:(1)①當(dāng)時(shí),函數(shù),令,,則,,故,又函數(shù)在區(qū)間上的圖象是不間斷曲線,故函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn),故函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有交點(diǎn);②證明:假設(shè)存在,使得直線是曲線的切線,切點(diǎn)橫坐標(biāo)為,且,則切線在點(diǎn)切線方程為,即,從而,且,消去,得,故滿足等式,令,所以,故函數(shù)在和上單調(diào)遞增,又函數(shù)在時(shí),故方程有唯一解,又,故不存在,即證;(2)由得,,,令,則,,當(dāng)時(shí),遞減,故當(dāng)時(shí),,遞增,當(dāng)時(shí),,遞減,故在處取得極大值,不合題意;時(shí),則在遞減,在,遞增,①當(dāng)時(shí),,故在遞減,可得當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,,易證,令,,令,故,則,故在遞增,則,即時(shí),,故在,內(nèi)存在,使得,故在,上遞減,在,遞增,故在處取得極小值.②由(1)知,,故在遞減,在遞增,故時(shí),,遞增,不合題意;③當(dāng)時(shí),,當(dāng),時(shí),,遞減,當(dāng)時(shí),,遞增,故在處取極小值,符合題意,綜上,實(shí)數(shù)的范圍是且.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,屬于難題.18、(1)見解析;(2)【解析】

(1)先由線面垂直的判定定理證明平面,再證明線線垂直即可;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求平面的一個法向量與平面的一個法向量,再利用向量數(shù)量積運(yùn)算即可.【詳解】(1)證明:連接,由平行且相等,可知四邊形為平行四邊形,所以.由題意易知,,所以,,因?yàn)?,所以平面,又平面,所?(2)設(shè),,由已知可得:平面平面,所以,同理可得:,所以四邊形為平行四邊形,所以為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),所以平行且相等,從而平面,又,所以,,兩兩垂直,如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,,,由平面幾何知識,得.則,,,,所以,,.設(shè)平面的法向量為,由,可得,令,則,,所以.同理,平面的一個法向量為.設(shè)平面與平面所成角為,則,所以.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的判定定理及二面角的平面角的求法,重點(diǎn)考查了空間向量的應(yīng)用,屬中檔題.19、(Ⅰ);(Ⅱ)證明見解析【解析】

(Ⅰ)求導(dǎo)得到,,解得答案.(Ⅱ),故,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,,設(shè),證明函數(shù)單調(diào)遞減,故,得到證明.【詳解】(Ⅰ),故,,故.(Ⅱ),即,存在唯一零點(diǎn),設(shè)零點(diǎn)為,故,即,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故,設(shè),則,設(shè),則,單調(diào)遞減,,故恒成立,故單調(diào)遞減.,故當(dāng)時(shí),.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的切線問題,利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵.20、(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ);(Ⅲ)存在,點(diǎn)為線段的中點(diǎn).【解析】

(Ⅰ)連結(jié),,,則四邊形為平行四邊形,得到證明.(Ⅱ)建立如圖所示坐標(biāo)系,平面法向量為,平面的法向量,計(jì)算夾角得到答案.(Ⅲ)設(shè),計(jì)算,,根據(jù)垂直關(guān)系得到答案.【詳解】(Ⅰ)連結(jié),,,則四邊形為平行四邊形.平面.(Ⅱ)平面,四邊形為正方形.所以,,兩兩垂直,建立如圖所示坐標(biāo)系,則,,,,設(shè)平面法向量為,則,連結(jié),可得,又所以,平面,平面的法向量,設(shè)二面角的平面角為,則.(Ⅲ)線段上存在點(diǎn)使得,設(shè),,,,所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行,二面角,根據(jù)垂直關(guān)系確定位置,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.21、(1)當(dāng)時(shí),公路的長度最短為千米;(2)(千米).【解析】

(1)設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的方程為,根據(jù)兩點(diǎn)間距離得出,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性,從而得出

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