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上海市寶山區(qū)2025屆高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.甲乙丙丁四人中,甲說:我年紀(jì)最大,乙說:我年紀(jì)最大,丙說:乙年紀(jì)最大,丁說:我不是年紀(jì)最大的,若這四人中只有一個(gè)人說的是真話,則年紀(jì)最大的是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁2.如圖,在中,,是上一點(diǎn),若,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.3.雙曲線的右焦點(diǎn)為,過點(diǎn)且與軸垂直的直線交兩漸近線于兩點(diǎn),與雙曲線的其中一個(gè)交點(diǎn)為,若,且,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.4.設(shè)為自然對數(shù)的底數(shù),函數(shù),若,則()A. B. C. D.5.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)記作,已知復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn),復(fù)數(shù):滿足.則等于()A. B. C. D.6.設(shè)全集U=R,集合,則()A.{x|-1<x<4} B.{x|-4<x<1} C.{x|-1≤x≤4} D.{x|-4≤x≤1}7.已知直線是曲線的切線,則()A.或1 B.或2 C.或 D.或18.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,則“”是“”的()A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要9.設(shè),則““是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必條件10.已知定義在上的奇函數(shù)滿足:(其中),且在區(qū)間上是減函數(shù),令,,,則,,的大小關(guān)系(用不等號連接)為()A. B.C. D.11.已知函數(shù),為圖象的對稱中心,若圖象上相鄰兩個(gè)極值點(diǎn),滿足,則下列區(qū)間中存在極值點(diǎn)的是()A. B. C. D.12.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.過拋物線C:()的焦點(diǎn)F且傾斜角為銳角的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),過線段的中點(diǎn)N且垂直于l的直線與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)M,若,則l的斜率為______.14.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象,則函數(shù)的最大值為______.15.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則__________.16.不等式的解集為________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若的解集包含,求的取值范圍.18.(12分)直線與拋物線相交于,兩點(diǎn),且,若,到軸距離的乘積為.(1)求的方程;(2)設(shè)點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn),當(dāng)面積最小時(shí),求直線的方程.19.(12分)已知函數(shù)()的圖象在處的切線為(為自然對數(shù)的底數(shù))(1)求的值;(2)若,且對任意恒成立,求的最大值.20.(12分)(1)求曲線和曲線圍成圖形的面積;(2)化簡求值:.21.(12分)在中,、、的對應(yīng)邊分別為、、,已知,,.(1)求;(2)設(shè)為中點(diǎn),求的長.22.(10分)在三棱柱中,,,,且.(1)求證:平面平面;(2)設(shè)二面角的大小為,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
分別假設(shè)甲乙丙丁說的是真話,結(jié)合其他人的說法,看是否只有一個(gè)說的是真話,即可求得年紀(jì)最大者,即可求得答案.【詳解】①假設(shè)甲說的是真話,則年紀(jì)最大的是甲,那么乙說謊,丙也說謊,而丁說的是真話,而已知只有一個(gè)人說的是真話,故甲說的不是真話,年紀(jì)最大的不是甲;②假設(shè)乙說的是真話,則年紀(jì)最大的是乙,那么甲說謊,丙說真話,丁也說真話,而已知只有一個(gè)人說的是真話,故乙說謊,年紀(jì)最大的也不是乙;③假設(shè)丙說的是真話,則年紀(jì)最大的是乙,所以乙說真話,甲說謊,丁說的是真話,而已知只有一個(gè)人說的是真話,故丙在說謊,年紀(jì)最大的也不是乙;④假設(shè)丁說的是真話,則年紀(jì)最大的不是丁,而已知只有一個(gè)人說的是真話,那么甲也說謊,說明甲也不是年紀(jì)最大的,同時(shí)乙也說謊,說明乙也不是年紀(jì)最大的,年紀(jì)最大的只有一人,所以只有丙才是年紀(jì)最大的,故假設(shè)成立,年紀(jì)最大的是丙.綜上所述,年紀(jì)最大的是丙故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查合情推理,解題時(shí)可從一種情形出發(fā),推理出矛盾的結(jié)論,說明這種情形不會(huì)發(fā)生,考查了分析能力和推理能力,屬于中檔題.2、C【解析】
由題意,可根據(jù)向量運(yùn)算法則得到(1﹣m),從而由向量分解的唯一性得出關(guān)于t的方程,求出t的值.【詳解】由題意及圖,,又,,所以,∴(1﹣m),又t,所以,解得m,t,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理,根據(jù)分解的唯一性得到所求參數(shù)的方程是解答本題的關(guān)鍵,本題屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】
根據(jù)已知得本題首先求出直線與雙曲線漸近線的交點(diǎn),再利用,求出點(diǎn),因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上,及,代入整理及得,又已知,即可求出離心率.【詳解】由題意可知,代入得:,代入雙曲線方程整理得:,又因?yàn)?,即可得到,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是雙曲線的簡單幾何性質(zhì)和向量的坐標(biāo)運(yùn)算,離心率問題關(guān)鍵尋求關(guān)于,,的方程或不等式,由此計(jì)算雙曲線的離心率或范圍,屬于中檔題.4、D【解析】
利用與的關(guān)系,求得的值.【詳解】依題意,所以故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)值的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得出復(fù)數(shù),進(jìn)而得出,由得出可計(jì)算出,由此可計(jì)算出.【詳解】由于復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn),,則,,,因此,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算,考查了復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示、共軛復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的除法,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】
解一元二次不等式求得集合,由此求得【詳解】由,解得或.因?yàn)榛颍?故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法,考查集合補(bǔ)集的概念和運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】
求得直線的斜率,利用曲線的導(dǎo)數(shù),求得切點(diǎn)坐標(biāo),代入直線方程,求得的值.【詳解】直線的斜率為,對于,令,解得,故切點(diǎn)為,代入直線方程得,解得或1.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)切線方程求參數(shù),屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】
首先根據(jù)等比數(shù)列分別求出滿足,的基本量,根據(jù)基本量的范圍即可確定答案.【詳解】為等比數(shù)列,若成立,有,因?yàn)楹愠闪?,故可以推出且,若成立,?dāng)時(shí),有,當(dāng)時(shí),有,因?yàn)楹愠闪ⅲ杂?,故可以推出,,所以“”是“”的充分不必要條件.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列基本量的求解,充分必要條件的集合關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
解出兩個(gè)不等式的解集,根據(jù)充分條件和必要條件的定義,即可得到本題答案.【詳解】由,得,又由,得,因?yàn)榧?,所以“”是“”的必要不充分條件.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查必要不充分條件的判斷,其中涉及到絕對值不等式和一元二次不等式的解法.10、A【解析】因?yàn)椋?,即周期為4,因?yàn)闉槠婧瘮?shù),所以可作一個(gè)周期[-2e,2e]示意圖,如圖在(0,1)單調(diào)遞增,因?yàn)?,因此,選A.點(diǎn)睛:函數(shù)對稱性代數(shù)表示(1)函數(shù)為奇函數(shù),函數(shù)為偶函數(shù)(定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱);(2)函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱,函數(shù)關(guān)于直線對稱,(3)函數(shù)周期為T,則11、A【解析】
結(jié)合已知可知,可求,進(jìn)而可求,代入,結(jié)合,可求,即可判斷.【詳解】圖象上相鄰兩個(gè)極值點(diǎn),滿足,即,,,且,,,,,,當(dāng)時(shí),為函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn),而.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)的簡單應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是性質(zhì)的靈活應(yīng)用.12、D【解析】
利用輔助角公式,化簡函數(shù)的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性,并采用整體法,可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,由,解得,即函?shù)的增區(qū)間為,所以當(dāng)時(shí),增區(qū)間的一個(gè)子集為.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了輔助角公式,考查正弦型函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,重點(diǎn)在于把握正弦函數(shù)的單調(diào)性,同時(shí)對于整體法的應(yīng)用,使問題化繁為簡,難度較易.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
分別過A,B,N作拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,,,根據(jù)拋物線定義和求得,從而求得直線l的傾斜角.【詳解】分別過A,B,N作拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,,,由拋物線的定義知,,,因?yàn)?,所以,所以,即直線的傾斜角為,又直線與直線l垂直且直線l的傾斜角為銳角,所以直線l的傾斜角為,.故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查拋物線的定義,根據(jù)已知條件做出輔助線利用拋物線定義和幾何關(guān)系即可求解,屬于較易題目.14、【解析】
由三角函數(shù)圖象相位變換后表達(dá)函數(shù)解析式,再利用三角恒等變換與輔助角公式整理的表達(dá)式,進(jìn)而由三角函數(shù)值域求得最大值.【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象,則所以,當(dāng)函數(shù)最大,最大值為故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查表示三角函數(shù)圖象平移后圖象的解析式,還考查了利用三角恒等變換化簡函數(shù)式并求最值,屬于簡單題.15、【解析】
由題意,設(shè)等比數(shù)列的公比為,根據(jù)已知條件,列出方程組,求得的值,利用求和公式,即可求解.【詳解】由題意,設(shè)等比數(shù)列的公比為,因?yàn)?,即,解得,,所?【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用,其中解答中根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,正確求解首項(xiàng)和公比是解答本題的關(guān)鍵,著重考查了推理與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
通過平方,將無理不等式化為有理不等式求解即可?!驹斀狻坑傻?,解得,所以解集是。【點(diǎn)睛】本題主要考查無理不等式的解法。三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】
(1)對范圍分類整理得:,分類解不等式即可.(2)利用已知轉(zhuǎn)化為“當(dāng)時(shí),”恒成立,利用絕對值不等式的性質(zhì)可得:,問題得解.【詳解】當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),由得,解得;當(dāng)時(shí),無解;當(dāng)時(shí),由得,解得,所以的解集為(2)的解集包含等價(jià)于在上恒成立,當(dāng)時(shí),等價(jià)于恒成立,而,∴,故滿足條件的的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題主要考查了含絕對值不等式的解法,還考查了轉(zhuǎn)化能力及絕對值不等式的性質(zhì),考查計(jì)算能力,屬于中檔題.18、(1);(2)【解析】
(1)設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo),由距離之積為16,可得.利用向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算,將轉(zhuǎn)化為.再利用兩點(diǎn)均在拋物線上,即可求得p的值,從而求出拋物線的方程;(2)設(shè)出直線l的方程,代入拋物線方程,由韋達(dá)定理發(fā)現(xiàn)直線l恒過定點(diǎn),將面積用參數(shù)t表示,求出其最值,并得出此時(shí)的直線方程.【詳解】解:(1)由題設(shè),因?yàn)?,到軸的距離的積為,所以,又因?yàn)?,,,所以拋物線的方程為.(2)因?yàn)橹本€與拋物線兩個(gè)公共點(diǎn),所以的斜率不為,所以設(shè)聯(lián)立,得,即,,即直線恒過定點(diǎn),所以,當(dāng)時(shí),面積取得最小值,此時(shí).【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,直線與拋物線相交的問題,其中垂直條件的轉(zhuǎn)化,直線過定點(diǎn)均為該題的關(guān)鍵,屬于綜合性較強(qiáng)的題.19、(1)a=-1,b=1;(2)-1.【解析】(1)對求導(dǎo)得,根據(jù)函數(shù)的圖象在處的切線為,列出方程組,即可求出的值;(2)由(1)可得,根據(jù)對任意恒成立,等價(jià)于對任意恒成立,構(gòu)造,求出的單調(diào)性,由,,,,可得存在唯一的零點(diǎn),使得,利用單調(diào)性可求出,即可求出的最大值.(1),.由題意知.(2)由(1)知:,∴對任意恒成立對任意恒成立對任意恒成立.令,則.由于,所以在上單調(diào)遞增.又,,,,所以存在唯一的,使得,且當(dāng)時(shí),,時(shí),.即在單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.所以.又,即,∴.∴.∵,∴.又因?yàn)閷θ我夂愠闪ⅲ?,?點(diǎn)睛:利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題,首先要構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最值,進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍;也可分離變量,構(gòu)造函數(shù),直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.20、(1)(2)【解析】
(1)求曲線和曲線圍成的圖形面積,首先求出兩曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)0、1,然后求在區(qū)間上的定積分.(2)首先利用二倍角公式及兩角差的余弦公式計(jì)算出,然后再整體代入可得;【詳解】解:(1)聯(lián)立解得,,所以曲線和曲線圍成的圖形面積.(2)∴【點(diǎn)睛】本題考查定積分求曲邊形的面積以及三角恒等變換的應(yīng)用,屬于中檔題.21、(1);(2).【解析】
(1)直接根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出,結(jié)合正弦定理求出;(2)結(jié)合第一問的結(jié)論以及余弦定理即可求解.【詳解】解:(1)∵,且,∴,由正弦定理,∴,∵∴銳角,∴(2)∵,∴∴∴在中,由余弦定理得∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的運(yùn)用.考查了學(xué)生對三角函數(shù)基礎(chǔ)知識的綜合運(yùn)用.22、(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)要證明平面平面,只需證明平面即可;(2)取的中點(diǎn)D,連接BD,以B為原點(diǎn),以,,的方向分別為x,y,z軸的正方
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