河北省部分高中2024屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省部分高中2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題）一?選擇題1.已知集合，則圖中的陰影部分表示的集合為（）A.或 B.或C. D.【答案】A【解析】由題可知圖中的陰影部分表示，或，則，所以或.故選：A.2.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題可知，定義域?yàn)椋忠驗(yàn)?，所以，為偶函?shù)．當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，.故選：C．3.橢圓的兩焦點(diǎn)為，，以為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)橢圓與正三角形另兩條邊的交點(diǎn)分別是A，B，易得，，∴，∴，∴，故選：D.4.已知的一段圖像如圖所示，則（）A.B.的圖像的一個對稱中心為C.的單調(diào)遞增區(qū)間是D.的圖像向左平移個單位長度后得到的是一個奇函數(shù)的圖象【答案】C【解析】由圖可知，，所以，解得，所以，又函數(shù)過點(diǎn)，即，所以，解得，因?yàn)?，所以，所以，故A錯誤；因?yàn)椋蔅錯誤；令，解得，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故C正確；將函數(shù)的圖象向左平移個單位得為偶函數(shù)，故D錯誤；故選：C5.設(shè)，，都是單位向量，且與的夾角為60°，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，，，則所以故選：D.6.在數(shù)列中，，，，則的前20項(xiàng)和（）A.621 B.622 C.1133 D.1134【答案】C【解析】設(shè)，，則，.由已知可得，，即，所以為以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，.，即，所以為以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，.所以，的前20項(xiàng)和.故選：C.7.設(shè)實(shí)數(shù)，若對恒成立，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，則，，當(dāng)時，，恒成立，即任意，對恒成立；當(dāng)時，，即，其中，構(gòu)造函數(shù)，則.，因?yàn)椋?，單調(diào)遞增；則有，則，構(gòu)造函數(shù)，則，令，解得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，則，即當(dāng)時，，故要使恒成立，則，即的取值范圍為.故選：B.8.已知，是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)相同，與在第一象限的交點(diǎn)為P，若的中點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，且，則橢圓的離心率是（）A B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意:設(shè)，設(shè)橢圓長半軸長為，短半軸長為，雙曲線實(shí)半軸長為，虛半軸長為，則由橢圓及雙曲線定義可得：，又因?yàn)?，且分別為，的中點(diǎn)，所以,所以到漸近線的距離為，所以，，結(jié)合，可得：①因?yàn)?，所以即，整理得：，將①代入，，所?故選：C.二?多選題9.已知復(fù)數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.方程表示的在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是圓B.方程表示在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是橢圓C.方程表示的在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支D.方程表示的在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是拋物線【答案】AC【解析】由復(fù)數(shù)模的幾何意義知，表示復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為定值2，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是圓，故A正確；由復(fù)數(shù)模的幾何意義知，表示復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)到點(diǎn)和的距離之和為，又，不滿足橢圓的定義，故B不正確；由復(fù)數(shù)模的幾何意義知，表示復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)到點(diǎn)和的距離之差為1，又，滿足雙曲線的定義，故C正確；對于D，可化為，表示復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)到點(diǎn)和的距離相等，軌跡是直線，故D不正確，故選：AC.10.如圖，為圓錐的底面圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于，的動點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.圓錐的側(cè)面積為B.三棱錐體積的最大值為C.的取值范圍是D.若，為線段上的動點(diǎn)，則的最小值為【答案】BD【解析】在中，，則圓錐的母線長，半徑，對于A，圓錐的側(cè)面積為：，A錯誤；對于B，當(dāng)時，的面積最大，此時，則三棱錐體積的最大值為：，B正確；對于C，是等腰三角形，，又因?yàn)?，則，依題意，，而，因此，C錯誤；對于D，由，，得，有為等邊三角形，將以為軸旋轉(zhuǎn)到與共面的位置，得到，則為等邊三角形，，如圖，于是，因?yàn)椋?，所以，D正確.故選：BD11.如圖，曲線下有一系列正三角形，設(shè)第個正三角形（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的邊長為，則（）A.B.記為的前項(xiàng)和，則為C.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，則D.數(shù)列的通項(xiàng)公式為【答案】ABD【解析】選項(xiàng)A，由題意知為邊長為的等邊三角形，如圖，則，因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，可得，解得，又由題意知為邊長為的等邊三角形，則，則，可得，解得，故A正確；選項(xiàng)B，由為邊長為的等邊三角形，可得，故B正確；選項(xiàng)C，由點(diǎn)在曲線上，則，整理得，由，可知，故C錯誤；選項(xiàng)D，當(dāng)時，可得，所以，可化為，因?yàn)?，則，所以，又因?yàn)?，，，即?shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，故D正確．故選：ABD.12.如圖，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過y軸左側(cè)一點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)為A、B，、分別交y軸于M、N兩點(diǎn)，則下列結(jié)論一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】設(shè)拋物線上一點(diǎn)，則，過點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立方程組，整理的，令，解得，即過拋物線上一點(diǎn)的切線的斜率為，對于A中，設(shè)，則過點(diǎn)的切線方程為，令，可得，即，又由拋物線的焦點(diǎn)為，所以，則，所以，即，同理可得，則四點(diǎn)共圓，所以，所以A正確；對于B中，若點(diǎn)在準(zhǔn)線上，可直線的方程為，此時直線過焦點(diǎn)，則，所以，所以B錯誤；對于C中，由，，可得，，若，可得，則，所以，此時直線過焦點(diǎn)，設(shè)直線，代入拋物線，可得，設(shè)方程的兩根為，可得，即當(dāng)直線過拋物線焦點(diǎn)時，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為，而直線不一定過拋物線的交點(diǎn)，所以C錯誤；對于D中，由，可得，聯(lián)立方程組，解得，即,則，所以，所以D正確.故選：AD.第II卷（非選擇題）三?填空題13.，且，則的值為__________.【答案】【解析】因?yàn)?，且，所以有，則.故答案為：.14.在等比數(shù)列中，是函數(shù)的極值點(diǎn)，則＝__________．【答案】【解析】，由題是方程的兩個不等實(shí)根，則由韋達(dá)定理，所以又是的等比中項(xiàng)且與同號，則.故答案為：.15.設(shè)雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為和，以的實(shí)軸為直徑的圓記為，過點(diǎn)作的切線，與的兩支分別交于，兩點(diǎn)，且，則的離心率的值為______.【答案】【解析】設(shè)直線l與圓C的切點(diǎn)為，則，，由，得，過點(diǎn)作于點(diǎn)Q，則，由O為的中點(diǎn)，得，因?yàn)闉殇J角，所以，有，得，所以，由雙曲線的定義知，，即，解得，又，所以，所以雙曲線的離心率為.故答案為：.16.如圖，對于曲線G所在平面內(nèi)的點(diǎn)O，若存在以O(shè)為頂點(diǎn)的角，使得對于曲線G上的任意兩個不同的點(diǎn)恒有成立，則稱角為曲線G的相對于點(diǎn)O的“界角”，并稱其中最小的“界角”為曲線G的相對于點(diǎn)O的“確界角”.已知曲線C：（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線C的相對于點(diǎn)O的“確界角”為，則____________.【答案】1【解析】函數(shù)，因?yàn)?，所以該函?shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.過原點(diǎn)作的切線，設(shè)切點(diǎn)，由，則切線的斜率為，直線過，∴，∴，即，由函數(shù)與的圖象在有且只有一個交點(diǎn)，且當(dāng)時滿足方程，故方程有唯一解，則；過原點(diǎn)作的切線，設(shè)切點(diǎn)，由，得切線的斜率，則切線過原點(diǎn)，則有，∴，則，則有，∴兩切線垂直，曲線C相對于點(diǎn)O的“確界角”為，則，.故答案為：1.四?解答題17.已知平面內(nèi)點(diǎn)與兩個定點(diǎn)的距離之比等于2.（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）記（1）中的軌跡為，過點(diǎn)的直線被所截得的線段的長為，求直線的方程.解：（1）已知，由題意可知，，坐標(biāo)代入得，整理得，故點(diǎn)的軌跡方程為；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，此時直線的方程為，由圓，則圓心為，半徑為，此時弦長為，滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在時，不妨設(shè)斜率為，則直線的方程為，即，則圓心到直線的距離.因?yàn)橹本€被所截得的線段的長為，所以，則，所以，解得，所以直線的方程為.綜上，滿足條件的直線的方程為或.18.如圖所示，在四棱維中，面，且PA=AB=BC==2.（1）求與所成的角；（2）求直線與面所成的角的余弦值.解：（1）因?yàn)槊?，所以兩兩垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(2，0，0)，D(0，4，0)，C(2，2，0)則,=，所以與所成的角為（2）設(shè)平面的法向量為，令，則，設(shè)直線與面所成的角的為，又，sin=直線與面所成的角的余弦值為.19.已知數(shù)列滿足，，且，，構(gòu)成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）由，得，所以數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列，又，，構(gòu)成等比數(shù)列，得，即，整理解得，所以．（2），則，，兩式相減得，即，所以．20.在中，角的對邊分別為的面積為，已知.（1）求角；（2）若的周長為，求的最大值.解：（1）因?yàn)椋?，即，由正弦定理，得，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以，又，所?（2）由余弦定理，得，即，所以，即，因?yàn)椋?，所以，所以，又（?dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），即的最大值為.21.已知橢圓經(jīng)過點(diǎn).（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的上方），的上?下頂點(diǎn)分別為，直線與直線交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線上.（1）解：因?yàn)檫^點(diǎn)，所以，整理得.因?yàn)?，所以，所以的?biāo)準(zhǔn)方程為；（2）證明：設(shè)直線的方程為，.聯(lián)立，整理得，，所以直線的方程為①，直線的方程②，解法一：由①②得，所以.所以點(diǎn)在定直線上運(yùn)動，故點(diǎn)在定直線上.解法二（和積轉(zhuǎn)化）：所以，由①②得，所以.所以點(diǎn)在直線上運(yùn)動，故點(diǎn)在定直線上.解法三（點(diǎn)代平方差）：因?yàn)樵谏希?，所以，即由①②得，所?所以點(diǎn)在直線上運(yùn)動，故點(diǎn)在定直線上.22.已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）已知有兩個極值點(diǎn)