數(shù)列的概念（6題型分類）-2025年高考數(shù)學專項復習（原卷版）

專題26數(shù)列的概念6題型分類

彩題如工總

彩先渡寶庫

i.數(shù)列的有關(guān)概念

概念含義

數(shù)列按照確定的順序排列的一列數(shù)

數(shù)列的項數(shù)列中的每一個數(shù)

如果數(shù)列｛斯｝的第n項斯與它的序號〃之間的對應(yīng)關(guān)系可以用

通項公式

一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式

如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)系可以用一個式子來

遞推公式

表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式

數(shù)列｛斯｝的把數(shù)列｛斯｝從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數(shù)列｛斯｝

前W項和的前〃項和，記作Sn,即*=〃1+。2~1-----H斯

2.數(shù)列的分類

分類標準類型滿足條件

有窮數(shù)列項數(shù)有限

項數(shù)

無窮數(shù)列項數(shù)無限

遞增數(shù)列

項與項間的遞減數(shù)列其中

大小關(guān)系常數(shù)列斯+1-。鹿

擺動數(shù)列從第二項起，有些項大于它的前一項，

有些項小于它的前一項的數(shù)列

3.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系

數(shù)列｛斯｝是從正整數(shù)集N*（或它的有限子集｛1,2,…，〃｝）到實數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號”,對應(yīng)的函

數(shù)值是數(shù)列的第〃項斯,記為斯=角?）.

（Si,n—1,

4.已知數(shù)列｛詼｝的前”項和貝?。菟?｝。

（Sn~Sn-l>n^2.

1，.一1,

5.在數(shù)列｛斯｝中，右斯取大，貝珞（〃22,“GN）；右呢取小，則j（心2,"GN）.

彩他題海籍

（一）

S〃與斯的關(guān)系問題的求解思路

（1）利用斯=5〃-3〃-1522）轉(zhuǎn)化為只含%,S.—1的關(guān)系式，再求解.

（2）利用1=斯（〃22）轉(zhuǎn)化為只含外，斯-1的關(guān)系式，再求解.

題型1：由“與Sn的關(guān)系求通項公式

1-1.（2024?浙江）設(shè)數(shù)歹［|｛?！ǎ那啊椇蜑镾兒若$2=4,an+i=2Sn+l,龍N*,貝U〃/=,Ss=.

1-2.（2024?北京）若數(shù)列｛%｝的前〃項和5“="2-10〃（〃=1,2,3,）,則此數(shù)列的通項公式為；數(shù)

列｛也“｝中數(shù)值最小的項是第項.

1-3.（2024高三?全國?專題練習）已知數(shù)列｛q｝的前w項和為S“，若4=1,%=3,且

S?+1+S32"+2S”（n>2,?eN*）,則數(shù)列｛a?｝的通項公式為—.

1-4.（2024?黑龍江哈爾濱?一模）數(shù)列｛4｝滿足4=1,a“（2S“-l）=2S；（“22,〃eN*）,則%=.

彩得甄祕籍

由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式

⑴形如念+i—念=/5）的數(shù)列，利用累加法.

⑵形如血"■=/（〃）的數(shù)列，利用4〃=0?歿?&?????旦-（〃22）即可求數(shù)列｛斯｝的通項公式.

斯。2〃八-1

題型2:累加法

2-1.（2024?安徽安慶?一模）數(shù)列｛%｝滿足?！?七一廣花1石（”22,且〃eN*）,4=2,對于任意〃eN*有

2>4,恒成立，則九的取值范圍是.

2-2.（2024高三?全國?專題練習）已知數(shù)列｛%｝滿足4=18,an+1-an=3n,則?的最小值為

題型3:累乘法

3-1.（2024高三?全國?專題練習）若芻=1,紇+i=2〃紇，則通項公式4,=.

、幾—1

3-2.（2024高三?全國?專題練習）在數(shù)列｛"）｝中，％=1,。〃=---氏一1（〃22）,則數(shù)列｛“）｝的通項公式?！?.

n

33（2024高三上?遼寧葫蘆島?期末）在數(shù)列｛%｝中，卬=4,加?=5+2）4,則數(shù)列｛%｝的通項公式為

an=_____

彩僻題秘籍（二）

數(shù)列的性質(zhì)

（1）解決數(shù)列的單調(diào)性問題的方法

用作差比較法，根據(jù)。"+1—斯的符號判斷數(shù)列｛斯｝是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列.

（2）解決數(shù)列周期性問題的方法

先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值.

題型4:數(shù)列的單調(diào)性

4-1.（2024?北京?二模）設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，且V〃eN*,an+l>an,S“N羽.請寫出一個滿足條件的

數(shù)列｛q｝的通項公式%=.

4-2.（2024高一下,上海閔行,期末）已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，S,=f2+2〃+%（〃eN*）,若｛%｝為遞

減數(shù)列，則實數(shù)力的取值范圍是.

4-3.（2024高二下?北京順義?階段練習）已知數(shù)列｛%｝的通項公式為可（〃wN*）.寫出一個能使數(shù)

列｛?！埃沁f增數(shù)列的實數(shù)b的值_________.（寫出一個滿足條件的即可）

44（2024高二上?河北衡水?期中）數(shù)列｛%｝滿足：a?=n2+An,〃eN*.若｛叫是遞增數(shù)列，則實數(shù)力的取

值范圍是.

題型5:數(shù)列的周期性

5-1.（2024高三?全國?專題練習）在數(shù)列｛q｝中，q=7,%=24,對所有的正整數(shù)〃都有“用=%+%+2，則

a2024=（）

A.-7B.24C.-13D.25

5-2.（2024?北京通州三模）數(shù)列｛%｝中，％=2,a2=4,an_xan+x=an（ji>2）,則%023=（）

11

A.-B.-C.2D.4

42

5-3.（2024高三?全國?對口高考）設(shè)函數(shù)/定義如下，數(shù)列｛%｝滿足毛=5,且對任意自然數(shù)均有當包=/（七），

則々005的值為（）

12345

41352

A.1B.2C.4D.5

5-4.（2024高三?全國?專題練習）在數(shù)歹!]｛%｝中，已知%>0,q=1,an+2=,J-a100=?96,貝1]4022+%=

〃〃十工

（）

ALD1+造「新D-1+石

A?D.---------------?U.------------------

2222

題型6:數(shù)列的最值

6-1.（2024高三?全國?專題練習）已知數(shù)列｛加｝的通項公式為的=+?,則數(shù)列中的最大項為.

6-2.（2024高二?全國?課后作業(yè)）已知數(shù)列｛叫的通項公式為45-J/+2,則。”的最小值為.

6-3.（2024高二?全國?課后作業(yè)）已知a,=/-優(yōu)+2022（〃cN+JeR）,若數(shù)列｛4｝中最小項為第3項，則

tG.

2〃一1n<4

6-4.（2024?河北?高考模擬）數(shù)列｛為｝的通項公式為%=_“2+'（411泣〃>5若為是｛%｝中的最大項，貝I。

的取值范圍是.

6-5.（2024高三?全國?專題練習）記S“為數(shù)列｛%｝的前〃項和，若見=2"、則（"一3"）-log?⑸,+1）的最小

值為.

6-6.（2024?湖南邵陽,模擬預測）數(shù)列｛2，-1｝和數(shù)列｛3"-2｝的公共項從小到大構(gòu)成一個新數(shù)列｛%｝,數(shù)列

也｝滿足：b“嗯,則數(shù)列間的最大項等于.

煉習與桎升

一、單選題

1.（2024高三上?江西贛州?階段練習）斐波那契數(shù)列｛%｝可以用如下方法定義：an+2=an+l+an，且%=%=1,

若此數(shù)列各項除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個新數(shù)列也｝,則數(shù)列也,｝的第100項為（）

A.0B.1C.2D.3

2.（2024高三?全國?對口高考）已知數(shù)列｛%｝中，-~^-（"22）,則4o]4=（）

,an

A.1B.-1C.2D.1

3.（2024?安徽合肥?模擬預測）在數(shù)列｛%｝中，已知4=2,%=3,當〃22時，。用是％⑶”—的個位數(shù)，則的）23=

（）

A.4B.3C.2D.1

4.（2024?浙江寧波?一模）設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項和為九則"對任意〃eN*,%>。"是"數(shù)列⑸｝為遞增數(shù)列"

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不是充分也不是必要條件

5.（2024?浙江?二模）已知數(shù)列｛。"｝滿足q=。>0，%+1=-。；+必（〃eN*）,若存在實數(shù)乙使｛q｝單調(diào)遞增，

則。的取值范圍是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

6.（2024.全國.模擬預測）已知數(shù)列｛叫滿足爭|1■++墨=小田）也=W，-l）"+4"，若數(shù)列也｝

為單調(diào)遞增數(shù)列，則2的取值范圍是（）

A."B.1,+fC.]|,+-D.1

—,+co

2

7.（2024高一上,北京?期末）數(shù)列｛0｝的通項公式為%=幼2+〃+1,則”>一；〃是“｛g｝為遞增數(shù)列，，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.既不充分也不必要條件D.充要條件

8.（2024高三上?廣東深圳?階段練習）已知數(shù)列｛%｝的通項公式為。"="2-3力Z,則"X<1"是"數(shù)列｛q｝為

遞增數(shù)列"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

9.（2024高三上,江蘇南通?期末）已知數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，且4=J，則實數(shù)，的取值范

t,n>6

圍是（）

A.（2,3）B.[2,3）C.1與,3）D.（1,3）

10.（2024高二上?陜西咸陽?階段練習）已知數(shù)列｛%｝滿足/+i=log2（a〃+l），若｛%｝是遞增數(shù)列，則％的取

值范圍是（）

A.（0,1）B.（0,>/2）C.（-1,0）D.（1,+?）

11.（2024?甘肅張掖?模擬預測）已知數(shù)列｛。,｝為遞減數(shù)列，其前w項和S“=-〃2+2〃+〃Z,則實數(shù)機的取值

范圍是（）.

A.（-2,+co）B.（』-2）C.（2,+oo）D.（-oo,2）

12.（2024高二上?重慶?期末）分形幾何學是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學，它的研究對象普

遍存在于自然界中，因此又被稱為"大自然的幾何學按照如圖1所示的分形規(guī)律，可得如圖2所示的一個

樹形圖.若記圖2中第"行黑圈的個數(shù)為?！?，則%=（）

Q---------------第1行

?O\——第2行

Of—。?二7：Oi\?OA??—第3行

圖1圖2

A.110B.128C.144D.89

13.（2024,云南保山?二模）我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的

表，即楊輝三角，這是數(shù)學史上的一個偉大成就.楊輝三角也可以看做是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何

排列，若去除所有為1的項，其余各項依次構(gòu)成數(shù)列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,則此數(shù)列的

第56項為（）

A.11B.12C.13D.14

14.（2024高三下?河南新鄉(xiāng)?開學考試）古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家研究過各種多邊形數(shù).如三角形數(shù)1,

3,6,10,第“個三角形數(shù)為妁詈記第〃個左邊形數(shù)為N（〃K）（左23）,以下列出了部分左邊

形數(shù)中第〃個數(shù)的表達式：三角形數(shù)：N（",3）=（?+；"；正方形數(shù)：N（“,4）=〃2；五邊形數(shù)：

31

N（n,5）=^n2--n；六邊形數(shù)：N（〃,6）=2/一〃，可以推測N（〃,女）的表達式，由此計算N（20,23）=（）

A.4020B.4010C.4210D.4120

15.（2024?全國?模擬預測）古希臘科學家畢達哥拉斯對"形數(shù)”進行了深入的研究，若一定數(shù)目的點或圓在等

距離的排列下可以形成一個等邊三角形，則這樣的數(shù)稱為三角形數(shù)，如1,3,6,10,15,21,...這些數(shù)量

的點都可以排成等邊三角形，國都是三角形數(shù)，把三角形數(shù)按照由小到大的順序排成的數(shù)列叫做三角數(shù)列

｛《｝類似地，數(shù)1,4,9,16,...叫做正方形數(shù)，則在三角數(shù)列｛%｝中，第二個正方形數(shù)是（）

A.28B.36C.45D.55

16.（2024高三?重慶沙坪壩?階段練習）早在3000年前，中華民族的祖先就已經(jīng)開始用數(shù)字來表達這個世

界.在《乾坤譜》中，作者對易傳“大衍之數(shù)五十”進行了一系列推論，用來解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生

原理，如圖.該數(shù)列從第一項起依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,60,72,若記該數(shù)列

17.（2024高三?全國?專題練習）觀察下列各式：

a+b=l；

a2+b2=3；

a3+b3=4;

a4+b4=7;

a5+b5=11;

L

則*+*=（）

A.28B.76C.123D.10

18.（2024高二下?黑龍江哈爾濱?階段練習）古希臘科學家畢達哥拉斯對〃形數(shù)〃進行了深入的研究，若一定

數(shù)目的點或圓在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形，則這樣的數(shù)稱為三角形數(shù)，如L3,6,10,15,

21,...這些數(shù)量的點都可以排成等邊三角形，團都是三角形數(shù)，把三角形數(shù)按照由小到大的順序排成的數(shù)列

叫做三角數(shù)列｛〃〃｝.類似地，數(shù)1,4,9,16,…叫做正方形數(shù)，則在三角數(shù)列｛風｝中，第二個正方形數(shù)是

（）

A.36B.25C.49D.64

19.（2024高二上?上海?期中）數(shù)列｛0｝滿足%=r+^+2,若不等式624恒成立，則實數(shù)上的取值范圍

是（

A.[-9,-8]B.[-9,-7]C.(-9,-8)D.(-9,-7)

20.（2024高三下?河南?階段練習）數(shù)列｛七｝滿足q,若不等式生+幺+-+^<n+2,

44-4a?axa2an+l

對任何正整數(shù)〃恒成立，則實數(shù)4的最小值為

73-73

A.-B.—C.-D.—

4488

21.（2024?北京）已知｛叫是各項均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且若q+%+…+a“=100,則”的最大值為（）

A.9B.10C.11D.12

22.（2024高三上?上海寶山?階段練習）已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為貝廣｛叫為遞增數(shù)歹!J"是“｛S,,｝為遞增

數(shù)列”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

23.（2024高二?河北保定?階段練習）若S“為數(shù)列｛%｝的前"項和，且邑=」■，則,=（）

n+1%

D.30

24.（2024高三?全國?專題練習）在數(shù)列｛%｝中，4=：

一--,則。2022=()

*一

A?IB.1

C.-1D.2

25.（2024高三?全國?專題練習）數(shù)列《工-4占,?的一個通項公式為（）

38152435

n+1n+1

A.B.(-I)"-

(-C-5n-25n—2

/1\n+ln+in+1

U(T(-I)"-

D("+1)2-1

iiQ

26.（2024高一下.寧夏吳忠.期中）已知數(shù)列｛%｝的所有項均為正數(shù)，其前〃項和為S“，且邑=+5%-“

則｛為｝的通項公式為（）

A.an=2n-lB.%=2幾+1

C.a〃=4〃-1D.”〃=4〃+l

r、1+

27.(2024高三?全國?專題練習)若數(shù)列｛4｝滿足％=2,a,+i則％期的值為()

I一4

A.2B.-3C.D.

23

2a,044<—

n2

28.（2024高二下?遼寧?期末）若數(shù)列｛為｝滿足％+i,,則數(shù)列｛%｝中的項的值不

可能為（）

29.（2024高三?全國?專題練習）已知數(shù)列｛4｝的通項公式為a,=—^―,其最大項和最小項的值分別為（）

2—15

30.（2024高二下?四川成都,期中）已知數(shù)列｛4｝滿足2：；]，%=1，數(shù)列也,｝滿足仇=1,

…一々…，則數(shù)列的最小值為一

43

D.—

6

=W>N*).若…

31.（2024高三上?湖北?期中）已知數(shù)列｛%｝滿足弓=1%，則數(shù)列也｝

的通項公式勿=（）

A.B.n-1C."D.2n

2

32.（2024?云南保山?一模）已知數(shù)列｛aj滿足％=1,an+1=3an+4,則a”等于（）

A.3"B.C.3"-2D.3"^-2

33.（2024高三?全國?專題練習）已知正項數(shù)列｛。,｝中，4=2,為包=24+3x5",則數(shù)列｛4｝的通項?！?（）

A.-3x2"-1B.3x2"-1

C.5"+3X2"TD.5"-3X2"T

f（3-a）x-3,%<7,,,,

34.（2024高二下?遼寧?階段練習）設(shè)函數(shù)/（x）=467，數(shù)列｛4｝滿足%=/（〃），〃一+，且數(shù)列｛%｝

Ia9X〉/

是遞增數(shù)列，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.（2,3]B.（1,3）C.（2,3）D.（1,1）

21

35.（2024高三下?海南省直轄縣級單位?階段練習）若數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“=耳%+§,S“=（）

2

1-2-1-（-2）"-1+2n1+（-2）"

3333

36.（2024高三?全國?專題練習）已知數(shù)列｛%｝滿足〃1=1,%-a〃+i=叫2a〃+1￡N*）,則〃〃等于（）

2

An-n-〃2一〃+2-22

A.-------B.------------C.—；——

22〃—〃/—〃+2

37.（2024高三?全國?專題練習）設(shè)國表示不超過x的最大整數(shù)，如[-3.14]=T,[3.14]=3.已知數(shù)列｛■滿

足：q=1,?！?1=Q〃+〃+1（〃GN）,貝°—I--------1-----------1-H------------等于（）

^^2^^3^^2023

A.1B.2C.3D.4

二、多選題

38.（2024高三?全國?專題練習）下列結(jié)論正確的是（）

A.數(shù)列1,2,3與3,2,1是兩個不同的數(shù)列.

B.任何一個數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列.

C.若數(shù)列用圖象表示，則從圖象上看是一群孤立的點.

D.若數(shù)列｛g｝的前〃項和為"，則對任意〃eN*,都有a,M=S,+「S,.

39.（2024高三?全國?專題練習）（多選）己知數(shù)列的前4項為2,0,2,0,則依此歸納該數(shù)列的通項可能

是（）

2,“為奇數(shù)

A.??=(-1)-^1B.

0,“為偶數(shù)

cc?〃兀)

C.an=2sin—D.an=cos(n—l7i+l

40.（2024IWJ二,全國,專題練習）（多選）數(shù)歹U1,2,1,2,...的通項公式可能為（

,3(-ir3+(T)x

Aa+B.

-?22

_.2H+1

3+COSH713+sin-------7i

C.aD._______2

n2

2

，、11

41.（2024高三?全國?專題練習）己知數(shù)列｛。“｝滿足為M=1一一〃wN*，且4=2,則（)

an

A.%=-1B?%022=3

3

C.SD.5=1011

322022

42.（2024高三上?湖北?階段練習）已知數(shù)列｛%｝滿足：4=2,當時，4+2=（而AI+,則關(guān)于

數(shù)列｛q｝的說法正確的是（）

A.%=7B.｛%｝是遞增數(shù)列

2D.數(shù)列｛4｝為周期數(shù)列

C.an=n+2n-l

三、填空題

43.（2024?河南新鄉(xiāng)?二模）已知正項數(shù)列｛%｝滿足4=1,小=64,anan+2=ka^+1,若生是｛?！埃ㄒ坏淖畲?/p>

項，則上的取值范圍為.

44.（2024高三上?北京?階段練習）數(shù)列｛。"｝中，G?=-n2+ll?（/7eN*）,則此數(shù)列最大項的值是.

45.（2024高三上?江蘇連云港,期中）已知數(shù)列｛%｝的通項公式為=10〃-2",前w項和是S“，對于VweN*,

都有則左=.

46.（2024高三?全國?專題練習）已知數(shù)列｛4｝滿足4=1+二7+…若％Na“恒成立，則實數(shù)上的最

nn+12n

小值為.

47.（2024高三?全國?專題練習）設(shè)數(shù)列｛凡｝滿足電0ag=忘，且為+q=2a”+「2（weN*）,則數(shù)列的前2009

項之和為.

48.（2024高二下?全國?課后作業(yè)）正項數(shù)列｛。,｝中，.用=號丁，4=1，猜想通項公式為4=.

49.（2024?廣東佛山?模