甘肅省2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1甘肅省2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為，，所以.故選：C.2.“”是“”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充分且必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)，則，則即充分性成立；當(dāng)，時，不成立，即必要性不成立，即“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.函數(shù)的定義域是（）A.(0，1] B.C. D.【答案】D【解析】由題意知，則函數(shù)的定義域是.故選：D.4.若，則關(guān)于的不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，所以，即，所以，即，解得.故選：D.5.如果，那么函數(shù)的圖象在（）A.第一、二、三象限 B.第一、三、四象限C.第二、三、四象限 D.第一、二、四象限【答案】B【解析】，∴y=的圖象過第一、第二象限，且是單調(diào)增函數(shù)，經(jīng)過(0，1)，的圖象可看成把y=的圖象向下平移?b(?b>1)個單位得到的，故函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、第三、第四象限，不經(jīng)過第二象限.故選B.6.已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D.函數(shù)是奇函數(shù)【答案】C【解析】對于A，由于，，因此，A錯誤；對于B，當(dāng)時，，則函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，B錯誤；對于C，，因此函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，C正確；對于D，由于，因此函數(shù)是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，D錯誤.故選：C.7.已知函數(shù)，則（）A. B. C.0 D.【答案】A【解析】函數(shù)，所以.故選：A.8.設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，得，由，得，即，而，所以.故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列敘述中正確的是（）A.B.若集合是全集的兩個子集，且，則C.命題“”的否定是“”D.命題“”的否定是“”【答案】AC【解析】對于選項A：因為，所以，故A正確；對于選項B：B錯誤，可舉特例說明，如，則，所以，故B錯誤；全稱量詞命題的否定是：，故選項C正確；選項D錯誤.故選：AC.10.下列計算正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】對于選項A，，故選項A正確；對于選項B，，故選項B不正確；對于選項C，，故選項C正確；對于選項D，，故選項D不正確.故選：AC.11.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C.函數(shù)在單調(diào)遞減D.該圖象向右平移個單位可得的圖象【答案】BD【解析】根據(jù)函數(shù)的部分圖象，可得，可得，再根據(jù)五點作圖法，可得，解得，所以，對于A中，當(dāng)，可得，所以不是函數(shù)的對稱中心，所以A錯誤；對于B中，當(dāng)時，可得，即函數(shù)的最小值，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以B正確；對于C中，當(dāng)，可得，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，可得在函數(shù)在先減后增，所以C不正確；對于D中，將函數(shù)該圖象向右平移個單位，可得的圖象，所以D正確.故選：BD.12.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.存在實數(shù)，函數(shù)無最小值B.對任意實數(shù)，函數(shù)都有零點C.當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增D.對任意，都存在實數(shù)，使關(guān)于的方程有3個不同的實根【答案】ABD【解析】函數(shù)的定義域為R，函數(shù)圖象由函數(shù)的圖象向右平移1個單位而得，函數(shù)在R上是增函數(shù)，對于A，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，當(dāng)時，，此時函數(shù)無最小值，A正確；對于B，當(dāng)時，由，得，解得，當(dāng)時，由，得，解得，因此對任意實數(shù)，函數(shù)都有零點，B正確；對于C，取，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，而，此時函數(shù)在上不單調(diào)，C錯誤；對于D，對任意，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為，在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，顯然恒有，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有3個交點，因此方程有3個不同的實根，D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.__________．【答案】【解析】.故答案為：.14.青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)的滿足.已知某同學(xué)視力的小數(shù)記錄法數(shù)據(jù)為，則其視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)約為______.【答案】49【解析】由，當(dāng)時，，所以.故答案為：.15.寫出一個同時具有下列三個性質(zhì)的函數(shù)：___________.①函數(shù)為指數(shù)函數(shù)；②單調(diào)遞增；③.【答案】（答案不唯一）【解析】因函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則令，且，于是得，由于單調(diào)遞增，則，又，解得，取，所以.故答案為：（答案不唯一）.16.對于函數(shù)，若存在，使，則稱點與點是函數(shù)的一對“隱對稱點”.若函數(shù)的圖象存在“隱對稱點”，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】由“隱對稱點”的定義可知，的圖象上存在關(guān)于原點對稱的點，設(shè)的圖象與圖象關(guān)于原點對稱，設(shè)，則，，所以，，故的圖象與的圖象有交點，等價于方程有實根，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得等號，所以，故實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知（1）求的值；（2）若是第三象限角，化簡，并求值.解：（1）由，得，解得，所以的值為2.（2）由（1）知，，即，而，于是，而是第三象限角，即，因此，所以.18.已知.（1）求證：；（2）若，求的最小值.解：（1），則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以.（2）由，且，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以當(dāng)時，取得最小值8.19.已知函數(shù)是的一個零點.（1）求；（2）當(dāng)時，求的值域.解：（1）依題意，，即，則，而，所以.（2）由（1）知，，當(dāng)時，，而正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此當(dāng)，即時，取得最小值，當(dāng)，即時，取得最大值1，則，，所以的值域是.20.“宸宸”“琮琮”“蓮蓮”是2023年杭州亞運會吉祥物，組合名為“江南憶”，出自唐朝詩人白居易的名句“江南憶，最憶是杭州”，它融合了杭州的歷史人文?自然生態(tài)和創(chuàng)新基因.某中國企業(yè)可以生產(chǎn)杭州亞運會吉祥物“宸宸”“琮蹤”“蓮蓮”，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，投資成本x（百萬元）與利潤y（百萬元）的關(guān)系如下表：（百萬元）2412（百萬元）0.412.8當(dāng)投資成本不高于12（百萬元）時，利潤（百萬元）與投資成本（百萬元）的關(guān)系有兩個函數(shù)模型與可供選擇.（1）當(dāng)投資成本不高于12（百萬元）時，選出你認(rèn)為最符合實際的函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)投資成本高于12（百萬元）時，利潤（百萬元）與投資成本（百萬元）滿足關(guān)系，結(jié)合第（1）問的結(jié)果，要想獲得不少于一千萬元的利潤，投資成本（百萬元）應(yīng)該控制在什么范圍.（結(jié)果保留到小數(shù)點后一位）（參考數(shù)據(jù)：）解：（1）最符合實際的函數(shù)模型為，理由如下：若選函數(shù)，將點代入可得，解得，所以，當(dāng)時，可得，與實際數(shù)據(jù)差別較大；若選函數(shù)，將點代入可得，解得，所以，當(dāng)時，可得，符合題意，綜上可得，最符合實際的函數(shù)模型為.（2）由題意知，利潤與投資成本滿足關(guān)系式，要獲得不少于一個億的利潤，即，當(dāng)時，即，即，又因為，所以；當(dāng)時，即，可得，解得，又因為，所以，綜上可得，，所以要獲得不少于一個億的利潤，投資成本（千萬）的范圍是.21.已知函數(shù)，且的圖象過點.（1）求的值及的定義域；（2）求在上的最小值；（3）若，比較與的大小.解：（1）依題意，，因此，由，解得，所以的定義域為.（2）由（1）知，，，當(dāng)時，則，所以，因此當(dāng)時，函數(shù)，所以在上的最小值.（3），，則，，顯然，，