（寒假）人教A版高二數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)講義+隨堂檢測(cè)+課后練習(xí) 第01講 三角函數(shù)（原卷版）

第第頁第01講三角函數(shù)一．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1.平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.2.商數(shù)關(guān)系：eq\f(sinα,cosα)＝tanα(α≠k·eq\f(π,2)＋αk∈Z)3.公式變形：sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα．sinα＝tanαcosα(α≠k·eq\f(π,2)＋αk∈Z)．二．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式1.公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口訣奇變偶不變，符號(hào)看象限2.誘導(dǎo)公式的記憶口訣奇變偶不變，符號(hào)看象限.“奇”“偶”指的是“k·eq\f(π,2)＋αk∈Z”中的k是奇數(shù)還是偶數(shù)．“變”與“不變”是指函數(shù)的名稱的變化．“符號(hào)看象限”指的是在“k·eq\f(π,2)＋α(k∈Z)”中，將α看成銳角時(shí)，“k·eq\f(π,2)＋α(k∈Z)”的終邊所在的象限．三．兩角和與差的余弦、正弦、正切公式1．cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ2．cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ3．sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ4．sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ5．tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)6．tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)四．二倍角公式1．基本公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)．2．公式變形(1)降冪公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)；sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)；sinαcosα＝eq\f(1,2)sin2α；(2)升冪公式：cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；1＋sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)＋cos\f(α,2)))2；1－sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)－cos\f(α,2)))2．（3）tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)五．積化和差與和差化積公式1．積化和差公式2．和差化積公式sinα＋sinβ＝2sineq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)sinα－sinβ＝2coseq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2)cosα＋cosβ＝2coseq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)cosα－cosβ＝－2sineq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2)一．常見的弦化切的結(jié)構(gòu)形式1.sinα、cosα的一次齊次分式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(如\f(asinα＋bcosα,csinα＋dcosα)))，解決此類問題時(shí)，用分子分母同時(shí)除以cosα，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于tanα的式子，進(jìn)而求解．2.sinα，cosα的二次齊次式(如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α)，解決此類問題時(shí)，將原式看成分母是1的表達(dá)式，把1換成“sin2α＋cos2α”，然后用分子分母同時(shí)除以cos2α將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于tanα的式子，進(jìn)而求解．二．弦的和差積形式對(duì)于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個(gè)式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.誘導(dǎo)公式①求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了.②化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了.角的變換（角的拼湊）1.當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式；2.當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，再應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”．3.常見的互余關(guān)系有eq\f(π,3)－α與eq\f(π,6)＋α，eq\f(π,3)＋α與eq\f(π,6)－α，eq\f(π,4)＋α與eq\f(π,4)－α等，常見的互補(bǔ)關(guān)系有eq\f(π,6)－θ與eq\f(5π,6)＋θ，eq\f(π,3)＋θ與eq\f(2π,3)－θ，eq\f(π,4)＋θ與eq\f(3π,4)－θ等.常用拆角、拼角技巧：例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；eq\f(π,4)＋α＝eq\f(π,2)－(eq\f(π,4)－α)等．五．三角函數(shù)式化簡弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪．在三角函數(shù)式的化簡中“次降角升”和“次升角降”是基本的規(guī)律，根號(hào)中含有三角函數(shù)式時(shí)，一般需要升次．六．證明三角函數(shù)恒等式1.如果需證的三角函數(shù)恒等式中只含同角三角函數(shù)，則可以從變化函數(shù)入手，即盡量把等式中所含三角函數(shù)都化為正弦和余弦或全部化為某一函數(shù)，雖然能達(dá)到最終目標(biāo)，但這種方法不一定最簡單；2.如果需證的三角函數(shù)恒等式中含有不同角的三角函數(shù)，則宜從角的簡化入手，盡量化復(fù)角為單角，或者減少不同角，以便能使用某一公式進(jìn)行變形；3.在證明三角函數(shù)恒等式中，“1”出現(xiàn)的頻率較高，則可把“1”代換為sin2α＋cos2α或tan45°等．考法一同角三角函數(shù)公式的知一求二【例1-1】已知是第二象限角，，則（

）A．B．C．D．【例1-2】已知α是三角形的內(nèi)角，且tanα＝－eq\f(1,3)，則sinα＋cosα的值為________．【一隅三反】1．(多選)若sinα＝eq\f(4,5)，且α為銳角，則下列選項(xiàng)中正確的有()A．tanα＝eq\f(4,3)B．cosα＝eq\f(3,5)C．sinα＋cosα＝eq\f(8,5)D．sinα－cosα＝－eq\f(1,5)考法二弦切互換【例2-1】已知，則__________.【例2-2已知為銳角，滿足，則________．【一隅三反】1．已知，則（

）A．B．C．D．2．已知，則的值是__________．考法三弦的和積轉(zhuǎn)化【例3-1】已知，，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．B．C．D．【例3-2】已知，且，則的值為（

）A．B．C．D．【一隅三反】1．已知，則（

）A．B．C．D．2．已知，且，則用表示的值為___________.考法四誘導(dǎo)公式【例4-1】若，則（

）A．B．C．D．【例4-2】已知，則_______．【一隅三反】1．已知角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則等于（

）A．B．C．D．2．(多選)下列化簡正確的是()A．tan(π＋1)＝tan1B．eq\f(sin－α,tan360°－α)＝cosαC．eq\f(sinπ－α,cosπ＋α)＝tanαD．eq\f(cosπ－αtan－π－α,sin2π－α)＝1考法五和差倍角公式的運(yùn)用【例5-1】下列化簡不正確的是（

）A．B．C．D．【一隅三反】1．（多選）下列等式成立的是（

）A．B．C．D．2．（多選）下列命題中正確的是（

）A．的值等于B．若，則C．D．考法六角的拼湊【例6-1】已知，則的值為（

）A．B．C．D．【例6-2】已知，則（

）A．B．C．D．【例6-3】若，則（

）A．B．C．D．【一隅三反】1．已知，則（

）A．B．C．-D．2．已知，則（

）A．B．C．D．3．已知，則（

）A．B．C．D．考法七簡單三角恒等變換【例7-1】已知，則的近似值為（

）A．B．C．D．【例7-2】若兩個(gè)銳角，滿足，則______.【一隅三反】1．（

）A．B．C．D．62．若，則（

）A．0B．C．1D．3．若，則__________.第四章三角函數(shù)章節(jié)復(fù)習(xí)一、單選題1．已知角的終邊過點(diǎn)，且，則的值為（

）A．B．C．D．2．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞增B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．在區(qū)間上單調(diào)遞減3．已知，則（

）A．B．C．D．4．用一個(gè)圓心角為，面積為的扇形（為圓心）圍成一個(gè)圓錐（點(diǎn)恰好重合），該圓錐頂點(diǎn)為，底面圓的直徑為，則的值為（

）A．B．C．D．5．已知，則（

）A．B．C．D．6．已知為第二象限角，，則（

）A．B．C．D．二、多選題7．已知函數(shù)的最小正周期為，則（

）A．B．直線是圖象的一條對(duì)稱軸C．在上單調(diào)遞增D．將的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，可得到的圖象8．關(guān)于函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A．是奇函數(shù)B．的最小正周期為C．的最大值為D．在單調(diào)遞增9．已知，，，下列選項(xiàng)正確的有（

）A．B．C．D．三、填空題10．已知函數(shù)，把的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則．11．已知，都是銳角，，則=.12．已知均為銳角，，則的最小值為.四、解答題13．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，再將所得圖象上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象.當(dāng)時(shí)，方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍以及的值.14．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為.(1)求的解析式與單調(diào)遞減區(qū)間；(2)已知在時(shí)，求方程的所有根的和.三角函數(shù)隨堂檢測(cè)1．已知直線的傾斜角為，則（

）A．-3 B． C． D．2．已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A．B．C．3D．93．（

）A．B．C．D．4.若為銳角，且，則（

）