河北省石家莊市2025屆高三年級上冊教學(xué)質(zhì)量摸底檢測數(shù)學(xué)試卷(解析版)_第1頁
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文檔簡介

石家莊市2025屆普通高中學(xué)校畢業(yè)年級教學(xué)質(zhì)量摸底檢測

數(shù)學(xué)

(本試卷滿分150分,考試時間120分鐘)

注意事項:

1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改

動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項

是符合題目要求的.

1.設(shè)集合4={%6即1"<5},3={xeR|x2-3%_4<0},則4B=()

A.(-1,1]B.(-1,4)C.[1,4)D,[1,5)

【答案】C

【解析】

【分析】解一元二次不等式求出B,根據(jù)集合的交集運算,即可得答案.

【詳解】集合A={xeR|lWx<5}=口,5),B=R|x2-3x-4<oj=(-1,4),

故AB=[l,4),

故選;C

2.已知復(fù)數(shù)z滿足(l+i)z=2+3i,則復(fù)數(shù)z的虛部為()

5

D.

2

【答案】A

【解析】

分析】利用復(fù)數(shù)除法法則得到2=",得到虛部.

2

2+3i_(2+3i)(l-i)_2-2i+3i-3i25+i

【詳解】

1+i(l+i)(l-i)-~r

故虛部為

2

故選:A

3.已知平面向量d1滿足=2,且同=1,1卜2,則向量。力的夾角為()

兀2兀兀57t

A.—B.—C.-D.—

6336

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算及夾角公式得解.

【詳解】因為同=1,忖=2,

9

所以〃?(〃—〃)=Q—a-b=l—a-b=2即〃?/?二一1,

/,\a,b1

所以儂卜力”麗=一5,

所以卜,6〉=,,

故選:B

4.已知正四棱錐底面邊長為2,且其側(cè)面積的和是底面積的2倍,則此正四棱錐的體積為()

A.BB.-C.D,243

333

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)己知得出斜高,從而可得正四棱錐的高,由體積公式可得正四棱錐的體積.

【詳解】如圖,正四棱錐S—ABCD,BC=2,。為底面正方形中心,E為BC中點,

由已知可得4x^x2xSE=2x2x2,

2

所以S£=2,

又OE=1,所以S0=dSE2_0E?=#),

所以正四棱錐的體積為V='x2x2xJ^=生亙.

33

故選:C.

4

5.已知sin(a+/?)=2cos(a-/?),tana+tan/=—,則tan。?tan/?=()

c11

A.3B.-3C.-D.——

33

【答案】D

【解析】

4

【分析】根據(jù)條件可得sin(a+0=]cosacos力,結(jié)合sin(a+/?)=2cos(o—力)及差角余弦公式,即可求

目標(biāo)式的值.

.、,一.,八sincrsin6sinacosa+sin6cosBsin(a+/7)4

【詳解】由tana+tan/?=——+—=------------5~―

cosacospcosacospcosacosp3

4

所以sin(a+0=-coscrcos/3,而sin(a+/?)=2cos(a-J3)=2(cosacos/?+sinasin/?),

42

所以一cosacos尸=2cosacos尸+2sinasin[3,即2sinasin/?=——cosacosf3,

33

所以tana?tan,二一;.

故選:D

6.若數(shù)歹u{??}為等差數(shù)列,sn為數(shù)列{4}的前/項和,%+%>0,兒<0,則s”的最小值為

()

A.S5B.S6C.S7D.Ss

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)由Su<0可得%>0,即可求出數(shù)列{%}前6項均為負(fù)值,可得結(jié)論.

【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)可得S”=11(“;4J=11%<。,即可得4<0;

又。4+%=&+%>。,所以%〉0;

因此可得數(shù)列{4}的公差d〉0,且前6項均為負(fù)值,

所以S”的最小值為前6項和,即為S6.

故選:B

7.已知雙曲線C:£—1=1的左、右焦點分別為《、F2,過坐標(biāo)原點的直線與雙曲線C交于A、B兩

點,若用匈=2|耳耳,則卜()

A.477B.277C.4GD.4

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線的對稱性及定義,求出|伍|、|耳川長度,由直角三角形求解可得解.

【詳解】如圖,

所以a=2,Z?=2A/2,c=J'4+8=2y/3,

由雙曲線的對稱性知閨因=I9J,

所以閨川=2閨.=2|4閭,

由雙曲線定義可得閨旬―|隹|=2|隹|—|隹|=|然|=2。=4,

所以閨A|=8,又比q=2c=4百,

所以比A「=|Ag「+閨閭2,即大鳥,

所以|。4|=yj\OF^+\AF^=V12+16=2幣,

故|的=2儂=4夕,

故選:A

8.已知函數(shù)/(x)為定義在R上的奇函數(shù),且在[0,+8)上單調(diào)遞減,滿足

/(log??)-/(log;d)<2f⑶,則實數(shù)0的取值范圍為()

2

B.P8C.(0,8]D.[8,+co)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得/(log2a)</(3),利用單調(diào)性解不等式結(jié)合對數(shù)運算即可求解

【詳解】函數(shù)/(%)為定義在R上的奇函數(shù),且在[0,+8)上單調(diào)遞減,

所以/(幻在R上是減函數(shù),

/(log?a)-/(log1a)<2/(3),即/爪+/爪公〈2/(3),

2

所以/(logz。)vy(3),

3

J5)f^log2o>3=log22,

所以。28,即實數(shù)a的取值范圍為[8,+8).

故選:D.

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題

目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得。分.

9.已知實數(shù)a,b,。滿足a>/?>c>0,則下列選項正確的是()

a+caia-c八bc

A.---->—B.1g---->0C.---->-----D.a+bH—>2-\/2

b+cbb-ca-ba-cy/ab

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用作差法可判斷AC;根據(jù)不等式性質(zhì)結(jié)合對數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷B;利用基本不等式判斷D.

【詳解】對于A,實數(shù)a,b,。滿足a>Z?>c>0,

a+ca(〃+c)Z?—(b+c)a[b-a^c

則--------<0,即竺£<幺,A錯誤;

b+cb(Z?+c)Z?(Z?+c)Z?b+cb

a—c

對于B,由于a>A>c>0,故a—c>Z?—c>0,:.---->1,

b-c

則lg^~->0,B正確;

b-c

對于C,因為a>Z?>c>0,故々一6>0,4-。>0/一。>0,

bc〃9-c)hc

則>0,即---->-----,C正確;

a-ba-ca-ba-c

對于D,由于a>b>c>0,故a+b>2j^,

則a+/+j—>2^/^+1—,而2\[ab+.——>2y/2,當(dāng)且僅當(dāng)二,時等號成立,

yjaby/ab7ab2

故a+b+—f=>2A/2,D正確,

7ab

故選:BCD

JT

10.已知函數(shù)/(x)=sin3x+:)(@>0),則下列說法正確的是()

6

4兀7兀

A.當(dāng)。=3時,/(x)在~9,~9上單調(diào)遞增

7T

B.若|/(石)-/(W)|=2,且%—々L二則函數(shù)/(X)的最小正周期為兀

Irmn2

7T

c.若/(X)的圖象向左平移五個單位長度后,得到的圖象關(guān)于y軸對稱,則G的最小值為3

2329

D.若/(%)在[0,2兀]上恰有4個零點,則外的取值范圍為—

【答案】ABD

【解析】

T兀

【分析】對于A,由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性即可判斷;對于B,直接可得一二一,由此即可判斷;對于C,由題

22

意得號+t=5+結(jié)合。的范圍即可判斷;對于D,先得到

€兀71

口>0,%£[0,2兀]=8+£+兀,進(jìn)一步列出不等式組即可求解.

66

(4兀7兀、7T1i3兀5兀

【詳解】對于A,當(dāng)外二3時,若xe,則+

v99/o6萬'萬

4TI7兀

所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知/(x)在~9,~9上單調(diào)遞增;

對于B,若/(七)—/(9)|=2,且%―%匕=],則當(dāng)且僅當(dāng)(=]=7=兀,故B正確;

7T

對于C,若/(x)的圖象向左平移一個單位長度后,得到的圖象所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為:

12

fl(X)=sin(?x+—+-)((?>0),

12o

若工(%)的圖象關(guān)于y軸對稱,則墨+&"|+EkZn0=4+⑵:水eZ,

注意到。>0,所以當(dāng)且僅當(dāng)k=0時,。的最小值為4,故C錯誤;

「"I兀兀兀7T

對于D,0>0,%E[0,2兀+—£一,—+2G兀,若/(%)在/(x)=sin0x+—)(口>0)上恰有4個零

6\_66J6

點,

2①兀+—24兀

則當(dāng)且僅當(dāng)]'232923291

,即①的取值范圍為12912J

C兀L

2〃>兀+—<5兀

、6

故選:ABD.

n.如圖,曲線。過坐標(biāo)原點。且。上的動點P(x,y)滿足到兩個定點耳(-。,0),乙3,0)3>0)的距

離之積為9,則下列結(jié)論正確的是()

A.a=3

B.若直線y=Ax與曲線C只有一個交點,則實數(shù)上的取值范圍為[1,+8)

C.P4鳥周長的最小值為12

9

D.P耳鳥面積的最大值為萬

【答案】AD

【解析】

【分析】求解曲線方程后,利用過原點求得。=3,可判斷A;聯(lián)立方程組,結(jié)合其解唯一求出左的范

圍,可判斷B;利用基本不等式求解怛耳|+歸耳|的范圍,即可求解.「耳工周長范圍,判斷C;根據(jù)面積

公式,結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可判斷D.

【詳解】由定義歸耳卜|尸閭=9,即J(x+a)2+y2xJq_a)2+y2=9,

BP(x2+/+a2+2ax).(x2+/+?2-2ox)=81,該曲線過原點,所以4=81,

又〃>0,所以。=3,故選項A正確;

故方程為+y2+9+6x)?(尤2+y2+9—6%)=81,

所以曲線C的方程為1+力2=18(/—力,

直線y=丘與曲線C:(/+/?=18(/—必有公共點(0,0),

因此若直線丁=區(qū)與曲線c只有一個交點,則<卜)=18卜—,)只有一個解(o,o),

y=kx

即/0+42)2=]8/(1—左2)只有一個解為%=0,

即XW0時,/(1+/)2=18工2(1—左2)無解,

故1—父<0,即實數(shù)左的取值范圍為故B錯誤;

由IP41+1P閭之2都網(wǎng)=6,僅當(dāng)戶周=|P閭=3時等號成立,

此時點尸在E8的垂直平分線上,故點P與原點。重合,不能形成三角形,

所以歸國+歸閭〉6,所以不工周長|尸國+|尸閭+閨用>6+6=12,

等號取不到,故C錯誤;

S帖=:附歸叫sinN甲里=gx9xsin4PE4,

3

當(dāng)且僅當(dāng)N^P居=90,等號成立,此時點P縱坐標(biāo)為

方程(f+/)2=18(X2—丁)可化為犬+(2/-18)%2+/(/+18)=0,

令;好,則方程產(chǎn)+(2丁—i8>+y2b2+18)=0,

29

由判別式△=(2y2—18)一—4y2(/+18)=-18(8y2-18)>0,可得VV—,

9

故面積能取到最大值一,故D正確.

2

故選:AD

【點睛】方法點睛:已知直線與曲線交點個數(shù)求參數(shù)值(取值范圍)問題,通常將直線方程代入曲線方程轉(zhuǎn)

化為一元方程根的情況研究,再結(jié)合方程類型變形建立不等式,通過解不等式確定參數(shù)范圍,但也要注意

變形過程中的等價處理.如復(fù)合方程通過整體換元轉(zhuǎn)化為簡單方程來研究時,不能忽視求解新元的范圍;

高次方程因式分解轉(zhuǎn)化為低次方程來研究時,要注意幾個低次方程之間的重根討論;分式方程化為整式方

程研究時,分母是否為0的分類討論;無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程時,被開方數(shù)的限制條件等.

三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分

12.在等比數(shù)列{%}中,q=1,a2a3a4=64,則a5=

【答案】16

【解析】

【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.

(詳解】由a2a3a4=64,及a2a4=af

可得:a;=64,即%=4,

又%%=al,

所以%=16.

故答案為:16

—x~+3x—1,x20

13.已知函數(shù)/(力=14,若y=|x|與y=F(龍)的圖象相切于48兩點,則直線A3的

—+4,%<0

方程為.

【答案】x+3y-4=0

【解析】

【分析】解方程先求出A5的坐標(biāo)即可求解.

【詳解】x>0,/(x)=|x|=>x>0,-%2+2%-1=0=>%=1,

X<0,/(X)=W=>JC<0,X+±+4=>X=-2,

不妨設(shè)A(-2,y(-2)),所以A(-2,2),B(1,1),

所以直線AB的方程為:y—l=2±(x-i)nx+3y—4=0.

—2—1

故答案為:x+3y-4=0.

14.金字塔在埃及和美洲等地均有分布,現(xiàn)在的尼羅河下游,散布著約80座金字塔遺跡,大小不一,其中

最高大的是胡夫金字塔,如圖,胡夫金字塔可以近似看做一個正四棱錐,則該正四棱錐的5個面所在的平

面將空間分成部分(用數(shù)字作答).

【答案】23

【解析】

【分析】假想一個沒有上頂?shù)恼襟w,該正方體會把空間分割成18塊,把四面進(jìn)行極限傾斜相交分析求

解.

【詳解】假想一個沒有上頂?shù)恼襟w,該正方體會把空間分割成18塊,

把四面進(jìn)行極限傾斜相交,如圖所示,

在傾斜的過程中,在不管底面的情況下,4個側(cè)面在頂點以下的“水平范圍”內(nèi)最多可以切割出9個空

間,與沒有傾斜極限的情況一樣,

多出來的空間是交叉的切割出來的空間,

在空間上是對稱的,四個傾斜的側(cè)面在空間中的延伸還是這樣的傾斜側(cè)面,

如圖所示的對稱的錐面同樣會切割出9個空間,

即頂點之上的4個延伸的傾斜的面同樣會切割出9個空間,

但是四個空間和下面的四個傾斜的側(cè)面切出的是同一個,

即標(biāo)記“X”的位置,

所以在18基礎(chǔ)上加9減4,即結(jié)果是23.

故答案為:23.

【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題關(guān)鍵在于把四面進(jìn)行極限傾斜相交分析.

四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為RA是拋物線上橫坐標(biāo)為2且位于x軸上方的點,A到拋物

線焦點的距離為*.

2

(1)求拋物線C的方程;

(2)若過點尸的直線/交拋物線C于夙。兩點(異于。點),連接若‘△。一白四〃

求的長.

【答案】(1)V=2x

(2)-

4

【解析】

【分析】(1)由拋物線上焦半徑的計算公式求解出尸,然后得到拋物線的方程即可;

⑵聯(lián)立直線與拋物線的方程,由韋達(dá)定理得到兩根之和與兩根之積,由得

\OG\-\BF\=^\DF\-\OG\,BP|BF|=||DF|,計算BD的長即可.

【小問1詳解】

由題意得光+2=:,解得。=1,故拋物線方程為/=2x.

【小問2詳解】

由題意得直線/的斜率不為0,設(shè)直線/:X=3+;,與y2=2x

聯(lián)立得y2一2什—1=0,由韋達(dá)定理得%+必=2乙①

設(shè)過。點作/垂線,垂足為G.

由S△.得|。*忸口=。。斗|OG|,即忸月司

由忸用得以=一;%②

由①②聯(lián)立上式得以=孝,%=—血,”―乎

|BD\=J(x「可)2+(乂-%)2=%)2=|?

16.如圖,在直四棱柱ABCD—AB'C'D'中,A,G=-A,D,,AB±BC,AB=1,BC=6,

3

(1)設(shè)過點G、B、。的平面交直線A?于點M,求線段GM的長;

(2)若AC15。,當(dāng)二面角3'—AC—D為直二面角時,求直四棱柱ABC?!狝BC'。'的體積.

73

【答案】(

1)~T

⑵逑

4

【解析】

【分析】(1)由直棱柱得B'D'IIBD且BDH平面AB'C'D',利用線面平行的性質(zhì)得BD//GM,進(jìn)而求線段

GM的長;

(2)法一:設(shè)A。BD=O,連接B'O,D'O,利用線面垂直的判定及性質(zhì)定理及二面角的定義有NB'OD'

為二面角8-AC-D的平面角,令3笈=。£>'=/7結(jié)合已知條件求。,最后應(yīng)用棱柱的體積公式求體積;

法二:設(shè)?!?gt;'=〃,根據(jù)已知二面角大小,應(yīng)用向量法列方程求力,進(jìn)而應(yīng)用棱柱的體積公式求體積;

【小問1詳解】

連接B'D',由直棱柱的結(jié)構(gòu)特征,知B'D'IIBD且BDH平面AB'C'D',

平面A'3'C'。'平面G8£)=GM,BDu平面GB。,所以5ZX/GM,

由平行傳遞性知GMUB'D',

所以M為靠近A'的AE三等分點,GM=LB'D'=2

32

【小問2詳解】

方法一:幾何法,

如上圖,設(shè)ACBD=O,連接BO,D'O,

由題意ACIB。,AC±BB,BB'3。=3且都在面班O內(nèi),故AC上面班O,

同理有AC上面OD'O,由8Ou面BB'O,DOu面ODO,

所以B'OJ_AC,D'O±AC,故NB'OD'為二面角U—AC—D的平面角,

TT

設(shè)BB'=DD=h,由二面角5'—AC—D為直二面角,知/8'。9'二一,

2

由題設(shè)有AC=2,等面積法得50=走,故0D=6B'O~^BO~+lr,D'O^DO2+h2,

2

在RtZkB'OD'中5'O2+£),O2=5'。'2,即』+"+3+//=ZZ,整理得丸2=。,解得力=土逅,

4422

由題設(shè),知BB'=近,則SABCD=S^ABC+SA48=38X2XL=£3,

所以^ABCD-A'B'C,D'=Sh=~~;

方法二:向量法,

設(shè)直線AC與直線交于點。,以。為坐標(biāo)原點,以08為無軸,以O(shè)C為y軸建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系。-工yz.

在&/^^。中(95,47,由射影定理得。4=J,OC=-,OB=B,

222

設(shè)DB=h,則A(0,—g,0),B'(—,O,h),C(0,1,0),D'(-y/3,0,h),

設(shè)平面B'AC的一個法向量為4=(玉,%,zj,

(石,乂,馬>(0,2,0)=0%=0

n.?AC=0

,即《

則,;,丸)=0,所以‘冬i=。'

?AB=0(%,如4>

令%=-2h,貝UZ[=百,=(-2A,0,A/3),

設(shè)平面ZX4c的一個法向量為巧=(x2,y2,z2),

(^,y,z)-(0,2,0)=0

n,,AC=0222

,即《

則(%,y,z)-(-73,1-,/z)=0,所以

n、-AD=0222

令X]=h,則z2=百,%=(",°,6)

當(dāng)二面角F—AC—D為直二面角時,勺?巧=—2川+3=0,得h=4~,

I9J2

^ABCD-A'B'C'D'=SAR「D,h=—2AC-BD-h=4-----.

17.在VABC中,AB=6,AC=26,點D在邊5c上,且3£)=CD.

7T

(1)若NBAD=—,求BC的長;

2

兀1

(2)若/BAC=-,點E在邊AC上,且AE=—EC,BE與AD交于點M,求cos/AMB.

32

【答案】(1)BC=V21

⑵」

7

【解析】

【分析】(1)設(shè)在/^1班和丫43。中分別得出0)56,即可求解;

2

(2)根據(jù)數(shù)量積的定義可得A3.AC,根據(jù)向量的線性運算可得的).BE,由向量的夾角運算公式即可

求解.

【小問1詳解】

設(shè)BD=CD=巴,

2

n_AB不

在中,COSJB=^5=V)

2

VA3C中,由余弦定理可得

.§2+5A2_3_+4一倒@,

2ABBC-2.8a

222

所以,斗(A/3)+?-(2A/3)

2.行a,

2

解得a=J五,所以BC=衣';

【小問2詳解】

AB-AC=y/3x2^3xcosy=3,

AD.SE=1(AB+AC)(AE-AB)=1(AB+AC)(|AC-AB

222

=-1AJB-AC-||AB|+||AC|=-|X3-1X3+|X(273)=-1

AD|=Q(AB+AC)2=^(^AB2+2AB-AC+AC2=J|x(3+2x3+12)=當(dāng)

BE|=jQAC-呵=^AC-^ABAC+AB=^|xl2-|x3+3=答,

1

Af).BF一71

cosZAMB=cosAD,BE=,~n~r=「'=——

|AD|.|BE|V21V217

x

is.已知函數(shù)y(x)=一e.

X

(1)當(dāng)x>0時,求函數(shù)/(X)的最小值;

Y4-1

(2)設(shè)方程/(x)=一的所有根之和為T,且Te(〃,n+1),求整數(shù)力的值;

x

(3)若關(guān)于x的不等式/(%)2公—alnx+e—1恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)e

(2)〃=—1

(3)a<\

【解析】

【分析】(1)由題可得/(X),判斷導(dǎo)函數(shù)符號,可得函數(shù)的單調(diào)性,即可得函數(shù)/(X)的最小值;

(2)/(x)=王?=廿-工-1=0,由g(x)=e1'-工-1單調(diào)性結(jié)合零點存在性定理可得g(x)零點范圍,

XXX

即可得T的范圍,即可得答案;

(3)令//(x)=/(x)—G;+alnx—(e—l),求導(dǎo)得〃(乃=色二組二也,然后分aVe,a〉e兩種情

x

況討論可得答案;

【小問1詳解】

尤>o,

X

xe(0,l),r(x)<0,/(x)單調(diào)遞減,

XG(l,+oo),f\x)>0,/(X)單調(diào)遞增,

/(X)min=/(D=e;

【小問2詳解】

方程f(x)=-X+]可化簡為/——11=0

XX

方程/—工—1=0的根就是函數(shù)^(x)=el---l的零點,

XX

注意到g'(x)=e'+4>0,貝Ug(x)=d—工―1在(―8,0),(0,+8)上單調(diào)遞增.

XX

因為g(—g)=e2_;<0,g(—1)=—>0,

所以函數(shù)g(x)在(T?,0)有唯一零點X],且X].

因為g(;)=疵'一3<0,g(l)=e-2>0,

所以函數(shù)g(x)在(0,+8)有唯一零點乙,且%2

則T=X]+々e(—L0),因此,n=-l.

【小問3詳解】

設(shè)/z(x)=/(x)-ax+alnx-(e-l),則當(dāng)x>0時〃(尤)之0恒成立,

hr(x)=任一"—Cl~\——(心'一①

X"XX"

er

①由(1)得一>e,ex>ex

x

當(dāng)aVe時,eA-ax>ex-ex>0

%e(O,l),/z'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減,

xe(1,+oo),h'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增,

h(x)>h(y)=e-fl-(e-l)=l-?>0..\a<l

②當(dāng)a>e時,7z(l)=l-a<0,這與"(x)NO矛盾,

綜上,a<l.

【點睛】關(guān)鍵點睛:對于零點范圍問題,常利用零點存在性定理確定具體范圍;對于函數(shù)不等式恒成立問

題,

可利用分離參數(shù)解決,也可直接分類討論處理.

19.母函數(shù)(又稱生成函數(shù))就是一列用來展示一串?dāng)?shù)字的掛衣架.這是數(shù)學(xué)家赫伯特?維爾夫?qū)δ负瘮?shù)的

一個形象且精妙的比喻.對于任意數(shù)列為,”1,"2,?,/,即用如下方法與一個函數(shù)聯(lián)系起來:

2n

G(x)=a0+axx+a2x++anx,則稱G(x)是數(shù)列{q,}的生成函數(shù).例如:求方程

10

100=^+?2++九的非負(fù)整數(shù)解的個數(shù).設(shè)此方程的生成函數(shù)為G(x)=(l+x+/+),其中尤的

指數(shù)代表較'=1,2,3,,10)的值.G(x)=(l+x+f+)1。=、4/,則非負(fù)整數(shù)解的個數(shù)為%°。.若

n=0

/(x)=l+x+f+,則對Xx)=x+x2+x3+,可得(1—x)/(x)=l,于是可得函數(shù)/(x)的收縮表

達(dá)式為:/(x)=-^.故G(x)=(《嚴(yán)=(1-x)T°=C°]0(-x)°+C:0(-劃++C?(-%)100+

1-x1-x

(廣義的二項式定理:兩個數(shù)之和的任意實數(shù)次累可以展開為類似項之和的恒等式)則

成"喘=T)x(一口):0;70一必+1)J09X1案X]。?嘴根據(jù)以上材料,解決下述問

題:定義“規(guī)范01數(shù)列”{4}如下:{4}共有2機項,其中機項為0,加項為1,且對任意左W2/〃,

£k

7,不同的“規(guī)范01數(shù)列”個數(shù)記為么”.

i=i2

(I)判斷以下數(shù)列是否為“規(guī)范01數(shù)列”;

①0,1,0,1,0,1;②0,0,1,1,1,0,0,1;③0,1,0,0,0,1,1,1.

(2)規(guī)定d=1,計算偽,b2,d的值,歸納數(shù)列也}的遞推公式;

m

(3)設(shè)數(shù)列但}對應(yīng)的生成函數(shù)為為:X)=%+3;+%/++bmx+

①結(jié)合歹(x)與產(chǎn)(工)之間的關(guān)系,推導(dǎo)F(%)的收縮表達(dá)式;

②求數(shù)列也}的通項公式.

【答案】(1)①,③是“規(guī)范01數(shù)列”,②不是“規(guī)范01數(shù)列”,理由見解析;

(2)4=1,4=2,&=5,&=14;數(shù)列也}的遞推公式為

4相+2

b

bm=b0bm7+4*+4*++m-A+2,1瓦或%=——~bm;

m+2

(2加)!

⑶①…三/;②久=

m!(m+1)!

【解析】

【分析】(1)根據(jù)“規(guī)范01數(shù)列”的定義進(jìn)行驗證,①③正確,其中②中囚+4+%+%+%=3>g,故

②錯誤;

(2)列舉法得到仇=1,么=2,4=5,仇=14,方法一:“規(guī)范01數(shù)列”滿足:①當(dāng)

"=1,2,3,.,左一1時,②當(dāng)〃=左時,£%=工,從而可將{&J劃分為兩部分,即

i=i2z=i2

,6和4+1,/+2,4,得到{〃,}的遞推公式;方法二:利用正難則反的方法進(jìn)行求解,得到

I4Hz+2

推出%="2小

(3)①推出x產(chǎn)(x)=F(x)—1,求出F(X)=1±M4X,由極限思想舍去砥》)=手,得到

2x

F=1-V1-4X;②在①的基礎(chǔ)上,推出

2%

*)=三手$"。+卒尸外吃號廠得到答案

小問1詳解】

①,③是“規(guī)范01數(shù)列”,②不是“規(guī)范01數(shù)列”,理由如下:

13

①0,1,0,1,0,1;〃]=0V—,〃]+%=1V1,q+a?+/~1——,

q+%+%+〃4=2<2,q+%+。3+%+。5=2Vg,

q+%+〃3+%+。5+4=3<3,故①為“規(guī)范01數(shù)列”,

②0,0,1,1,1,0,0,1,4+%+4+。4+"5=3>5,不滿足要求;

③o,i,o,o,o,1,1,1,滿足左v8,<-,③為“規(guī)范oi數(shù)列”;

i=l2

【小問2詳解】

m=1時,“規(guī)范01數(shù)列”只有0,1,故5=1,

加=2時,"規(guī)范01數(shù)列”有0,0,1,1和0,1,0,1,故仇=2,

冽=3時,”規(guī)范01數(shù)列”有0,0,0,1,1,1和0,1,0,1,0,1和0,0,1,0,1,1

和0,1,0,0,1,1和0,0,1,1,0,1,故4=5,

加=4時,"規(guī)范01數(shù)列”有0,0,0,0,1,1,1,1和0,1,0,1,0,1,0,1

和0,0,1,0,1,1,0,1和0,1,0,0,1,1,0,1和0,0,1,1,0,1,0,1

和0,0,1,1,0,0,1,1和0,1,0,0,1,1,0,1和0,0,0,1,0,1,1,1

和0,0,1,0,0,1,1,1和0,1,0,0,0,1,1,1和0,0,1,0,1,0,1,1

和0,1,0,1,0,0,1,1和0,0,0,1,1,0,1,1和0,0,0,1,1,1,0,1;

故。4=14,

方法一:“規(guī)范01數(shù)列”{即}中,首項。1=。,若同時滿足:

?k£左

當(dāng)〃=1,2,3,?,左一1時,22",<彳;②當(dāng)〃=左時,4=彳

i=i2;=12

此時可將九}劃分為兩部分,即4M2,,,/和以+1,以+2,?,/,

由于。1=0且以=1,則。2M3,,%一1可構(gòu)成

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