函數(shù)的概念及其表示（含新定義解答題）（解析版）-2025年高考數(shù)學一輪復習（新高考專用）

第01講函數(shù)的概念及其表示(分層精練)

A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)(新定義解答題)

A夯實基礎(chǔ)

一、單選題

1.(2023?湖南岳陽?校聯(lián)考模擬預測)函數(shù)y=4+^/i二工的定義域是()

A.(0,1)B.[0,1]C.[0,+co)D.{0,1}

【答案】B

【分析】根據(jù)開偶數(shù)次方根號里的數(shù)大于等于零即可得解.

【詳解】由y=Vx+Jl-x,

fx>0

得〈解得OVxMl,

所以函數(shù)y=?+?7的定義域是[0』.

故選：B.

2.(2023上?陜西榆林?高一?？茧A段練習)函數(shù)/(無)=亞彳-工的定義域為()

X

A.g+sjB.(-co,0)u^0,1C.(-co,-2]D.[o,g

【答案】B

【分析】結(jié)合函數(shù)有意義的條件計算即可得.

【詳解】由題意可知2-4*20,xwO,解得尤且xwO；

故該函數(shù)定義域為(-8,O)u(o].

故選：B.

3.(2023上?全國?高一期末)函數(shù)/(%)的定義域為區(qū)，若/(%+,)=/。)+/3，/(8)=3,

則〃2)=()

131

A.1B.-C.-D.—

442

【答案】c

【分析】利用賦值法求值即可.

【詳解】因為〃x+y)=〃x)+/(y),*8)=3,

所以令x=y=4,得〃8)=2〃4),得〃4)=會

3

所以令x=y=2,得〃4)=2/(2),W/(2)=1.

故選：C

8x,x>0

4.(2023上?江蘇常州,高一統(tǒng)考期中)已知函數(shù)3)八，則〃T)=()

〔I2J

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式計算可得.

8x,x>0

【詳解】因為〃x)=/x+3[x<0'

[I2J

所以"-4)={|]=止1)=唱[=8xg=4.

故選：B

5.(2023?全國?高一假期作業(yè))下面各組函數(shù)中為相同函數(shù)的是()

A.f(x)=/x-l)2與g(x)=x-lB.〃x)=&-1與g(x)=Jx+ld-1

C.〃x)=lneWg(x)=*D.〃x)=x°與g(x)=。

【答案】D

【詳解】函數(shù)的三要素相同的函數(shù)為相同函數(shù)，對于選項A,/(尤)=卜-1|與8(尤)對應關(guān)系

不同，故排除選項A；選項B、C中兩函數(shù)的定義域不同，排除選項B、C.故選D.

6.(2023?湖南岳陽?校聯(lián)考模擬預測)已知函數(shù)/(%)=]吸(尤+?'尤>\若/㈣=2,則

[x,0<x<l

m-()

A.8B.7C.2D.0.5

【答案】A

【分析】分類討論結(jié)合指對互換求解〃2的值即可.

【詳解】當0<%<1時，0</(x)=x<l<2,所以若〃〃。=2,則只能〃z>l,log3(m+1)=2,

所以根+1=32=9,所以機=8>1滿足題意.

故選：A.

f2"T1<x<3

7.(2023上?甘肅酒泉?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(%)=依-2,g(尤)=(2,：1‘1對

、7-x2+l,-3<x<l,

氣￡[-3,3],3x2e[-3,3],使得/(%)=g(%)成立，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.[-1,1]B.[0,4]C.[1,3]D.[-2,2]

【答案】D

【分析】先根據(jù)g(x)的解析式求出其值域，分類討論求出Ax)的值域，結(jié)合兩值域的關(guān)系

可得答案.

2'Ll4尤43,

【詳解】因為g(x)=

—龍？+1,—34尤<1,

所以馬3,1)時,g(%)=-r+1目-8』,范e[l,3]時,g㈤

綜上g(x2)G[—8,4].

當a>0時，e[-3,3],/(占)w[-3。-2,3。-2],

由題意，[-3a-2,3a-2k[-8,4],叫3a-2<4'解得

當。=0時，/(為)=-2,符合題意；

當a<0時，Vxje[-3,3],/a)e[3"2,-3。-2],

「1「1(3”—22—8

由題意，3a—2,—3a—2k—8,4,即。.，，解得—24a<0；

[-3a-2<4

綜上可得aw[-2,2].

故選：D.

8.(2024上?貴州畢節(jié)?高一統(tǒng)考期末)若函數(shù)=卜「之二〃”?<3的值域為卜3,+功，

[msinx+l,x>3

則實數(shù)加的可能值共有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】先得到當xv3時，f(x)>-m,再分機=0,機>0和相<0三種情況，結(jié)合函數(shù)值

域得到方程，求出相應的實數(shù)機的值，得到答案.

【詳解】當尤<3時，/(x)=x2-2x-m+\={x-Vj1-m>-m,

當％23時，/(x)=msinx+l,

若根=0,當xv3時，F(xiàn)(X)N。，當x23時，/(x)=l,

此時/(%)的值域為[0,+動，不合題意；

若m>0,則時，/(x)G[-m+l,m+l],f(x)^=-m+1,

由于一根+1>-m,由題意需使一m=-3,.,.根=3；

若mv0,則3時，/(x)G[rn+l,-m+l],/(x)min=m+l,

由于一相>0,故需使機+1=-3,.,.%=-4,

即實數(shù)機的可能值共有2個.

故選：B.

二、多選題

9.(2024下?重慶?高三彭水苗族土家族自治縣中學校校聯(lián)考開學考試)已知函數(shù)〃x)=

lg(x-3)

r——下列結(jié)論不正確的是(

425-x1

定義域為卜5,5)定義域為[-5,5]

定義域為(3,5)定義域為[3,5)

【答案】ABD

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義，求得x的取值范圍.

fx-3>0fx>3

【詳解】若函數(shù)有意義，需滿足L2八，即，<，則3<%<5,即/(%)的定義域

[25-x>0[-5<%<5

為(3,5)；

故選：ABD

10.(2024上?安徽淮北?高一淮北市實驗高級中學?？茧A段練習)數(shù)學上，高斯記號是指對

取整符號和取小符號的統(tǒng)稱，用于數(shù)論等領(lǐng)域定義在數(shù)學特別是數(shù)論領(lǐng)域中，有時需要略去

一個實數(shù)的小數(shù)部分只研究它的整數(shù)部分，或需要略去整數(shù)部分只研究小數(shù)部分，因而引入

高斯記號.設xeR,用國表示不超過x的最大整數(shù).比如：==卜1.2]=-2.

[1.3]=1-,已知函數(shù)〃x)=x-[x],g(x)=中,(尤>0)則下列選項中正確的是()

A.[”2.5)]=0B./⑺的值域為[0』

17

C.方程g(x)=5無實根D.方程g(x)=內(nèi)僅有一個實根

【答案】ACD

【分析】先進行分段化簡函數(shù)，并畫函數(shù)"x)=x-[x],g(x)=l|l圖象，再結(jié)合圖象逐項

判斷即可.

【詳解】由高斯函數(shù)的定義可得：當0<x<l時，區(qū)=0,則x-[x|=x,

當Uv2時,[x]=1,貝!J]—[同=%—1,當2Wx<3時，[x]=2,貝！j九一[九]=%一2,

當3<九<4時，國=3,則九一國=%—3,當4?尤<5時，[%]=4,貝！]%—[%]=%—4,

繪制〃￡)=%-回函數(shù)圖象如圖所示，

^[/(2.5)]=[2.5-2]=[0.5]=0,故A正確；

由圖可知，f(尤)的值域為[0,1),故B錯誤；

由高斯函數(shù)的定義可得：當0<x<l時，國=0,則曰=0,

X

當l〈x<2時，3=1,則區(qū)=L當2Wx<3時，[可=2,則區(qū)=2,

XXXX

當3Vx<4時，國=3,則國=。，當44x<5時，[%]=4,則國=2,

XXXX

繪制g(x)=kl函數(shù)圖象如圖所示，

X

對于C,由選項A知，g(x)在(0,+8)上的值域為U{0},

所以方程8(力=^無實根，故C正確；

71719

對于D,當14九<2時，@(X)=高即一=不，解得了=方￡口,2),

L/X1N/

當2。<3時，g(x)=歷7即9;=7A，解得尤=7]4定[2,3),

710

結(jié)合函數(shù)g(x)圖象知，方程g(x)=^僅有一個實根故D正確.

故選：ACD.

三、填空題

cosfx+—^+―,x<0

11.(2024上?廣東肇慶?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(x)=I3)2，則

log2x,x>0

/(/(-2024K))=.

【答案】1

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)及誘導公式計算即可.

【詳解】由題意可知：f（-202471）=cos|-2024?t+^j+|=cos^+|=-cos1=2,

八2）=1，

所以/（〃-20247r））=1.

故答案為：1

12.（2024上?廣東廣州?高一統(tǒng)考期末）函數(shù)，（尤）=[加的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù),

例如，[-3.5]=<[2.1]=2,則函數(shù)y=[x+2]-x的值域是.

【答案】（1,2]

【分析】根據(jù)題意，當xe[",〃+l）時，得到[x+2]=〃+2,結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可求解函

數(shù)的值域，得到答案.

【詳解】由函數(shù)/（無）=口]的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，

當時,可得反|=",則[x+2]="+2,

可得y=[x+2]—x=〃+2—X,

因為+可得"+2-xe（l,2],所以函數(shù)丁=[犬+2]-X的值域是（1,2].

故答案為：（1,2].

四、解答題

13.（2024上?山東棗莊?高一期末）已知函數(shù)/（x）=^—.

x-6

⑴點（3,14）在“力的圖象上嗎?

（2）當尤=4時，求的值；當〃制=2時，求x的值.

【答案】⑴不在

⑵當X=4時，y（x）=-3；當〃x）=2時，x=14.

【分析】（1）計算出"3）的值，即可得出結(jié)論；

（2）代值計算可得出〃4）的值，解方程〃x）=2,可得出尤的值.

a.75

【詳解】（1）解：因為〃3）=受=-?214,所以，點（3,14）不在〃x）的圖象上.

3—63

4+2

（2）解：當x=4時，/（4）=--=-3；

4—0

_i_7

若/（力=2,貝U=r=2,即2x-12=x+2,解得x=14.

14.（2024上?江蘇揚州?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)"x）=logi（4-力+~^^的定義域為集

2y/X-1

合A,函數(shù)g（%）=mj2%+5]九￡一;弓]的值域為反

⑴當m=1時，求ADB；

⑵若XGA是XGB的必要不充分條件，求實數(shù)用的取值范圍.

【答案】⑴。,4]

(2)!＜m＜l

【分析】(1)分別求出集合A、B,再求兩個集合的并集；

(2)根據(jù)題意，確定兩個集合的包含關(guān)系，然后求加得取值范圍.

f4—x＞0,

【詳解】(1)由題意得[n

所以l＜x＜4,所以A=(l,4)；

當m=1時，g(x)=j2x+5在-g,；上單調(diào)增，則3=[2,4],

/.AuB=(l,4]；

(2)若無eA是1的必要不充分條件，則3是A的真子集.

當相＞0時，g(x)=?nj2x+5在-;,2上單調(diào)增，

則5=[2m,4帆],所以1＜2用＜4根＜4,解得;〈根＜1；

當機=0時，B={0},不符合題意；

當機＜0時，g(%)二川2.+5在-；，2上單調(diào)減，則區(qū)=[4m,2間，不符合題意；

綜上，；＜加＜1.

B能力提升

1.(2024上?河南商丘?高一?？计谀?若函數(shù)〃x)=(9,(2申|+4的定義域為R，

則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(-1,0)B.(0,+e)C.(-2,0)D.(-2,—1)D(-1,+功

【答案】A

【分析】將問題轉(zhuǎn)化為對任意xeR,卜2-W-owO,同時州+1”恒大于0且恒不為1,分情

況討論求實數(shù)。的取值范圍即可.

【詳解】小)=—Z疝所包的定義域為R，

則對任意xeRjf-d-awO,同時吩恒+a恒大于0且恒不為1,

對于y-口/。，若a'O,貝！Jx=0時,-a=0,不滿足題意；

若a<0,則一a>0恒成立，

因為2KM+aN2+a，要滿足沙田+a恒大于。且恒不為1,則2+a>l,a>—l,

所以。的取值范圍是(-1,0).

故選:A.

2

logt(x+2a),x<l

2.(2024上?福建泉州?高一統(tǒng)考期末)若函數(shù)〃x)=2存在最大值，則

1-31-X,x>l

實數(shù)。的取值范圍為()

(1111(11111

A.-co,-B.0,-C.D.0,-

(4」I4」I22」I2」

【答案】B

【分析】判斷時，/(x)e[0,l),無最大值，由判斷y=V+2a在x<l時的單調(diào)性，可

得/(村=1。8/9+20)單調(diào)性，確定最大值，結(jié)合題意列出不等式，即可求得答案.

2

【詳解】當X21時，〃元)=1-31在口,+8)上單調(diào)遞增，此時〃x)e[0,l),無最大值；

又因為y=/+2。在(』,0]上單調(diào)遞減，在[0,1)上單調(diào)遞增，

故〃x)=log?(f+2a)在(_叫0]上單調(diào)遞增，在[0,1)上單調(diào)遞減，

2

所以當x<l時，〃x)a="°)T°g|(2"),

2

結(jié)合題意可得10§1(2。)21,解得0<2“W10<a<：,

224

即實數(shù)。的取值范圍為，

故選：B

3.(2024上?天津濱海新?高一統(tǒng)考期末)若函數(shù)=.有最小值，則實

[x—2ax4-3a,x>2

數(shù)。的取值范圍是()

A.(0,l)u(3,+oo)B.[4,+co)

C.(^?,0)u(l,+co)D.(-oo,2]

【答案】B

【分析】由分段函數(shù)解析式，結(jié)合指數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，討論aW2、。>2研究Ax)有最

小值情況下參數(shù)范圍.

【詳解】由y=3*-a在(f,2)上遞增,且值域為由a,9-a),

由>=尤2-2〃l+3。=（尤-a）2+3a-02,開口向上且對稱軸為x=a,

所以，二次函數(shù)在（-s,a）上遞減，在3,+?）上遞增，

要使〃無）有最小值，

當aW2時，/（2）=4-a4-。顯然不成立；

當a>2時，f（a）=3a-a2<-a,貝Ua?-4a20,可得oN4；

綜上，實數(shù)。的取值范圍是［4,y）.

故選：B

4.（2024上?湖南株洲?高一株洲二中校考期末）函數(shù)〃耳=1嗯（3加-46+2）的定義域為

全體實數(shù)，則ae（）

A.RB.（0,+8）C.0,|jD.（0，T

【答案】C

【分析】依題知，xeR時，3aI2—4QV+2>0恒成立，討論a=0和aw。兩種情況，列出條

件，解出即可.

【詳解】因為函數(shù)〃x）=bg2（3--4辦+2）的定義域為全體實數(shù)，

則xeR時，302一4辦+2>0恒成立，

當a=0時，不等式為2>0,恒成立，符合題意；

3<7>0

當〃。0時，貝/、2，

△=（—4。）—4x3〃x2<0

3

解得0<〃<?

綜上知，ae0，m）,

故選：C.

x2+ax,x<0

5.（2024下?內(nèi)蒙古赤峰高三?？奸_學考試）已知函數(shù)〃力二x八的最小值為-1，

--------,x>0

、x+1

則〃=.

【答案】2

【分析】由題意得出函數(shù)y=—在（-8,0）上取得最小值-1,由此即可列出式子求解.

Y1

【詳解】當時，y==

x+1x+1

因為〃尤）的最小值為-1,所以函數(shù)y=Y+辦在0）上取得最小值-1,

2

則2，解得4=2.

--=-1

14

故答案為：2.

6.(2024上?新疆烏魯木齊,高一烏魯木齊市第十一中學校考期末)已知函數(shù)

X?—x,xF[—2,0)

/(%)=<0,x=0.

―尤？_x,尤e(0,2]

(1)判斷函數(shù)一(X)的奇偶性，并證明.

(2)若/⑴2病-2a根-9對所有xe[-2,2],恒成立，求實數(shù)機的取值范圍.

【答案】(1)奇函數(shù)，證明見解析；

(2)-1<772<1.

【分析】(1)根據(jù)給定的函數(shù)解析式，利用奇函數(shù)、偶函數(shù)定義判斷即得.

(2)探討函數(shù)AM的單調(diào)性，并求出最小值，再借助一次型函數(shù)圖象與性質(zhì)列出不等式,

求解即得.

X2-x,xe[-2,0)

【詳解】(1)函數(shù)/(x)=，0,x=。是奇函數(shù)，

—X?—尤，尤e(0,2]

當xe[-2,0)時，-xe(0,2],貝l]/(-無)=-(-x)?-(-x)=-/+x=-/(x),

當x=0時，/(-x)=0=-/(%),

當xe(0,2]時，-xe[-2,0),貝lj/(-無)=(-媛-(-無)=尤。+苫=-/(尤)，

因止匕xe[-2,2],恒有f(-x)=-/(x)成立,

所以函數(shù)Ax)是奇函數(shù).

(2)當xw[-2,0)時，/(x)=V_x單調(diào)遞減，當xw(0,2]時，/(x)=-無?-彳單調(diào)遞減，又

/(0)=0,

因此函數(shù)/(X)在[-2,2]上單調(diào)遞減，/(^?=/(2)=-6,

由/(x)N〃展—2a07—9對所有xw[―2,2]恒成立，得加之——9W—6,BPm2—2am-3<0,

g(a)=-2ma+m2-3<0,依題意，任意。g(a)<Q,

g(—1)=m2+2m—3<0

于是解得一iWmWl,

g⑴=m2—2m-3<0

所以實數(shù)機的取值范圍是-1<機<1.

C綜合素養(yǎng)

7.(2024上?北京西城?高一統(tǒng)考期末)對于函數(shù)y=〃x),記所有滿足Vs>t>0,都有

的函數(shù)構(gòu)成集合A；所有滿足Vs,re(O,+?)),都有〃s+f)上〃s)+〃，)的函數(shù)構(gòu)

成集合反

⑴分別判斷下列函數(shù)是否為集合8中的元素，并說明理由，

①/(x)=2x+l；(2)/(x)=x2；

⑵若〃x)=log4x+a)"之0)是集合B中的元素，求。的最小值；

2

⑶若g(x)=^(x)，求證：f(x)eA是g(x)e3的充分不必要條件.

【答案】(1)答案見解析

(2)1

⑶證明見解析

【分析】⑴判斷①時，取s=t=l結(jié)合定義進行分析；判斷②時，根據(jù)〃s+A/(s)T(。

的結(jié)果進行分析；

(2)分別考慮：然后根據(jù)定義結(jié)合對數(shù)運算以及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析出。=1

時/'(x)ejB,OWa<l時/'(?￥)任3,由此可確定出。的最小值；

(