全國(guó)甲卷2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)收官卷一理科含解析

Page12024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)收官卷（一）（全國(guó)甲卷理科）一、單選題（本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．（2024·北京·北理工附中高二期中）已知i為虛數(shù)單位，則（

）A．1 B． C．i D．【答案】C【詳解】.故選：C.2．（2024·天津·高三期中）已知全集，集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題知，，則，故選:C.3．（2024·福建·高三階段練習(xí)），，且，則（

）A． B． C． D．1【答案】D【詳解】由得,即,解得,因?yàn)?解得.故選：D.4．（2024·四川·樂(lè)山市教化科學(xué)探討所三模（文））四參數(shù)方程的擬合函數(shù)表達(dá)式為，常用于競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)和免疫檢測(cè)，它的圖象是一個(gè)遞增（或遞減）的類似指數(shù)或?qū)?shù)曲線，或雙曲線（如），還可以是一條S形曲線，當(dāng)，，，時(shí)，該擬合函數(shù)圖象是（

）A．類似遞增的雙曲線 B．類似遞增的對(duì)數(shù)曲線C．類似遞減的指數(shù)曲線 D．是一條S形曲線【答案】A【詳解】解：依題意可得擬合函數(shù)為，，即，，由向左平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位得到，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以擬合函數(shù)圖象是類似遞增的雙曲線；故選：A5．（2024·河南·濮陽(yáng)南樂(lè)一高高三階段練習(xí)（理））把函數(shù)的圖象向左平移（，）個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)的圖象，則（

）A．7 B．1 C．9 D．8【答案】A【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得函數(shù)的圖象，則對(duì)于隨意實(shí)數(shù)，有，故，，故.故選：A.6．（2024·安徽蚌埠·一模）如圖，正方體的一個(gè)截面經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)及棱上一點(diǎn)，截面將正方體分成體積比為的兩部分，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，，如圖所示，該截面把正方體分為幾何體和另一幾何體，由面面平行的性質(zhì)可知：，延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)，則平面，且平面，又平面平面，所以在直線上，即三線共點(diǎn)，所以幾何體為三棱臺(tái)，其中三棱臺(tái)上底面積是，下底面積為，高等于1，所以，解得：，所以.故選：C7．（2024·廣西北?！ひ荒＃ɡ恚┮阎獢?shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿意，則數(shù)列的前81項(xiàng)的和為（

）A．1640 B．1660 C．1680 D．1700【答案】A【詳解】由，有，有．又由，可得，可得，則數(shù)列的前81項(xiàng)的和為．故選：A8．（2024·河南·一模（理））已知函數(shù)，，，，這四個(gè)函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)，，，對(duì)應(yīng)的圖象依次是（

）．A．①③②④ B．③②①④ C．①④③② D．③④①②【答案】A【詳解】，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)恒成立，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；故對(duì)應(yīng)得圖象為①；，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)恒成立，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；故對(duì)應(yīng)得圖象為③；的定義域?yàn)镽，且，∴為偶函數(shù)，故對(duì)應(yīng)得圖象為②；的定義域?yàn)镽，且，∴為奇函數(shù)，故對(duì)應(yīng)得圖象為④；故選：A.9．（2024·上海奉賢·二模）已知平面對(duì)量，，，滿意，，則當(dāng)與的夾角最大時(shí)，的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)的起點(diǎn)均為，以為原點(diǎn)建立平面坐標(biāo)系，如圖所示，不妨設(shè)，，則，，由可得，即，∴的終點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓上，同理的終點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓上．明顯當(dāng)，為圓的兩條切線時(shí)，最大，即與的夾角最大．設(shè)圓心為，則，∴，則，∴，設(shè)與軸交于點(diǎn)，由對(duì)稱性可知軸，且，∴，即當(dāng)與的夾角最大時(shí)，故選：C10．（2024·天津·二模）已知三棱錐的底面是以為斜邊的等腰直角三角形，，設(shè)四點(diǎn)均在以為球心的某個(gè)球面上，則到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】取AB中點(diǎn)D，連CD，SD，如圖，因AB是等腰直角的斜邊，則D是球O被平面所截圓圓心，，又，則有，而，即，，而，平面，則平面，由球的截面圓性質(zhì)知，球心O在直線SD上，球半徑或，由，即解得，或得無(wú)解，所以到平面的距離為.故選：A11．（2024·湖北·丹江口市第一中學(xué)模擬預(yù)料）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線l過(guò)焦點(diǎn)F與C交于A，B兩點(diǎn)，以為直徑的圓與y軸交于D，E兩點(diǎn)，且，則直線l的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為M，軸于點(diǎn)N，過(guò)A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，如下圖：由拋物線的定義知，故，所以，即，解得或（舍去），故M的橫坐標(biāo)為，設(shè)直線，將代入，得，則，解得，故直線l的方程為．故選：C．12．（2024·江蘇·蘇州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校模擬預(yù)料）設(shè)函數(shù)，不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為（

）A． B．1 C． D．0【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，所以為R上的奇函數(shù)．因?yàn)?，所以在R上單調(diào)遞增．不等式可轉(zhuǎn)化為，所以，即對(duì)恒成立．令，則，令，則．當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減．所以，即，所以，且當(dāng)時(shí)，取最小值0，故，即實(shí)數(shù)a的最大值為0．故選：D.二?填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13．（2024·河南商丘·三模（理））寫出同時(shí)滿意下面兩特性質(zhì)的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式______．①是遞增的等差數(shù)列；②．【答案】（答案不唯一，滿意d>0，即可）【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由，得，由①可知，取，則，所以數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．14．（2024·廣西北海·一模（理））的綻開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)____________．【答案】9【詳解】，綻開(kāi)式中的系數(shù)為．故答案為：915．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)料）已知，分別是雙曲線C：的左右焦點(diǎn)，雙曲線C的右支上一點(diǎn)Q滿意，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與該雙曲線的左支交于P點(diǎn)，且，則雙曲線C的漸近線方程為_(kāi)_____．【答案】【詳解】設(shè)，則，．由雙曲線的定義知，，，∴，．又，∴．在中，有，∴①．在中，有，∴②，由②化簡(jiǎn)可得，將其代入①中，得，即，∴雙曲線的漸近線方程為．故答案為：．16．（2024·河南省杞縣中學(xué)模擬預(yù)料（理））實(shí)數(shù)x，y滿意，則的值為_(kāi)_____．【答案】【詳解】因?yàn)椋裕黠@，令，則，且，令，則，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以對(duì)，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．綜上，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，成立，此時(shí)，解得．故答案為：三、解答題（共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟．其中第17—21題為必做題，每個(gè)試題考生都必需作答，第22,23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．）（一）必做題（共60分，每題12分．）17．（2024·四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)模擬預(yù)料（理））記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.(1)的值;(2)若b=2，當(dāng)角最大時(shí)，求的面積.【答案】(1)0(2)（1）∵，由正弦定理得：，∵，∴，∴，方程兩邊同時(shí)除以得：∴，（2）方法一：∵當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)A取到最大值.∵，∴，則，由正弦定理得：，即，解得：，∴當(dāng)A最大時(shí)，方法二：∵，∴，∴，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)A取到最大值為，∵，∴，∴當(dāng)A最大時(shí)，18．（2024·湖北·丹江口市第一中學(xué)模擬預(yù)料）如圖，在多面體中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，．(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面所成銳角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).（1）證明：連接，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，由勾股定理得：，因?yàn)?，故，所以，又，所以平面，又平面，所以，又，所以平面，又平面，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面．?）由（1）知兩兩垂直，以D為原點(diǎn)，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．，由平面知是平面的一個(gè)法向量．設(shè)平面的法向量為，由得：，解得：，令，則，故，設(shè)平面與平面所成銳角為，即，所以平面與平面所成銳角的余弦值為．19．（2024·福建省漳州第一中學(xué)模擬預(yù)料）漳州某地打算建立一個(gè)以水仙花為主題的公園.在建園期間，甲?乙?丙三個(gè)工作隊(duì)負(fù)責(zé)采摘及雕刻水仙花球莖.雕刻時(shí)會(huì)損壞部分水仙花球莖，假設(shè)水仙花球莖損壞后便不能運(yùn)用，無(wú)損壞的全部運(yùn)用.已知甲?乙?丙工作隊(duì)所采摘的水仙花球莖分別占采摘總量的25%，35%，40%，甲?乙?丙工作隊(duì)采摘的水仙花球莖的運(yùn)用率分別為0.8，0.6，0.75（水仙花球莖的運(yùn)用率）.(1)從采摘的水仙花球莖中有放回地隨機(jī)抽取三次，每次抽取一顆，記甲工作隊(duì)采摘的水仙花球莖被抽取到的次數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及期望；(2)已知采摘的某顆水仙花球莖經(jīng)雕刻后能運(yùn)用，求它是由丙工作隊(duì)所采摘的概率.【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，期望為(2)（1）解：在采摘的水仙花球莖中，任取一顆是由甲工作隊(duì)采摘的概率是.依題意，的全部取值為0，1，2，3，且，所以，，即，，，，所以的分布列為：0123所以.（2）解：用，，分別表示水仙花球莖由甲，乙，丙工作隊(duì)采摘，表示采摘的水仙花球莖經(jīng)雕刻后能運(yùn)用，則，，，且，故，所以.即采摘出的某顆水仙花球莖經(jīng)雕刻后能運(yùn)用，它是由丙工作隊(duì)所采摘的概率為.20．（2024·黑龍江·哈爾濱市第一二二中學(xué)校模擬預(yù)料（文））已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，開(kāi)口向右，焦點(diǎn)為，拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，且.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，推斷以為直徑的圓是否過(guò)原點(diǎn)，并說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)過(guò)原點(diǎn)，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）由題意，設(shè)拋物線的方程為：，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)椋瑒t,解得.所以拋物線的方程為：.（2）依題意可知直線與軸不平行，設(shè)直線的方程為，則聯(lián)立方程得，所以，，因?yàn)椋?以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn).21．（2024·吉林·長(zhǎng)春吉大附中試驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)料）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為．(1)若，求，；(2)若在上恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)，(2)．（1）解：∵，∴，所以，即，又．又∵點(diǎn)在切線上，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為.∴，所以，又，所以，．（2）解：由(1)可知，，∵，在上恒成立，設(shè)，則在上恒成立，∴，又因?yàn)?，，，?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，，不符合題意．當(dāng)時(shí)，又∵，而當(dāng)時(shí)．若，，，在上單調(diào)遞減，，不符合題意．若1°當(dāng)即時(shí)，在上恒成立，∴符合題意；2°當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，且當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，，不符合題意，故舍去．∴綜上所述，的取值范圍為．（二）選考題（共10分，請(qǐng)考生在第22,23題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計(jì)分．）22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．（2024·四川攀枝花·三模（理））在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為．(1)求曲線C和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)若曲線C和直線相交于A、B兩點(diǎn)，A、B的中點(diǎn)為M，點(diǎn)，求．【答案】(1)，；(2)【詳解】（1）由直