2025屆福建省莆田市高中畢業(yè)班高考數(shù)學(xué)二模試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2025屆福建省莆田市高中畢業(yè)班高考數(shù)學(xué)二模試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為,若函數(shù)在處取得極大值,則函數(shù)的圖象可能是()A. B.C. D.2.已知直線與圓有公共點(diǎn),則的最大值為()A.4 B. C. D.3.若不相等的非零實(shí)數(shù),,成等差數(shù)列,且,,成等比數(shù)列,則()A. B. C.2 D.4.△ABC中,AB=3,,AC=4,則△ABC的面積是()A. B. C.3 D.5.如圖,平面與平面相交于,,,點(diǎn),點(diǎn),則下列敘述錯(cuò)誤的是()A.直線與異面B.過只有唯一平面與平行C.過點(diǎn)只能作唯一平面與垂直D.過一定能作一平面與垂直6.定義在R上的函數(shù)滿足,為的導(dǎo)函數(shù),已知的圖象如圖所示,若兩個(gè)正數(shù)滿足,的取值范圍是()A. B. C. D.7.橢圓是日常生活中常見的圖形,在圓柱形的玻璃杯中盛半杯水,將杯體傾斜一個(gè)角度,水面的邊界即是橢圓.現(xiàn)有一高度為12厘米,底面半徑為3厘米的圓柱形玻璃杯,且杯中所盛水的體積恰為該玻璃杯容積的一半(玻璃厚度忽略不計(jì)),在玻璃杯傾斜的過程中(杯中的水不能溢出),杯中水面邊界所形成的橢圓的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.8.已知等差數(shù)列的公差為-2,前項(xiàng)和為,若,,為某三角形的三邊長,且該三角形有一個(gè)內(nèi)角為,則的最大值為()A.5 B.11 C.20 D.259.函數(shù)在上單調(diào)遞減,且是偶函數(shù),若,則的取值范圍是()A.(2,+∞) B.(﹣∞,1)∪(2,+∞)C.(1,2) D.(﹣∞,1)10.設(shè)i為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),則復(fù)數(shù)z等于()A. B. C. D.011.已知三棱錐中,為的中點(diǎn),平面,,,則有下列四個(gè)結(jié)論:①若為的外心,則;②若為等邊三角形,則;③當(dāng)時(shí),與平面所成的角的范圍為;④當(dāng)時(shí),為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),若OM∥平面,則在內(nèi)軌跡的長度為1.其中正確的個(gè)數(shù)是().A.1 B.1 C.3 D.412.二項(xiàng)式的展開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是()A.180 B.90 C.45 D.360二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知集合,.若,則實(shí)數(shù)a的值是______.14.已知公差大于零的等差數(shù)列中,、、依次成等比數(shù)列,則的值是__________.15.已知圓柱的兩個(gè)底面的圓周在同一個(gè)球的球面上,圓柱的高和球半徑均為2,則該圓柱的底面半徑為__________.16.已知數(shù)列滿足:點(diǎn)在直線上,若使、、構(gòu)成等比數(shù)列,則______三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),為實(shí)數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線與曲線交于,兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為.(1)求線段長的最小值;(2)求點(diǎn)的軌跡方程.18.(12分)已知,函數(shù).(1)若,求的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若,求的值.19.(12分)誠信是立身之本,道德之基,我校學(xué)生會(huì)創(chuàng)設(shè)了“誠信水站”,既便于學(xué)生用水,又推進(jìn)誠信教育,并用“”表示每周“水站誠信度”,為了便于數(shù)據(jù)分析,以四周為一周期,如表為該水站連續(xù)十二周(共三個(gè)周期)的誠信數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì):第一周第二周第三周第四周第一周期第二周期第三周期(Ⅰ)計(jì)算表中十二周“水站誠信度”的平均數(shù);(Ⅱ)若定義水站誠信度高于的為“高誠信度”,以下為“一般信度”則從每個(gè)周期的前兩周中隨機(jī)抽取兩周進(jìn)行調(diào)研,計(jì)算恰有兩周是“高誠信度”的概率;(Ⅲ)已知學(xué)生會(huì)分別在第一個(gè)周期的第四周末和第二個(gè)周期的第四周末各舉行了一次“以誠信為本”的主題教育活動(dòng),根據(jù)已有數(shù)據(jù),說明兩次主題教育活動(dòng)的宣傳效果,并根據(jù)已有數(shù)據(jù)陳述理由.20.(12分)如圖所示,在四棱錐中,∥,,點(diǎn)分別為的中點(diǎn).(1)證明:∥面;(2)若,且,面面,求二面角的余弦值.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量,,其中.(1)求的值;(2)若,且,求的值.22.(10分)山東省2020年高考將實(shí)施新的高考改革方案.考生的高考總成績將由3門統(tǒng)一高考科目成績和自主選擇的3門普通高中學(xué)業(yè)水平等級(jí)考試科目成績組成,總分為750分.其中,統(tǒng)一高考科目為語文、數(shù)學(xué)、外語,自主選擇的3門普通高中學(xué)業(yè)水平等級(jí)考試科目是從物理、化學(xué)、生物、歷史、政治、地理6科中選擇3門作為選考科目,語、數(shù)、外三科各占150分,選考科目成績采用“賦分制”,即原始分?jǐn)?shù)不直接用,而是按照學(xué)生分?jǐn)?shù)在本科目考試的排名來劃分等級(jí)并以此打分得到最后得分.根據(jù)高考綜合改革方案,將每門等級(jí)考試科目中考生的原始成績從高到低分為A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8個(gè)等級(jí)。參照正態(tài)分布原則,確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.等級(jí)考試科目成績計(jì)入考生總成績時(shí),將A至E等級(jí)內(nèi)的考生原始成績,依照等比例轉(zhuǎn)換法則,分別轉(zhuǎn)換到91-100、81-90、71-80,61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間,得到考生的等級(jí)成績.舉例說明.某同學(xué)化學(xué)學(xué)科原始分為65分,該學(xué)科C+等級(jí)的原始分分布區(qū)間為58~69,則該同學(xué)化學(xué)學(xué)科的原始成績屬C+等級(jí).而C+等級(jí)的轉(zhuǎn)換分區(qū)間為61~70,那么該同學(xué)化學(xué)學(xué)科的轉(zhuǎn)換分為:設(shè)該同學(xué)化學(xué)科的轉(zhuǎn)換等級(jí)分為x,69-6565-58=70-x四舍五入后該同學(xué)化學(xué)學(xué)科賦分成績?yōu)?7.(1)某校高一年級(jí)共2000人,為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù),對(duì)六個(gè)選考科目進(jìn)行測(cè)試,其中物理考試原始成績基本服從正態(tài)分布ξ~N(60,12(i)若小明同學(xué)在這次考試中物理原始分為84分,等級(jí)為B+,其所在原始分分布區(qū)間為82~93,求小明轉(zhuǎn)換后的物理成績;(ii)求物理原始分在區(qū)間(72,84)的人數(shù);(2)按高考改革方案,若從全省考生中隨機(jī)抽取4人,記X表示這4人中等級(jí)成績?cè)趨^(qū)間[61,80]的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.(附:若隨機(jī)變量ξ~N(μ,σ2),則Pμ-σ<ξ<μ+σ=0.682

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

由題意首先確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),然后結(jié)合題意確定函數(shù)在區(qū)間和處函數(shù)的特征即可確定函數(shù)圖像.【詳解】函數(shù)在上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為,且函數(shù)在處取得極大值,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.時(shí),,時(shí),,當(dāng)或時(shí),;當(dāng)時(shí),.故選:【點(diǎn)睛】根據(jù)函數(shù)取得極大值,判斷導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)附近左側(cè)為正,右側(cè)為負(fù),由正負(fù)情況討論圖像可能成立的選項(xiàng),是判斷圖像問題常見方法,有一定難度.2、C【解析】

根據(jù)表示圓和直線與圓有公共點(diǎn),得到,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)楸硎緢A,所以,解得,因?yàn)橹本€與圓有公共點(diǎn),所以圓心到直線的距離,即,解得,此時(shí),因?yàn)?,在遞增,所以的最大值.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的方程,直線與圓的位置關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì),還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.3、A【解析】

由題意,可得,,消去得,可得,繼而得到,代入即得解【詳解】由,,成等差數(shù)列,所以,又,,成等比數(shù)列,所以,消去得,所以,解得或,因?yàn)?,,是不相等的非零?shí)數(shù),所以,此時(shí),所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用,考查了學(xué)生概念理解,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.4、A【解析】

由余弦定理求出角,再由三角形面積公式計(jì)算即可.【詳解】由余弦定理得:,又,所以得,故△ABC的面積.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用,三角形的面積公式,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.5、D【解析】

根據(jù)異面直線的判定定理、定義和性質(zhì),結(jié)合線面垂直的關(guān)系,對(duì)選項(xiàng)中的命題判斷.【詳解】A.假設(shè)直線與共面,則A,D,B,C共面,則AB,CD共面,與,矛盾,故正確.B.根據(jù)異面直線的性質(zhì)知,過只有唯一平面與平行,故正確.C.根據(jù)過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直知,故正確.D.根據(jù)異面直線的性質(zhì)知,過不一定能作一平面與垂直,故錯(cuò)誤.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線的定義,性質(zhì)以及線面關(guān)系,還考查了理解辨析的能力,屬于中檔題.6、C【解析】

先從函數(shù)單調(diào)性判斷的取值范圍,再通過題中所給的是正數(shù)這一條件和常用不等式方法來確定的取值范圍.【詳解】由的圖象知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增,而,故由可知.故,又有,綜上得的取值范圍是.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性和不等式的基礎(chǔ)知識(shí),屬于中檔題.7、C【解析】

根據(jù)題意可知當(dāng)玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時(shí),水面邊界所形成橢圓的離心率最大,由橢圓的幾何性質(zhì)即可確定此時(shí)橢圓的離心率,進(jìn)而確定離心率的取值范圍.【詳解】當(dāng)玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時(shí),水面邊界所形成橢圓的離心率最大.此時(shí)橢圓長軸長為,短軸長為6,所以橢圓離心率,所以.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義及其性質(zhì)的簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

由公差d=-2可知數(shù)列單調(diào)遞減,再由余弦定理結(jié)合通項(xiàng)可求得首項(xiàng),即可求出前n項(xiàng)和,從而得到最值.【詳解】等差數(shù)列的公差為-2,可知數(shù)列單調(diào)遞減,則,,中最大,最小,又,,為三角形的三邊長,且最大內(nèi)角為,由余弦定理得,設(shè)首項(xiàng)為,即得,所以或,又即,舍去,,d=-2前項(xiàng)和.故的最大值為.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用,考查求前n項(xiàng)和的最值問題,同時(shí)還考查了余弦定理的應(yīng)用.9、B【解析】

根據(jù)題意分析的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,即可得到的單調(diào)區(qū)間,利用對(duì)稱性以及單調(diào)性即可得到的取值范圍。【詳解】根據(jù)題意,函數(shù)滿足是偶函數(shù),則函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,若函數(shù)在上單調(diào)遞減,則在上遞增,所以要使,則有,變形可得,解可得:或,即的取值范圍為;故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查偶函數(shù)的性質(zhì),以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,有一定綜合性,屬于中檔題。10、B【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則,即可求解.【詳解】.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

由線面垂直的性質(zhì),結(jié)合勾股定理可判斷①正確;反證法由線面垂直的判斷和性質(zhì)可判斷②錯(cuò)誤;由線面角的定義和轉(zhuǎn)化為三棱錐的體積,求得C到平面PAB的距離的范圍,可判斷③正確;由面面平行的性質(zhì)定理可得線面平行,可得④正確.【詳解】畫出圖形:若為的外心,則,平面,可得,即,①正確;若為等邊三角形,,又可得平面,即,由可得,矛盾,②錯(cuò)誤;若,設(shè)與平面所成角為可得,設(shè)到平面的距離為由可得即有,當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào).可得的最大值為,即的范圍為,③正確;取中點(diǎn),的中點(diǎn),連接由中位線定理可得平面平面可得在線段上,而,可得④正確;所以正確的是:①③④故選:C【點(diǎn)睛】此題考查立體幾何中與點(diǎn)、線、面位置關(guān)系有關(guān)的命題的真假判斷,處理這類問題,可以用已知的定理或性質(zhì)來證明,也可以用反證法來說明命題的不成立.屬于一般性題目.12、A【解析】試題分析:因?yàn)榈恼归_式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,所以,,令,則,.考點(diǎn):1.二項(xiàng)式定理;2.組合數(shù)的計(jì)算.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、9【解析】

根據(jù)集合交集的定義即得.【詳解】集合,,,,則a的值是9.故答案為:9【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集,是基礎(chǔ)題.14、【解析】

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等比中項(xiàng)的性質(zhì),化簡求出公差與的關(guān)系,然后轉(zhuǎn)化求解的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,由于、、依次成等比數(shù)列,則,即,,解得,因此,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式以及等比中項(xiàng)的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

由圓柱外接球的性質(zhì),即可求得結(jié)果.【詳解】解:由于圓柱的高和球半徑均為2,,則球心到圓柱底面的距離為1,設(shè)圓柱底面半徑為,由已知有,∴,即圓柱的底面半徑為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查由圓柱的外接球的性質(zhì)求圓柱底面半徑,屬于基礎(chǔ)題.16、13【解析】

根據(jù)點(diǎn)在直線上可求得,由等比中項(xiàng)的定義可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】在上,,成等比數(shù)列,,即,解得:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)三項(xiàng)成等比數(shù)列求解參數(shù)值的問題,涉及到等比中項(xiàng)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】

(1)將曲線的方程化成直角坐標(biāo)方程為,當(dāng)時(shí),線段取得最小值,利用幾何法求弦長即可.(2)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí),設(shè),由利用向量的數(shù)量積等于可求解,最后驗(yàn)證當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)也滿足.【詳解】解曲線的方程化成直角坐標(biāo)方程為即圓心,半徑,曲線為過定點(diǎn)的直線,易知在圓內(nèi),當(dāng)時(shí),線段長最小為當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí),設(shè),化簡得當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),也滿足上式,故點(diǎn)的軌跡方程為【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)與普通方程的互化、直線與圓的位置關(guān)系、列方程求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,屬于基礎(chǔ)題.18、(1);(2).【解析】

(1)利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)的解析式為,然后解不等式,可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)由得出,并求出的值,利用兩角差的正弦公式可求出的值.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,由,得,因此,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2),,,,,,.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵,屬中等題.19、(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)兩次活動(dòng)效果均好,理由詳見解析.【解析】

(Ⅰ)結(jié)合表中的數(shù)據(jù),代入平均數(shù)公式求解即可;(Ⅱ)設(shè)抽到“高誠信度”的事件為,則抽到“一般信度”的事件為,則隨機(jī)抽取兩周,則有兩周為“高誠信度”事件為,利用列舉法列出所有的基本事件和事件所包含的基本事件,利用古典概型概率計(jì)算公式求解即可;(Ⅲ)結(jié)合表中的數(shù)據(jù)判斷即可.【詳解】(Ⅰ)表中十二周“水站誠信度”的平均數(shù).(Ⅱ)設(shè)抽到“高誠信度”的事件為,則抽到“一般信度”的事件為,則隨機(jī)抽取兩周均為“高誠信度”事件為,總的基本事件為共15種,事件所包含的基本事件為共10種,由古典概型概率計(jì)算公式可得,.(Ⅲ)兩次活動(dòng)效果均好.理由:活動(dòng)舉辦后,“水站誠信度'由和看出,后繼一周都有提升.【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)公式和古典概型概率計(jì)算公式;考查運(yùn)算求解能力;利用列舉法正確列舉出所有的基本事件是求古典概型概率的關(guān)鍵;屬于中檔題、常考題型.20、(1)證明見解析(2)【解析】

(1)根據(jù)題意,連接交于,連接,利用三角形全等得,進(jìn)而可得結(jié)論;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量求得平面的法向量,進(jìn)而可得二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:連接交于,連接,,≌,且,面面,面,(2)取中點(diǎn),連,.由,面面面,又由,以分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,,,,,,為面的一個(gè)法向量,設(shè)面的

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