貴州省銅仁市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1貴州省銅仁市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題辿出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.若數(shù)列的前五項(xiàng)分別為，，，，，則下列最有可能是其通項(xiàng)公式的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】數(shù)列，，，，，，，，，，所以數(shù)列的一個通項(xiàng)公式是，故選：C.2.已知直線：和圓：，若點(diǎn)在圓上運(yùn)動，則其到直線的最短距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】圓：的圓心，所以點(diǎn)到直線：的距離為，所以點(diǎn)在圓上運(yùn)動，則其到直線的最短距離為：.故選：A.3.在空間直角坐標(biāo)系中，若對應(yīng)點(diǎn)，，若關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，則（）A.2 B. C.5 D.【答案】C【解析】關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，所以，所以，即，，所以.故選：C.4.如圖，在四面體中，點(diǎn)是棱上的點(diǎn)，且，點(diǎn)是棱的中點(diǎn).若，其中，，為實(shí)數(shù)，則的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，?故選：A.5.已知橢圓：（）的離心率為，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，分別是兩個焦點(diǎn)，則的面積為（）A. B. C.16 D.32【答案】A【解析】由題意可得，解得，所以，.故選：A.6.與圓：及圓：都外切的圓的圓心在（）A.雙曲線上 B.橢圓上 C.拋物線上 D.雙曲線的一支上【答案】D【解析】由圓可知，圓心，半徑，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心，半徑因此圓心距，所以兩圓相離；設(shè)與兩圓都外切圓的圓心為，半徑為則滿足，所以，即圓心的軌跡滿足到兩定點(diǎn)距離之差為定值，且定值小于兩定點(diǎn)距離，根據(jù)雙曲線定義可知，圓心的軌跡是某一雙曲線的左支，即圓心在雙曲線的一支上.故選：D.7.在等差數(shù)列中，m，n，p，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】在等差數(shù)列中，若，則成立，故必要性滿足；下面討論充分性：取，若，則不一定成立，故充分性不滿足，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B8.已知橢圓：（）與雙曲線：（）共焦點(diǎn)，，過引直線與雙曲線左、右兩支分別交于點(diǎn)，，過作，垂足為，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），若，則與的離心率之和為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由可得，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為、，則橢圓的離心率為，由，，則，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由為中點(diǎn)，故，，由，故，則，，由雙曲線定義可知，，故，則離心率為，故與的離心率之和為.故選：B.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.已知直線：與直線：，其中，則下列命題正確的是（）A.若，則或或 B.若，則或C.直線和直線均與圓相切 D.直線和直線的斜率一定都存在【答案】AC【解析】對于A，直線：與直線：，若，則，即，又，所以，或或，解得或或，正確；對于B，若，則，所以，又，所以或，當(dāng)時，直線：即，直線：即，兩直線重合，不符合題意，舍去；當(dāng)時，直線：即，直線：即，兩直線平行，符合題意；所以，B錯誤；對于C，圓的圓心為，半徑為1，圓心到直線：的距離為，圓心到直線：的距離為，所以直線和直線均與圓相切，正確；對于D，當(dāng)時，直線：化簡為，直線斜率不存在；當(dāng)時，直線：化簡為，直線斜率不存在；D錯誤.故選：AC10.以下四個命題為真命題的是（）A.已知的周長為6，且，，則動點(diǎn)的軌跡方程為（）B.若直線的方向向量為，是直線上的定點(diǎn)，為直線外一點(diǎn)，且，則點(diǎn)到直線的距離為C.等比數(shù)列中，若，，則D.若圓：與圓：（）恰有三條公切線，則【答案】AD【解析】對于A：設(shè)，，所以，滿足橢圓的定義，即點(diǎn)是以頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓，，，則，所以橢圓方程，因?yàn)槿c(diǎn)不能共線，所以，則動點(diǎn)的軌跡方程為（），正確；對于B：因?yàn)橹本€的方向向量為，是直線上的定點(diǎn)，為直線外一點(diǎn)，且，所以點(diǎn)到直線的距離為，錯誤；對于C，因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以是和的等比中項(xiàng)，所以，，錯誤；對于D，圓：的圓心，半徑，圓：（）的圓心，半徑，因?yàn)閳A與圓恰有三條公切線，所以兩圓外切，則，所以，解得，正確.故選：AD11.著名的冰雹猜想，又稱角谷猜想，它是指任何一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，則先乘以3再加上1；如果是偶數(shù)，就除以2.這樣經(jīng)過若干次變換后，最終一定得1，若是數(shù)列或中的項(xiàng)，則下列說法正確的是（）A.若，則需要4次變換得到1B若，則需要7次變換得到1C.中的項(xiàng)變換成1的次數(shù)一定少于中的項(xiàng)變換成1的次數(shù)D.存在正整數(shù)，使得與的變換次數(shù)相同【答案】ABD【解析】對于選項(xiàng)A，，變化過程為：，4次變換得到1，A正確；對于選項(xiàng)B，，變化過程為：，7次變換得到1，B正確；對于選項(xiàng)C，舉例說明，當(dāng)時，，變化過程為：，16次變換得到1；，變化過程為：，3次變換得到1；C錯誤；對于D，舉例說明，當(dāng)時，，變換次數(shù)相同，D正確；故選：ABD.12.在棱長為1的正方體中，為平面上一動點(diǎn)，下列說法正確的有（）A.若點(diǎn)在線段上，則平面B.存在無數(shù)多個點(diǎn)，使得平面平面C.將以邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，三棱錐的體積為定值D.若，則點(diǎn)的軌跡為拋物線【答案】AB【解析】對于A項(xiàng)，如圖所示，連接對應(yīng)面對角線，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知：，平面，平面，∴平面，同理可知平面，又平面，∴平面平面，又，∴平面，∴平面，故A正確;對于B項(xiàng)，

連接，易知面，面，則，又平面，∴平面，而平面，∴，同理，又平面，∴平面，又∵平面，∴平面平面，所以存在無數(shù)多個點(diǎn)，使得平面平面，故B正確;對于C項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，三棱錐，因?yàn)橐赃吽谥本€為軸旋轉(zhuǎn)一周，所以為一個變量，所以棱錐的體積為不為定值，故C不正確.對于D，因?yàn)闉槎ㄖ本€，是定角，到的距離為定值，所以時，在以為旋轉(zhuǎn)軸，到的距離為半徑的圓錐上，又平面，故平面截圓錐的軌跡為雙曲線的一支，即D錯誤；故選：AB.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知，，若，則______.【答案】4【解析】若，則，即，解得.故答案為：.14.設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則______.【答案】27【解析】由于，則，所以，所以.故答案是：.15.圓與圓的公共弦長為______.【答案】【解析】聯(lián)立方程組，，兩式相減，得，為公共弦長所在直線的方程，又圓的圓心為，，圓心到直線的距離為，所以兩圓公共弦長.故答案為：.16.已知拋物線：，且過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，若以為直徑的圓與軸交于和兩點(diǎn)，則直線的方程為______.【答案】【解析】由已知可得且直線的斜率存在，將直線設(shè)為，由得設(shè)，則所以，由題意可知，且所以解得，所以直線的方程為.故答案為：四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.在下列三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并加以解答.①垂直于直線；②平行于直線；③截距相等.問題：直線經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，且______.（1）求直線的方程；（2）直線不過坐標(biāo)原點(diǎn)，且與軸和軸分別交于、兩點(diǎn)，求的面積.注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計(jì)分.解：（1）由，解得交點(diǎn)坐標(biāo)為.選①，垂直于直線設(shè)直線的方程為：，其過點(diǎn)，則，即，故直線的方程為.選②，平行于直線，設(shè)直線的方程為：，其過點(diǎn)，則，即，故直線的方程為.選③，截距相等，當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時，，符合題意；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時，設(shè)為，其經(jīng)過點(diǎn)，故，即.得直線：.故直線的方程為或（或）.（2）由（1）知選①時，直線的方程為，可知其在軸和軸的交點(diǎn)分別為，，故.選②時，直線的方程為，可知其在軸和軸的交點(diǎn)分別為，，故.選③時，直線的方程為，可知其在軸和軸的交點(diǎn)分別為，.故.18.已知圓心為的圓經(jīng)過點(diǎn)，直線：.（1）求圓的方程；（2）寫出直線恒過定點(diǎn)的坐標(biāo)，并求直線被圓所截得的弦長最短時的值及最短弦長.解：（1）∵圓的半徑，∴圓的方程為.（2）∵直線的方程為，令解得：，∴定點(diǎn)的坐標(biāo)為.∵，∴點(diǎn)在圓的內(nèi)部，故直線恒與圓相交.又圓心到直線的距離∴被圓截得的弦長為，當(dāng)取得最大值2時，弦長有最小值，最小值為，此時.19.如圖，是拋物線型拱橋，當(dāng)水面在時，水面寬16米，拱橋頂部離水面8米.（1）當(dāng)拱頂離水面2米時，水面寬多少米？（2）現(xiàn)有一艘船，可近似為長方體的船體高4.2米，吃水深2.7米（即水上部分高1.5米），船體寬為12米，前后長為80米，若河水足夠深，要使這艘船能安全通過，則水面寬度至少應(yīng)為多少米？（計(jì)算結(jié)果保留至小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：）解：（1）如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線型拱橋的方程為（）由題意，可知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，代入拋物線方程可得，即得，所以拋物線方程為.當(dāng)拱頂離水面2米時，即，代入拋物線方程可得，即水面寬為8米.（2）由于船體寬12米，則當(dāng)船體恰好能通過時，令米，代入拋物線方程中，則，解得米，即拱頂與船頂?shù)淖罱嚯x為4.5米.又因船在水面上部分高為1.5米，故拱頂離水面6米.在拋物線方程中，令，則，故，所以水面寬度至少應(yīng)為13.9米.20.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）當(dāng)時，.當(dāng)時，.又因時，滿足，所以（）（2）（），①，②將①②兩式相減得所以.21.長方體中，，是對角線上一動點(diǎn)（不含端點(diǎn)），是的中點(diǎn).（1）若，求三棱錐體積；（2）平面與平面所成角的余弦值，求與平面所成角的余弦值.解：（1）以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，.設(shè)，由題意設(shè)，即，則，所以.因?yàn)?，解?所以..（2）由長方體可知平面的一個法向量為，設(shè)平面的一個法向量為則，令，則，，則，由題意得：，解得：或（舍），則，，設(shè)與