2024-2025學(xué)年上海市黃浦區(qū)向明中學(xué)高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年上海市黃浦區(qū)向明中學(xué)高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）一、單選題：本題共4小題，每小題3分，共12分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.當我們停放自行車時，只要將自行車的撐腳放下，自行車就穩(wěn)了，這用到了(

)A.三點確定一個平面 B.不在同一直線上的三點確定一個平面

C.兩條相交直線確定一個平面 D.兩條平行直線確定一個平面2.若(3+2x)n(n∈N?)的展開式中第5A.7 B.8 C.9 D.103.已知無窮等比數(shù)列{an}，若i=1+∞aiA.{3} B.[3,+∞) C.(0,3] D.(0,+∞)4.設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，k為常數(shù)且k∈N，k≥2，有以下兩個命題：

①若{an}是公差不為零的等差數(shù)列，則a1?a2?…?aA.①是真命題，②是假命題 B.①、②都是真命題

C.①是假命題，②是真命題 D.①、②都是假命題二、填空題：本題共12小題，共42分。5.空間中，直線與平面所成角的范圍為______．6.表面積為16π的球的半徑為______．7.空間垂直于同一直線的兩直線的位置關(guān)系為______．8.如果圓錐的底面圓半徑為1，母線長為2，則該圓錐的側(cè)面積為______．9.滿足等式C16x2?x=10.(2x2?1x)611.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=n212.設(shè)x，y∈R，向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,?4,2)且a13.將4本不同的書分給3位同學(xué)，每人至少一本，不同的分法有______種.14.將一個棱長為a的正方體切成64個全等的小正方體，其表面積增加了______．15.已知棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為側(cè)面BB1C1C16.從1、2、3、…、10這10個數(shù)中任取4個不同的數(shù)a1、a2、a3、a4，則存在1≤i<j≤4且i，j∈N，使得|a三、解答題：本題共5小題，共46分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題6分)

如圖所示，已知點P∈平面α，且直線AB∩直線CD=P，點A，D與點B，C分別在平面α的兩側(cè)，直線AC∩α=Q，直線BD∩α=R.求證：P，Q，R三點共線．18.(本小題8分)

如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=AA1=2，點E，F(xiàn)分別為棱AB，A1B1的中點．

(1)求異面直線C19.(本小題10分)

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=1．

(1)若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，S10=100，求數(shù)列{an}20.(本小題10分)

如圖，某種風(fēng)箏的骨架模型是四棱錐P?ABCD，四邊形ABCD是等腰梯形，AD//BC，AC∩DB=O，PO⊥平面ABCD，∠BOC=90°，OA=1，OC=2，E在PB上．

(1)為保證風(fēng)箏飛行穩(wěn)定，需要在E處引一尼繩，使得PB=3PE，求證：直線PD/?/平面AEC；

(2)實驗表明，當tan∠PAC=2時，風(fēng)箏表現(xiàn)最好，求此時直線PA與平面PBC所成角的正弦值．21.(本小題12分)

如圖，已知四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD．

(1)求證：AC⊥CD；

(2)《九章算術(shù)》中將四個面都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，若此“鱉臑”中，AB=BC=CD=1，有一根彩帶經(jīng)過面ABC與面ACD，且彩帶的兩個端點分別固定在點B和點D處，求彩帶的最小長度；

(3)若在此四面體中任取兩條棱，記它們互相垂直的概率為P1；任取兩個面，記它們互相垂直的概率為P2；任取一個面和不在此面上的一條棱，記它們互相垂直的概率為P3.試比較概率P1、P

參考答案1.B

2.D

3.B

4.B

5.[0,π6.2

7.平行、相交、異面

8.2π

9.{1,3}

10.?160

11.(?∞,3)

12.3

13.36

14.18a15.11816.175

17.證明：直線AB與CD相交，可以唯一確定一個平面，設(shè)兩直線確定的平面為β，

又由P∈平面α且P∈平面β，所以，點P∈兩平面交線l，

同理，點Q，R∈l，所以三點共線．

18.解：(1)以A為原點建立空間直角坐標系，

則A(0,0,0)，C1(0,2,2)，E(1,0,0)，F(xiàn)(1,0,2)，

所以C1E=(1,?2,?2)，AF=(1,0,2)，

設(shè)直線C1E與直線AF的夾角為θ，則cosθ=|cos<C1E，AF>|=|C1E?AF||C1E|?|AF|=|1?4|3×5=55，

故直線C1E與直線AF的夾角為19.解：(1)根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，

又由a1=1，S10=100，

則S10=10a1+10×92d=100，

又a1=1，則10+10×92d=100，解得d=2，

所以an=2n?1；

(2)根據(jù)題意，設(shè){an}的公比為q，

a1=1，a4=18，

則q3=a420.(1)證明：四邊形ABCD是等腰梯形，AD//BC，∴OD=1，OB=2，

連接EO，∴PEPB=DODB=13，∴EO//PD，

∵EO?平面AEC，PD?平面AEC，

∴PD/?/平面AEC．

(2)解：∵PO⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴PO⊥AC，

∵tan∠PAC=2，∴OPOA=2，∴OP=2，

∵OB⊥OC，

∴以O(shè)為坐標原點，分別以O(shè)B，OC，OP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系O?xyz，

∴O(0,0,0)，P(0,0,2)，A(0,?1,0)，C(0,2,0)，B(2,0,0)，

∴PA=(0,?1,?2),PC=(0,2,?2),PB=(2,0,?2)，

設(shè)平面PBC的法向量為n=(x,y,z)，

∴n?PC=2y?2z=0n?PB=2x?2z=0，

21.(1)證明：因為AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，

所以AB⊥CD，

又BC⊥CD，AB∩BC=B，AB，BC?平面ABC，

所以CD⊥平面ABC，

因為AC?平面ABC，

所以AC⊥CD；

(2)將面ABC與面ACD沿AC展開成如圖所示的平面圖形，連接BD，

由(1)知：∠ACD=90°，

因為AB⊥平面BCD，BC?平面BCD，

所以AB⊥BC，

因為AB=BC=CD=1，

所以∠ACB=45°，

故展開后∠BCD=34π，

所以彩帶的最小長度為此平面圖中BD長，

由余弦定理得：BD=BC2+CD2?2BC?CDcos∠BCD=12+12?2cos34π