利用基本不等式、柯西不等式、權(quán)方和不等式證明（3大壓軸考法）解析版-2024-2025學(xué)年人教版高一數(shù)學(xué)壓軸題攻略

專題05利用基本不等式、柯西不等式、權(quán)方和

不等式證明

目錄

解題知識(shí)必備.......................................

壓軸題型講練........................................................2

題型一、基本不等式證明.......................................................2

題型二、柯西不等式證明.......................................................8

題型三、權(quán)方和不等式........................................................12

壓軸能力測(cè)評(píng)(9題)...............................................13

x解題知識(shí)必備??

一、柯西不等式

1.二維形式的柯西不等式

(a2+b2)(c2+J2)>(ac+bd)2(a,b,c,dwR,當(dāng)且僅當(dāng)“d=bc時(shí)，等號(hào)成立.)

2.二維形式的柯西不等式的變式

(1)，4+/,Vc2+d2>\ac+bd\b.c.d當(dāng)且僅當(dāng)ad=加?時(shí),等號(hào)成立.)

(2)1a2+Z72.J02+12習(xí)〃，+|b4(a,b,c,deR,當(dāng)且僅當(dāng)二Z?c時(shí)，等號(hào)成立.)

(3)(〃+Z?)(c+d)>+VM)2(a,b,c,dN0,當(dāng)且僅當(dāng)ad=be時(shí),等號(hào)成立.)

3.擴(kuò)展：+而+a；H-卜a；%：+/?；+b；H---卜+ct2b2+613b3----?！?了，當(dāng)且僅當(dāng)

q:4=%:4=…=a〃：2時(shí)，等號(hào)成立.

注：有條件要用；沒有條件，創(chuàng)造條件也要用.比如，對(duì)并不是不等式的形狀，但變成

1*(12+12+12)*(?2+/+°2)就可以用柯西不等式了.

二、權(quán)方和不等式

權(quán)方和不等式：右a,A,x,y>0,則土+生》故土空，當(dāng)且僅當(dāng)q=2時(shí)，等號(hào)成立.

xyx+yxy

證明1：?.?a,b,x,y>0

要證《+

xyx+y

只需證也士&段±打

孫x+y

即證xya2+y2a2+x2b2+xyb1>xya2+Ixyab+xyb1

故只要證y2a2+x2b2>Ixyab

(ya-xb)2>0

當(dāng)且僅當(dāng)—M=0時(shí)，等號(hào)成立

即《+￡之3+"）;當(dāng)且僅當(dāng)4=2時(shí)，等號(hào)成立.

y

a+;當(dāng)

—+—)(x+y)2(a+6)2在y>0時(shí)，就有了—+^_>^^

%yxyx+y

當(dāng)g=2=g時(shí)，等號(hào)成立.

xyz

工+…+?。╭+02+…+?！保?,當(dāng)卬=無白時(shí)，等號(hào)成立.

'2b"bx+b2+---+bn

w+lm+lzn+1

ri—+%+.??+4〃2（"的+…+口”廠,當(dāng)時(shí)，等號(hào)

bmbmbm（4+^2+…+西

12n

“壓軸題型講練??

【題型一基本不等式證明】

一、解答題

1.（23-24高一上.安徽淮南?期中）己知。,6,c是正實(shí)數(shù).

⑴證明：a+b+c>y[ab+\Jbc+4ac;

1119

（2）右a+Z?+c=2,證明：—?■—+—>—.

abc2

（3）已知。力是正數(shù)，且Q+Z?=1,求證：（改+外）（"+紗）之孫.

【答案】（1）證明見解析；

⑵證明見解析；

⑶證明見解析.

【分析】(1)利用基本不等式證明不等式；

(2)應(yīng)用“1”的代換，結(jié)合基本不等式證明不等式；

(3)由(ox+by)(Zzx+ay)=〃仇%之+,2)+孫(/+〃)，應(yīng)用基本不等式有

{ax+by)(j9x+ay)>ab(2xy)+xy(a2+Z?2),即可證結(jié)論.

【詳解1(1)由2。+2Z?+2c=(〃+A)+(Z?+c)+(a+c)22y[ab+lyfbc+2y[ac,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=。時(shí)等號(hào)成立，即a+b+c2++,得證.

/八,1111,a+b+ca+b+ca+b+cl^bcacab

(2)由—+—+—=-------+-------+-------)x=--(3+—+-+—+-+—+-

abc2abc2aabbcc

當(dāng)且僅當(dāng)Q=匕=c=.2時(shí)等號(hào)成立，則1上+1；1+上9之9,得證.

3abc2

(3)由(ax+by}(bx+ay)=ab(x2+y2)+xy(a2+b2)>ab(2xy)+xy(a2+b2)=xy(a+b)2=xy,

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，不等式得證.

2.(23-24高一上?江蘇蘇州?期中)已知〃，b,。都是正數(shù).

(1)若Q+人+C=1,證明：F-H—>9；

abc

1

(2)若a+b=l,求的最小值.

a

【答案】(1)證明見解析

【分析】(1)方法一：利用作差法證明即可；方法二：利用乘“1”法及基本不等式證明即可；

(2)方法一：利用基本不等式求出0<必[,則]+￡|}+:24(日2+/+〃+1),利用結(jié)合二次函數(shù)

的性質(zhì)計(jì)算可得；方法二：由(“+1[,+4]=成+4+2+1,利用基本不等式2+：求出的最小值，再由

Va)\b)ababab

對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值，即可得解.

ab

【詳解】(1)方法一:?：a+b+c=\,且b,。都是正數(shù)，

111

+——9

abc

a+b+ca+b+ca+b+c八

=-------+-------+---------9

ab

b+ca+ca+b/

=----+-----+-------6

abc

bc(Z?+c)+QC(Q+c)+〃b(Q+b)—6abe

abc

a(b-c)2+0(c-[J+c(a-bj>0,當(dāng)且僅當(dāng)。=人=。=；時(shí)取等號(hào),

abc

故工+：+，N9.

abc

方法二：?.,a+b+c=l,且〃，b,。都是正數(shù),

所以工+1+，

abc

111

—+—+-?(q+b+c)

abc

當(dāng)且僅當(dāng)。=b=c=g時(shí)取等號(hào),

(2)方法一:,.力、b都是正數(shù),

:.a+b>2y/ab當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào),

又Qa+Z?=l,14ab<1,所以4ab<1,當(dāng)且僅當(dāng)。=〃=；時(shí)取等號(hào),

10+：14"=4(〃2+1),2+1)=4(Q2b2+〃+/+i)

QH-----

a"4-ra

Qa+b=l,

「.(a+Z?)2=1,gp+b2+2ab=lf

A^b2++/?2+1)=4(c^b1-2〃0+2)='I)+1J,0<cib.

令〃X)=4[(XT)2+1],其中

I4

25

所以/(%)如的最小值為不

方法二:因?yàn)?/p>

???。力都是正數(shù),

.'.-+->2.--=2,當(dāng)且僅當(dāng)2=*,即。=6=1時(shí)取等號(hào)，

ab\abab2

又Qa+b=l,

:.G<ab=a(X-a\<-,當(dāng)且僅當(dāng)o=b=」時(shí)取等號(hào)，

'/42

令t=ab,下面即要討論函數(shù)=f+的最小值；

首先，討論函數(shù)；在(o,；上的單調(diào)性，

對(duì)V0<%<.2?],

有/(12)_/(%)=%2+；_%_；=?2F)[1_；]=(12—1)[；[]<0,

hI邛2)I”2)

二函數(shù)"/)=/+;在上單調(diào)遞減.

，當(dāng)/=；1,即時(shí)1，/⑴=/+』1取得最小值1一7.

42v7t4

+=2+曰+2=§,當(dāng)且僅當(dāng)Q=b=1時(shí)取等號(hào).

1a八*abab442

3.(24-25高一上?上海?課后作業(yè))(1)已知尤、丁都是正數(shù)，求證：(%+村(爐+力卜3+力28%3,3；

(2)已知a>0,b>Q,c>0,求證：—+-^+—>?+/?+c.

abc

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析

【分析】(D對(duì)尤+y,f+y2,V+y3分別利用基本不等式，然后將得到的式子相乘可得結(jié)論；

(2)對(duì)生+?,-+—,牛+或分別利用基本不等式，然后將得到的式子相加化簡可得結(jié)論.

abacbc

【詳解】證明：(D..叮、y都是正數(shù)，

x+y>2y[xy>0,x2+y2>2^x1y2>0,x3+y3>2^3/>0,

2333

.".(x+y)(x+/)(x+;/)z2而.2Ap7'-=8xy>

當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，等號(hào)成立.

(2),：a>0,b>0,c>0,

.beac-beab?acab八

+—>2c,—+——>2b,——+——>2a,

abacbc

./beacaZ?Y、

??2---1----1---|>2(a+Z?+c),

\abc)

,beacab、.山口-、I/beacab

^r—+—+—>a+b+c,當(dāng)且/僅T當(dāng)——=:=——，

abcabc

即a=b=c時(shí)等號(hào)成立.

4.（2023?全國?模擬預(yù)測(cè)）已知x,y,ze（O,”）,且無+y+z=l.

(1)求證：,+正+我>1+C-Z;

⑵求d+y2+z2+5xy+4yz+4xz的最大值.

【答案】（1）證明見解析

（2）1

【分析】（1）通過3+?之26,2n三式相加，可得:

：+石+令+亦+++y/~zN2\/x++2^/^"—s~H--^=H-Nyfx+yj-y+\/z^.

7xy]yyjz<xJy，z'

再根據(jù)0<%<1，o<y<i,:.4x>x,6>丫，且x+y=i—z,可得結(jié)果.

(2)先用公式(x+y+z)2=%2+y2+z2+2xy+2yz+2zx和x+y+z=l把原式轉(zhuǎn)化為：

l+3xy+2yz+2xzf再用(工+?之4孫和x+y+z=l進(jìn)行消元，轉(zhuǎn)化為z的二次三項(xiàng)式，再用配方法可求最

大值.

【詳解】(1)因?yàn)閤,y,z￡(0,4w),

所以~i=+G22仃,—/=+\[y22A/Z,—j=+Vz>2y[x

Jy7z

y

以上三式相加得口+y/z22,\/x++2,x/z",

所以展+*&+$+&，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)取等號(hào).

7xy]y7z

因?yàn)閤,y,z￡(0,+oo),且x+y+z=l,所以0<x<l,0vy<l,所以G>x，6>y,

所以H—廣H—7=2yfx+^l~y+>fz>x+y+y[~z=1+yfz—z.

<x<z

故5/>i+Gz.

(2)x2+y2+z2+5xy+4yz+4%z=(x+y+z)?+3孫+2yz+2xz=1+3xy+2yz+2xz,

3

3xy+2yz+2xz=3xy+2z(x+)；)<—(x+y)2+2z(x+y)

33

=-(1-Z)2+2Z(1-Z)=-z+—=

424

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=g2,z=g1時(shí)取等號(hào),

9

x2+y2+z2+5xy+4yz+4xz的最大值為--

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：疊加法是證明不等式的一種基本方法，若一個(gè)復(fù)雜的不等式可拆成若干個(gè)結(jié)構(gòu)相同的

簡單不等式，可分別證明，再相加.

5.（22-23高一上?天津?期中）已知%>0,y>0.

2

⑴求證：11

—I—

xy

2（x+2y）（2x+y）

的最大值.

【答案】（1）證明見解析

⑵述

2

【分析】（1）根據(jù)綜合法結(jié)合基本不等式即可證明；

2a+2y）（2x+y）7----------------J------------

⑵把.；+/化為，+一K'利用（D的結(jié)論即可求得最值.

【詳解】（1）因?yàn)閄>0,y>0,所以/+丁之2孫，x-i-y>2y/xy,

所以X1Z2±Z>W叵2—7扇孫一2歷衛(wèi)一尤+廣雪工，

%y

2/*+y2

所以yj—且當(dāng)且僅當(dāng)%=y時(shí)等號(hào)成立，得證.

%y

2

2（x+2y）（2x+y）2（x+2y）（2%+y）=----------------------------------

（2）3（x+y）Jx2+V（x+2y+2x+y）^x2+y2G+-

因?yàn)椋?gt;0,y>0,所以1+2y>0,2%+y>。，

所以由（D知（[+]]卜+2"+（2'+>）2'/1

_l5x2+5y2+Sxy1/5x2+5y2+4（x2+y2）13^/2

當(dāng)且僅當(dāng)尤+2y=2x+y且x=y時(shí)等號(hào)成立，即x=>時(shí)等號(hào)成立.

所以y=23(x0+2+y)y(2)x+Ey)的最大值為0平/7.

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：利用基本不等式解題的注意點(diǎn)：

(1)首先要判斷是否具備了應(yīng)用基本不等式的條件，即“一正、二正、三相等”，且這三個(gè)條件必須同時(shí)成

立.

(2)若不直接滿足基本不等式的條件，需要通過配湊、進(jìn)行恒等變形，構(gòu)造成滿足條件的形式，常用的方

法有：“1”的代換作用，對(duì)不等式進(jìn)行分拆、組合、添加系數(shù)等.

(3)多次使用基本不等式求最值時(shí)，要注意只有同時(shí)滿足等號(hào)成立的條件才能取得等號(hào).

【題型二柯西不等式證明】

一、解答題

1.(22-23高一上?江西景德鎮(zhèn)?階段練習(xí))已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=3.

⑴求證：鄉(xiāng)+葺+/=3；

⑵求證：/+夕+°2=3.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】利用基本不等式或權(quán)方和不等式或柯西不等式證明即可.

【詳解】(1)方法一：Va>0,b>0,'勺>o，

?**—+<2>2^—?a=2A/^=2b,即~~+?>2^,

a\a'

同口J的-+-b>2c,-.c>2a9

將以上各式相力口得：§+葛+(+“+〃+。=2。+2&+2。，即9+葛+(=3.

當(dāng)且僅當(dāng)“=b=。=1時(shí)，取等號(hào).

方法二：a>09b>0,c>0,

由權(quán)方和不等式可得：色土空上廠=3，

abca+b+c

當(dāng)且僅當(dāng)萼=葛=/，即-0=1時(shí)，取等號(hào).

方法三：a>0,b>09c>0,

由柯西不等式可得：

.b1c1a1_

abc

當(dāng)且僅當(dāng)。=b=。=1時(shí)，取等號(hào).

(2)方法一：Va2+b2>2ab,。一『二2。。，b2+c2>2bc,

2a2+2Z?2_|_Ze?>2ab+2ac+2bc,

112222222

:.3a+3b+3c>a+b+c+lac+lab+2bc,BP3(?+c)>(?+z,+c)=9,

.二a2+Z72-F-c2>3,

當(dāng)且僅當(dāng)—。=1時(shí)，取等號(hào).

方法二：?/<7>0,b>09c>0,

由權(quán)方和不等式可得：〃+夕+°2=Q+Q+三'W,

1111+1+1

222a+b+C

：.a+b+c>^^=3

3

當(dāng)且僅當(dāng)。=〃=。=1時(shí)，取等號(hào).

方法三：a>0,b>0,c>0,

由柯西不等式可得：

(a2+b2+c2)(l2+I74-12)>(axl+fexl+cxl)2,整理得d+&2+i=3,

當(dāng)且僅當(dāng)。=〃=c=l時(shí)，取等號(hào).

2.(2023?廣西南寧?二模)已知a,b,。均為正數(shù)，且4+2廿+3/=4,證明：

⑴若a=c,則"4走；

2

Q)a+2b+3cM2瓜

【答案】⑴證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(D由基本不等式證明；

(2)用柯西不等式證明.

【詳解】(1)???a2+2b2+3c2=A,a=c,：-4a2+2b2=4,

4a2+2〃22.2。?叵，

當(dāng)且僅當(dāng)°=變，6=1時(shí)取等號(hào)，

2

4>2-2a-y/2b,BPa/?<—;

2

(2)Va,b,c均為正數(shù)，且。+-2+3。2=4,...由柯西不等式得,

(a2+2b2+3c212+(碼,+(可>(a+26+3c)2,

?e?(Q+2Z?+3C)2<4X6,

a+2b+3c<2A/6,當(dāng)且僅當(dāng)。=/?=。=^^時(shí)取等號(hào).

3

[8]

3.（2024.陜西安康.模擬預(yù)測(cè)）已知％y，z均為正數(shù)，且—+—+—=1.

xyz

I-44

⑴證明：yjy-~r+~/=；

7x7z

2

⑵求入2+上+z2的最小值.

64

【答案】（1）證明見解析

（2）27

【分析】（1）構(gòu)造基本不等式，利用不等式即可證明；

2

（2）首先由柯西不等式證明X+3+Z29,再構(gòu)造柯西不等式，求+的最小值.

864

/、181144144

[詳解]（1）因?yàn)椋,z￡（0,+x）,所以：+（+==：+:十二+二之廠廠+廠廠，

'7xyzxyyz個(gè)y'z

當(dāng)且僅當(dāng)x=z=：=4時(shí)等號(hào)成立，所以12-4^+-4^,故l4+4

⑵由柯西不等式得卜+江）〉河154+啟后+值曰=9,

當(dāng)且僅當(dāng)尤=]=z=3時(shí)上式等號(hào)成立，所以x+W+z29.

OO

再由柯西不等式得卜2+*+z2}12+12+12）21xxl+Wxl+zxj>92,

所以爐+亡+22227,

64

2

當(dāng)且僅當(dāng)尤=：=Z=3時(shí)上式等號(hào)成立，所以尤2+匕+Z?的最小值為27.

864

4.（23-24高一下?安徽安慶?開學(xué)考試）（1）己知尤,y>0,求不"+3一的最大值.

2x+y%+2y

1工2A丫2

（2）已知%>1,>>彳且不--+/>1,求。的最大值.

2a（2y—1）a2（x-11）A

【答案】（1）2-逑；（2）2&.

3

【分析】

（1）令尸d>:，把不等式轉(zhuǎn)化為二一+三卜2斗（2+?）,結(jié)合基本不等式，即可求解;

[x+2y=b>02%+yx+2y3ab

⑵令rmr轉(zhuǎn)化為亨+噌方，結(jié)合柯西不等式和基本不等式，即可求解.

【詳解】

2x+y-a>02b-a2a-b

解：(1)由題意，令x+2f>0,解得股丁，》=丁

x2y2a-b2(2Z?-a)

貝!]-----+———=------+-------

2x+yx+2y3a3b

當(dāng)且僅當(dāng)2=當(dāng)時(shí)，即6=缶時(shí)，等號(hào)成立,

ab

所以小+G的最大值為2一平

2y-l=u>0w+1

(2)由題意，令x-l=v>。'可得X7+1'尸丁

因?yàn)?人+滔可得白+若W即3+1)2?色+1)2

>a2>

UV

2

又由柯西不等式，可得[+^±1L](M+V)>[(V+1)+(〃+1)]，

UV

一(v+1)2(〃+l)2r(v+l)+(w+l)]24I4-

所以^——+——^->-~~————=(w+v)+——+4>2(w+v)-------+428,

uvu+vu+vVu+v

4

當(dāng)且僅當(dāng)〃+u=------，即〃+v=2時(shí)，等號(hào)成立，

u+v

所以〃248,解得-20WQW20,所以實(shí)數(shù)[的最大值為2vL

5.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知實(shí)數(shù)Q,b,。滿足a+6+c=l.

19

(1)若2片+//+/=],求證：0工。工二；

(2)若。，b,CG(0,+OO),求證：-^―+-^—+-^>—.

\-a\—b1-c2

【答案】⑴證明見解析

⑵證明見解析

【分析】(1)由題意可得b+c=l-匹又1-2/=〃+°2,結(jié)合基本不等式可得工_2/2上蟲，化簡求

22~2

2

^0<a<-f得證；

(2)法一，由已知條件得金+匕￡22、金?上義=4,同理可得工+曰25,—+—>c,三式

1-a4\\-a4i-b41-c4

相加得證；法二，根據(jù)已知條件可得苴(1-。)+(1-=所以

盧+工+/二=：［(1-。)+。-5)+(1-可［盧+工+:二］,利用柯西不等式求解證明.

1-a1—b1—c2L」(1-Q1-b1—c)

【詳解】(1)因?yàn)閍+〃+c=l,所以>+c=l—a.

因?yàn)?+/+才=；,

所以4—2片=方+。2J"。)？=(1—")2,當(dāng)且僅當(dāng)人=c時(shí)等號(hào)成立，

2-22

2

整理得5。2-2。40,所以。4。號(hào).

(2)解法一：因?yàn)閍+b+c=l,且a,b,ce(0,+oo),

所以1一〃>0,l-Z?>0,l-c>0,所以金+以22」金.U=［,

\-a4\l-a4

同理可得工+上心Nb,—+—>c,

1-b41-c4

以上三式相加得三+號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)“=b=c=^時(shí)等號(hào)成立.

解法二：因?yàn)椤?6+。=1,且a,b,c￡(0,+8),

所以1—〃>0,1—b>091—c>0,且51(1—Q)+(1—0)+(1—c)]=1,

所以匕+匕b2+±=g[(li)+(l-b)+(l-c)]a2b2

-----+-----+-----

1-a1-b1-c

1

>—=；(Q+Z?+C)2=g,

-2

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=^時(shí)等號(hào)成立.

【題型三權(quán)方和不等式】

一、填空題

222

1.(2023高三?全國?專題練習(xí))已知正數(shù)%%z滿足無+y+z=l,則-^+上1+=；1的最小值為

y+2zz+2xx+2y

【答案】I

【分析】根據(jù)權(quán)方和不等式可得解.

【詳解】因?yàn)檎龜?shù)x,y滿足x+y+z=l,

上+上+-2—(x+3_1,

所以=

y+2zz+2xx+2yy+2z+z+2x+x+2y3

；時(shí)取等號(hào).

當(dāng)日僅當(dāng)------=---=------即片y=z=

y+2zz+2xx+2y

故答案為:—.

?24

2.（2024高三.全國?專題練習(xí)）已知a>l1>1,則￡+J的最小值是

【答案】8

【分析】利用權(quán)方和不等式求解最值即可.

【詳解】令。+8-2=t>0,

則金+22^<=3="+4224+4=8，

b—1a—1a+b—2tt

〃+。—2=2

當(dāng)<q_上時(shí)，即〃=23=2時(shí)，兩個(gè)等號(hào)同時(shí)成立，原式取得最小值8.

力一1a-1

故答案為：8

3.（2023高三?全國?專題練習(xí)）已知a,b,c為正實(shí)數(shù)，且滿足a+46+9c=4,則一二+1工+―1的最小

Q+1b+1C+1

值為.

【答案】2

【分析】直接根據(jù)權(quán)和不等式即可得結(jié)果.

【詳解】由權(quán)方和不等式，可知

J_+J_+-4?92（+2+3『42,

a+1b+1c+1tz+l4Z?+49c+9（a+l）+（4+4b）+（9c+9）18

當(dāng)且僅當(dāng)。=2,6=g,c=0時(shí)等號(hào)成立,

所以占+占+占的最小值為2

故答案為：2.

”壓軸能力測(cè)評(píng)”

一、填空題

1.已知x>。，y>。，且分1+J=l'則x+2y的最小值為----------

【答案】A/3+—

【詳解】解法一：設(shè)1+2y=4（2x+y）+&（y+l）+r,

133

可解得4=54=5，=-萬，

133

A?+=—(2x+)/)+—(3/4-1)--

13

=a(2x+y)+5(y+l)

22

當(dāng)且僅當(dāng)x=!+,y=時(shí)取等號(hào).

233

故答案為：A/3+—.

解法二：考慮直接使用柯西不等式的特殊形式，即權(quán)方和不等式：必+生…"也，

xyx+y

1=—1―+—龐Q+后n2x+4y+34+273,

2x+y3y+32%+4y+3

所以x+2y.市+：,當(dāng)且僅當(dāng)x」+3,y=3時(shí)取等號(hào).

2233

故答案為：+—

2.（2023高三?全國?專題練習(xí)）已知％+2y+3z+4〃+5y=3。，求/+2/+3z?+4/+5y的最小值為

【答案】60

【分析】應(yīng)用權(quán)方和不等式即可求解.

22222f（2y>（3Z）2（4〃>（5v）2

x+2y+3z+4"+5v=一+-—+-~~—+-——+-~~—

12345

［詳解］.、2

（x+2y+3z+4w+5v）302

>------------------------------=-----=60

1+2+3+4+515

當(dāng)且僅當(dāng)1=》=2="="時(shí)取等號(hào)

故答案為：60

二、解答題

3.（24-25高一上?上海?課后作業(yè)）已知x、y為正實(shí)數(shù)，且滿足x+y=l.證明：^+-J+^+-j>y.

【答案】證明見解析

【分析】先由題意可得‘+'=（犬+》）（1+1］,化簡后利用基本不等式可證得然后再利用基本

xy（xy）xy

不等式可證得結(jié)論.

【詳解】證明：因?yàn)閄、y為正實(shí)數(shù)，且滿足尤+，=1,

所以，+L=(x+y)［工+工］=2+2+222+2=4,

xyy)yx

當(dāng)且僅當(dāng)X=y=g時(shí)取等號(hào)，

所以［T+［舊］

［x+』+y+口(1+工+口

、lxy)Axy)

~2--2-

：(1+盯=25,

22

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=：時(shí)取等號(hào)，

所以原不等式成立.

4.(2024.陜西西安.模擬預(yù)測(cè))已知〃涉,c均為正實(shí)數(shù)，且工+廠1+一1=1.證明:

ab+1c+2

(l)a+Z?+c>6；

(2)若b=2c,則/,+9c2218.

【答案】⑴證明見解析；

⑵證明見解析.

【分析】(D根據(jù)給定條件，利用柯西不等式推理即得.

(2)利用(1)的結(jié)論，再作差比較推理即得.

【詳解】(1)由。也。均為正實(shí)數(shù)，得。>0力+1>1,。+2>2,X-+-^+—=1,

aZ?+lc+2

貝！IQ+b+c=Q+S+1)+(c+2)—3=[a+S+1)+(c+2)](，d——-——i——--)-3

ab+1c+2

N,~j=+y/b+1-j+y/c+2?—j===)2-3=6,當(dāng)且僅當(dāng)a=〃+l=c+2=3時(shí)取等號(hào),

所以a+Z?+cN6.

(2)當(dāng)Z?=2c時(shí)，由(1)得：tz+3c>6,

因此"+9L_("=(a-3c)-w0,當(dāng)且僅當(dāng)。=3c時(shí)取等號(hào)，

224

a=3c

貝（J"+9c222（三當(dāng)2218,由,

b=2c,即得〃=31=2,。=1取等號(hào),

所以。2+9,218.

5.(2024?四川南充?三模)若a,6均為正實(shí)數(shù)，且滿足4+〃=2.

⑴求2a+3A的最大值；

(2)求證：4<+Z?3j(a+/?)<—.

【答案】(1)醫(yī)

(2)證明見解析

【分析】(1)利用柯西不等式直接求解；

(2)由分析法轉(zhuǎn)化為求證4<4+2仍-2/62q。，換元后由函數(shù)單調(diào)性得證.

【詳解】⑴由柯西不等式得：(a2+^2)(22+32)>(2a+3Z7)2,

即(2a+36『W26,故2a+3b〈叵,

_2726

[3a=2b"—13

當(dāng)且僅當(dāng)2小°,即1fL時(shí)取得等號(hào)，

[a2+b-^23A/26

b=----

I13

所以2a+36的最大值為后.

(2)要證：4<(a3+&3)(a+^)<|,

9

<

只需證：4W/+/+皿/+/)-2-

只需證：4<(a2+b2^+ab(a2+b2)-202bl<1,

g

即證：4<4+2ab-2a2b2<~,

2

由“，。均為正實(shí)數(shù)，且滿足/+戶=2可得2=4+6222az

當(dāng)且僅當(dāng)。=人=1時(shí)等號(hào)成立，即0<〃匕W1,

設(shè)而=/e(O,l],則設(shè)/(f)=-2/+2r+4jG(0,l],

??"⑴在[。,￡|上單調(diào)遞增，在[gj上單調(diào)遞減，

X/(0)=/(l)=4./Qj=|,,-.4</(0<|,

BP4<(a3+Z73)(a+Z7)<|.

6.(23-24高一上?云南曲靖?期末)已知a>0,b>0,且4+8=2,證明:

(Da'b+ab，<2;

⑵小+

。+1b+1

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】（D利用基本不等式，求得0〈必進(jìn)而證得/0+如2<2.

（2）化簡貯±^+2±￡,然后利用不等式的性質(zhì)以及（1）的結(jié)論證得上^+"￡'2.

〃+1/7+1〃+1/7+1

【詳解】(1)c^b+ab1=ab^a+b)=2ab,

因?yàn)?>0,b>0,2=a+b>2y[ab,貝！|0<aZ??l,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=l時(shí)等號(hào)成立,

所以片6+"2<2；

⑵a3+b+b3+a_a3+(2-?)Z?3+(2-Z?)_(<23-tz)+2(Z?3-Z?)+2

a+1Z?+1Q+1Z?+1Q+1Z7+1

〃(Q+1)(Q—1)+2b(b+l)(b-l)+2

=a2+b2-a-b-\———十

Q+1Z?+1〃+1Z?+1

-L+，2(a+Z?+2)

=a2+b2+2—2=(Q+Z7)—2aZ?+-2

Q+1Z7+1(tz+l)(Z?+l)

QQ

2ab+2=----------2ab+2,

ab+a+b+1--------------ab+3

由(1)有0<abWl,有"+3K4,-ab>-1,有一-—>—,-2ab>-2,

ab+34

Q1

有^^23228丁2+2=2,當(dāng)且僅當(dāng)”人1時(shí)等號(hào)成立,

所以之±^+叱￡22.

。+1Z?+1

7.（23-24高一上?江蘇南京?期中）已知正數(shù)〃，6滿足a+2b=他.

（1）求Q+Z?的最小值;

小、42a8Z7,,./上

⑵求口+口的取小B值.

【答案】⑴3+20

⑵18

【分析】（1）利用常值代換法和基本不等式即可求出最小值

(2)將已知式分解因式為5-2)3-1)=2,利用常數(shù)分離法將所求式化成10+」4\+78\,再運(yùn)用基本不

a—2b—1

等式即可求得最小值.

21

【詳解】(1)因?yàn)椤?gt;0,b>0且〃+2Z?=",貝!]—+—=1,

9ab

所以”+6=(4+6)(2+,)=2+1+殳+323+2*/殳-3=3+20,

abab\ab

當(dāng)且僅當(dāng)竺即a=①,即a=2+夜，6=0+1時(shí)等號(hào)成立，

ab

故a+b的最小值為3+2夜.

(2)因?yàn)椤?gt;0,b>09且a+2b=ab,所以(〃一2)(匕-1)=2,

山22a8b2(〃-2)+48(Z?-l)+8481八。「8-

所以----+——=—--------+———--=10+-------+——>10+2J---------------=118O,

a-2b-1a-2b-\a-2b-\\a-2b-1

48

當(dāng)且僅當(dāng)」==9，即a=b=3時(shí)等號(hào)成立，

a-2b-1

故烏+生的最小值為18.

a-2b-1

8.(22-23高一上?廣東廣州?階段練習(xí))已知正實(shí)數(shù)〃，b,。滿足〃+b+c=3.

(1)求'+；+’的最小值；

abc

b2c221

求證：———+———+—a——>—(ab+bc+ca\.

(2)222

a+lb+lc+l2V7

【答案】⑴3

⑵證明見解析

1111

【分析】(1)由a+h+c=3,有：(〃+力+c)=l,與▲+；+人相乘，利用基本不等式求最小值.

3abc

川22]O1

(2)要證M+A+梟2=(。匕+兒+以)，利用柯西不等式轉(zhuǎn)化為證明2V2+A+,

a2+lZ?2+lc2+l2'7