函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性與周期性（原卷版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第03講函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性與周期性

目錄

第一部分：基礎(chǔ)知識(shí).................................................2

第二部分：高考真題回顧.............................................4

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)...........................................4

高頻考點(diǎn)一：函數(shù)奇偶性..........................................4

角度1：判斷函數(shù)奇偶性........................................4

角度2：根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析式................................5

角度3：函數(shù)奇偶性的應(yīng)用......................................5

角度4：由函數(shù)奇偶性求參數(shù)....................................5

角度5：奇偶性+單調(diào)性解不等式.................................6

高頻考點(diǎn)二：函數(shù)周期性及其應(yīng)用..................................7

角度1：由函數(shù)周期性求函數(shù)值...................................7

角度2：由函數(shù)周期性求解析式..................................7

高頻考點(diǎn)三：函數(shù)的對(duì)稱性........................................8

角度1：由函數(shù)對(duì)稱性求解析式..................................8

角度2：由函數(shù)對(duì)稱性求函數(shù)值或參數(shù)............................8

角度3：對(duì)稱性+奇偶性+周期性的綜合應(yīng)用........................9

第四部分：新定義題（解答題）.......................................10

第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)

1、函數(shù)的奇偶性

(1)函數(shù)奇偶性定義

奇偶性定義圖象特點(diǎn)

如果對(duì)于函數(shù)/(%)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有

圖象關(guān)于y軸

偶函數(shù)

=那么函數(shù)"X)是偶函數(shù)對(duì)稱

如果對(duì)于函數(shù)/(X)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有圖象關(guān)于原點(diǎn)

奇函數(shù)

/(-%)=-/(%),那么函數(shù)/(X)是奇函數(shù)對(duì)稱

注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)前提條件是：對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)X,-X也

在定義域內(nèi)(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱).

(2)常用結(jié)論與技巧：

①對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)判斷奇偶性常用/(—%)—/(%)=0或/(—x)+/(X)=0來(lái)判斷奇偶性.

②于(x),g(x)在它們的公共定義域上有下面的結(jié)論：

/(X)

/(X)g(x)/(x)+g(x)/(x)g(x)

g(x)

偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)

偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)

奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)

奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)

③若/(%)是定義在區(qū)間。上奇函數(shù)，且OeD,則/(0)=0(注意：反之不成立)

2、函數(shù)對(duì)稱性(異號(hào)對(duì)稱)

(1)軸對(duì)稱：若函數(shù)/(%)關(guān)于直線％=。對(duì)稱，則

?f(a+x)=f(a-x)；

②于(x)=f(2a—x)；

@f(-x)=f(2a+x)

(2)點(diǎn)對(duì)稱：若函數(shù)/(x)關(guān)于直線(a,0)對(duì)稱，則

①/(a+x)=—/(a—%)

②/(x)=—/(2a—x)

③/(r)=-/(2a+x)

(2)點(diǎn)對(duì)稱：若函數(shù)/(x)關(guān)于直線(。/)對(duì)稱，則

①/(?+%)=-/(?-x)+2b

②/(x)=-/(2a-x)+2b

③/(-%)=-/(2a+x)+2b

3、函數(shù)周期性(同號(hào)周期)

(1)周期函數(shù)定義

對(duì)于函數(shù)y=/(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)了取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有

f(x+T)=f(x),那么就稱函數(shù)y=/(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期，則左T(丘Z)也是

這個(gè)函數(shù)的周期.

(2)最小正周期

如果在周期函數(shù)/(九)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫做了(%)的最小正

周期(若不特別說(shuō)明，T一般都是指最小正周期).注意：并不是所有周期函數(shù)都有最小正周期.

(3)函數(shù)周期性的常用結(jié)論與技巧

設(shè)函數(shù)y=/(%),xeR,a>0.

①若/(x+a)=/(x—a),則函數(shù)的周期T=2a；

②若/(x+a)=—/(%),則函數(shù)的周期T=2a；

③若/(x+a)=7K，則函數(shù)的周期T=2a；

④若/'(x+a)=一二工，則函數(shù)的周期T=2a；

/(x)

@f(x+a)=f(x+b),則函數(shù)的周期T=|a-A|

第二部分：高考真題回顧

1.(2023?全國(guó)?(乙卷理))已知/(x)=-^是偶函數(shù)，則。=()

e—1

A.-2B.-1C.1D.2

2.(多選)(2023?全國(guó)?(新課標(biāo)I卷))己知函數(shù)的定義域?yàn)镽,，3)=y7'(x)+xV(y),則().

A."0)=0B."1)=0

C.是偶函數(shù)D.x=0為〃尤)的極小值點(diǎn)

3.(2023?全國(guó)?(甲卷理))若/(x)=(x-l)2+ax+sin[x+]J為偶函數(shù)，貝lja=.

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)

高頻考點(diǎn)一：函數(shù)奇偶性

角度1：判斷函數(shù)奇偶性

典型例題

例題1.(2024上?廣東?高一校聯(lián)考期末)下列函數(shù)是奇函數(shù)的是()

A./(x)=x2+1B./(%)=^-1

C./(%)=x3+—D./(尤)=犬+2/

例題2.(2024上?云南昆明?高一期末)下列四個(gè)函數(shù)中在定義域內(nèi)為非奇非偶函數(shù)的個(gè)數(shù)是()

(1)f(x)=x~2

(2)F(x)=3x-2

(3)/(x)=log2x

(4)/(x)=2*

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.0個(gè)

例題3.(2024上?廣東?高一統(tǒng)考期末)下列函數(shù)是偶函數(shù)的是()

V22

A.j=cos(x-l)B.y=|2-1|C.y=(x-l)D.y=log2(x-1)

角度2：根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析式

典型例題

例題1.（2024上,福建漳州?高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)/（尤）是偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，/（x）=2'+x+l,則當(dāng)尤<0

時(shí)，〃x）=.

例題2.（2024上?廣東清遠(yuǎn)?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)〃尤）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，

〃尤）=e"+sinx-3,則〃力的解析式為〃力=.

角度3：函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

典型例題

例題L（2024上?廣東深圳?高一統(tǒng)考期末）已知〃同=爐+4+桁+3且〃-2）=5,則"2）的值是（）

A.-3B.-1C.1D.3

例題2.（2024上?云南昆明?高一昆明一中?？计谀┮阎瘮?shù)〃x）=ln（Jl+9x2+3x）+5tanx-4,若

/⑷=2023,則/（-°）=.

例題3.（2024上?江西上饒?高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)〃月=加+笈+1是［2/1-“］上的偶函數(shù)，則a+匕的值

為.

角度4：由函數(shù)奇偶性求參數(shù)

典型例題

例題L（2024上,山西長(zhǎng)治?高一校聯(lián)考期末）若〃x）=Mx+2）（x-a）為奇函數(shù)，則。的值為（）

A.-1B.0C.1D.2

Y+/JY%>0

八3；一八是R上的偶函數(shù)，則。+少=________.

）bx—2尤,1<0

例題3.（2024下?浙江,高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)〃x）=xln（e、l）-辦2是奇函數(shù)，貝心=

角度5：奇偶性+單調(diào)性解不等式

典型例題

例題1.（2024上?貴州黔東南,高一統(tǒng)考期末）已知/'（X）是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的玉＞々20,

〃w）＜。恒成立.若"-2）=0,則不等式（x-l）〃x）＜0的解集是（）

A.（—2,2）B.（―8,-2）U（2,+8）

C.（―2,0）U（2,+oo）D.（-2,l）|J（2,+8）

例題2.（2024上?山東威海?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)/（X）是定義在R上的偶函數(shù)，在［0,+8）上單調(diào)遞增，

且/（-2）=0,則不等式/'（1幅力＜0的解集為.

例題3.（2024上?黑龍江齊齊哈爾?高三齊齊哈爾市第八中學(xué)校?？计谀┯龋┰冢?M）上滿足

/（-%）=-/（%）,且在（-1,1）上是遞減函數(shù)，^/（l-a）+/（4-3a）＞0,貝匹的取值范圍是.

練透核心考點(diǎn)

1.（2024上?湖南婁底?高一?？计谀┮阎瘮?shù)〃x）=lg況（尤~2）是定義在（-6⑼的奇函數(shù)，則非的

取值范圍為（）

A.(0,4]B.(0,4)C.(1,4]D.(1,4)

\COSX

2.（2024?廣西南寧?南寧三中校聯(lián)考一模）已知〃引=.2+34》+0）為奇函數(shù)，則。=（）

A.3B.-3C.0D.-1

32

z、fY+2xx>0

3.（2024?黑龍江齊齊哈爾?統(tǒng)考一模）已知/(￡)={3a'一0為奇函數(shù)，貝U"=()

[x+ax,x<0

A.-2B.2C.1D.-1

4.（2024下?西藏?高一開(kāi)學(xué)考試）若函數(shù)=d+分+1是定義在（-》,2）-2）上的偶函數(shù)，則/［鼻=（）

157

A.—B.一C.-D.2

444

5.（2024上?陜西西安?高三統(tǒng)考期末）已知f（x）=log3（x+V?而）+a（aeR）是奇函數(shù)，則/（a+5）=（）

A.-1B.1C.-2D.2

6.（2024下?四川?高三四川省西充中學(xué)校聯(lián)考期末）已知〃x）=-5x+sinx,則滿足/（片）+〃一4）＞0的實(shí)

數(shù)。的取值范圍是.

7.(2024上?陜西商洛?高一統(tǒng)考期末)已知偶函數(shù)/(元)=,,、’；，則不等式/(2》-1)</(3)的解集

n(x),x<0

是.

高頻考點(diǎn)二：函數(shù)周期性及其應(yīng)用

角度1:由函數(shù)周期性求函數(shù)值

典型例題

例題1.(2023上?安徽?高二校聯(lián)考期中)己知函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x滿足〃x+2)=〃x),若〃-1)=3,

則〃5)=()

A.-5B.-3C.3D.5

例題2.(2024上?河北滄州?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足了(%+1)=/(x-3),

當(dāng)％￡(0,2)時(shí)，/(x)=x2—,則/(2023)=.

x

例題3.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)Ax)的定義域?yàn)镽,且/(x)=；/(x+2),/(2)=1,貝|

/(20)=.

角度2：由函數(shù)周期性求解析式

典型例題

例題1.(2022上?河北?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足

/(%+2)=-/(%),當(dāng)xe[-2,0]時(shí)，/(x)=x2+x,則當(dāng)xe[4,6]時(shí)，/(%)=()

A.7x+12B.—無(wú)2+9元一20

C.—%2+7x—12D.—尤？+9x+20

例題2.(2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考)函數(shù)y=的周期為2,且當(dāng)時(shí)，f(x)=x,則y=/(x),

xe[2k-l,2k+l)(keZ)的解析式為.

例題3.(2023下?甘肅白銀?高二?？计谀?若定義在R上的奇函數(shù)〃x)滿足/(2-x)y(x),當(dāng)xe[0,l]時(shí),

f(x)=x2-2x.

⑴求”2021)的值；

(2)當(dāng)xe[3,4]時(shí),求函數(shù)/(x)的表達(dá)式.

練透核心考點(diǎn)

1.（2023?湖南岳陽(yáng),?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且/■（x+2）=〃x）,則

/（4）=.

2.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知定義在R上的偶函數(shù)〃尤）滿足〃2-x）-/（x）=0,/（-1）=-A/3,則

/（H）=一.

3.（2023上?江蘇?高一專題練習(xí)）設(shè)/（x）是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0<x<l時(shí)，/（x）=sirw+%,貝l］l<x<2

時(shí)，/（力=.

4.（2022上?全國(guó)?高一專題練習(xí)）已知〃x）是定義在R上周期為2的函數(shù)，當(dāng)xe—U］時(shí)，〃力=卜|,那

么當(dāng)7,-5］時(shí),/（%）=.

高頻考點(diǎn)三：函數(shù)的對(duì)稱性

角度1:由函數(shù)對(duì)稱性求解析式

典型例題

例題1.（2021下?江西九江?高二統(tǒng)考期末）若函數(shù)“尤）與g（x）=3,的圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱，則〃x）=

（）

A.3,一3B.33rc.346D.36T

例題2.（2022上?安徽合肥?高一統(tǒng)考期末）已知x=l是定義在R上的函數(shù)y=F（x）的對(duì)稱軸，當(dāng)彳21時(shí)，

f（x）=x2-4x,則〃x）的解析式是.

角度2：由函數(shù)對(duì)稱性求函數(shù)值或參數(shù)

典型例題

例題1.（2023?陜西咸陽(yáng)?咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┖瘮?shù)>=/（尤）為偶函數(shù)，且圖象關(guān)于直線x=Q對(duì)稱,

/（5）=4,貝.

例題2.（2023下?河北石家莊?高三校聯(lián)考期中）已知y=〃x-l）是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，"x）=e，T,

則/'1）=.

角度3：對(duì)稱性+奇偶性+周期性的綜合應(yīng)用

典型例題

例題1.（多選）（2024下?河南?高一信陽(yáng)高中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)〃x）,g（x）的定義域均為

R,/（x+l）+/（x—l）=/（x）,g（x—3）是偶函數(shù)，且〃x）+g（x-3）=2,若g（-3）=l,則（）

A.=1

B.“X）的圖象關(guān)于點(diǎn)[右可中心對(duì)稱

C./（2023）=1

D.f（0）+/（l）+f（2）+...+/（2023）=l

例題2.（多選）（2024下?海南省直轄縣級(jí)單位?高三嘉積中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/（尤）

對(duì)任意實(shí)數(shù)為y都有了（刈+“月=人字）〃^2）,且f（O）wOJ（l）=l,則下列說(shuō)法正確的是（）

A./（0）=3

B./（%）=/（-%）

C.函數(shù)"X）的圖象關(guān)于點(diǎn)（!。）對(duì)稱

2

D./（1）+/（2）