廣東省部分學校2023-2024學年高二上學期期末教學質量監(jiān)測數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省部分學校2023-2024學年高二上學期期末教學質量監(jiān)測數(shù)學試卷注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內容：人教A版選擇性必修第一冊，選擇性必修第二冊第四章.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的?1.數(shù)列的一個通項公式為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對于A：時，，舍去；對于B：時，，舍去；對于D：時，，舍去；經檢驗數(shù)列的一個通項公式為，故選：C.2.已知直線的斜率為，則（）A.3 B. C.1 D.【答案】B【解析】因為的斜率為，所以，則.故選：B.3.已知是拋物線上一點，點到的焦點的距離為9，到軸的距離為4，則（）A.4 B.5 C.8 D.10【答案】D【解析】由題意知拋物線的準線為，因為點到的焦點的距離為9，到軸的距離為4，即A點縱坐標為4，所以,解得.故選：D4.數(shù)列中，已知，則（）A.4 B. C.1 D.2【答案】A【解析】在數(shù)列中，已知，則.故選：A5.若圓與圓恰有兩個公共點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑.因恰有兩個公共點,所以兩圓相交，所以，解得或，即的取值范圍是.故選：A6.若構成空間的一個基底，則下列向量共面的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因構成空間的一個基底，故不共面，對于A項，若共面，則必存在唯一的，滿足，即，顯然此方程組無解，即不共面，故A項錯誤；對于B項，若共面，則必存在唯一的，滿足，即，顯然此方程組無解，即不共面，故B項錯誤；對于C項，因，故共面，即C項正確；對于D項，若共面，則必存在唯一的，滿足，即，顯然此方程組無解，即不共面，故D項錯誤.故選：C.7.如圖，三角形蜘蛛網是由一些正三角形環(huán)繞而成的圖形，每個正三角形的頂點都是其外接正三角形各邊的中點．現(xiàn)有17米長的鐵絲材料用來制作一個網格數(shù)最多的三角形蜘蛛網，若該三角形蜘蛛網中最大的正三角形的邊長為3米，則最小的正三角形的邊長為（）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】B【解析】由題可知，該三角形蜘蛛網中三角形周長從大到小是以9為首項，為公比的等比數(shù)列.設最小的正三角形的邊長為米，則，則，即，得，故最小的正三角形的邊長為米.故選：B.8.已知直線與交于點，則的最大值為（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】由題意可得直線恒過坐標原點，直線恒過定點，且，所以，所以與的交點在以為直徑的圓上，則點的坐標滿足（不含點）．可設，且，則，所以當時，的最大值為．故選：D二?多選題本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知是等差數(shù)列，公差不為0，若成等比數(shù)列，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】因為成等比數(shù)列，所以，則，又不為0，所以，，符號不確定，故A錯誤.，故B正確；所以，故C正確；，故D錯誤；故選：BC.10.已知，在同一個坐標系下，曲線與直線的位置可能是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】因為，所以曲線為，直線為，當時，曲線表示的是圓，直線的橫截距與縱截距相等，則A錯誤；當時，曲線表示焦點在軸上的橢圓，直線的橫截距比縱截距大，則B正確；當時，曲線表示焦點在軸上的橢圓，直線的橫截距比縱截距小，則C不正確；當時，曲線表示焦點在軸上的雙曲線，直線的橫截距為正，縱截距為負，則D正確．故選：BD．11.已知為正方體所在空間內一點，且，，則（）A.B.三棱錐的體積為定值C.存在唯一的，使得平面平面D.存在唯一的，使得【答案】AB【解析】以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，，，,因為，故，即有，即，故點在線段上，有，則有，，則，故，故A正確；由點在線段上，且，又平面，平面，故平面，故點到平面距離不變，故三棱錐的體積為定值，故B正確；在正方體中，平面，，又平面，故，又平面，且平面，故平面，又平面，故平面平面恒成立，故C錯誤；，故，由，得，方程無解，故不存在實數(shù)，使得，故D錯誤.故選：AB.12.已知F是橢圓的右焦點，直線與橢圓C交于A，B兩點，M，N分別為，的中點，O為坐標原點，若，則橢圓C的離心率可能為（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】根據題意，圖象如圖所示：設為橢圓C的左焦點，因為直線與橢圓C交于A，B兩點，所以由橢圓的對稱性得，又，于是四邊形為平行四邊形.因為M，N分別為，的中點，是中點，所以，，平行四邊中,，在中，.因為直線斜率存在，所以A，B兩點不在y軸上，即，又在中，，所以，，即，又，所以，即.綜上所述，；因為，故A，C錯誤；，即，故B正確；，即，故D正確.故選：BD．三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知點是點在坐標平面內的射影，則______.【答案】2【解析】因為點是點在坐標平面內的射影，所以，所以，所以.故答案為：214.等比數(shù)列的前項和為，若，則__________.【答案】28【解析】由題可知的公比不為，故成等比數(shù)列，所以，因為，解得，故答案為：2815.若雙曲線的虛軸長為4，則該雙曲線的漸近線方程為________.【答案】【解析】由雙曲線的虛軸長為4，可得，解得，所以該雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.16.若是函數(shù)的兩個不同的零點，且這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列，則______.【答案】24【解析】由題可知，則，這三個數(shù)可適當排序后成等比數(shù)列，則3必是等比中項，則，這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，則3必不是等差中項，若是等差中項，則，解得，則，故，若是等差中項，則，解得，則.故.故答案為：24四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.在數(shù)列中，.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列.（2）求數(shù)列的前項和.解：（1）因為，所以.又，所以是首項為，公差為的等差數(shù)列.（2）由（1）可知，則，則，則.18.已知圓過點和，且圓心在直線上.（1）求圓的標準方程；（2）經過點的直線與圓相切，求的方程.解：（1）設圓的方程為，根據題意，可得，解得，所以圓的方程為.（2）當直線的斜率不存在時，直線的方程為，符合題意；當直線的斜率存在時，設直線的方程為，由圓心到直線的距離等于圓的半徑，可得，解得，則直線的方程為，即.故直線的方程為或.19.已知動圓經過點，且與直線相切，記動圓的圓心的運動軌跡為曲線.（1）求的方程；（2）直線與都經過點且互相垂直，與相交于兩點，與相交于兩點，求的最小值.解：（1）設圓心，因為動圓經過點，且與直線相切,則，所以，整理得，故的方程為.（2）由題可知，與的斜率均存在且不為0，設的方程為的方程為.聯(lián)立方程組整理得，則，同理可得，則，則，當且僅當，即時，等號成立，故的最小值為256.20.如圖，在三棱錐中，平面，，，F(xiàn)是的中點，且．（1）求的長;（2）求二面角的正弦值.解：（1）因為平面，，故以B為坐標原點，建立如下圖所示的空間直角坐標系．設，由，得，，，．因為F是的中點，所以，則，．又，所以，解得，故．（2）由（1）可知，，則，，．設平面的法向量為，則，令，得．設平面的法向量為，則，令，得．所以，故二面角的正弦值為．21.已知是首項為1的等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且，．（1）求和的通項公式；（2）在中，對每個正整數(shù)k，在和之間插入k個，得到一個新數(shù)列，設是數(shù)列的前n項和，比較與20000的大小關系．解：（1）設數(shù)列的公差為d，因為，則，解得，所以，．（2）因為，當時，，可知，且，令的前n項和為，則，可得，兩式相減得，即，可得，所以．22.已知橢圓經過點和．（1）求的方程；（2）若點（異于點）是上不同的兩點，且，證明直線過定點，并求該定點的坐標．解：（1）由題意得，把點的坐標代入，得，解得，所以橢圓的方程為．（2）（方法一）由題意可知均有斜率且不為0，設直線的方程為，聯(lián)立方程組消去得，可得，解得，所以點的坐標為．因為，所以直線的斜率為，同理可得點．當時，有，解得，直線的方程為．當時，直線的斜率，