河南省商丘市中州聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省商丘市中州聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚．3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊(cè)，選擇性必修第二冊(cè)．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn),分別是的左、右焦點(diǎn),則（）A. B.2 C. D.4【答案】D【解析】由方程可知：，由橢圓的定義可知．故選：D．2.在等比數(shù)列中，，，則（）A. B. C.3 D.4【答案】C【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)易知.故選：C.3.過點(diǎn)且與直線平行的直線方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)與直線平行直線方程是，代入點(diǎn)，得，解得，所以所求的直線方程是．故選:A4.函數(shù)在上的最大值是（）A. B.0 C. D.【答案】B【解析】由題，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以.故選：B.5.已知平面的一個(gè)法向量是平面內(nèi)一點(diǎn)，是平面外一點(diǎn)，則“”是“點(diǎn)到平面的距離為1”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】，若點(diǎn)到平面的距離為1，則，解得或，故“”是“點(diǎn)到平面的距離為1”的充分不必要條件．故選:A．6.若數(shù)列an滿足（且），，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由可得，則有，.故.故選：C.7.已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，過點(diǎn)分別作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圓可化為．可知圓心為，半徑，因?yàn)閳A關(guān)于對(duì)稱，即直線過圓心，則，解得，可得，且，所以．故選：D．8.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)，則，故單調(diào)遞增.又，故可轉(zhuǎn)化為，即，由單調(diào)遞增可得，解得或，即不等式的解集為.故選：.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】AC【解析】因?yàn)?，?duì)于選項(xiàng)A：若，則，所以，A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：若，則，解得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：若，則，解得，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：若，則，解得，故D錯(cuò)誤．故選：AC．10.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，無論首項(xiàng)和公差如何變化，始終是一個(gè)定值，則下列各數(shù)也為定值的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，則，若始終是一個(gè)定值，所以是定值，故B正確；又因?yàn)?，，所以與也為定值，所以C，D正確；沒有足夠條件判斷A，故A錯(cuò)誤；故選：BCD．11.已知雙曲線與直線無公共點(diǎn)，過的右焦點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的離心率可以是（）A. B.2 C.3 D.4【答案】BC【解析】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，則的右焦點(diǎn)到的距離，即，因?yàn)?，則，又因?yàn)?，則，可得，又因?yàn)榕c直線無公共點(diǎn)，則，所以的離心率．故選：BC．12.如圖,在棱長均為1的平行六面體中，平面，分別是線段和線段上的動(dòng)點(diǎn),且滿足，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，若，則C.當(dāng)時(shí)，直線與直線所成角的大小為D.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積的最大值為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，分別是線段和線段的中點(diǎn)，所以也是的中點(diǎn)，所以，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，所以，，，滿足，故B正確；對(duì)于C，過作交于，可知面，與直線成角即為，當(dāng)時(shí)，，在中，則，所以，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，易知是正三角形，三棱錐體積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故D正確；故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.某小球可以看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，其相對(duì)于地面的高度（單位：m）與時(shí)間（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系，則該小球在時(shí)的瞬時(shí)速度為______m/s.【答案】【解析】由函數(shù)，可得，則，所以該小球在時(shí)的瞬時(shí)速度為.故答案為：.14.已知函數(shù)，則________．【答案】【解析】因?yàn)?，則，令，則，解得，可得，所以．故答案為：.15.已知點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線與到直線的距離之和的最小值是________．【答案】【解析】拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為2,0，準(zhǔn)線方程為，由拋物線定義可得點(diǎn)到直線距離等于PF，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，所以點(diǎn)到直線與到直線的距離之和等于，由兩點(diǎn)之間線段最短可得，過作直線的垂線，垂足為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立．故答案為：.16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.設(shè)數(shù)列中不在數(shù)列中的項(xiàng)按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列，則數(shù)列的前40項(xiàng)和為______.【答案】973【解析】當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減，得，即，，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，因此，，即是數(shù)列中的第項(xiàng)，，，數(shù)列的前40項(xiàng)和是由數(shù)列的前45項(xiàng)去掉數(shù)列的前5項(xiàng)后構(gòu)成的，數(shù)列的前40項(xiàng)和為．故答案為：973．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列前項(xiàng)和.解：（1）設(shè)an的公差為，由，，得,解得.故an的通項(xiàng)公式為.（2）由，，得，所以，由可得數(shù)列bn是等差數(shù)列，因首項(xiàng)為1，公差為1，故.18.已知函數(shù)．（1）求在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)的極值．解：（1）由，的定義域?yàn)?，得，所以，又，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2），由，得，或，當(dāng)或時(shí)，，在上均單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；故函數(shù)在處取得極大值，極大值為；在處取得極小值，極小值為.故函數(shù)有極大值，也有極小值，極大值為，極小值為.19.如圖,在四棱錐中,平面,四邊形是矩形,，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)分別是線段上的點(diǎn),且．（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）因?yàn)槠矫?，平面，且四邊形是矩形，所以兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意，因?yàn)椋?所以．因?yàn)?，所以，即．?）由（1）得．設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，令，得，所以．因?yàn)槠矫妫云矫?，所以平面的一個(gè)法向量為．因?yàn)椋Y(jié)合圖形可得：平面與平面夾角的余弦值為．20.已知數(shù)列滿足，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，可得；且符合，所以．（2）由（1）可知，則，可得，兩式相減得，所以．21.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)y=fx在上的值域（）；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性．解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，，定義域?yàn)?，則，令，得x=1或(舍去)，當(dāng)時(shí)，，，，所以fx在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以當(dāng)x=1時(shí)，fx所以當(dāng)，，，又因?yàn)椋驗(yàn)?，此時(shí)，，故fx在上的值域?yàn)?（2），，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)，，當(dāng)，，所以fx在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得或x=1，當(dāng)a>0時(shí)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以fx在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，所以fx在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)a=-1時(shí)，所以fx在區(qū)間單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以fx在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時(shí)，fx在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，fx在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)a=-1時(shí)，fx區(qū)間單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增.22.若橢圓的長軸長，短軸長分別等于雙曲線的實(shí)軸長，虛軸長，且橢圓和雙曲線的焦點(diǎn)在同一坐標(biāo)軸上，則稱橢圓是雙曲線的共軛橢圓，雙曲線是橢圓的共軛雙曲線．已知橢圓的共軛雙曲線為．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)，直線（不過點(diǎn)）與相交于、兩點(diǎn)，且，求點(diǎn)到直線的距離的最大值．解：（1）由題意可設(shè)的