上海市浦東新區(qū)2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)期中試卷（含答案）

數(shù)學(xué)（九）

一、單選題（4'X6=249

1.若ac=bd（ac#））,則下列比例式中不成立的是（）

ab-baab—be

A.一二一B.———C.-=-D.—=-

dccacaaa

2.如圖，在△ZBC中，點。、后分別在邊45、/C上，下列條件中不能判定△4DE與△/呂。

相似的是（）

AD_AEAE_AD

DB~EC

DB_ABADDE

D.-----=-----

~EC~^4CABBC

3.如圖，在AABC中，點D,E分別在邊AB,AC上，DE||BC,若4ADE與四邊形DBCE

的面積相等，則"等于（）

R6

A.1D.-------cD.

2-i4

4.某人沿著有一定坡度的坡面前進了10米，此時他與水平地面的垂直距離為2斯米，則

這個坡面的坡度為（）

A.1：2B.1：3C.1：V5D.V5：1

5.已知線段。，b,c,求作線段x,使尤=5,則下列作圖中（/8〃CA）作法正確的

是（）

試卷第1頁，共6頁

6.如圖，在△/8C中，AB=BC,乙48C=90。，即/是NC邊中線，點、D,￡分別在邊/C

和3c上，DB=DE,EFL4c于點、F,以下結(jié)論：①4BMD三公DFE；②ANBEFDBC；

二、填空題（4'x12=489

7.如果a：b—2：3,且a+6=10,那么a=.

8.計算：2（汗-26）+3（3+5）=.

9.若m與單位向量工方向相反，且長度為3,則々=（用單位向量工表示向量值）

10.在比例尺為1:8000000地圖上測得甲、乙兩地間的圖上距離為4厘米，那么甲、乙兩地

間的實際距離為千米

11.已知點尸是線段上的一點，^.BP2=AP-AB，如果N8=10c"?,那么BP=cm

RF3

12.如圖，在口45CQ中，E是45延長線的一點，與邊相交于點尸，如果卞=三,

AE7

那么BF蕓的值為.

13.如圖，在△NBC中，48=10,AC=6,。為5c上的一點，四邊形甲為菱形，則

菱形的邊長為.

試卷第2頁，共6頁

A

14.如圖，在平行四邊形48co中，E為CD上一點,連接/￡、BD,且/￡、8。交于點

F,若DE:EC=2:3,貝!JS，DEF：S“BF=.

15.如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球/處看一棟樓頂部3的仰角為，，看這棟樓底

部C的俯角為"，熱氣球N處與樓的水平距離為加米，那么這棟樓2C的高度為

米.（用含辦△加的式子表示）

16.如圖，△4BC的頂點都在正方形網(wǎng)格的格點上，則tan/=

17.如圖，若點G是aABC的重心，GDIIBC,則二三=.

18.如圖，已知正方形紙片4BC。，E為C2延長線上一點，F(xiàn)為邊CD上一點,將紙片沿

￡尸翻折，點C恰好落在/。邊上的點H,連接8。，CH,CG.CH交BD于■點、N,EF.

試卷第3頁，共6頁

CG、8。恰好交于一點若DH=2,BG=3,則線段MN的長度為

三、解答題(19-22每題KT23-24每題12,第25題14，=78，)

19.計算：2sin60°+|3-0|+(H-5)。-(；)」

20.如圖，在梯形中，AD//BC,BC=2AD,對角線NC、AD相交于點O,設(shè)

AD=a，AB=b-

(1)試用a,?的式子表示向量NO;

(2)在圖中作出向量加在￡、B方向上的分向量，并寫出結(jié)論.

21.如圖：ADWEGWBC,EG交DB于點、F,已知/。=6,BC=8,AE=6,EF=2.

(1)求助的長；

(2)求尸G的長.

22.木蘭燈塔是亞洲最高、世界第二高的航標燈塔，位于海南島的最北端，是海南島東北部

最重要的航標.某天，一艘漁船自西向東(沿NC方向)以每小時10海里的速度在瓊州海

峽航行，如圖所示.

試卷第4頁，共6頁

航行記錄記錄一：上午8時，漁船到達木蘭燈塔尸北偏西60。方向上的/處.

記錄二：上午8時30分，漁船到達木蘭燈塔尸北偏西45。方向上的3處.

記錄三：根據(jù)氣象觀測，當天凌晨4時到上午9時，受天文大潮和天氣影響，瓊州海峽C

點周圍5海里內(nèi)，會出現(xiàn)異常海況，點C位于木蘭燈塔P北偏東15。方向.

請你根據(jù)以上信息解決下列問題：

⑴填空：ZPAB=°,NAPC=。，AB=海里；

(2)若該漁船不改變航線與速度，是否會進入“海況異?！眳^(qū)，請計算說明.

（參考數(shù)據(jù):V2?1.41,73?1.73,76?2.45）

23.如圖，在44BC中，點。,E,尸,G分別在8c上，AB=3AD,CE=2AE,

BF=FG=CG,DG與EF交于點H.

(1)求證：FH?AC=HG?AB；

(2)連接。REG,求證：ZA=ZFDG+ZGEF.

24.如圖，平行四邊形/BCD在平面直角坐標系中，AD=6,若CM、08的長是關(guān)于x的

一元二次方程/-7x+12=0的兩個根，且

試卷第5頁，共6頁

(1)求sinN48c的值.

(2)若E為x軸上的點，且以衣=9,求點￡的坐標，并判斷與A。/。是否相似？

(3)平面內(nèi)是否存在點“，使得以點/、B、C、〃為頂點的四邊形是平行四邊形？如果有請

直接寫出點M的坐標.

25.如圖，已知矩形0/3C,以點。為坐標原點建立平面直角坐標系，其中/(2,0),C(0,3),

點尸以每秒1個單位的速度從點C出發(fā)在射線C。上運動，連接3尸，作交x軸于

點E,連接尸E交48于點凡設(shè)運動時間為/秒.

(1)若4B平分/EBP,求才的值；

(2)當/=1時，求點E的坐標；

(3)在運動的過程中，是否存在以P、O、E為頂點的二角形與相似.若存在，請求出

點P的坐標；若不存在，請說明理由.

試卷第6頁，共6頁

1.c

【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)，兩內(nèi)項之積等于兩外項之積對各選項分析判斷后利用排除法求

解.

【詳解】解：A、由二=2得，ac=bd,故本選項錯誤；

ha

由±=E得，ac=bd,故本選項錯誤;

由@=3得，ad=bc,故本選項正確;

cd

bc

由e=三得，ac=bd,故本選項錯誤.

故選C.

【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，主要利用了兩內(nèi)項之積等于兩外項之積的性質(zhì)，熟記性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

2.D

【分析】本題考查相似三角形的判定、平行線分線段成比例定理，找準相似三角形的對應(yīng)邊

是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)平行線分線段成比例定理和相似三角形的判定定理作答即可.

【詳解】解：N4是兩個三角形的公共角，

Ar)

A、——=——，得DE〃BC，得

DBEC

AJ7AD

B、——二——，得出△ADEs-CB；

4B4C

C、二，得D￡〃BC,得AADE；

ECAC

D、空=空，無法判斷△4?！昱c445。相似，

ABBC

故選D

【分析】由DEIIBC可判斷4ADE?aABC,由S^ADE=S四邊形DBCE可知,SAADE：SAABC=1*2,

即可求得答案.

【詳解】vDEIIBC,

.-.△ADE-AABC,

?'?SAADEJSAABC=1：2,

答案第1頁，共16頁

.DE_AD_1_V2

"5C-7B-V2—"F'

故選：B.

【點睛】此題考查相似三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握相似三角形的相似比等于面積比的

平方..

4.A

【分析】根據(jù)坡面距離和垂直距離，利用勾股定理求出水平距離，然后求出坡度.

【詳解】水平距離=J10?-（2遙）2=4下，

則坡度為：275：475=1：2.

故選A.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是掌握坡度的概念：坡度是坡面

的鉛直高度h和水平寬度1的比.

5.D

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理判斷即可.

ah

【詳解】選項A中，由可得：一二—,即有辦=從，不合題意；

cx

nc

選項B中，由可得：—,即有"=6c,不合題意；

bx

ah

選項C中，由可得：一=一，即有=不合題意；

xc

選項D中，

???AB//CD,

a_x

cb'

???ab=cx,

故選項D符合題意.

故選：D.

【點睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈

活運用所學(xué)知識解決問題.

6.C

【分析】根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)即可.

【詳解】解：???/B=8C,^ABC=90°,是4C邊中線，

:.ZMBC=NC=45°,BM=AM=MC

答案第2頁，共16頁

?：DB=DE,

??.ZDBE=ZDEB

BPNDBM+45。=NCDE+45。.

；"BM=NCDE.

???EFL4C,

；.〃DFE=ZBMD=9O。

在/即〃)和在中

"/DFE=NBMD

<ZDBM=ZCDE

DB=DE

：.ABMD=ADFE.

故①正確.

由①可得4)BE=4)EB,ZMBC=NC

；?ANBE?ADCB,

故②錯，對應(yīng)字母沒有寫在對應(yīng)的位置上.

-ABMD=ADFE,

：,BM=DF,

-BM=AM=MC,

：,AC=2BM,

???AC=2DF.

故③正確

FFFC

易證/AABC,ffx以——=——,

￡>CAB

；?EF?AB=CF?BC

故④正確

故選C.

【點睛】本題主要考查的是全等三角形、相似三角形性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的性質(zhì),

掌握基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵.

7.4.

【分析】根據(jù)已知條件設(shè)Q=2左，b=3k,再根據(jù)q+b=10求出左的值，從而得出。的值.

答案第3頁，共16頁

【詳解】解：設(shè)。=2左，b=3k,

????+/?=10,

??.2左+3左=10,

解得：k=2,

二。=2左=2x2=4；

故答案為：4.

【點睛】本題主要考查了比例的性質(zhì)，掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.5a-b

【分析】根據(jù)平面向量的運算法則解答即可.

【詳解】解：2(5-2^)+3(3+6)=23-4b+31+3%)=5a-b-

故答案為：5a-b.

【點睛】本題考查了平面向量的運算，掌握平面向量的運算法則是解題的關(guān)鍵.

9.-3e

【分析】根據(jù)&與單位向量工的關(guān)系，即可求解.

【詳解】:方與單位向量工方向相反，且長度為3,

a=-3e-

故答案是：-3e.

【點睛】本題主要考查用單位向量表示其他向量，掌握平面向量的運算法則，是解題的關(guān)鍵.

10.320

圖上距離

【分析】根據(jù)比例尺=代入數(shù)據(jù)計算即可.

實際距離

【詳解】解：設(shè)甲、乙兩地的實際距離為xcm,

圖上距離

比例尺=

實際距離

.??1：8000000=4：x,

.t?x=32000000,

.??甲、乙兩地的實際距離為是320km.

圖上距離

【點睛】本題考查了比例線段，熟練掌握比例尺=是解題的關(guān)鍵.

實際距離

11.575-5

答案第4頁，共16頁

【分析】根據(jù)黃金分割點的定義，可得BP=4i二IAB,代入數(shù)據(jù)即可得出BP的長度.

2

【詳解】解：,?,點P在線段AB上，BP2=AP?AB,

.??點P為線段AB的黃金分割點，

又AB=10cm,

.,.BP=10x—~-=(5^5-5)cm.

2

故答案為575-5.

【點睛】此題考查了黃金分割，理解黃金分割點的概念，熟記黃金比的值是解決問題的關(guān)

鍵.

12.3

4

RFRF

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得又ABIICD,因此反￡尸?AC。尸，所以"=再根

據(jù)已知寫==,且AE=CD+BE,代入可求得答案.

AE7

【詳解】解：???四邊形ABCD為平行四邊形，

??.AB=CD,ABHCD,

BE3

，~AE~7,

?BE_3

,.CD+BE—〒

.BE_3

??=一，

CD4

又?.?AB||CD,

??.NBEF?NCDF,

.BFBE_3

'~CF~'CD~49

故答案為一3.

4

【點睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)及判定與平行四邊形的性質(zhì)，掌握是相似三角形的

對應(yīng)邊成比例解題的關(guān)鍵.

_15

13.—

4

【分析】由DFIIAB,推出4CFD?aCAB,于是得到DF筆=C三F，設(shè)菱形的邊長為x,列出

ABAC

方程，求解即可.

答案第5頁，共16頁

【詳解】解：???四邊形AEDF為菱形,

/.DFIIAB,

.-.△CFD^ACAB,

DFCF

??布一就

設(shè)菱形的邊長為X,

x6-x

解得X=：

4

故答案為％=了.

【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，能根據(jù)比例線段正確列出

方程是解題的關(guān)鍵.

14.—

25

【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，可得ABIICD,AB=CD,即可證得

△DEFsABAF,然后由相似三角形面積比等于相似比的平方，即可求得答案.

【詳解】解：???四邊形ABCD是平行四邊形，

???ABIICD,AB=CD,

?■?△DEF-ABAF,

2

V

.°ADEFDE

~AB

U^ABF

vDE：EC=2：3,

.-.DE：CD=DE：AB=2：5,

???5△DEF：S&ABF=4：25,即.

4

故答案為：—.

【點睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì).此題難度不大，注意

掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

15.〃z(tana+tan尸)

【分析】本題考查了解直角三角形的仰角俯角問題，首先過點工作上2C于點。，根據(jù)

題意得=NDAC=0,加米，然后利用三角函數(shù)求解即可求得答案.

答案第6頁，共16頁

【詳解】解：首先過點/作4。15。于點。，如下圖所示,

則NA4Z)=a,/DAC=。,40=加米，

在Rt4ABD中，BD=NZMana=m*tana米，

在RtA^CZ)中，DC=40?tan/?=wtan/5米，

：.BC=BD+DC=m-tana+m-tan^?=m(tanct+tan，)米.

故答案為：m(tan(z+tan/?)

16.1

【分析】本題考查勾股定理及其逆定理，銳角三角函數(shù)的定義，

先判斷△/5C是直角三角形，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求解即可.

【詳解】解：-??^C=712+22=V5-BC=712+22=A/5-

■.AC=BC,

AC2+BC2^5+5=10,次=9+1=10,

■■AC2+BC2=AB2,

：.ZACB=9Q°,

BC,

???tanAA=—=1,

故答案為1.

17-.

-3'

【分析】延長AG交BC于E,根據(jù)重心的概念和性質(zhì)得到BE=EC,—=-,根據(jù)平行

AE3

線分線段成比例定理得到比例式，計算即可.

【詳解】解：延長AG交BC于E,

答案第7頁，共16頁

???點G是4ABC的重心,

AG2

???

BE=EC,~AE~3

vGDHBC,

,GDAG2

又

'~EC~^Ey,BE=EC,

GD_1

5C-3

【點睛】本題考查的是三角形的重心的概念和性質(zhì)，三角形的重心是三角形三條中線的交點,

且重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍.

18.

【解析】略

19.0

【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值以及利用絕對值的性質(zhì)和零指數(shù)新的性質(zhì)以及負指數(shù)

寨的性質(zhì)分別化簡得出答案.

【詳解】原式=2x^l^+3->/3+1-4=^3+3-6+1-4=0.

2

【點睛】此題主要考查了實數(shù)運算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵.

-?1-2-

20.{\}AO=-b+-a

_1-1T

⑵圖形見解析，向量加在2、B方向上的分向量分別為-b

【分析】本題考查了平行線分線段成比例、平面向量定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握平面向量

定理.

（1）根據(jù)平行線分線段成比例可得。4=；/C,結(jié)合平面向量定理即可表示；

（2）根據(jù)平面向量定理畫圖即可.

【詳解】（1）解：?.?/O〃8C,BC=2AD,

.AO_AP

"~OC~^C~2,

即CM=LC,

AC33

?l-AD=a，AB=b，BC,詼方向相同，

/.BC=2。，

?/AC=AB+BC=b+2a，

答案第8頁，共16頁

—?1一2-

二.AO——b4—a；

33

1-1T

(2)如圖所示：即為向量而在￡、3方向上的分向量分別為-]〃，~b.

21.(1)3；(2)—

3

【分析】(1)由EGIIAD可得出4BAD?Z\BEF,利用相似三角形的性質(zhì)可求出EB的長；

(2)由EGIIIIBC可得出4AEG?ZkABC,利用相似三角形的性質(zhì)可求出EG的長，再結(jié)合

FG=EG-EF可求出FG的長.

【詳解】解：⑴vEGHAD,

.-.△BAD^ABEF,

BE_EFBE2

即

BE+6~~6

???EB=3.

(2)vEGIHIBC,

.?.△AEG'-AABC,

EGAEEG6

???——=——，即nn——=----，

BCAB86+3

16

，EG=—,

3

10

???FG=EG-EF=—.

3

【點睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是

解題的關(guān)鍵.

22.(1)30；75；5

(2)該漁船不改變航線與速度，會進入“海況異?！眳^(qū)

【分析】本題主要考查了方位角的計算，解直角三角形的實際應(yīng)用，三角形內(nèi)角和定理：

(1)根據(jù)方位角的描述和三角形內(nèi)角和定理可求出兩個角的度數(shù)，根據(jù)路程等于速度乘以

時間可以計算出對應(yīng)線段的長度；

(2)設(shè)PO=x海里，先解RtAPDB得到3Q=x,再解RtA/PD得到/。=包-=瓜海里,

tan4

答案第9頁，共16頁

"p=焉=2苫海里'據(jù)此可得x+5=Gx，解得/P=2x=[G+5）海里；證明/C=//PC,

則AC=AP=卜石+5）海里；再求出上午9時時船與C點的距離即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）解：如圖所示，過點尸作PD_L/C于。，

由題意得，ZAPD=60°,ZBPD=45°,ZCPD=\5°,

ZPAB=90°一ZAPD=30°,ZAPC=ZAPD+ZCPD=75°；

???一艘漁船自西向東（沿NC方向）以每小時10海里的速度在瓊州海峽航行，上午8時從/

出發(fā)到上午8時30分到達8,

.?./2=10x0.5=5海里.

（2）解：設(shè)PO=x海里，

在RUPDB中，BD=PD-tanNDPB=x海里，

在RtA/尸。中，4D=PD海里,==海里,

tanAsinA

???AD=AB+BD,

x+5=-y/Sx9

55月+5

解得x=

V3-1-2

AP=2x=卜0+5）海里，

???NC=180°-//-//PC=75°,

.-.ZC=ZAPC,

.../°=//>=（56+5）海里；

上午9時時，船距離/的距離為10x1=10海里,

?■-5V3+5-10=573-5~5xl.73-5=3.65<5,

答案第1。頁，共16頁

???該漁船不改變航線與速度，會進入“海況異?！眳^(qū).

23.(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)已知條件先證明DGIIAC,EFHAB,可得NHGF=4C,ZHFG=ZB,即可證

明△HFGMABC,從而可得結(jié)論；

(2)連接DF,EG,DE,證明四邊形DFGE和ADHE是平行四邊形,即可證得結(jié)論.

【詳解】vAB=3AD,BF=FG=CG,

.?.BD=2AD,BG=2CG,

BDBGc

------------2

ADCG

.-.DGIIAC,

同理可得，EFHAB,

.*.ZHFG=ZABC,ZHGF=ZACB,

.?.△HFG-'AABC,

--------,即FH?AC-HG?AB；

ABAC

(2)連接O尸接G,DE,如圖所示，

vEFIIAB,

GHGF

vGF=FB

GHGF

----==1，

HDFB

??.GH=HD,

同理可證，F(xiàn)H=EH,

.??四邊形DFGE是平行四邊形,

.-.DFHEG,

答案第11頁，共16頁

.*.ZFDG=ZEGD,

.-.ZFHG=ZEGH+ZHEG,

vzDHE=zFHG,

.*.ZDHE=ZEGH+ZHEG=ZFDG+ZGEF,

由EFIIAB,DGIIAC,得四邊形ADHE是平行四邊形，

.,.zA=Z.DHE,

：./A=/FDG+/GEF

【點睛】此題主要考查了平行線分線段成比例的判定與性質(zhì)，以及平行四邊形的判定與性質(zhì)，

熟練掌握相減的判定與性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵.

4

24.(l)y

⑵點E的坐標為或AAOESADAO,理由見解析

(3)存在，點”的坐標為(6,4)或(-6,4)或(0,-4)

【分析】(1)解一元二次方程求出04、02的長度，再根據(jù)正弦定義求解即可；

(2)根據(jù)He抑?！?*'0￡=中求出OE和長，即可求解；

(3)分三種情況：①48、8c為鄰邊，AC、為對角線時，即口4BCN,②NC、BC

為鄰邊，AB、CM為對角線時，即受AC,CW為鄰邊，AM、2c為對角線時,

即aACMB,然后根據(jù)平移的坐標變換規(guī)律求解即可.

【詳解】(1)解：一7x+12=0,

(x-3)(x-4)=0,

x-3,%=4,

v0A>OB,

OA=4,OB=3,

*',AB=VOA2+OB2=5，

?0A4

sin/ABC==—.

AB5

(2)解：==；x4x0E二與，

:.OE=-,

3

當點E在x正半軸上時，

答案第12頁，共16頁

:.E\?T

當點E在x負半軸上時,

:.E|，。，

加或一

???點E的坐標為

此時△ZOEs4。/。；

理由如下:

8

VOF_i_2,CU42

OA~4~3AD63

OEOA

OAAD

又?「ZAOE=ZDAO=90°,

.,.△AOESADAO；

（3）解：①AB、8c為鄰邊，AC,3M為對角線時，即口48CN,

此時點M與點。重合,

.?川（6,4）；

②/C、3c為鄰邊，AB、CM為對角線時，即

則W=8。=/。=6,AM//BC

???將點A向左平移6個單位得到點M,

.??"6,4),

③NC、C以為鄰邊，AM.8c為對角線時，即裁CW,

則43〃CM,AB=CM,

?：OC=BC—OB=6—3=3,

??.C(3,0),

OA=4,OB=3

.?.4(0,4),5(-3,0),

??.48向右平移3個單位，向下平移4個單位，與CW重合,

.??^(0,-4)；

綜上，存在，點M的坐標為（6,4）或（-6,4）或（0,-4）.