外接球、內(nèi)切球與棱切球(16題型提分練)-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識清單_第1頁
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文檔簡介

專題19外接球、內(nèi)切球與棱切球

更盤點(diǎn)?置擊看考

目錄

題型一:基礎(chǔ):長方體模型........................................................................1

題型二:基礎(chǔ):四面體對棱相等模型................................................................2

題型三:重要模型:線面垂直型....................................................................3

題型四:重要模型:面面垂直型....................................................................5

題型五:常見幾何體:棱錐型......................................................................6

題型六:常見幾何體:圓錐型......................................................................7

題型七:常見幾何體:圓臺型......................................................................8

題型八:常見幾何體:棱臺型......................................................................9

題型九:常見幾何體:組合體型...................................................................10

題型十:兩線交心法模型:表面特殊三角形.........................................................11

題型十一:兩線交心法模型:二面角型.............................................................12

題型十二:動點(diǎn)與翻折型外接球...................................................................13

題型十三:外接球最值范圍型.....................................................................14

題型十四:內(nèi)切球...............................................................................16

題型十五:棱切球...............................................................................17

題型十六:綜合難題.............................................................................18

結(jié)束...........................................................................

更突圍?檐淮蝗分

題型一:基礎(chǔ):長方體模型

;指I點(diǎn)I迷I津

;正方體的棱長為a,球的半徑為R,貝。:

;①若球?yàn)檎襟w的外接球,則2R=小a;

!②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球,則2H=a;

;③球與正方體的各棱相切,則2R=^a.

:長方體的長、寬、高分別為a,b,c,則外接球直徑=長方體對角線,即:27?=力/+廿+/

1.(24^25高三王芟薇曾場矯孽著葭)茬通布ABCD苒,百茹高£:¥芬南頭薪AB,蒼可瓦百'EFLAB''

EFJ.CD,^AB=CD=2,EF=2,則該四面體外接球半徑為()

A.72B.石C.2A/2D.2出

2.(22-23貴州黔東南?模擬)我們將四個(gè)面均為正三角形的四面體稱為“正四面體",在正四面體ABCD中,

E,歹分別為棱AB,。的中點(diǎn),當(dāng)=0時(shí),四面體ABCD的外接球的表面積為()

A.12TIB.4兀C.3兀D.6兀

3.(20-21高三下?江蘇?階段練習(xí))《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典名著,堪與歐幾里得《幾何原本》相媲

美的數(shù)學(xué)名著,在《九章算術(shù)》中,將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為"鱉腌".已知某鱉腌A-3CD的外

接球半徑為1,則該鱉席的體積最大值為()

A.-V3B.—>/3C.-A/3D.—A/3

927416

4.(22-23高按?遼寧沈陽?模擬)已知四面體A8CQ滿足AB=Cr>=G,AD=BC=非,AC=BD=2,且

該四面體ABC。的外接球的球半徑為四面體的內(nèi)切球的球半徑為此,則5的值是()

A.y/llB.—VHC.D.—A/6

33

5.(22-23?浙江溫州?模擬)陽馬和鱉腌[bienao:是我國古代對一些特殊錐體的稱謂,取一長方體按下圖斜

割一分為二,得兩個(gè)一模一樣的三棱柱(圖2,圖3),稱為塹堵.再沿塹堵的一頂點(diǎn)與相對的棱剖開(圖4),

得四棱錐和三棱錐各一個(gè).以矩形為底,有一棱與底面垂直的四棱錐,稱為陽馬(圖5).余下的三棱錐是

由四個(gè)直角三角形組成的四面體,稱為鱉腌(圖6).若圖1中的長方體是棱長為4的正方體,則下列結(jié)論

鱉膈的外接球半徑為2君

C.鱉席的體積為正方體時(shí)D.鱉腌內(nèi)切球半徑為20-2

題型二:基礎(chǔ):四面體對棱相等模型

指I點(diǎn)I迷I津

對棱相等模型是三棱錐的三組對棱長分別相等模型,用構(gòu)造法(構(gòu)造長方體)解決.外接球的直徑等于長

方體的體對角線長,即ZRuJ/+k+c?(長方體的長、寬、高分別為人從C).秒殺公式:坊="+:+^

(三棱錐的三組對棱長分別為x、y、z).可求出球的半徑從而解決問題.

2.(2022高三?全國?專題練習(xí))如圖,在三棱錐P—ABC中,PA=BC=43,PB=AC=2,PC=AB=5

則三棱錐P-ABC外接球的體積為()

B.島C.瓜兀D.6萬

2.(2022?貴州?模擬預(yù)測)如圖,在三棱錐O—ABC中,ZDAC=ZBCA=ZBCD=90°,DC=M,AB=3,

且直線A3與OC所成角的余弦值為江,則該三棱錐的外接球的體積為(

19

45萬751125萬,65%

A.B.-----D.——

463

3.(23-24高三?四川綿陽?模擬)四面體的三組對棱分別相等,且長度依次為2遍,JR,5.則該四面

體的外接球的表面積

2929^/29

A.一乃B.28%C.”丁D.29萬

46

4.(2023高三?河南?模擬)四面體S-ABC中,三組對棱分別相等,依次為后,歷,5.則此四面體的體積

為.

A.20B.10A/7C.20s/3D.30

5.(2024高三?全國?模擬,多選)一般地,我們把三組對棱分別相等的四面體叫做等面四面體.下列結(jié)論正

確的是()

A.若一個(gè)四面體的四個(gè)面的周長都相等,則該四面體是等面四面體

B.等面四面體的一組對棱中點(diǎn)的連線與這組對棱都垂直

C.三組對棱長度分別為。,b,。的等面四面體外接球的表面積為4萬(/+。2+02)

D.過等面四面體任一頂點(diǎn)的三個(gè)面且以該點(diǎn)為頂點(diǎn)的三個(gè)角之和為“

題型三:重要模型:線面垂直型

指I點(diǎn)I迷I津

線面垂直型:

存在一條棱垂直一個(gè)底面(底面是任意多邊形,實(shí)際是三角形或者四邊形(少),它的外接圓半徑是r,

滿足正弦定理)

1.模板圖形原理

1.(20-21高按?河北唐山?模擬)已知三棱錐尸-ABC中,上4,面ABC,底面ABC是邊長為2的正三角形,

PA=4,則三棱錐P-ABC的外接球表面積為()

32如兀64萬327r64萬

A.VB.——C.——D.——

273327

1T

2.(22-23高三?河南鄭州?模擬)在三棱錐A-BCD中,平面ABC_L平面ADC,AD±AC,AD=AC,ZABC=-,

若此三棱錐的外接球表面積為28萬,則三棱錐A-BCD體積的最大值為()

A.7B.12C.6D.—

3

3.(21-22高三?西藏拉薩?階段練習(xí))如圖,三棱錐尸—ABC中,尸8,平面ABC,BC±C4,且PB=BC=2CA=2,

則三棱錐P-ABC的外接球表面積為

B.9兀C.12KD.36K

4.(22-23高三?全國?階段練習(xí))如圖,在三棱錐A-5co中,平面58,BCLCD,AB=BD=2,

M為AD中點(diǎn),H為線段AC上一點(diǎn)(除AC的中點(diǎn)外),且MH.當(dāng)三棱錐"46的體積最大時(shí),則

三棱錐M-ABC的外接球表面積為()

A.4萬B.6九

C.8萬D.12萬

5.(21-22高三上?湖北武漢?期中,多選)已知球。是三棱錐P-ABC的外接球,PA=AB=PB=AC=2,

則CP=2及,點(diǎn)。是P8的中點(diǎn),且CD=g,則下列說法正確的是()

A.三棱錐尸-ABC最長的棱棱長為20B.PAB

C.球心。到底面的距離為&D.球。的表面積為半

題型四:重要模型:面面垂直型

指I點(diǎn)I迷I津

面面垂直型基本圖形

一般情況下,倆面是特殊三角形。垂面型,隱藏很深的線面垂直型,

1.(22-23高三?安徽?模擬)在四面體ABC。中,^AD=DB=AC=CB=1,則當(dāng)四面體A3。的體積最大

時(shí)其外接球表面積為

54?

A.—7iB.—7iC.乃D.27r

33

2.(24-25高二上?河北石家莊?階段練習(xí))已知四棱錐的各頂點(diǎn)在同一球面上,四邊形A2CD為等

腰梯形,若AD=2AB=2BC=4,一上鉆為正三角形,且面,面ABCD,則該球的表面積為()

1352

A.—兀B.16兀C.—兀D.20兀

33

3.(2024?江西?一模)在體積為12的三棱錐A-5c。中,AC±ADfBC1BD,平面ACD_L平面5CD,

TTTT

ZACD=~,ZBCD=~,若點(diǎn)A&C。都在球。的表面上,則球。的表面積為()

A.12KB.16TIC.32KD.48兀

4.(24-25高三上?江蘇南通?階段練習(xí))如圖,在三棱錐P-ABC中,ZACB=60°,2AC=BC=PB=PC,

平面平面A5C,。是的中點(diǎn),PD=46,則三棱錐P-AC。的外接球的表面積為()

A.-------B.40兀

3

208兀

C.-------D.80兀

3

5.(22-23高三上?黑龍江哈爾濱?期末,多選)如圖,三棱錐S—ABC中,平面平面A3C,過點(diǎn)5且與

AC平行的平面a分別與棱SA、SC交于E,F,若SA=SC=BA=BC=2。AC=2#,則下列結(jié)論正確

的為()

s

A.三棱錐S—ABC中的外接球表面積為16萬

B.EF//AC

C.若E,尸分別為SA,SC的中點(diǎn),則B尸與SA所成角的余弦值為"

3

D.SC1BF

題型五:常見幾何體:棱錐型

指I點(diǎn)I迷I津

棱錐的外接球有其特殊性,如果底面四邊形是矩形。特殊情況下,還可以轉(zhuǎn)化為“線面垂直-直棱柱模

型”

1.(2022?河南?模擬預(yù)測)在四棱錐S-ABCD中,側(cè)面5AD,底面A8C。,且SA=S。,ZASD90°,底

面A8CD是邊長為2的正方形,設(shè)P為該四棱錐外接球表面上的動點(diǎn),則三棱錐P-SAD的最大體積為()

A.1+0B,2C.2比D.B

333

2.(2024?四川成都?模擬預(yù)測)六氟化硫,化學(xué)式為SR,在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體,

有良好的絕緣性,在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)(正八面體每個(gè)面都是

正三角形,可以看作是將兩個(gè)棱長均相等的正四棱錐將底面粘接在一起的幾何體).如圖所示,正八面體

E-ASCD-歹的棱長為。,下列說法中正確的個(gè)數(shù)有()

①此八面體的表面積為.

②異面直線AE與8尸所成的角為45;

③此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為3如;

④若點(diǎn)尸為棱£?上的動點(diǎn),則AP+CP的最小值為2瓜.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

3.(2024?河南?模擬預(yù)測)在四棱錐V-ABCD中,AB=^2BC=—CD=—DA=\,其中是邊長

73

為2的正三角形,則四棱錐V-ABCZ)外接球表面積的最小值為()

32扃16K16兀

D.兀

27

4.(23-24高二上,重慶渝中,階段練習(xí))正四棱錐P-ABCD的底面邊長為4后,PA=4君則平面尸6截四

棱錐尸-ABCD外接球所得截面的面積為().

100萬50%200a1007r

A.-------B.-----C.-------D.-------

5.(22-23高三?廣東深圳?模擬,多選)已知正四棱錐S-A5C。的底面邊長為1,且側(cè)棱長為加,點(diǎn)E,F

分別為側(cè)棱SA,SC上的動點(diǎn),則下列結(jié)論中,正確的為()

A.S4c為等邊三角形

B.正四棱錐S-的側(cè)面積為2夜

C.若AF=CE,則EF_L平面SBD

D.正四棱錐S-ABC。的外接球表面積為?

題型六:常見幾何體:圓錐型

指I點(diǎn)I迷I津

圓錐外接球模型

圓錐求外接球,借助軸截面的對應(yīng)等腰三角形可求解

A

1.(22-23高三上?陜西西安?階段練習(xí))已知兩個(gè)圓錐側(cè)面展開圖均為半圓,側(cè)面積分別記為S?S2,且春=2,

對應(yīng)圓錐外接球體積分別為匕匕,則5=()

A.8B.4夜C.272D.2

2.(2023?山西晉城?模擬)底面半徑為百,母線長為2的圓錐的外接球。的表面積為

A.6nB.12nC.8nD.16n

3.(21-22高二下?江西宜春?階段練習(xí))在圓錐SO中,C是母線&4上靠近點(diǎn)S的三等分點(diǎn),SA=l,底面圓

的半徑為「,圓錐SO的側(cè)面積為3兀,則下列說法錯(cuò)誤的是()

A.當(dāng)/=3時(shí),從點(diǎn)A到點(diǎn)C繞圓錐側(cè)面一周的最小長度為加

B.當(dāng)r=1時(shí),過頂點(diǎn)S和兩母線的截面三角形的最大面積為地

24

C.當(dāng)/=3時(shí),圓錐SO的外接球表面積為粵

O

D.當(dāng)/=3時(shí),棱長為友的正四面體在圓錐SO內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動

3

4.(2023全國,模擬)如圖:A3是圓錐底面圓的直徑,PA,P8是圓錐的兩條母線,P'為底面圓的中心,

過PB的中點(diǎn)D作平行于叢的平面a,使得平面a與底面圓的交線長為4,沿圓錐側(cè)面連接A點(diǎn)和D點(diǎn),

當(dāng)曲線段長度的最小值為叫時(shí),則該圓錐的外接球(圓錐的底面圓周及頂點(diǎn)均在球面上)的半徑

9&

B.372rD.晅

24

5.(23-24高三?吉林長春?模擬,多選)在圓錐SO中,C是母線&4上靠近點(diǎn)S的三等分點(diǎn),SA=l,底面圓

的半徑為廣,圓錐SO的側(cè)面積為12萬,則下列說法正確的是()_

A.當(dāng)廠=3時(shí),過頂點(diǎn)S和兩母線的截面三角形的最大面積為3?

B.當(dāng)/=6時(shí),從點(diǎn)A到點(diǎn)C繞圓錐側(cè)面一周的最小長度為2a

C.當(dāng)/=6時(shí),圓錐SO的外接球表面積為差

D.當(dāng)/=6時(shí),棱長為迪的正四面體在圓錐SO內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動

3

題型七:常見幾何體:圓臺型

指I點(diǎn)I迷I津

圓臺外接圓模型

1.(2024?安徽?三模)已知圓臺。。2的上、下底面面積分別為4兀,36兀,其外接球球心。滿足00=3002,則

圓臺。。2的外接球體積與圓臺。。2的體積之比為()

.20石R10函_1075n10

A.-----------D.-------------C..----------U.

13131313

2.(2023,全國?模擬預(yù)測)己知某圓臺的上底面圓心為。一半徑為『,下底面圓心為口,半徑為2人高為/2,

h

若該圓臺的外接球球心為0,且O0=2OQ,則/=()

A.6B.3C.拒D.2

3.(22-23高二下,湖南長沙,階段練習(xí))如圖所示,已知一個(gè)球內(nèi)接圓臺,圓臺上、下底面的半徑分別為3

和4,球的體積為呼,則該圓臺的側(cè)面積和體積分別為()

f—l259兀

3B.3571,259兀C.3542兀,259KD.3542兀,

4.(2024?江西九江?二模)己知一個(gè)圓臺內(nèi)接于球。(圓臺的上、下底面的圓周均在球面上).若該圓臺的上、

下底面半徑分別為1和2,且其表面積為(5+3直)兀,則球。的體積為()

西20后5后

A.B.37rQ.-----------L).---------

333

5.(22-23高三?貴州貴陽?階段練習(xí),多選)如圖AO與BC分別為圓臺上下底面直徑,AD//BC,若AB=3,

AD=2,BC=4,貝U()

A.圓臺的母線與底面所成的角的正切值為20

B.圓臺的全面積為14兀

C.圓臺的外接球(上下底面圓周都在球面上)的半徑為&

D.從點(diǎn)A經(jīng)過圓臺的側(cè)面到點(diǎn)C的最短距離為3岔

題型八:常見幾何體:棱臺型

指I點(diǎn)I迷I津

R2=r^+6,其中弓,4,/z分別為圓臺的上底面、下底面、高.

基本規(guī)律:正棱臺外接球,以棱軸截面為主

1.(2022?四川成都?三模)已知三棱臺ABC-ABC的六個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上,的=3月=。。1=廂,

VABC和分別是邊長為6和2道的正三角形,則球。的體積為().

32兀20如兀40A/1071

A.D.-----------C.30兀D.--------------

333

2.(23-24高二上?云南昆明?模擬)已知正三棱柱的底面邊長為4括,高為6,經(jīng)過上底面棱的中點(diǎn)與下底面

的頂點(diǎn)截去該三棱柱的三個(gè)角,如圖1,得到一個(gè)幾何體,如圖2所示,若所得幾何體的六個(gè)頂點(diǎn)都在球。

的球面上,則球。的體積為()

80君D.*

C.----------71

33

3.(22-23高二上?安徽宣城?開學(xué)考試)如圖,正四棱臺ABC。-的上、下底面邊長分別為

2a,4,E,F,G,H分別為AB,BC,CD,的中點(diǎn),8個(gè)頂點(diǎn)E,F,G,H,。4,G,2構(gòu)成的十面體恰有內(nèi)切球,

則該內(nèi)切球的表面積為()

A.8岳B.6岳C.4缶D.2缶

4.(22-23高一下?湖北十堰?期末,多選)上海世博會中國國家館以城市發(fā)展中的中華智慧為主題,表現(xiàn)出

了“東方之冠,鼎盛中華,天下糧倉,富庶百姓”的中國文化精神與氣質(zhì).如圖,現(xiàn)有一個(gè)與中國國家館結(jié)構(gòu)

類似的六面體ABCD-4再。12,設(shè)矩形ABCZ)和ABC。]的中心分別為。1和02,若。。2,平面ABCD,

。。2=6,AB=10,AD=2,/7,4瓦=8,AA=4,ABII'B、,BCMBQADH\D{,CD//QD,,則()

B.該六面體的外接球體積是288兀

C.直線AC與AG異面

D.二面角A-BC-G的余弦值是叵

37

題型九:常見幾何體:組合體型

;指I點(diǎn)I迷I津:

因?yàn)榻M合體會受圖形所限制,一般其況下,兩個(gè)組合體結(jié)合處的平面,恰好是外接圓一個(gè)小圓(或者大

圓)上。

工存真藍(lán)訓(xùn)強(qiáng)■習(xí))《九章算術(shù)》"電凝舌鬧豪彩惠,箕而有謔蓼麗I荷標(biāo)祺麗兔芭茹橐"

囤積糧食的容器的下面是一個(gè)底面積為3271,高為h的圓柱,上面是一個(gè)底面積為32兀,高為h的圓錐,若該容器

有外接球,則外接球的體積為()

256

D64V2

A.361D.---------------71C.288萬D.-----71

33

2.(2023高三?全國?專題練習(xí))《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著,它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多

年,其中有很多對幾何體體積的研究.已知某囤積糧食的容器的下面是一個(gè)底面積為8無、高為丸的圓柱,

上面是一個(gè)底面積為8兀、高為〃的圓錐,若該容器有外接球,則外接球的體積為

A.12兀B.18兀C.36TID.48兀

3.(20-21高二上,安徽蕪湖?期中)已知三角形VABC的三個(gè)內(nèi)角A,3,。對應(yīng)的三邊分別為〃,4c,ZC=90°,

分別以5cAC,,A3所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的外接球表面積分別為EH2,S3,則下列關(guān)

系正確的是()

1+1

-一

-_L醫(yī)

A.S+S=S^;

x231

1

1+

--一

C.S;+S;=S;D.0邑

1^色

4.(22-23高三?湖南?模擬)如圖所示幾何體是由正四棱錐尸-44GR與長方體ABC。-44GA組成,

AB=BC=&,朋=2,若該幾何體存在一個(gè)外接球,則異面直線尸2與3c所成角的余弦值為()

B.

4D-V

5.(2024,黑龍江?二模,多選)阿基米德多面體是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體,截角四面

體是阿基米德多面體其中的一種.如圖所示,將棱長為3a的正四面體沿棱的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面

得到所有棱長均為。的截角四面體,則下列說法中正確的是()

B.直線。E與平面A8C所成角的正切值為2

C.該截角四面體的表面積為7點(diǎn)

D.該截角四面體存在內(nèi)切球

題型十:兩線交心法模型:表面特殊三角形

指I點(diǎn)I迷I津

表面有等邊三角形或者直角三角形:雙線交點(diǎn)定心法(特殊三角形圓心垂

線交點(diǎn)確定球心法)

1、包含了面面垂直(倆面必然是特殊三角形)

1.(24-25高三上?湖南,開學(xué)考試)已知三棱錐A-38中,AC=百,其余各校長均為2,P是三棱錐A-BCD

外接球的球面上的動點(diǎn),則點(diǎn)尸到平面的距離的最大值為()

aV26RV26r1+V13n1+713

6363

2.(23-24高一下?四川樂山?期中)已知三棱錐S-ABC的頂點(diǎn)都在球。的表面上,若球。的表面積為56萬,

AB』,AC=2小,ZACB=30°,則當(dāng)三棱錐S-ABC的體積最大時(shí),BS=()

A.A/30B.30C.也8+6舊D.

3.(21-22高一下?江蘇南京,期末)已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上,VABC是邊長為3

的等邊三角形,SC為球。的直徑,且SC=4,貝代到面ABC的距離為()

A.4B.2C.3D.6

4.(24-25高三上?廣西?階段練習(xí))四面體4-300中48=6,其余各棱長均為2,則該四面體外接球的表

面積是()

5.(24-25高二上?浙江杭州?開學(xué)考試,多選)四面體ABC。中,AC=BC=AB=3,BD^5,CD=4,記四面

體A2CD外接球的表面積為S,當(dāng)AD變化時(shí),則()

324

A.當(dāng)AD=3時(shí),5=—itB.當(dāng)四面體ABC。體積最大時(shí),5=28%

C.S可以是167tD.S可以是100兀

題型十一:兩線交心法模型:二面角型

指I點(diǎn)I迷I津

二面角型,多采用兩個(gè)外心垂線交線定球心法

(1)選定一個(gè)面,定外接圓的圓心。1

(2)選定另一個(gè)面,定外接圓的圓心。2;

(3)分別過。作該底面的垂線,過。2作該面的垂線,兩垂線交點(diǎn)即為外接球的球心。.

k724-25缸王疝?言藻矯孽君若-=市丁窿記嘛箕褥藤良揚(yáng)名田一百三面菊"

尸-AB-C的大小為60。.若三棱錐的各頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球的表面積為()

2.(24-25高二上?四川瀘州?開學(xué)考試)三棱錐A-J5CD中,VABC是邊長為4的正三角形,BD=DC=2?,

二面角A-BC-O的余弦值為逅,則三棱錐A-3CD的外接球的表面積為()

3

1172271

C.11KD.22n

~3-

3.(22-23?重慶萬州?模擬)己知邊長為:的菱形.48(7)中,思域酚=:蒯『,沿對角線折成二面角

IBD(,為1;口的四面體」3(曾,則四面體的外接球的表面積為

A.25?B.;

c.廠:D.281

4.(2023湖南長沙?模擬)在邊長為的菱形ABCD中,ZBAD=60°,沿對角線3£>折成二面角A-如-C

為120。的四面體ABCD(如圖),則此四面體的外接球表面積為()

A.28萬B.7〃

C.14萬D.2171

5.(23-24高二下?廣西柳州?期中)如圖,在四面體ABC。中,與△BCD均是邊長為2后的等邊三角

形,二面角A-BD-C的大小為120。,則此四面體的外接球表面積為.

題型十二:動點(diǎn)與翻折型外接球

1.(2020?黑龍江哈爾濱?模擬)在邊長為2的菱形ABCD中,BD=2框,將菱形ABC。沿對角線AC折起,

使得平面ABC,平面ACD,則所得三棱錐A-BCD的外接球表面積為()

2.(2022?全國,模擬預(yù)測)直角VABC中,AB=2,BC=1,。是斜邊AC上的一動點(diǎn),沿8。將翻折

至「43。,使二面角4-網(wǎng)>-。為直二面角,當(dāng)線段AC的長度最小時(shí),四面體43CD的外接球的表面積

為()

137r147r137r127r

A.B.-----C.-----D.

4335

3.(2023?四川?三模)如圖,在梯形ABCD中,AB//CD,AB=4,BC=CD=DA=2,將,AS沿對角線AC

折起,使得點(diǎn)。翻折到點(diǎn)F,若面PAC,面ABC,則三棱錐尸-ABC的外接球表面積為()

'B"-

A.16KB.20兀C.24TID.32兀

4.(2019?湖南長沙?一模)在邊長為2后的菱形ABCD中,ZBAD=60°,沿對角線8。折成二面角A-BD-C

為120。的四面體ABC3(如圖),則此四面體的外接球表面積為()

5.(22-23?廣東湛江?模擬,多選)如圖,矩形ABC。中,E、E分別為8C、AD的中點(diǎn),且3c=2帥=2,

現(xiàn)將AfiE沿AE間上翻折,使8點(diǎn)移到P點(diǎn),則在翻折過程中,下列結(jié)論正確的是()

存在點(diǎn)P,使得打〃6F

B.存在點(diǎn)P,使得PELED

C.當(dāng)平面PAE,平面時(shí),二面角尸-EC-A大小的正切值為血

D.當(dāng)平面PAEL平面A£D時(shí),三棱錐尸-A£E)外接球表面積為4兀

題型十三:外接球最值范圍型

指I點(diǎn)I迷I津

立體幾何中最值問題,一般可從三個(gè)方面考慮:

一、構(gòu)建函數(shù)法,即建立目標(biāo)函數(shù),轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題進(jìn)行求解;

二、借助基本不等式求最值,幾何體變化過程中兩個(gè)互相牽制的變量(兩個(gè)變量之間有等量關(guān)系),往往

可以使用此種方法;

三、根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征,變動態(tài)為靜態(tài),直觀判斷在什么情況下取得最值.

1.(2020?山西太原?模擬預(yù)測)三棱錐P-ABC中,ABLBC,回PAC為等邊三角形,二面角尸-AC-3的

余弦值為-邁,當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí),其外接球的表面積為8萬.則三棱錐體積的最大值為()

3

11

A.1B.2C.-D.-

2.(24-25高二上?江西南昌?階段練習(xí))已知二面角P-AB-C的大小為120,ZPAB=ZABC=90,

AP=AB,AB+5C=6若四點(diǎn)P,A,B,C都在同一個(gè)球面上,當(dāng)該球體積取最小值時(shí),AB為()

301812

A.—B.—C.3D.—

777

3.(23-24高一下?江蘇無錫?階段練習(xí))已知三棱錐A-BCD的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上,回平面ABC,

ZBAC=~,4)=2,若球。的表面積為22兀,則三棱錐A-BCD(以A為頂點(diǎn))的側(cè)面積的最大值為()

2

4.(2024高三下?江西新余?專題練習(xí))已知棱長為3的正四面體的幾何中心為。,平面a與以。為球心的球

相切,若a與該正四面體的截面始終為三角形,則球。表面積的取值范圍為().

5.(2024?廣東廣州?模擬預(yù)測,多選)如圖所示,四面體ABCZ)的底面是以為斜邊的直角三角形,ABCD

體積為匕,平面BCD,AB=BD,P為線段AC上一動點(diǎn),。】為AD中點(diǎn),則下列說法正確的是()

A.三棱錐尸-8ao的體積和三棱錐尸-8014的體積相等

B.當(dāng)PO{_LBC時(shí),POX1AB

C.當(dāng)時(shí),BP±DA

D.四面體ABC。的外接球球心為。|,且外接球體積匕與乂之比的最小值是407r

題型十四:內(nèi)切球

指I點(diǎn)I迷I津

椎體的內(nèi)切球,多采用體積分割法求解??勺鋈缦聦Ρ壤斫?/p>

一、三角形內(nèi)切圓

丁=2s

S/XABC=^\ABD~^^\DBC^^AADC-rC+-ra+-rb=-r(a+b+c)nM

2222a+b+c

二、類比:三棱錐

△(S

\ABD—R3ABC0+^AABC+5根加+SA

3Jc

S帖CD++S.CQ+^^ABD

1.(2024?四川德陽?模擬預(yù)測)圓錐的表面積為H,其內(nèi)切球的表面積為邑,則去的取值范圍是()

d2

A.[1,+℃)B.[2,+oo)C.[2忘,+s)D.[4,+00)

2.(23-24高二下?北京海淀?期末)邊長為2的正方形ABCZ)的中心為。,將其沿對角線AC折成直二面角.

設(shè)E為AD的中點(diǎn),下為3C的中點(diǎn),將員引繞直線所旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體,則該旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球

的表面積為()

3.(2020?湖北武漢?模擬預(yù)測)已知一圓錐底面圓的直徑為3,圓錐的高為空,在該圓錐內(nèi)放置一個(gè)棱長

2

為。的正四面體,并且正四面體在該幾何體內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動,貝匹的最大值為()

A.3B.72

c.55&)D.還

2

4.(2024?安徽安慶?三模)如圖,在一個(gè)有蓋的圓錐容器內(nèi)放入兩個(gè)球體,已知該圓錐容器的底面圓直徑和

母線長都是石,則()

A.這兩個(gè)球體的半徑之和的最大值為止8

2

4

B.這兩個(gè)球體的半徑之和的最大值為3

C.這兩個(gè)球體的表面積之和的最大值為(6+3君卜

D.這兩個(gè)球體的表面積之和的最大值為詈

5.(2024?吉林長春?模擬預(yù)測,多選)如圖,在正三棱柱ABC-中,E,廠分別為,AG的中點(diǎn),AC=2,

則下列說法正確的是()

A.若A4,=6,則異面直線AF和8C所成的角的余弦值為:

B.若A4,=百,則點(diǎn)C到平面AEF的距離為名叵

13

C.存在AA,使得BC_L平面AE尸

D.若三棱柱ABC-A與G存在內(nèi)切球,貝

13

題型十五:棱切球

1.(22-23高三下?河南?階段練習(xí))在正三棱錐尸-ABC中,A8=6,PA

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