空間向量及其應用（解析版）-2025年天津高考數(shù)學一輪復習

第31講空間向量及其應用

（10類核心考點精講精練）

12.考情探究

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析

2024年天津卷，第6題,5分線面關系有關命題的判斷

2024年天津卷，第17題,15分證明線面平行面面角的向量求法點到平面距離的向量求

2023年天津卷，第17題,15分證明線面平行廣求點面距離求二面角

2022年天津卷，第17題,15分空間位置關系的向量證明線面角的向量求法，面面角的向量求法

2021年天津卷，第17題,15分空間位置關系的向量證明線面角的向量求法，面面角的向量求法

2020年天津卷，第17題,15分空間向量垂直的坐標表示線面角的向量求法面面角的向量求法

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設題穩(wěn)定，難度中檔，分值為15分

【備考策略】1.理解、掌握空間向量的加減數(shù)乘運算，掌握共線、共面問題。

2.能掌握線線角，線面角，與面面角問題。

4.會解空間中的動點問題，會解決空間中的動點含參問題。

【命題預測】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給幾何體，求解夾角問題，與空間中的動點問題。

卜々?考點梳理?

知識點一.空間向量的有關概念考點一、空間向量加減數(shù)乘運算

1.共線向量定理考點二、空間向量基本定理

《考點四、共線問題

知識點二.空間向量的有關定理2.共面向量定理

3.空間向量基本定理考點五、共面問題

知識點三?空間向量的數(shù)量積及運算律2.空間信■的坐標表示及其應用考點三、空間向量數(shù)量積運算

空間向量及其應用1.直線的方向向量

知識點四.空間位置關系的向量表示＜2.平面的法向量

3.空間位置關系的向量表示

1.異面直線所成的角

考點六、線線、線面角問題

知識點五.夾角相關2.直線與平面所成的角

考點七、面面角問題

3.平面與平面的夾角

考點八、點面、線面、面面距

1.點到直線的距離

知識點六.距離相關考點九、點線、線線距

2?點到平面的距離

考點十、空間中的動點問題

知識講解

知識點一.空間向量的有關概念

名稱定義

空間向量在空間中，具有大小和方向的量

相等向量方向相同且模相等的向量

相反向量長度相等而方向相反的向量

表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相壬任

共線向量（或平行向量）

或重合的向量

共面向量平行于同一個平面的向量

知識點二.空間向量的有關定理

1.共線向量定理：對任意兩個空間向量“，的充要條件是存在實數(shù)九使“=肪.

2.共面向量定理：如果兩個向量“，5不共線，那么向量p與向量a,&共面的充要條件是存在唯二的有序實

數(shù)對（尤，y）,使。=網(wǎng)+9.

3.空間向量基本定理

如果三個向量a,b,c不共面，那么對任意一個空間向量p,存在唯一的有序實數(shù)組（x,y,z）,使得p=xa

+yb+zc,[a,b,c｝叫做空間的一個基底.

知識點三.空間向量的數(shù)量積及運算律

1.數(shù)量積

非零向量a,?的數(shù)量積a3=|a||臼cos[a,b）.

2.空間向量的坐標表示及其應用

設。=（。1，。2,俏），b=（bi,岳，bi）.

向量表示坐標表示

數(shù)量積a-b〃回+a?2+a3b3

共線/leR)〃2=%62，

垂直a仍=0（a，0,萬￥。）包―+。2岳+a3b3=Q

模\a\q裙+詔+曙

a，b,_____〃而1+。2—+。3人3

夾角余弦值cos〈a,b)—忸|(〃W0,萬#0)c°\"'q屆+層+曷々3+優(yōu)+質

知識點四.空間位置關系的向量表示

1.直線的方向向量：如果表示非零向量”的有向線段所在直線與直線/平行或重合，則稱此向量a為直線/

的方向向量.

2.平面的法向量：直線取直線/的方向向量a,則向量a為平面a的法向量.

3.空間位置關系的向量表示

位置關系向量表示

h//hn\//敢=2〃2(/1￡R)

直線/1，辦的方向向量分別為“1，?2

/山2〃1_L〃2=〃1，〃2=O

直線/的方向向量為〃，平面a的法1//a〃?機=0

向量為m,/0al-Lan//=2/w(A￡R)

a//pn//機=〃￡R)

平面a,乃的法向量分別為“，m

a_L4〃_L/n=〃?帆=0

4.常用結論

1.三點共線：在平面中A,B,C三點共線Q殖比（其中x+y=l）,O為平面內(nèi)任意一點.

2.四點共面：在空間中尸，A,B,C四點共面=辦=*次+y彷+z求（其中x+y+z=l）,。為空間中任意

~'點.

知識點五.夾角相關

1.異面直線所成的角

若異面直線Z1,/2所成的角為仇其方向向量分別是“，V,則cose=|cos〈〃，力尸黑.

2.直線與平面所成的角

如圖，直線A2與平面a相交于點2,設直線A3與平面a所成的角為仇直線A2的方向向量為“，平面a

\u'n\

的法向量為“，則sin『=|cos〈“,”〉|=

|w||?l~\u\\n\'

3.平面與平面的夾角

如圖，平面a與平面￡相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90。的二面角稱為平面a與平

面P的夾角.

若平面a,4的法向量分別是"1和"2，則平面a與平面4的夾角即為向量”1和”2的夾角或其補角.設平面

a與平面￡的夾角為仇則cos0=|cos<ni，n2)|=黑湍.

知識點六.距離相關

1.點到直線的距離

如圖，已知直線/的單位方向向量為“，A是直線/上的定點，P是直線/外一點，設#=a,則向量力在直

線/上的投影向量毆=("?")”，在R3APQ中，由勾股定理，得尸0=｛油2_曲|2=,2_4/2.

AQ

2.點到平面的距離

如圖，已知平面a的法向量為"，A是平面a內(nèi)的定點，尸是平面a外一點.過點尸作平面a的垂線/,交

平面a于點Q,則n是直線I的方向向量,且點P到平面a的距離就是力在直線I上的投影向量辦的長度，

考點一、空間向量加減數(shù)乘運算

典例引領

1.（2024高三?全國?專題練習）如圖，在空間四邊形ABCD中，E,F分別是BC,CD的中點，則［近+之麗+京=

（）

A.~BAB.AFC.ABD.~EF

【答案】A

【分析】借助向量線性運算法則計算即可得.

【詳解】|BC++FA=BE+EF+~FA=~BA.

故選：A.

2.（23-24高二上?黑龍江哈爾濱?期中）如圖，空間四邊形。中，初=五，礪=丸前=落點M在。4上,

且加=|市，點N為BC中點，則而等于（）

A1,17*2ToiT

A.-a+-/?——cB.——a+-D+-c

222322

c2T「不2TL

C.-a+-b——cD.——a+-b——c

332332

【答案】B

【分析】利用空間向量的線性運算法則求解.

【詳解】MN=MA+AN^l0A+l（AB+AC）-|o7+|（0B-0/）+1（0C-02）=-|M+|0B+

i0C

2

=—2a+,-ibr+.-ic.

322

故選：B.

即時檢測

1.（2024?全國?模擬預測）在棱長為2的正方體力BCD-48停1。1中，已知而=AB+1AD+:祝,截面4。/

與正方體側面BCG/交于線段MN,則線段MN的長為（）

A.1B.V2C.等D.2V2

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，得到前=[前，再由面面平行的性質，證得4ZV/MN,結合MN=*Q,即可求解.

【詳解】如圖所示，因為Q=^+工通+工麗，所以加=工而+工理=工近+工商，

242424

因為平面40014〃平面BCC/1，設平面2。止n平面4。。送1=4。1，平面4。止C平面BCC/i=MN,所

以AD,〃MN,

又因為力。1〃86，所以MN〃BCi

過點P作PE1BC,PF1BB],可得前=~BE+BF=(就+；兩，

則E為BC的中點，尸為BBi的四等分點，

又因為MN〃BC「所以M為BC的四等分點，所以MN=|BG=￥.

故選：C.

2.(23-24高三上?江蘇?階段練習)若空間中四點4B,C,D滿足4育+方=4礪，則粵=()

\BC\

113

A.-B.3C.-D.-

344

【答案】A

【分析】利用向量的運算法則求解即可.

【詳解】,：4DA+AC=4DB,

???AC=4(OS-~DA)=4而

AB+BC=4AB,

即就=3福貝嚅=

故選：A.

3.(2024?內(nèi)蒙古錫林郭勒盟?模擬預測)在空間直角坐標系中，已知力(0,3,0),5(0,0,0),C(4,0,0),0(0,3,2),

則四面體ABCD外接球的表面積為()

A.29TtB.28兀C.32irD.30兀

【答案】A

【分析】首先由四點的坐標，確定幾何體的關系，利用補體法，求四面體外接球的半徑，即可求球的表面

積.

【詳解】根據(jù)已知4個點的空間直角坐標可得，AD1平面4BC,4B1BC,AD=2,AB=3,BC=4,

所以四面體ABCD可以補成長、寬、高分別為4,3,2的長方體，

>/212+32+42V29

所以四面體ABCD外接球的半徑R=

—2-=F

所以四面體ABCD外接球的表面積為4TTR2=291T.

故選：A

4.(2024.浙江嘉興.模擬預測)設式,yER,2=(1,1,1),h=(l,y,z),c=(居一4,2),且d1c,b\\c,則|24+同=

()

A.2V2B.0C.3D.3V2

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的垂直和平行，先求出招y,z的值，再求所給向量的模.

【詳解】由五J_3=>a-c=0=%—4+2=0=x=2,

由3||c=-=—=-=>y=—2,z=1.

2-42

所以冏+同=|2(1,1,1)+(1,-2,1)|=|(3。3)|=3叵

故選：D

考點二、空間向量基本定理

典例引領

1.(20-21高三上?浙江寧波?階段練習)己知0,A,B,C是空間中的點，則“布，而，說”不共面是“對于任意

的久,yeR,向量萬？+支反與向量礪+y方都不共線”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】根據(jù)命題：若瓦《赤，沆不共面，則對于任意的x,yeR,向量m+x赤與向量加+y反都不共線

與命題：若對于任意的x,yeR,向量耐+x瓦與向量南+y反共線，則瓦?，礪,反共面是等價命題，結合

邏輯條件的定義判斷.

【詳解】因為命題：若萬?，而，灰不共面，則對于任意的久,y€R,向量+%反與向量赤+y而都不共線

與命題：若對于任意的X,yeR,向量瓦？+x反與向量而+y反共線，則正，麗,反共面是等價命題，

當向量市+%方與向量4+y反共線時，則存在2,使得市+支反=4（赤+y而），即市=4赤+

（Ay-x）OC,所以示，礪，而共面，故充分；

若瓦彳，礪，反共面，當％=y=-1時，OA+xOC^OA-OCCA,~OB+yOC^OB-OC^CB,如圖所示，

向量刀,怎不共線，即市+x反與向量雨+y無不共線，故不必要，

故選：A

【點睛】本題主要考查以空間向量共線和共面為載體判斷充分條件和必要條件，還考查了轉化化歸的思想

和運算求解的能力，屬于中檔題.

3.（2024高三?全國?專題練習）已知體積為百的正三棱錐P-4BC的外接球的球心為。，若滿足瓦？+4+

oc=o,則此三棱錐外接球的半徑是（）

A.2B.V2C.V2D.V4

【答案】D

【分析】先確定三角形4BC的位置以及形狀，利用球的半徑表示棱錐的底面邊長與棱錐的高，利用棱錐的體

積求出該三棱錐外接球的半徑，從而可得結果.

【詳解】正三棱錐D-4BC的外接球的球心。滿足瓦？+0B=C0,

說明三角形ABC在球。的大圓上，并且為正三角形，

設球的半徑為R,根據(jù)對稱性易知：正三棱錐中頂點P到底面4BC的距離為球的半徑，

由正弦定理有底面三角形力BC的邊長為2Rsin60。=也R,

棱錐的底面正三角形ABC的高為V5Rxsin600=y,

2

正三棱錐的體積為!x手x（V3R）xR=B，解得R3=4,

則此三棱錐外接球的半徑是R=V4.

故選：D.

即時檢測

1.（2024?山東濟南?一模）在三棱柱ABC-A/iG中，AM=2MB,XJV=mA^,且BN〃平面&CM,則m

的值為.

【答案】1/0.5

【分析】利用三棱柱模型，選擇一組空間基底通前=3,京=落將相關向量分別用基底表示，再利

用BN〃平面&CM,確定麗，西，前必共面，運用空間向量共面定理表達，建立方程組計算即得.

【詳解】

48=—|n,=c—|a,

如圖，不妨設=*依題意，AMMA1—MA+AAr—

~MC=AC-AM=b--a,

3

因4R=ZTL41cl=mb,則月N=BA[+ArN=c—d+mb,

又因BN〃平面&CM,故前，為標必共面，

即存在A,jtzGR,使BN=+/A,MC,即3—3+mb=A（c——2）+〃（b——2）,

r2

--（A+^）=-1]

從而有，[i=m，解得血=3

、A=1

故答案為：

考點三、空間向量數(shù)量積運算

典例引典

1.（2024?全國?模擬預測）設4,B,C三點在棱長為2的正方體的表面上，則萬?前的最小值為（）

934

A.--B.-2C.--D.--

423

【答案】B

【分析】建立空間直角坐標系，不妨假設A在平面KOy中，設/（電電，。），8（瓦也也），

當（瓦也,0）和a（q，C2,0）分別是點8,C在平面久。y上的投影，利用向量不等式可得:福?溫+b3c3>砧-

宿>-砥1I宿I>-（I福I1宿1）2,即可求解

【詳解】將正方體置于空間直角坐標系。-xyz中，且A在平面xOy中，點。和點（2,2,2）的連線是一條體對

設8（瓦,/721》3），。（右,。2,C3）,

當（瓦/2,0）和G（q，0，。）分別是點氏c在平面%。y上的投影.

可得強=（0,0,%），QC=（0,0,c3）,麗?京=0,-O=0

則,AC=（ZB]+i?iB）,（/Ci+GC）=AB^,AC^+AB^,C^C+AC^,B】B+B】B,C】C

=ABr-4cl+b3c3,

因為函■AC[+b3c3>AB[-ACi>一|福|?|宿|>一（鹿/丁G|）,

當且僅當點C為aa的中點時，等號成立，

可得一（I碉:網(wǎng)）、/I瓦為2>-2,

所以說?近2-2,當4（1,1,0）,Ifoi-ql=\b2-c2\=2,且b3c3=0時等號成立.

故選：B

【點睛】關鍵點點睛：本題形式簡潔，但動點很多，且?guī)缀鯖]有約束條件，這時就需要學生對于動點所在

的位置進行分類討論，討論的順序、對于對稱性的使用都對學生提出了很高的要求.從幾何角度來看，點B,

C不會位于A所在面的一側，故如果采用坐標形式計算數(shù)量積，一定會有一項是非負的，且可以取到0.找

到這一突破口后，即可將問題轉化為平面向量的問題，也就很容易得到結果了.

2.（2024.江西贛州.二模）已知球O內(nèi)切于正四棱錐P—4BCD,PA=AB^2,EF是球O的一條直徑，點

Q為正四棱錐表面上的點，則爐?而的取值范圍為（）

A.[0,2]B.[4-2V3,2]C.[0,4-V3]D.[0,4-2V3]

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，利用體積法求出球。半徑，再利用向量數(shù)量積的運算律計算即得.

【詳解】令"是正四棱錐P—4BCD底面正方形中心，貝UPH1平面ABCD,而力”=迎，

則PH=y/PA2-AH2=V2,正四棱錐P—力BCD的體積U=,x22x&=竽，

正四棱錐P-4BCD的表面積S=4X^X22+22=4（V3+1）,

顯然球。的球心。在線段PH上，設球半徑為r,則V=：Sr,即「=?=漁/，

在APtM中，乙巴4。<45。=乙4P。，于是04>0P,又EF是球0的一條直徑，

因此無.而=（QO+OE）-（QO-OE）=Q02-OE2=QO2-OH2,

222

顯然。HWQOS4。，貝卜亞?而）min=。，（QE-QF）max=AO-OH=AH=2,

所以詼?麗的取值范圍為[0,2].

故選：A

1.（2024?山東日照?二模）已知棱長為1的正方體力BCD-41%的。1，以正方體中心為球心的球。與正方體的

各條棱相切，若點P在球。的正方體外部（含正方體表面）運動，則可?麗的最大值為（）

731

A.2B.-C.-D.-

444

【答案】B

【分析】取4B中點E,根據(jù)空間向量的數(shù)量積運算得福?麗=而2一點判斷|而|的最大值即可求解.

【詳解】取42中點E,可知E在球面上，可得說=一瓦？=一1瓦?，

所以刀■PB^（PE+EA）（PE+EB'）^（P￡）2-（￡X）2=而2_%

點P在球。的正方體外部（含正方體表面）運動，當PE為直徑時，|即|=/,

1'max

所以刀?麗的最大值為二

4

故選：B.

2.（2024?上海.三模）已知點C在以AB為直徑的球面上，若BC=2,則通?就=_.

【答案】-4

【分析】根據(jù)給定條件，可得再利用空間向量數(shù)量積的運算律計算得解.

【詳解】由點C在以AB為直徑的球面上，得2C1BC,

所以南-BC=（XC+C5）-BC=XC-BC-BC2=-4.

故答案為：-4

3.（2024?貴州.模擬預測）已知正方體4BCD-4/1的。1的頂點均在半徑為1的球。表面上，點P在正方體

48CD表面上運動，MN為球。的一條直徑，則正方體4BCD的體積是,

麗?麗的范圍是.

【答案】W[-|,o]

【分析】由正方體的外接球的半徑求出正方體的棱長，根據(jù)公式計算體積即可；將兩?西化簡為而2—1,

結合PO2的范圍即可求解.

【詳解】設正方體的棱長為a,由題意V5a=2,a=^=,則正方體體積U=券，

因為麗-PN=（PO+OM）-（PO+ON）

=（PO+W）-（PO-OM）=PO2-OM2=PO2-1,

因為點P在正方體4BCD-481的。1表面上運動，

所以PO2e[|,i],故兩?麗范圍為卜|,。]

故答案為：等，卜|，。|

*_______y

/X51

考點四、共線問題

典例引領

1.（2024高三?全國?專題練習）已知向量2=（2爪+1,3,爪一1）,b=（2,m,-m）,且力/3,則實數(shù)m的值為

（）

OO

A.—B.-2C.0D.—或一2

22

【答案】B

【分析】利用向量共線的性質，直接計算求解即可.

【詳解】?.,空間向量五=(2m+1,3,優(yōu)一1)，3=(2,?71,—771),且

(2m+1,3,m—1)=2(2,m,—m)=(2尢Am,—Am),

'2m+1=22

***3=Am,解得血=-2.

m—1=—Am

故選：B.

2.(2023?山東?模擬預測)已知三棱錐S-4BC,空間內(nèi)一點M滿足常=-3京+4元，則三棱錐M-4BC

與S-ABC的體積之比為.

【答案】1

【分析】根據(jù)題意，化簡得到:前=［巾-|元+2元，結合空間向量的基本定理，得到在平面ABC內(nèi)存在

一點。，使得(筋=歷，得到VMYBC=kiBc，即可求解.

【詳解】由空間內(nèi)一點M滿足前=巾一3豆+4元=2(|sl-|SB+2SC),

可得工前=isX--SB+2SC,

222

因為(一［+2=1,根據(jù)空間向量的基本定理，可得在平面4BC內(nèi)存在一點D,

使得用=［奇+2元，所以祈=而，即點￡＞為SM的中點，

可得VMTBC=VS-ABC＞所以三棱錐"一ABC和S-4BC的體積比值為1.

故答案為：1.

即時檢測

1.(2023?河北?模擬預測)在空間直角坐標系中，4(1,一2,a),8(0,3,1),C(瓦一1,2),若4B,C三點共線，則

ab=.

【答案"

【分析】根據(jù)三點共線，可得空間向量南，阮共線，即存在實數(shù)九使得荏=2反，結合向量的坐標運算，

即可得答案.

【詳解】由題得希=(-1,5,1-a),BC=(ft.-4,1),

因為4B,C三點共線，所以存在實數(shù)九使得荏=2尻，

即（一1,5,1—CL）=2（仇一4,1）,

a=-9

‘勸=—14

所以-44=5,解得b=三，所以Qb=

=1-a

4

故答案為：q

2.（2023高三?全國?專題練習）已知向量2=（1,0,爪），3=（2,0,—2日），若山吊，則|團=.

【答案】2

【分析】由向量共線求出m,得到向量2=（1,0,m）,再利用公式求|五

【詳解】向量d=（1,0,m）,b=（2.0,-2V3）,若山石，則有己=小，

即｛m上蠹，解得"=-百，

則a=（1,0,—6），所以同=2.

故答案為：2

考點五、共面問題

典例引領

1.（2024?河南?三模）在四面體力BCD中，△BCD是邊長為2的等邊三角形，。是ABCD內(nèi)一點，四面體ABCD

的體積為2次，則對W久,yeR,x布-y灰|的最小值是（）

A.2A/6B.乎C.V6D.6

【答案】D

【分析】根據(jù)共面向量定理將所求最小值轉化為點a到平面BCD的距離，再利用體積求解即可.

【詳解】設方=無市+y而，由共面向量定理得點E為平面BCD內(nèi)任意一點，

且就-xOB-yOC=OA-OE=EA,

所以|瓦5-乂礪一y能|=[KA\,

求。力一xOB-yOC的最小值，即求點4到平面的距離，

設點力到平面BCD的距離為％,

由題意知SABCD=|x2x2sin]=V3,

四面體力BCD的體積V=|SA4BC-h=2V3,

解得h=6,故所求最小值為6.

故選：D.

2.(23-24高三上?遼寧沈陽?階段練習)已知空間向量同=(1,2,4),麗=(5,—1,3),麗=(>1,上—1),則

叩,48,。四點共面”是“10瓶+1771=-11”的()

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】結合充要條件的性質與四點共面的性質，借助空間向量運算即可得.

【詳解】(方法一)由P,4B,C四點共面，可得刀，而，無共面，

設PC=xPA+yPB=(x+5y,2x—y,4x+3y)=(m,n,—1),

?x+5y=mn?

則,2x-y=n,解得+4：1i7,，所以17(1+2n)+5(1+4?n)=0,

Ax+3y=-11-V

得10m+17n=-11,反之亦成立，

故“P,4,8,C四點共面”是“10m+17n=—11”的充要條件.

(方法二)設平面P4B的法向量為五=O,y,z),

則佇%=x+2y+4z=。,令.o,^=(10,17,-11).

Q?PB=5%—y+3z=0

由P,4B,C四點共面，得。元=10m+17n+11=0,

即10m+17n=-11,反之亦成立，

故"P,A,B,C四點共面”是“10m+17n=-11”的充要條件.

故選：B.

??眼舉w

1.(2024高三?全國?專題練習)在四面體?！C中，空間的一點M滿足麗=+|OF+WC.^MA.MB,

標共面，則九=.

【答案】:

【分析】依題意可得M,A,B,C四點共面，根據(jù)空間四點共面的充要條件得到方程，解得即可.

【詳解】因為拓?、麗、而共面，所以M,A,B,C四點共面，

又麗=-OA+-OB+AOC,

23

根據(jù)四點共面的充要條件可得;+；+4=1,解得％=

236

故答案為：J

6

2.(23-24高三上?上海寶山?期末)已知空間向量方=(1,2,4),PB=(5,-1,3),PC=(m,n,-1).若P,4B,C四

點共面，則10爪+17幾=.

【答案】-11

【分析】根基空間向量共面定理結合空間向量坐標表示的線性運算即可得解.

【詳解】因為四點共面，所以刀，而，無共面，

所以存在唯一實數(shù)對(x,y),使得方=xPA+yPB,

即所以二機，

l-l=4x+3y,

所以17(1+2n)+5(1+4m)=0,

所以l(hn+17n=-11.

故答案為：一11.

3.(23-24高三上?河北張家口?階段練習)若向量N=(1,—2,—n遙=&一”),3=(0,1,-J)共面，則

n=.

【答案】-1/-3.5

【分析】根據(jù)空間向量共面定理可設N=+y泊即可解得n=-5

【詳解】由于,=(1,-2,(0,1,共面，

可設d=xb+yc,

即(1,一2,一n)=Qx,%)+(°，y，-|y)=Qx,y-|x,x-|y)，

(11

1=2X(x=2

可得＜_2=y_,解得?y=一；;

y—n=x—~y'2

故答案為：—

4.(2024高三?全國?專題練習)如圖，在正三棱柱ABC-中，4B=4,4%=3,M是4B的中點，4V=

2M4「點P在BJV上，且瓦瓦R(0W4W1).是否存在實數(shù)人使C,M,P,&四點共面？若存在，求4的

值；若不存在，請說明理由；

【答案】存在，產(chǎn)

【分析】取BC的中點。，以。為坐標原點，建立空間直角坐標系，若C,M,P,&四點共面，則存在久,yeR滿

足而=/7而+元否，列方程組求4的值.

【詳解】假設存在實數(shù)九使C,M,P，4四點共面.

由正三棱柱的性質可知△ABC為正三角形，取BC的中點。，連接力。，貝iMOIBC.

又平面力BC1平面BCC/r平面ABCC平面BCC/i=BC,AOu平面ABC,

所以力。1平面BCC/i.

故以。為坐標原點，0B,04所在直線分別為x,z軸，

在平面BCG/內(nèi)，以過點。且垂直于。8的直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系。-孫z,

貝!14(0,0,2百)，B(2,0,0),C(—2,0,0),4(0,3,2百)，^(2,3,0),M(l,0,V3),N(0,2,2百),

則由=(3,0,V3),西=(2,3,273),函=(4,3,0),B^N=(-2,-1,273).

因為用=ASJV(0<A<1),

所以而=兩+%=兩+AO=(4,3,0)+2(-2,-l,2V3)=(4-24,3—2,2V32).

若&M,P,A1四點共面,則存在x,yGR滿足而=xCM+yCA1,

f_2

(4—2A=3%+2yx~7

又久前+yE=(3%+2y,3y,信+2圾/),所以13-4=3y,解得<y=，

(2百2=V3x+2V3yK_6

故存在實數(shù)a="使四點共面.

考點六、線線、線面角問題

典例引領

1.（2024?陜西咸陽?模擬預測）已知平行六面體4BCD中，棱兩兩的夾角均為60。,

AAt=2AB,AB=AD,E為當6中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）

【答案】D

【分析】依題意分別通，而，京為基底表示出國，庠，求出I西I瓦司，再結合數(shù)量積運算律求出西?

宰，根據(jù)向量夾角計算公式可得結果.

【詳解】根據(jù)題意以說，而，磯為基底表示出西，庠可得：

>--?---?>---?>----?--->-->1-->

BAr=BA+AAt=-AB+AAlfDXE=D?+CrE=AB--AD,

又棱44i，ZB,40兩兩的夾角均為60。，不妨取48=AD=lf貝【以4二2；

所以I瓦Q=J（-AB+=JAB2+AA^2-2AB■AA^=Vl2+22-2X1X2cos600=V3；

\D^E\=J（AB-1AD）2=IAB2+^AD2-AB-AD=Jl24-i-1X1Xcos60°=y：

又西■1\E={-AB+磯）.（AB-|XD）=-AB2+jAB-AD+AA1-AB--AD

c111

=-l2+-x1x1xcos60°+2x1xcos60°——x2x1xcos60°=—；

224

所以cos（8&i，D±E）=靛磊=不}=_:，

因此異面直線與AE所成角的余弦值為

6

故選：D

2.（24-25高三上?四川成都?開學考試）已知M,N分別是正四面體4BCD中棱AD,BC的中點，若點E是

棱CD的中點.則MN與AE所成角的余弦值為（）

A.—3B.如C.—漁D.漁

3366

【答案】D

【分析】將刀，方，而選為空間一組基底，將標，版用基底表示后計算向量夾角余弦值，再得到線線所成角

余弦值即可.

【詳解】

A

由于森，而，而兩兩夾角60。，可以作為空間基底.設正四面體的棱長為2.

則不?方=2x2cos60°=2,同理德?麗=2,CB-CD2.

----->----->---->----?1-->-->1-->1-->-->-->1-->1-->1--?1---->

MN=MD+DC+CN=-AD-CD+-CB=-（AC+CD）-CD+-CB=--CA--CD+-C8,

222、72222

）>>）i>

ZE=ZC+CE=—CZ+-CD.

2

因此I標I=J(1Z\4+|C0=I^CA2+^CD2+^CB2+^CA-CD-^CA-CB-ICD-CB

<2,\AE\=J(-G4+jW=JiCD2-CA-CD+CA2=y/3.

而.荏=(-*-海+9).(-杳+*)=92+*.襦一萍.刀一涉2+*/=1.

故cos(而，族)=襦舒=懸耳=彳.則MN與AE所成角的余弦值為出

故選：D.

即時檢測

I__________________

1.(2024?廣東?一模)在正方體4BCD-&8停1。1中，點P、Q分別在上，且&P=2PBr,C1Q=2Q5,

則異面直線BP與DQ所成角的余弦值為

【答案】1/0.8

【分析】以D為原點，ZM為x軸，DC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面

直線BP與DQ所成角的余弦值.

【詳解】設正方體4BCD-&B1GD1中棱長為3,

以D為原點，ZX4為x軸，DC為y軸，。么為z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，

則。(0,0,0),<2(0,1,3),8(3,3,0),P(3,2,3),BP=(0,-1,3),麗=(0,1,3),

設異面直線BP與DQ所成角為仇貝卜。s"霜=37

即異面直線BP與DQ所成角的余弦值為:

故答案為：,

2.(2022?全國?高考真題)在四棱錐P—ABC。中，PD_1底面4BCD,CD||AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=

V3.

p

(1)證明：BD1PA；

(2)求PD與平面PA8所成的角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；

若.

【分析作DE于E,CFLAB于F,利用勾股定理證明AD1BD,根據(jù)線面垂直的性質可得PD1BD,

從而可得BD1平面P4D,再根據(jù)線面垂直的性質即可得證；

(2)以點。為原點建立空間直角坐標系，利用向量法即可得出答案.

【詳解】(1)證明：在四邊形中，作DEJ.4B于E,CF1AB^F,

因為CD〃4B,4D=CD=CB=1,AB=2,

所以四邊形力BCD為等腰梯形，

所以4E=BF=；,

故0E=/，BD=y/DE2+BE2=?

2

所以力￡)2+B￡)2=AB,

所以4D1BD,

因為PD1平面ABCD,BDu平面4BCD,

所以PD1BD,

XPDClAD=D,

所以8。1平面PAD,

又因為PAu平面PAD,

所以BD1PA；

EFB

(2)解：如圖，以點。為原點建立空間直角坐標系,

BD=V3,

則4(1,0,0),3(0,V3,0),P(0,0,V3),

則而=(—1,0,何麗=(O,-V3,V3),DP=(0,0,V3),

設平面P48的法向量元=(%,y,z),

則有。霓二二?！扇m

則cos優(yōu)麗)=疆=昌

所以PD與平面P4B所成角的正弦值為

3.(2022?全國?高考真題)如圖，四面體4BCD中，AD1CD,AD=CD,^ADB=^BDC,E為AC的中點.

(1)證明：平面BED_L平面4CD；

(2)設AB=8。=2,乙4c8=60。，點F在BD上，當AAFC的面積最小時，求CF與平面4BD所成的角的正弦

值.

【答案】(1)證明過程見解析

(2)CF與平面48。所成的角的正弦值為手

【分析】(1)根據(jù)已知關系證明AABDmACBD,得到4B=CB,結合等腰三角形三線合一得到垂直關系，

結合面面垂直的判定定理即可證明；

(2)根據(jù)勾股定理逆用得到BEIDE,從而建立空間直角坐標系，結合線面角的運算法則進行計算即可.

【詳解】(1)因為4。=CD,E為力C的中點，所以4C1DE；

在△43。和4CBD中，因為AD=CD/ADB=乙CDB,DB=DB,

所以AaBO三ACBD,所以48=CB,又因為E為4C的中點，所以AC，BE；

又因為DE,BEu平面BED,DECtBE=E,所以4cl平面BED,

因為ACu平面4CD,所以平面BEO_L平面4CD.

(2)連接EF,由(1)知，AC1平面BED,因為EFu平面BED,

所以4C1EF,所以SAAFC="C-EF,

當EFlBD時，EF最小，即△AFC的面積最小.

因為AABD三ACBD,所以CB=43=2,

又因為乙4cB=60。，所以AZBC是等邊三角形，

因為E為4c的中點，所以4E=EC=1,BE=G

因為4。1CD,所以DE=lAC=1,

在△DEB中，DE2+BE2=BD2,所以BE1OE.

以E為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系E-xyz,

則4(1,0,0),3(0,舊,0),。(0,0,1),所以麗=(—1,0,1),荏=(-1,73,0),

設平面2B0的一個法向量為元=(x,y,z),

則『沈二T二取I財=(3,倔3),

又因為c(-w),F(o,f，m，所以而=(D，

所以cos伉，而)=靜=Q=手’

設CF與平面4B0所成的角為e(0<0<

所以sin。=|cos(n,CF)|=手,

所以CF與平面4BD所成的角的正弦值為手.

4.(2022?北京?高考真題)如圖，在三棱柱ABC-A/iQ中，側面BCC1名