湖南省衡陽(yáng)市2024屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省衡陽(yáng)市2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一?選擇題1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，所?故選：A.2.下列函數(shù)的最小正周期為，且在上單調(diào)遞減的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意，A項(xiàng)，在中，，，最小正周期為，當(dāng)單調(diào)遞增時(shí)，，解得：，∴在上不單調(diào)遞減，A錯(cuò)誤；B項(xiàng)，在中，，最小正周期為，當(dāng)單調(diào)遞增時(shí)，，解得：∴在上不單調(diào)遞減，B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，在中，，周期,∴函數(shù)在，即上單調(diào)遞減，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，C正確；D項(xiàng)，在中，，故D錯(cuò)誤.故選：C.3.某旅游團(tuán)計(jì)劃去湖南旅游，該旅游團(tuán)從長(zhǎng)沙?衡陽(yáng)?郴州?株洲?益陽(yáng)這5個(gè)城市中選擇4個(gè)（選擇的4個(gè)城市按照到達(dá)的先后順序分別記為第一站?第二站?第三站?第四站），且第一站不去株洲，則該旅游團(tuán)四站的城市安排共有（）A.96種 B.84種 C.72種 D.60種【答案】A【解析】因?yàn)榈谝徽静蝗ブ曛?，所以第一站可以從長(zhǎng)沙?衡陽(yáng)?郴州?益陽(yáng)這4個(gè)城市中選擇1個(gè)，共有4種選擇，余下的三站可以從剩下的4個(gè)城市中選擇3個(gè)，所以該旅游團(tuán)四站的城市安排共有種.故選：A.4.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，是方程的兩個(gè)不同的復(fù)數(shù)根，則的值為（）A.1 B. C.2 D.或2【答案】D【解析】由，得.因?yàn)椋曰?，?dāng)或，；當(dāng)或，.故選：D.5.星等是衡量天體光度的量.為了衡量星星的明暗程度，古希臘天文學(xué)家喜帕佮斯在公元前二世紀(jì)首先提出了星等這個(gè)概念，例如：2等星的星等值為2.已知兩個(gè)天體的星等值和它們對(duì)應(yīng)的亮度滿足關(guān)系式，則（）A.3等星的亮度是0.5等星亮度的倍B.0.5等星的亮度是3等星亮度的倍C.3等星的亮度是0.5等星亮度的10倍D.0.5等星的亮度是3等星亮度的10倍【答案】D【解析】本題考查對(duì)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，考查應(yīng)用意識(shí)與邏輯推理的核心素養(yǎng).當(dāng)時(shí)，，則，則，所以0.5等星的亮度是3等星亮度的10倍，故D正確.故選：D.6.已知是拋物線上的兩點(diǎn)，為的焦點(diǎn)，，點(diǎn)到軸的距離為，則的最小值為（）A.9 B.10 C. D.【答案】A【解析】因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)在線段上時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為9，故選：A7.若函數(shù)與圖象的交點(diǎn)為，則曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為（）A.4 B.6 C. D.【答案】B【解析】由，得，設(shè)，則，所以為R上的增函數(shù)，因?yàn)?，所?又，則，所以曲線在點(diǎn)A處的切線方程為，令，得，令，得，則所求三角形的面積為.故選：B.8.在正三棱臺(tái)中，，二面角為，則該三棱臺(tái)的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在正三棱臺(tái)中，令的中點(diǎn)分別為，連接，則，于是二面角的平面角為，即，設(shè)上底面與下底面的中心分別為，連接，則，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則，則，則，所以該三棱臺(tái)的體積為.故選：B.二?多選題9.已知半徑為的圓的圓心在直線上，且圓與直線相切，則圓的圓心坐標(biāo)可能為（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】依題意可設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，則，解得或，所以圓的圓心坐標(biāo)為或.故選：AC.10.若三個(gè)不同的平面兩兩相交，且，則交線的位置關(guān)系可能是（）A.重合 B.相交于一點(diǎn) C.兩兩平行 D.恰有兩條交線平行【答案】ABC【解析】如圖，作出一個(gè)長(zhǎng)方體.對(duì)于A項(xiàng)，可把平面依次取為平面，它們兩兩相交于共同的交線,故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，可把平面依次取為平面，此時(shí)，,,,而易得三條交線交于同一點(diǎn)D，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，可把平面依次取為平面,此時(shí)，,,,而易得三條交線兩兩平行，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，可把平面依次取為平面,此時(shí)，,,,若只有因平面，而平面，則平面,又平面,而平面平面=，則有,即交線的位置關(guān)系不可能是恰有兩條交線平行，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.11.已知平行四邊形的面積為，且，則（）A.的最小值為2B.當(dāng)在上的投影向量為時(shí)，C.的最小值為D.當(dāng)在上的投影向量為時(shí)，【答案】ACD【解析】因?yàn)椋?設(shè)，則，解得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，A正確.因?yàn)?，所以，所?,,，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為,C正確.如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則在上的投影向量為，當(dāng)在上的投影向量為時(shí)，.因?yàn)?，所以，得，則,故B錯(cuò)誤，D正確.故選：ACD.12.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，函數(shù)），則必有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對(duì)A、B、D：由條件可知，因?yàn)?，所以，且，可得，所以，所以A、B、D均正確.對(duì)C：取，則，此時(shí)滿足是定義在上的奇函數(shù)，，所以未必成立，故C錯(cuò)誤.故選：ABD.三?填空題13.若，則__________.【答案】【解析】因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，?故答案為：.14.已知橢圓的周長(zhǎng)，其中分別為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng).現(xiàn)有如圖所示的橢圓形鏡子，其外輪廓是橢圓，且該橢圓的離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，則這面鏡子的外輪廓的周長(zhǎng)約為_(kāi)_________cm.（取3.14，結(jié)果精確到整數(shù)）【答案】211【解析】因?yàn)椋?因?yàn)殚L(zhǎng)軸長(zhǎng)為，所以，故.故答案為：211.15.某中學(xué)高一?高二?高三學(xué)生人數(shù)比例為，假設(shè)該中學(xué)高一?高二?高三的學(xué)生閱讀完《紅樓夢(mèng)》的概率分別為，若從該中學(xué)三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)選取1名學(xué)生，則這名學(xué)生閱讀完《紅樓夢(mèng)》的概率不大于0.233，已知該中學(xué)高三的學(xué)生閱讀完《紅樓夢(mèng)》的概率不低于高一的學(xué)生閱讀完《紅樓夢(mèng)》的概率，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】若從該中學(xué)三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)選取1名學(xué)生，則這名學(xué)生閱讀完《紅樓夢(mèng)》的概率為，解得.因?yàn)樵撝袑W(xué)高三的學(xué)生閱讀完《紅樓夢(mèng)》的概率不低于高一的學(xué)生閱讀完《紅樓夢(mèng)》的概率，所以.故的取值范圍是.故答案為：.16.若為正整數(shù)，記集合中的整數(shù)元素個(gè)數(shù)為，則數(shù)列的前62項(xiàng)和為_(kāi)_________.【答案】3841【解析】因?yàn)椋?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，又，所以，則；故數(shù)列的前62項(xiàng)和為.四?解答題17.已知某超市銷(xiāo)售的袋裝食用鹽的質(zhì)量（單位：）服從正態(tài)分布，且0.15.某次該超市稱量了120袋食用鹽，其總質(zhì)量為的值恰好等于這120袋食用鹽每袋的平均質(zhì)量（單位：）.（1）若從該超市銷(xiāo)售的袋裝食用鹽中隨機(jī)選取2袋，設(shè)這2袋中質(zhì)量不小于的袋數(shù)為，求的分布列；（2）若從該超市銷(xiāo)售的袋裝食用鹽中隨機(jī)選?。檎麛?shù)）袋，記質(zhì)量在的袋數(shù)為，求滿足的的最大值.解：（1）依題意可得，則，的可能取值為，，，所以的分布列為0120.250.50.25（2）因?yàn)?，所?依題意可得，所以.因?yàn)椋?，又為正整?shù)，所以的最大值為199.18.在平面四邊形中，平分.（1）證明：與相等或互補(bǔ).（2）若，求內(nèi)切圓的半徑.（1）證明：在中，，在中，.因?yàn)槠椒郑?又，所以，為三角形的內(nèi)角，所以與相等或互補(bǔ).（2）解：假設(shè)與相等，又平分，則，，，故與全等，則，這與已知矛盾.所以假設(shè)錯(cuò)誤，與不相等，故與互補(bǔ).在中，，在中，，所以.又，所以，則.所以的面積，設(shè)內(nèi)切圓的半徑的，則，故.19.在數(shù)列中，且.（1）證明：是等差數(shù)列；（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，證明：.證明：（1）因?yàn)?，所以，所以，所以是公差?的等差數(shù)列.（2）因?yàn)椋?，由?）知，則.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，則，所以，則，所以.20.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，直線與平面交于點(diǎn).（1）求的長(zhǎng)；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以.設(shè)，則.設(shè)平面的法向量為，則令，得.依題意可得，解得.所以.（2）因?yàn)椋?，所?設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.21.在平面直角坐標(biāo)系中，，動(dòng)點(diǎn)滿足，點(diǎn)的軌跡記為曲線.（1）求的方程.（2）已知，過(guò)點(diǎn)直線（斜率存在且斜率不為0）與交于兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，若為圓上的動(dòng)點(diǎn)，試問(wèn)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）因?yàn)?，所以根?jù)雙曲線的定義可知點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線的左支.由，得，所以的方程為.（2）由題意可設(shè)的方程為，設(shè)，聯(lián)立，得，滿足，則.直線，直線，聯(lián)立與，得，解得，故點(diǎn)在定直線上.因?yàn)閳A的圓心到直線的距離為，所以的最小值為.22.已知函數(shù).（1）證明：當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立.（2）若存在，使得，比較與大小，并說(shuō)明理由.（1）證明：設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，所以為增函數(shù)，所以，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，所以，所以在上