數(shù)值分析 課件全套 陳麗娟 ch1-緒論-ch8-常微分方程數(shù)值解法

數(shù)值分析

學(xué)銀在線教學(xué)平臺（學(xué)習(xí)通）

教材

提問：數(shù)值分析是做什么用的？數(shù)學(xué)建模

構(gòu)造算法程序設(shè)計實(shí)際問題近似解輸入復(fù)雜問題或運(yùn)算數(shù)值計算方法

邏輯運(yùn)算計算機(jī)數(shù)值分析算法影響計算的速度和效率

數(shù)值分析算法影響計算的精度

數(shù)值分析算法影響計算的精度

即使數(shù)學(xué)上的恒等公式，用計算機(jī)來算，結(jié)果也是不一樣的。緒論01Chapter1.1數(shù)值分析研究對象與特點(diǎn)數(shù)值分析也稱計算方法.它根椐實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型提出求解問題的數(shù)值計算方法.算法能在計算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，并有好的計算復(fù)雜性；面向計算機(jī)，提供切實(shí)可行的有效算法；有可靠理論，對算法進(jìn)行誤差分析，并能達(dá)到精度要求；通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)證明算法行之有效；研究對象學(xué)科特點(diǎn)1.2誤差來源與誤差分析實(shí)際問題數(shù)學(xué)模型建立算法上機(jī)計算結(jié)果(初值誤差)觀測誤差模型誤差(方法誤差)截斷誤差舍入誤差誤差來源1.2誤差來源與誤差分析1.模型誤差（描述誤差）/*ModelingError*/簡化，抽象問題后建立的數(shù)學(xué)模型與實(shí)際問題之差。2.觀測誤差/*MeasurementError*/觀測和實(shí)驗(yàn)得到的參量（物理量為電壓、電流、溫度等）誤差種類1.2誤差來源與誤差分析誤差種類3.截斷誤差（方法誤差）/*TruncationError*/有限過程代替無限過程的誤差（無窮級數(shù)求和，只能取前面有限項求和來近似代替）。這種計算方法本身出現(xiàn)的誤差，所以也稱為方法誤差。如右端是截斷誤差。

1.2誤差來源與誤差分析誤差種類4.舍入誤差/*RoundoffError*/計算機(jī)字長有限，一般實(shí)數(shù)不能精確存儲，于是產(chǎn)生舍入誤差。例如：在10位十進(jìn)制數(shù)限制下：舍入誤差很小，本課程將研究它在運(yùn)算過程中是否能有效控制。

1.2誤差來源與誤差分析大家一起猜？11/e

S4R4取則稱為截斷誤差|

舍入誤差|由截去部分引起由留下部分引起=0.747……1.3誤差的基本概念

絕對誤差/*absoluteerror*/相對誤差/*relativeerror*/

1.3誤差的基本概念

有效數(shù)字/*significantdigits*/

1.3誤差的基本概念用四舍五入法取準(zhǔn)確值的前n位作為近似值，則x*必有n位有效數(shù)字；有效數(shù)字位數(shù)相同的兩個近似數(shù)，絕對誤差限不一定相同；有效位數(shù)與第一個非0項后的數(shù)字個數(shù)是不一致的。四舍五入所得到的數(shù)是一致的。準(zhǔn)確值被認(rèn)為具有無窮位有效數(shù)字.一定要從規(guī)格化后的數(shù)來判斷其位數(shù)將任何數(shù)乘以10m(m為整數(shù))，等于移動該數(shù)的小數(shù)點(diǎn)，并不影響它的有效數(shù)字的位數(shù)；有效數(shù)字的幾點(diǎn)說明1.3誤差的基本概念

數(shù)字末尾的0不可隨意省去1.3誤差的基本概念

1.3誤差的基本概念有效數(shù)字與誤差之間的關(guān)系

1.3誤差的基本概念

1.3誤差的基本概念

1.3數(shù)值運(yùn)算的誤差估計代數(shù)運(yùn)算的誤差估計加法和減法結(jié)果的誤差乘法和除法結(jié)果的誤差積的誤差積的相對誤差商的誤差1.3數(shù)值運(yùn)算的誤差估計一元函數(shù)情形

1.3數(shù)值運(yùn)算的誤差估計多元函數(shù)情形

1.3數(shù)值運(yùn)算的誤差估計例1.3.4：測得某桌面的長a的近似值a*=120cm,寬b的近似值b*=60cm。若已知|e(a*)|≤0.2cm,|e(b*)|≤0.1cm。試求近似面積s*=a*b*的絕對誤差限與相對誤差限。

Ch1緒論

解1.4選用算法應(yīng)遵循的原則BS

避免相近二數(shù)相減

幾種經(jīng)驗(yàn)性避免方法：

1.4選用算法應(yīng)遵循的原則BS

避免小分母

分母小會造成舍入誤差增大例：1.4選用算法應(yīng)遵循的原則BS

避免大數(shù)吃小數(shù)

算法1：利用求根公式在計算機(jī)內(nèi)，109存為0.11010，1存為0.1101。做加法時，兩加數(shù)的指數(shù)先向大指數(shù)對齊，再將浮點(diǎn)部分相加。即1的指數(shù)部分須變?yōu)?010，則：1=0.00000000011010，取單精度時就成為：109+1=0.100000001010+0.000000001010=0.100000001010大數(shù)吃小數(shù)1.4選用算法應(yīng)遵循的原則BS

避免大數(shù)吃小數(shù)

注：求和時從小到大相加，可使和的誤差減小。1.4選用算法應(yīng)遵循的原則BS

簡化計算步驟，避免誤差累積

一般來說，計算機(jī)處理下列運(yùn)算的速度為

1.4選用算法應(yīng)遵循的原則選用穩(wěn)定的算法

注意此公式精確成立

1.4選用算法應(yīng)遵循的原則選用穩(wěn)定的算法

????!!!發(fā)生了什麼?!

造成這種情況的是不穩(wěn)定的算法迅速積累,誤差呈遞增走勢.可見初始的小擾動1.4選用算法應(yīng)遵循的原則選用穩(wěn)定的算法

注意此公式與公式一在理論上等價。

可取1.4選用算法應(yīng)遵循的原則選用穩(wěn)定的算法

考察反推一步的誤差：

誤差逐步遞減,這樣的算法稱為穩(wěn)定的算法插值法02Chapter2.1引言2.1引言在實(shí)際問題中，我們會遇到兩種情況變量間存在函數(shù)關(guān)系，但只能給出一離散點(diǎn)列上的值例如:從實(shí)驗(yàn)中得到一個數(shù)據(jù)表,或是一組觀測數(shù)據(jù)變量間的函數(shù)關(guān)系可以表示,但計算復(fù)雜,只能計算特殊點(diǎn)的函數(shù)值例如:求指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)值等為了研究自變量與因變量間的變化關(guān)系，我們需要建立變量間的函數(shù)關(guān)系，從而可以計算原始數(shù)據(jù)以外需要處的值，這就是我們研究插值的目的。2.1引言

插值條件插值函數(shù)插值節(jié)點(diǎn)求插值函數(shù)的方法稱為插值法

…………[a,b]稱為插值區(qū)間如何構(gòu)造P(x)???2.1引言根據(jù)實(shí)際需要，可以用各種不同的函數(shù)來近似原來的函數(shù)。最常用的插值函數(shù)是

代數(shù)多項式最簡單，計算其值只需用到加、減乘運(yùn)算，且積分和微分都很方便；所以常用它來近似表示表格函數(shù)(或復(fù)雜函數(shù)),這樣的插值方法叫做多項式插值法，簡稱插值法。2.1引言

是否任意給定n+1個不同的插值節(jié)點(diǎn)都可以構(gòu)造出滿足插值條件的插值多項式??

2.2拉格朗日插值

2.2拉格朗日插值線性插值

n=1

直線方程常用表達(dá)式兩點(diǎn)式

點(diǎn)斜式

2.2拉格朗日插值二次插值n=2

方程組的解是否存在?若存在解,是否唯一?!2.2拉格朗日插值

然而,方程組的求解也并不是一件容易的事對于線性插值的兩種形式解進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆治?從中尋求規(guī)律而得到啟發(fā),就有了所謂的拉格朗日插值法(公式)和牛頓插值(公式).2.2拉格朗日插值兩點(diǎn)式

線性插值的兩點(diǎn)式可看作是兩個特殊的線性函數(shù)的一種線性組合.

1001

于是，線性插值即是用基函數(shù)的線性組合來構(gòu)造的.

2.2拉格朗日插值由此啟發(fā)，我們希望二次插值也能由一些二次插值基函數(shù)來線性組合:

100010001

2.2拉格朗日插值同理可得

2.2拉格朗日插值n次插值

li(x)

2.2拉格朗日插值n次插值

拉格朗日多項式與有關(guān)，而與無關(guān)節(jié)點(diǎn)f2.2拉格朗日插值

證明：(存在性可利用Vandermonde

行列式論證)

矛盾2.2拉格朗日插值插值余項

2.2拉格朗日插值

2.2拉格朗日插值

解：三個插值節(jié)點(diǎn)及對應(yīng)的函數(shù)值為

由拋物插值公式得

2.2拉格朗日插值例2：已知

sin50=0.7660444…解：

外推

(extrapolation)

的實(shí)際誤差

0.01001內(nèi)插

(interpolation)

的實(shí)際誤差

0.00596

2.2拉格朗日插值

sin50=0.7660444…2次插值的實(shí)際誤差

0.00061高次插值通常優(yōu)于低次插值但絕對不是次數(shù)越高就越好2.2拉格朗日插值Lagrange插值公式缺點(diǎn)：一是計算量大，這是顯然的；另外，還有一個更嚴(yán)重的缺點(diǎn)，當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增加時，全部插值基函數(shù)均要隨之變化，整個計算工作必須從頭開始：不僅原來的每一項都要改變，還要增加一項計算。為克服上述兩個缺點(diǎn),努力：把插值多項式變形為便于計算的形式。希望：計算改變的過程中,盡可能能利用已有的計算結(jié)果.下面我們將看到,這是可能的。我們可以有具有“承襲性”的所謂牛頓公式。優(yōu)點(diǎn)：利用插值基函數(shù)很容易得到，含義直觀,結(jié)構(gòu)緊湊,在理論分析中非常方便;計算機(jī)上實(shí)現(xiàn)也很容易.2.3差商與牛頓插值2.3差商與牛頓插值差商定義

2.3差商與牛頓插值差商性質(zhì)

12

這個性質(zhì)也表明均差與節(jié)點(diǎn)的排列次序無關(guān),稱為均差的對稱性,即

由性質(zhì)1可得:

2.3差商與牛頓插值

3

所以2.3差商與牛頓插值

變形☆希望：計算改變的過程中,盡可能能利用已有的計算結(jié)果.

常數(shù)(差商)由此啟發(fā)，我們希望二次插值也能類似地有有規(guī)律的組合表達(dá)式:

2.3差商與牛頓插值

事實(shí)上,從上述可看出二次牛頓插值公式是用待定系數(shù)法求得的;它也可看作是三個特殊函數(shù)的一種線性組合:

2.3差商與牛頓插值

來線性組合為：

那么其組合系數(shù)是什么樣的呢？怎么求呢？

2.3差商與牛頓插值12…………n

1n

1

Rn(x)Nn(x)

2.3差商與牛頓插值

牛頓插值余項為

牛頓插值多項式它比拉格朗日插值多項式計算量省,且便于程序設(shè)計.2.3差商與牛頓插值差商表一階均差二階均差三階均差四階均差

2.3差商與牛頓插值

插值基函數(shù)xk0124f(xk)19233拉格朗日插值多項式為:

2.3差商與牛頓插值xkf(xk)

一階均差二階均差三階均差0119822314343-10-8

建立如下差商表牛頓插值多項式為:

(3)唯一性驗(yàn)證.

2.3差商與牛頓插值

xk0123f(xk)13927解：差商表:牛頓插值多項式為:

2.3差商與牛頓插值當(dāng)題目中沒有指明用那一種方法建立插值多項式時,原則上拉格朗日插值方法和牛頓插值方法都可行,選較為簡便的一種方法.近似計算時,由于牛頓插值多項式的非整理形式可以直接寫成秦九韶算法的形式,計算量小,且當(dāng)增加節(jié)點(diǎn)時只需增加一項,前面的工作依然有效,因而通常情況下牛頓插值比較方便.相對之下,拉格朗日插值法沒有上述優(yōu)點(diǎn),但它在理論證明上因插值基函數(shù)的許多特點(diǎn)而得到廣泛應(yīng)用.在前面的討論中，節(jié)點(diǎn)是任意分布的，但實(shí)際上經(jīng)常遇到等距節(jié)點(diǎn)的情況，這時插值公式可以得到簡化。2.4差分與等距節(jié)點(diǎn)插值公式2.4差分

簡記為

簡記為

簡記為一階向前差分一階向后差分中心差分前差算子后差算子差分定義2.4差分如又如用低階差分可以定義高階差分高階向前差分高階向后差分一般地可定義m階差分為2.4差分一般有前差與后差的關(guān)系再定義前移算子不變算子后移算子則有2.4差分差分的性質(zhì)各階差分均可用函數(shù)值表示性質(zhì)1二項式展開2.4差分函數(shù)值可用各階差分表示性質(zhì)2

差商與差分的關(guān)系性質(zhì)3

m階向前差商與m階向前差分的關(guān)系m階向后差商與m階向后差分的關(guān)系

2.4差分差分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系性質(zhì)42.4差分等距節(jié)點(diǎn)插值公式

Newton插值公式

得

向前差分

參照2.4差分

Newton前插公式

2.5Hermite插值2.5Hermite插值

其余項為

2.5Hermite插值

采用構(gòu)造插值基函數(shù)的方法2.5Hermite插值

且滿足其中且滿足令

Kronecker（克羅內(nèi)克）符號柏林科學(xué)院院士，巴黎科學(xué)院通訊院士，倫敦皇家學(xué)會外籍會員。主張分析學(xué)應(yīng)奠基于算術(shù)，而算術(shù)的基礎(chǔ)是整數(shù)。克羅內(nèi)克名言：“上帝創(chuàng)造了整數(shù)，其余都是人做的工作”2.5Hermite插值令則其中

又則由(1),(2)得2.5Hermite插值所以

其中則所以2.5Hermite插值令則又由得所以

2.5Hermite插值

解

所以

2.5Hermite插值

令

解：在點(diǎn)0，1，2上做Lagrange插值函數(shù)

則

所以2.5Hermite插值練習(xí)：給定數(shù)表-1012-1120

2.5Hermite插值

2.6分段低次插值2.6分段低次插值

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Ln(x)

f(x)

如何避免高次插值的病態(tài)問題???一種辦法是采取分段低次插值2.6分段低次插值分段線性插值

123

在小區(qū)間上的線性插值函數(shù)2.6分段低次插值分段線性插值示意圖…………從幾何上看，就是用折線逼近曲線易證：當(dāng)時，一致2.6分段低次插值

分段線性函數(shù)的缺點(diǎn)：失去了原函數(shù)的光滑性。2.6分段低次插值分段Hermite插值

123

在小區(qū)間上的三次Hermite插值函數(shù)已知數(shù)表

缺點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)不易得到2.6分段低次插值分段低次插值優(yōu)點(diǎn)：收斂性，穩(wěn)定性好，算法簡單，易于在計算機(jī)上實(shí)現(xiàn)缺點(diǎn)：光滑性差，分段Hermite插值也僅有一階光滑度問題許多實(shí)際問題中，有更高的光滑度要求，例如高速飛機(jī)的機(jī)翼線形等往往要求具有二階光滑度，即函數(shù)曲線要求有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。2.7三次樣條插值2.7三次樣條插值樣條(splime)是早期飛機(jī)、造船工業(yè)中繪圖員用來畫光滑曲線的細(xì)木條或細(xì)金屬絲.繪圖時,為了將一些已知的點(diǎn)連成光滑曲線,繪圖員用壓鐵把樣條固定在相鄰的若干點(diǎn)上,樣條具有彈性,形成通過這些點(diǎn)的光滑曲線,沿著它就可畫出所需的曲線.數(shù)學(xué)上仿此得出的函數(shù)便稱為樣條函數(shù).樣條插值是用分段低次多項式去逼近被逼近函數(shù),并且能滿足對光滑性的要求,又無需給出每個節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值.

它除了要求給出各個節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值之外,只需提供兩個邊界節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)信息.2.7三次樣條插值

定義

2.7三次樣條插值

f(x)H(x)S(x)如何求三次樣條插值函數(shù)???2.7三次樣條插值

2.7三次樣條插值

特別

稱固支邊界條件稱自然邊界條件

三轉(zhuǎn)角方程三彎矩方程稱周期性條件

2.7三次樣條插值三轉(zhuǎn)角方程

步驟2.7三次樣條插值

應(yīng)用第一種邊界(固支邊界條件)得到的三轉(zhuǎn)角方程矩陣形式第一類邊界條件2.7三次樣條插值

2.7三次樣條插值三彎矩方程

積分兩次得

2.7三次樣條插值

應(yīng)用第一種邊界(固支邊界條件)得到的三彎矩方程矩陣形式

2.7三次樣條插值

函數(shù)逼近與計算03Chapter3.1引言3.1引言本章繼續(xù)討論用簡單函數(shù)近似代替較復(fù)雜函數(shù)的問題.上章提到的插值就是近似代替的方法之一,插值的近似標(biāo)準(zhǔn)是在插值點(diǎn)處誤差為零.但在實(shí)際應(yīng)用中,有時不要求具體某些點(diǎn)誤差為零,而要求考慮整體的誤差限制,這就引出了擬合和逼近的概念.對離散型函數(shù)(即數(shù)表形式的函數(shù))考慮數(shù)據(jù)較多的情況.若將每個點(diǎn)都當(dāng)作插值節(jié)點(diǎn),則插值函數(shù)是一個次數(shù)很高的多項式,比較復(fù)雜.而且由于龍格振蕩現(xiàn)象,這個高次的插值多項式可能并不接近原函數(shù).同時由于數(shù)表中的點(diǎn)一般是由觀察測量所得,往往帶有隨機(jī)誤差,要求近似函數(shù)過所有的點(diǎn)既不現(xiàn)實(shí)也不必要.3.1引言3.1引言目標(biāo)函數(shù)集合簡單函數(shù)集合

3.1引言何為”逼近”?如何逼近？無窮范數(shù)：

平方范數(shù)：

一致逼近平方逼近3.1引言存在性▲1834年入波恩大學(xué)學(xué)習(xí)法律和財政。▲

1842～1856年，中學(xué)教師?！?/p>

1856年柏林科學(xué)院，1864年升為教授?！?/p>

1854年解決了橢圓積分的逆轉(zhuǎn)問題，引起數(shù)學(xué)界的重視?！?/p>

1856年解決了橢圓積分的雅可比逆轉(zhuǎn)問題，建立了橢圓函數(shù)新結(jié)構(gòu)的定理，一致收斂的解析函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)的解析性的定理，圓環(huán)上解析函數(shù)的級數(shù)展開定理等。3.1引言存在性

3.1引言存在性

3.1引言存在性

3.2最佳一致逼近多項式3.2最佳一致逼近多項式

即

使得

3.2最佳一致逼近多項式1、Chebyshev給出如下概念

3.2最佳一致逼近多項式2、Chebyshev得到如下結(jié)論

3.2最佳一致逼近多項式以最佳一次逼近多項式為例

3.2最佳一致逼近多項式以最佳一次逼近多項式為例

得

3.2最佳一致逼近多項式求解最佳一次一致逼近多項式步驟

3.2最佳一致逼近多項式

由

得

即

解因此

所求一次最佳逼近多項式為3.2最佳一致逼近多項式Matlab程序x=0:0.1:1;y1=sqrt(1+x.*x);y2=0.414*x+0.955;plot(x,y1);holdonplot(x,y2);3.2最佳一致逼近多項式

由

得

解因此

所求一次最佳逼近多項式為

3.3最佳平方逼近3.3最佳平方逼近定義內(nèi)積

記內(nèi)積則稱內(nèi)積的定義

關(guān)于內(nèi)積、范數(shù)的詳盡內(nèi)容可參見《高等代數(shù)》或《線性代數(shù)》等相關(guān)書籍。3.3最佳平方逼近

即一般的最佳平方逼近問題

3.3最佳平方逼近

多元函數(shù)求極值令

則

即3.3最佳平方逼近

得

即

3.3最佳平方逼近如果取

則希爾伯特矩陣3.3最佳平方逼近顧最佳平方逼近函數(shù)計算步驟

(1)確定

3.3最佳平方逼近

解：則

由法方程

解得

3.3最佳平方逼近3.3最佳平方逼近如果令

即

則解得

從而3.3最佳平方逼近3.3最佳平方逼近

解得

所以

解得

所以

3.3最佳平方逼近

正交多項式函數(shù)系

3.3最佳平方逼近

解

3.4正交多項式3.4正交多項式

正交函數(shù)族

若內(nèi)積

例如，三角函數(shù)族1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,…就是在區(qū)間[-π,π]上的正交函數(shù)族。3.4正交多項式正交多項式定義

3.4正交多項式勒讓德多項式

勒讓德多項式有下述幾個重要性質(zhì)：

性質(zhì)1.正交性

3.4正交多項式勒讓德多項式性質(zhì)3.遞推關(guān)系

3.5曲線擬合的最小二乘法3.5曲線擬合的最小二乘法引例：考察某種纖維的強(qiáng)度y與其拉伸倍數(shù)x的關(guān)系，下表是實(shí)際測定的24個纖維樣品的強(qiáng)度與相應(yīng)的拉伸倍數(shù)的記錄:

3.5曲線擬合的最小二乘法纖維強(qiáng)度隨拉伸倍數(shù)增加而增加并且24個點(diǎn)大致分布在一條直線附近

必須找到一種度量標(biāo)準(zhǔn)來衡量什么曲線最接近所有數(shù)據(jù)點(diǎn).3.5曲線擬合的最小二乘法常見做法：

太復(fù)雜

不可導(dǎo)，求解困難

最小二乘法

3.5曲線擬合的最小二乘法

一般的曲線擬合問題

注：更一般地，考慮加權(quán)平方和

3.5曲線擬合的最小二乘法

多元函數(shù)求極值令

則

即

3.5曲線擬合的最小二乘法

得

即

離散點(diǎn)標(biāo)號基函數(shù)標(biāo)號3.5曲線擬合的最小二乘法

3.5曲線擬合的最小二乘法

ixiyilnyixi2xjlnyi01.005.101.6291.00001.62911.255.791.7561.56252.19521.506.531.8762.25002.81431.747.452.0083.06253.51442.008.462.1354.00004.270

3.5曲線擬合的最小二乘法

3.5曲線擬合的最小二乘法S*1(x)=1.6238+3.365953xS*2(x)=3.5171+0.693376x+0.89113x2S*(x)=3.071exp(0.5056x)在各種模型下擬合曲線的比較3.5曲線擬合的最小二乘法123444.568

解

非線性方程的近似解法04ChapterCh4方程求根從多項式方程求根說起

20世紀(jì)考古發(fā)現(xiàn)，公元前1700年，美索不達(dá)米亞人已經(jīng)有了解二次方程的成法；用現(xiàn)代的代數(shù)語言來敘述就是：Ch4方程求根意大利數(shù)學(xué)家費(fèi)羅(S.d.Ferro，1465～1526)首先得到了該方程的一般求根公式，沒有公開他的解法，按當(dāng)時的習(xí)俗作為挑戰(zhàn)對手的秘密武器；

Ferro在臨終前將解法傳給了他的學(xué)生安東尼奧·菲奧爾(AntonioM.Fior);費(fèi)羅去世后，菲奧爾向當(dāng)時意大利最大的數(shù)學(xué)家之一塔爾塔利亞(Tartaglia，1500—1557)提出挑戰(zhàn)，要他解出30個三次方程,塔爾塔利亞用8天時間解出了全部30個方程，得到了解缺項三次方程的一般方法。Ch4方程求根從二次方程到三、四次方程求根公式歷經(jīng)至少3245年；米蘭的數(shù)學(xué)和物理教授卡爾達(dá)諾(Cardano，1501—1576)獲悉該事后央求塔爾塔利亞將密訣告訴他，并發(fā)誓保密，在卡爾達(dá)諾的懇求下，塔爾塔利亞把他的方法寫成一首晦澀的詩告訴了卡爾達(dá)諾；

1545年卡爾達(dá)諾出版著作《大法》(Arsmagna)，公布了一般三次方程求根公式，稱為卡爾達(dá)諾公式；《大法》同時公布了意大利數(shù)學(xué)家費(fèi)拉里（Ferrali，1522-1565）仿照一般三次方程求根思想，推導(dǎo)的一般四次方程求根公式；Ch4方程求根意大利數(shù)學(xué)家的成功促使當(dāng)時的眾多數(shù)學(xué)家開始尋求更高次方程的解法；量變引起了質(zhì)變，數(shù)學(xué)家們徒勞了兩個多世紀(jì)，沒有成功；

1771年法國數(shù)學(xué)家拉格朗日在論文《關(guān)于代數(shù)方程解法的思考》中指出，用代數(shù)運(yùn)算解一般的(n>4)次方程是不可能的,或者這個問題超出了人類的智力范圍，或者是根的表達(dá)方式不同于當(dāng)時所知道的一切;

1824年，天才的挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾(Abel，1802—1829)在其出版的著作中證明：如果方程的次數(shù)n≥5，并且將方程的系數(shù)看成字母，那么任何一個由這些字母組成的根式都不可能是方程的根；近300年的努力果然是徒勞的；Ch4方程求根阿貝爾之后，不少人找到了特殊高次方程的求根方法，得到了有理根式形式的解；到底哪些方程可以得到有理根式形式的解？

1831年天才的法國數(shù)學(xué)家伽羅瓦(E.Galois，1811—1832)給出了高次方程存在根式解的充分必要條件。Ch4方程求根天才的伽羅華

1829年，伽羅華中學(xué)畢業(yè)前，把關(guān)于群論的初步研究結(jié)果的論文提交給法國科學(xué)院，科學(xué)院委托當(dāng)時法國最杰出的數(shù)學(xué)家柯西審核論文。在1830年1月18日柯西計劃對伽羅華的研究成果在科學(xué)院舉行一次全面的意見聽取會。他在一封信中寫道：“今天我應(yīng)當(dāng)向科學(xué)院提交一份關(guān)于年輕的伽羅華的工作報告……但因病在家，我很遺憾未能出席今天的會議，希望安排我參加下次會議，討論已指明的議題。”Ch4方程求根

1830年2月，伽羅華將論文寄給當(dāng)時的科學(xué)院終身秘書傅立葉，傅立葉于當(dāng)年5月去世，在他的遺物中未發(fā)現(xiàn)伽羅華的手稿。伽羅華遞交的兩次數(shù)學(xué)論文均被遺失。

1831年1月，伽羅華將包含新成果的論文提交給法國科學(xué)院，負(fù)責(zé)審查的數(shù)學(xué)家泊松（Possion),四個月后，以“完全不能理解”，建議科學(xué)院退稿。

1831年1月8日，因伽羅華揭發(fā)校長的政治兩面派行為，被皇家國民教育委員會批準(zhǔn)開除出巴黎師范大學(xué)；第二周，柯西向科學(xué)院宣讀他自己的一篇論文時，忘記了原來的議題。Ch4方程求根

1832年5月29日夜，伽羅華倉促地把自己生平的數(shù)學(xué)研究心得扼要寫出，附以論文手稿，并在給朋友舍瓦利葉的信中說：“我在分析方面做出了一些新發(fā)現(xiàn)。有些是關(guān)于方程論的；有些是關(guān)于整函數(shù)的……。公開請求雅可比或高斯，不是對這些定理的正確性，而是對這些定理的重要性發(fā)表意見。我希望將來有人發(fā)現(xiàn)，這些對于消除所有有關(guān)的混亂是有益的?！?/p>

l832年3月16日伽羅華獲釋后不久，為了一個舞女決定為“愛情與榮譽(yù)”決斗；

1832年5月30日上午，伽羅華死于決斗；

1831年5月l0日，伽羅華以“企圖暗殺國王”的罪名被捕，關(guān)押在圣佩拉吉監(jiān)獄；Ch4方程求根伽羅華死后，舍瓦利葉把他的信發(fā)表在《百科評論》中。

1846年，法國數(shù)學(xué)家劉維爾領(lǐng)悟到伽羅華的天才思想，他花了幾個月的時間將伽羅華手稿中的部分內(nèi)容發(fā)表在他的極有影響的《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》上，并向數(shù)學(xué)界推薦。

1870年法國數(shù)學(xué)家約當(dāng)根據(jù)伽羅華的思想，寫了《論置換與代數(shù)方程》一書，向人類展示了跨越世紀(jì)的伽羅華思想：關(guān)于群和域的理論。這套理論創(chuàng)立了抽象代數(shù)學(xué)，把代數(shù)學(xué)的研究推向了一個新的里程，并標(biāo)志著數(shù)學(xué)發(fā)展現(xiàn)代階段的開始。Ch4方程求根

困難：方程的解難以用公式表達(dá)。例如:1)多項式方程：

需要一定精度的近似解！2)超越方程:

4.1根的搜索4.1根的搜索

逐步搜索法

求根問題的三個方面：存在性，分布，精確化4.1根的搜索

二分法

4.1根的搜索解：

f(1)=-5<0有根區(qū)間f(2)=14>0-(1,2)+f(1.5)>0-(1,1.5)+f(1.25)<0-(1.25,1.5)+f(1.375)>0(1.25,1.375)f(1.313)<0(1.313,1.375)f(1.344)<0(1.344,1.375)f(1.360)<0(1.360,1.375)f(1.368)>0(1.360,1.368)

4.1根的搜索

因此，一般常用該方法求根的初始近似值，然后再用其它的求根方法精確化。4.2迭代法4.2迭代法迭代法基本思想

不動點(diǎn)迭代法

迭代法是一種逐次逼近方法4.2迭代法

迭代函數(shù)有多種選擇4.2迭代法

4.2迭代法

由此可見，這種迭代格式是發(fā)散的

4.2迭代法

同樣的方程不同的迭代格式有不同的結(jié)果什么形式的迭代法能夠收斂呢?4.2迭代法

迭代法的幾何意義4.2迭代法

4.2迭代法

4.2迭代法迭代法的收斂性

4.2迭代法4.2迭代法4.2迭代法4.2迭代法迭代法的收斂性

4.2迭代法

kxk迭代法(1)迭代法(2)迭代法(3)迭代法(4)0123

?

x0

x1

x2

x3

?23987?21.521.5?21.751.734751.732631?21.751.7321431.732051?

4.2迭代法迭代法的收斂階

4.2迭代法迭代法的收斂階下面給出超線性收斂的一個充分條件

4.3牛頓迭代法4.3牛頓迭代法基本思想：將非線性方程轉(zhuǎn)化為線性方程來求解。牛頓迭代法思想

Newton迭代法4.3牛頓迭代法yx0abx0x1x2x*y=f(x)Newton迭代法逼近過程N(yùn)ewton法的幾何意義是逐次用切線代替曲線，求切線與橫坐標(biāo)軸的交點(diǎn)。

Newton法亦稱為切線法4.3牛頓迭代法

01230.50.571020.567160.56714

4.3牛頓迭代法

0123411.51.347831.325201.324724.3牛頓迭代法牛頓迭代法的局部收斂性

4.3牛頓迭代法

(2)寫出一個一般迭代公式，分析迭代公式的收斂性.

4.3牛頓迭代法牛頓迭代法的優(yōu)缺點(diǎn)yx0abx0x1x2x*y=f(x)優(yōu)點(diǎn):牛頓迭代法具有平方收斂的速度,所以在迭代過程中只要迭代幾次就會得到很精確的解.這是牛頓迭代法比簡單迭代法優(yōu)越的地方.缺點(diǎn):選定的初值要接近方程的解,否則有可能得不到收斂的結(jié)果;再者,牛頓迭代法計算量比較大,因每次迭代除計算函數(shù)值外還要計算微商值.4.3牛頓迭代法牛頓下山法

4.3牛頓迭代法

012341.51.347831.325201.324720.617.9發(fā)散0.6-1.3841.1406250.6566431.361810.18661.326280.006671.324720.00000864.4弦截法與拋物線法4.4弦截法與拋物線法弦截法

4.4弦截法與拋物線法弦截法

4.4弦截法與拋物線法拋物線法

線性方程組的直接解法05ChapterCh5線性方程組的直接解法研究數(shù)值解法的必要性

求解線性方程組根據(jù)克萊姆(Gramer)法則方程組的解可表示為兩個行列式之比

Ch5線性方程組的直接解法

計算量太大尋找數(shù)值解法有必要5.1Gauss消元法5.1高斯消元法

5.1高斯消元法

消元5.1高斯消元法

回代5.1高斯消元法思路1.消元過程：將一般線性方程組化為上三角矩陣方程組2.回代過程：回代求解

0高斯消元法基本思想5.1高斯消元法消元過程

5.1高斯消元法

5.1高斯消元法

將(1)式化為(2)式的過程稱為消元過程.5.1高斯消元法

回代過程5.1高斯消元法

5.1高斯消元法例5.1.1

解方程組

解：用Gauss消去法計算：

若將1，2兩行互換

5.1高斯消元法

順序消去法的缺點(diǎn)消元過程中選擇適當(dāng)?shù)闹髟厥鞘直匾腉auss主元素消去法5.2高斯主元素消元法5.2高斯主元素消元法全主元消去法思路

消元5.2高斯主元素消元法

5.2高斯主元素消元法列主元消去法思路

消元5.2高斯主元素消元法

5.2高斯主元素消元法

解：

5.2高斯主元素消元法一些特殊情況,主元就在對角線上,不需選主元.元素滿足如下條件的矩陣

即對角線上每一元素的絕對值均大于同行其他各元素絕對值之和,這樣的矩陣稱為按行嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣,簡稱嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣.例：

性質(zhì)：嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣必定非奇異.

5.3高斯消元法的變形5.3高斯消元法的變形LU分解

5.3高斯消元法的變形LU分解

5.3高斯消元法的變形LU分解可見,消元過程相當(dāng)于下述矩陣乘法運(yùn)算：

由分塊乘法可得：

直接計算可得

5.3高斯消元法的變形LU分解

，則

5.3高斯消元法的變形

記為單位下三角陣/*unitarylower-triangularmatrix*/記

U=

5.3高斯消元法的變形LU分解

5.3高斯消元法的變形直接LU分解

根據(jù)矩陣乘法法則,先比較等式兩邊第1行和第1列元素有：

5.3高斯消元法的變形

5.3高斯消元法的變形

5.3高斯消元法的變形

5.3高斯消元法的變形

5.3高斯消元法的變形例5.3.1

解：

由得

得由

得由

由

得得由

得

再由

得5.3高斯消元法的變形

5.3高斯消元法的變形

5.3高斯消元法的變形追趕法

5.3高斯消元法的變形

其中：5.3高斯消元法的變形

上述方法為求解三對角方程組的追趕法，也稱Thomas算法.

5.3高斯消元法的變形例5.3.3

5.3高斯消元法的變形由得

由得

5.3高斯消元法的變形平方根法

記為

5.3高斯消元法的變形

5.4向量和矩陣的范數(shù)5.4向量和矩陣的范數(shù)

向量范數(shù)的性質(zhì)

5.4向量和矩陣的范數(shù)常用范數(shù)

(p-范數(shù))

(無窮范數(shù))

(1-范數(shù))

(2-范數(shù))5.4向量和矩陣的范數(shù)

5.4向量和矩陣的范數(shù)5.4向量和矩陣的范數(shù)矩陣范數(shù)

5.4向量和矩陣的范數(shù)5.4向量和矩陣的范數(shù)常用矩陣范數(shù)

它們滿足如下相容關(guān)系：

5.4向量和矩陣的范數(shù)5.4向量和矩陣的范數(shù)

5.5誤差分析5.5誤差分析例，考查以下三個方程組及其準(zhǔn)確解其準(zhǔn)確解其準(zhǔn)確解其準(zhǔn)確解可以看到，后兩個方程組與第一個方程組相比，系數(shù)矩陣或右端向量僅有0.0005以下的誤差，但準(zhǔn)確解卻相差很大。對這樣的方程組，無論用多么穩(wěn)定的算法求解，一旦計算中產(chǎn)生誤差就使解面目全非，所以該方程組的性態(tài)很差。5.5誤差分析

5.5誤差分析

絕對誤差放大因子

相對誤差放大因子5.5誤差分析

(只要A充分小，使得

是關(guān)鍵的誤差放大因子，稱為A的條件數(shù)，記為cond(A),越則A越病態(tài)，難得準(zhǔn)確解。大5.5誤差分析

5.5誤差分析

5.5誤差分析

行列式的值很大或很小（如某些行、列近似相關(guān)）；

元素間的數(shù)量級相差大，且無規(guī)則；

主元消去過程中出現(xiàn)小主元；

特征值相差大數(shù)量級。線性方程組的迭代解法06ChapterCh6線性方程組的迭代解法

迭代法方法簡單，便于實(shí)現(xiàn)需要選取合適的迭代公式及初值Jacobi迭代Gauss-Seidel迭代超松弛迭代Ch6線性方程組的迭代解法基本思想:用某種極限過程逐步逼近方程組的精確解。迭代法基本思想迭代法的基本步驟

則迭代過程收斂.迭代矩陣形式迭代公式的收斂性和收斂速率誤差估計6.1Jacobi迭代法6.1Jacobi迭代法引例

解方程組

解1）等價形式

6.1Jacobi迭代法2）迭代公式

Jacobi迭代公式

6.1Jacobi迭代法迭計算結(jié)果如表012301.41.110.92900.51.201.05501.41.110.92945670.99061.011591.0002510.998240.96450.99531.0057951.0001260.99061.011591.0002510.99824

終止條件

6.1Jacobi迭代法n階方程組的Jacobi迭代法

等價方程組

終止條件

6.1Jacobi迭代法Jacobi迭代法的矩陣描述

其中，6.1Jacobi迭代法Jacobi迭代法的矩陣描述

雅可比迭代公式的矩陣形式

6.1Jacobi迭代法

雅可比迭代格式Jacobi迭代矩陣

Jacobi迭代矩陣對角線為06.2Gauss-Seidel迭代法6.2Gauss-Seidel迭代法引例

解方程組

解1）等價形式

6.2Gauss-Seidel迭代法2）迭代公式

Gauss-Seidel迭代公式

6.2Gauss-Seidel迭代法迭計算結(jié)果如表01201.41.0634

00.781.0204801.0260.98751

34

0.9951041.00123

0.9952751.00082

1.00190.99963

終止條件【注】高斯-賽德爾迭代法比雅可比迭代法收斂快。

6.2Gauss-Seidel迭代法n階方程組的Gauss-Seidel迭代法

等價方程組

終止條件6.2Gauss-Seidel迭代法Gauss-Seidel迭代法的矩陣描述

G-S迭代公式的矩陣形式

6.2Gauss-Seidel迭代法

Jacobi發(fā)散，G-S發(fā)散.

Jacobi發(fā)散，而G-S10次達(dá)到精度0.001雅可比迭代法和高斯-賽德爾迭代法可能同時發(fā)散；也可能同時收斂，但一個快另一個慢；可能一個收斂而另一個發(fā)散。

6.2Gauss-Seidel迭代法

G-S迭代格式G-S迭代矩陣

G-S迭代矩陣第一列為06.3迭代法的收斂性6.3迭代法的收斂性

等價形式為

迭代公式

迭代法收斂，否則發(fā)散

6.3迭代法的收斂性定義和定理

6.3迭代法的收斂性定義和定理

6.3迭代法的收斂性例6.3.1證明:Jacobi收斂，G-S發(fā)散。

證明1)

∴Jacobi收斂。2)

G-S發(fā)散6.3迭代法的收斂性特殊方程組的迭代法收斂性定義2（對角占優(yōu)矩陣）行占優(yōu)：弱對角占優(yōu)矩陣：

且至少有一個不等式是嚴(yán)格成立。

定義3可約矩陣：

6.3迭代法的收斂性特殊方程組的迭代法收斂性

例

嚴(yán)格對角占優(yōu),∴Jacobi和G-S收斂.6.4超松弛迭代法6.4超松弛迭代法基本思想SOR迭代法:G-S迭代法基礎(chǔ)上,用參數(shù)校正殘差加速.

6.4超松弛迭代法

6.4超松弛迭代法超松弛迭代法的矩陣描述

超松弛迭代公式的矩陣形式

6.4超松弛迭代法

用G-S迭代得

用SOR方法

6.4超松弛迭代法迭代計算結(jié)果

12345111.3431.195451.20347211.491.47531.402361.40287351.71.6161.650951.60198151.59390590.790.81520.8295850.7895530.7999129SOR迭代5次，與G-S法迭代10次的結(jié)果大體相同，SOR方法的松馳因子起到了加速收斂的重要作用.數(shù)值積分與微分07Chapter7.1引言7.1引言

——Riemann積分積分的概念

即7.1引言黎曼是世界數(shù)學(xué)史上最具獨(dú)創(chuàng)精神的數(shù)學(xué)家之一,著作不多，卻異常深刻，富于對概念的創(chuàng)造與想象，思想極其深邃難以理解。許多奠基性、創(chuàng)造性的工作，直接影響了19世紀(jì)以后的數(shù)學(xué)發(fā)展，在黎曼思想的影響下數(shù)學(xué)許多分支取得了輝煌成就。■黎曼幾何、流形、微分流形、橢圓幾何的創(chuàng)始人愛因斯坦用黎曼幾何將廣義相對論幾何化。黎曼幾何是現(xiàn)代理論物理必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)?！鐾晟莆⒎e分理論的出杰人物之一

■解析數(shù)論、與復(fù)變函數(shù)的里程碑■組合拓?fù)涞拈_拓者■代數(shù)幾何的奠基人

■在數(shù)學(xué)物理、微分方程等領(lǐng)域貢獻(xiàn)卓著7.1引言根據(jù)定義計算

積分的計算Riemann積分從定義上基本不可算

Newton-Leibniz公式求定積分的值,Newton-Leibnitz公式無論在理論上還是在解決實(shí)際問題上都起了很大作用，但它并不能完全解決定積分的計算問題7.1引言N-L公式的局限性積分學(xué)涉及的實(shí)際問題極為廣泛，而且極其復(fù)雜，在實(shí)際計算中經(jīng)常遇到以下三種情況：1.被積函數(shù)有原函數(shù)，但形式復(fù)雜難解

2.找不到原函數(shù)

7.1引言希望研究一種新的積分方法來解決N-L公式所不能或很難解決的積分問題數(shù)值積分方法

7.1引言

左矩形公式

右矩形公式中矩形公式梯形公式

Simpson公式

7.1引言

求積系數(shù)求積節(jié)點(diǎn)值機(jī)械求積公式求積節(jié)點(diǎn)

為截斷誤差,又稱求積余項.7.1引言數(shù)值積分方法是近似方法近似程度(精度)代數(shù)精度考慮如何衡量代數(shù)精度

如果

但

7.1引言

考查

如果

則

一般，如果

則7.1引言

即

因此，判斷代數(shù)精度只需用最簡多項式

7.1引言代數(shù)精度

7.1引言

所以梯形公式具有1次代數(shù)精度

7.1引言

所以Simpson公式具有3次代數(shù)精度

7.1引言

具有三階的代數(shù)精度7.1引言

為插值型求積公式插值型求積公式

4.1引言

證:充分性

必要性所以該求積公式為插值型。

7.2Newton-Cotes公式7.2Newton-cotes公式Cotes系數(shù)

7.2Newton-cotes公式

Cotes系數(shù)

Newton-Cotes公式7.2Newton-cotes公式Cotes系數(shù)

Simpson求積公式

梯形公式

Cotes求積公式4.2Newton-cotes公式

7.2Newton-cotes公式

數(shù)值積分的誤差分析

7.2Newton-cotes公式以梯形公式誤差為例

7.2Newton-cotes公式

梯形公式Simpson公式

Cotes公式

7.2Newton-cotes公式

如何改進(jìn)復(fù)化求積法復(fù)化求積法第一步：等分區(qū)間：

第三步：求和

7.2Newton-cotes公式

7.2Newton-cotes公式復(fù)化求積公式的誤差復(fù)化梯形公式為

則

7.2Newton-cotes公式同理，復(fù)化Simpson和復(fù)化Cotes公式的誤差分別為

復(fù)化梯形、復(fù)化Simpson和復(fù)化Cotes公式分別具有二階、四階和六階收斂精度。7.2Newton-cotes公式

7.3Romberg算法7.3Romberg算法考察復(fù)化梯形公式

二分前的步長

7.3Romberg算法

可以得到兩個結(jié)果結(jié)果一:

區(qū)間二分后的誤差是二分前后差值的三分之一結(jié)果二：

加速公式7.3Romberg算法

令

即

則

7.3Romberg算法考察復(fù)化Simpson公式

可以驗(yàn)證得

7.3Romberg算法考察復(fù)化Cotes公式

記

稱Romberg公式7.3Romberg算法Romberg算法計算步驟

1.梯形公式2.變步長梯形公式3.加速公式

（1）二分前的步長（2）二分前的區(qū)間中值

二分點(diǎn)7.3Romberg算法解：

因此

例7.3.1：計算

對照值

7.3Romberg算法

7.3Romberg算法例7.3.2：用Romberg算法計算

0***1**2*3

7.4Gauss公式7.4Gauss公式

定義：如果適當(dāng)選取求積公式

Gauss點(diǎn)

7.4Gauss公式Gauss點(diǎn)

定義

Gauss定理：對于插值型求積公式

即

7.4Gauss公式Gauss-Legendre公式回顧：Legendre多項式

n=3時

n=2時n=1時

見P587.4Gauss公式Legendre多項式的兩個重要結(jié)論

（1）

（2）

且

則Gauss-Legendre公式7.4Gauss公式Gauss-Legendre公式

例如取

利用兩個Gauss點(diǎn)構(gòu)造求積公式：代入求積公式

又因?yàn)橛?次代數(shù)精度（n=1)所以

即7.4Gauss公式兩點(diǎn)Gauss-Legendre求積公式因此

類似可得三點(diǎn)Gauss-Legendre求積公式

7.4Gauss公式解：（1）

7.4Gauss公式

7.4Gauss公式得Gauss點(diǎn)

根據(jù)代數(shù)精度得

即

7.4Gauss公式7.4Gauss公式梯形和Simpson求積公式低精度的方法,但對于光滑性較差的被積函教有時效果比用高精度的方法還好,再加上公式簡單,因而使用非常廣泛.特別在計算上,復(fù)化的梯形公式和Simpson公式便于采用逐次分半的方法,計算程序十分簡單Romberg求積方法算法簡單,程序也便于實(shí)現(xiàn),且當(dāng)節(jié)點(diǎn)加密時,前面的計算結(jié)果直接參與后面的計算,因而大大減少了計算量.此方法的一個最大缺點(diǎn)是節(jié)點(diǎn)的增加是成倍的。Gauss型求枳公式最高代數(shù)精度的求積方法,但它的節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)都沒有規(guī)律,當(dāng)節(jié)點(diǎn)增加時,前面的計算結(jié)果不能被利用,只能重新計算。它的最大優(yōu)點(diǎn)是適用于某些無窮區(qū)間上的廣義積分的計算。7.5數(shù)值微分7.5數(shù)值微分

關(guān)于微分的計算通過微分法則基本可以得到任意可微初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),但對于列表函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)通常使用數(shù)值微分。

微分的數(shù)值運(yùn)算大多應(yīng)用于微分方程的離散化。

即將微分方程轉(zhuǎn)化為離散點(diǎn)上的代數(shù)方程.7.5數(shù)值微分插值函數(shù)數(shù)值微分法

思想方法：以插值多項式近似代替函數(shù)，以插值多項式在節(jié)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值近似代替函數(shù)在節(jié)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值。推導(dǎo)公式：用此方法求微商，可以先求出插值多項式，然后各點(diǎn)上的微商就可以同時求出。

7.5數(shù)值微分

常用的數(shù)值微分公式

一階微商的兩點(diǎn)公式一階微商的三點(diǎn)公式

7.5數(shù)值微分一階微商的五點(diǎn)公式三點(diǎn)公式與五點(diǎn)公式中有中點(diǎn)項。由于中點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值的表達(dá)式中不含有中點(diǎn)的函數(shù)值項，且函數(shù)值項的系數(shù)不大，因此選取節(jié)點(diǎn)的方法：在考察的節(jié)點(diǎn)兩側(cè)選取。中點(diǎn)微分公式精度較高。實(shí)際應(yīng)用中,多利用中點(diǎn)微分公式。用五點(diǎn)公式求數(shù)值導(dǎo)數(shù),其精確度高于三點(diǎn)公式(同階導(dǎo)數(shù))。7.5數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分在常微分方程離散化的應(yīng)用例

記

7.5數(shù)值微分整理得

即有其中事實(shí)上，本方程的解析解為

7.5數(shù)值微分解析解近似解h=(b-a)/10近似解h=(b-a)/20誤差h=(b-a)/10誤差h=(b-a)/20u11.45521.49741.47690.04220.0217u21.90331.98251.94410.07920.0408u32.33842.44762.39460.10920.0562u42.75552.88612.82270.13060.0672u53.15103.29293.22400.14190.0730u63.52293.66473.59590.14180.0730u73.87154.00023.93770.12870.0662u84.19884.30034.25100.10150.0522u94.50944.56844.53980.05900.03047.5數(shù)值微分N=20時N=10時常微分方程數(shù)值解法08Chapter8.1引言8.1引言在工程和科學(xué)計算中，所建立的各種常微分方程的初值或邊值問題，除很少幾類的特殊方程能給出解析解，絕大多數(shù)的方程是很難甚至不可能給出解析解的，其主要原因在于積分工具的局限性。

因此，人們轉(zhuǎn)向用數(shù)值方法去解常微分方程，并獲得相當(dāng)大的成功，討論和研究常微分方程的數(shù)值解法是有重要意義的。8.1引言常微分方程與解為n階常微分方程。

8.1引言

方程的通解滿足定解條件的解微分關(guān)系（方程）解的圖示8.1引言一階常微分方程的初值問題

實(shí)際中常常需要求解常微分方程的定解，這類問題最簡單的形式是一階方程的初值問題：定解條件（初始條件）8.1引言

僅有極少數(shù)的方程可以通過“常數(shù)變易法”、“可分離變量法”等特殊方法求得初等函數(shù)形式的解，絕大部分方程至今無法理論求解。如

等等實(shí)際問題中歸結(jié)出來的微分方程主要靠數(shù)值解法.8.1引言數(shù)值解的思想

兩種：單步法、多步法8.1引言*數(shù)學(xué)界關(guān)注工程師關(guān)注如果找不到解函數(shù)數(shù)學(xué)界還關(guān)注：解的存在性解的唯一性解的光滑性解的振動性解的周期性解的穩(wěn)定性解的混沌性……8.2初值問題數(shù)值解法的構(gòu)造8.2初值問題數(shù)值解法的構(gòu)造Taylor展開可借助Taylor展開（導(dǎo)數(shù)法）、差商法、積分法實(shí)現(xiàn)離散化來構(gòu)造求積公式

Euler格式截斷誤差8.2初值問題數(shù)值解法的構(gòu)造

18世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)家之一，13歲時入讀巴塞爾大學(xué)，15歲大學(xué)畢業(yè)，16歲獲得碩士學(xué)位。

1727年-1741年（20歲-34歲）在彼得堡科學(xué)院從事研究工作，在分析學(xué)、數(shù)論、力學(xué)方面均有出色成就，并應(yīng)俄國政府要求，解決了不少地圖學(xué)、造船業(yè)等實(shí)際問題。

24歲晉升物理學(xué)教授。

1735年（28歲）右眼失明。

1741年-1766（34歲-59歲）任德國科學(xué)院物理數(shù)學(xué)所所長，任職25年。在行星運(yùn)動、剛體運(yùn)動、熱力學(xué)、彈道學(xué)、人口學(xué)、微分方程、曲面微分幾何等研究領(lǐng)域均有開創(chuàng)性的工作。

1766年應(yīng)沙皇禮聘重回彼得堡，在1771年（64歲）左眼失明。

Euler是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，平均以每年800頁的速度寫出創(chuàng)造性論文。他去世后，人們用35年整理出他的研究成果74卷。

8.2初值問題數(shù)值解法的構(gòu)造差商法

用向前差分近似導(dǎo)數(shù)

Euler公式

用向后差分近似導(dǎo)數(shù)

向后Euler公式

8.2初值問題數(shù)值解法的構(gòu)造積分法對方程兩邊取積分取不同的數(shù)值積分可得不同的求解公式

用左矩形公式Euler公式

用右矩形公式

向后Euler公式用梯形公式

梯形公式8.2初值問題數(shù)值解法的構(gòu)造