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文檔簡介
2025屆江西省撫州市臨川區(qū)第一中學(xué)高三考前熱身數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.用1,2,3,4,5組成不含重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),要求數(shù)字4不出現(xiàn)在首位和末位,數(shù)字1,3,5中有且僅有兩個數(shù)字相鄰,則滿足條件的不同五位數(shù)的個數(shù)是()A.48 B.60 C.72 D.1202.在中,角所對的邊分別為,已知,.當(dāng)變化時,若存在最大值,則正數(shù)的取值范圍為A. B. C. D.3.已知命題:R,;命題:R,,則下列命題中為真命題的是()A. B. C. D.4.某程序框圖如圖所示,若輸出的,則判斷框內(nèi)為()A. B. C. D.5.如圖所示的莖葉圖為高三某班名學(xué)生的化學(xué)考試成績,算法框圖中輸入的,,,,為莖葉圖中的學(xué)生成績,則輸出的,分別是()A., B.,C., D.,6.在中,“”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.關(guān)于圓周率π,數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法,如著名的浦豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn).受其啟發(fā),我們也可以通過設(shè)計下面的實(shí)驗(yàn)來估計的值:先請全校名同學(xué)每人隨機(jī)寫下一個都小于的正實(shí)數(shù)對;再統(tǒng)計兩數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對的個數(shù);最后再根據(jù)統(tǒng)計數(shù)估計的值,那么可以估計的值約為()A. B. C. D.8.港珠澳大橋于2018年10月2刻日正式通車,它是中國境內(nèi)一座連接香港、珠海和澳門的橋隧工程,橋隧全長55千米.橋面為雙向六車道高速公路,大橋通行限速100km/h,現(xiàn)對大橋某路段上1000輛汽車的行駛速度進(jìn)行抽樣調(diào)查.畫出頻率分布直方圖(如圖),根據(jù)直方圖估計在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間[85,90)的車輛數(shù)和行駛速度超過90km/h的頻率分別為()A.300, B.300, C.60, D.60,9.已知實(shí)數(shù),,函數(shù)在上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.10.已知命題,,則是()A., B.,.C., D.,.11.若平面向量,滿足,則的最大值為()A. B. C. D.12.3本不同的語文書,2本不同的數(shù)學(xué)書,從中任意取出2本,取出的書恰好都是數(shù)學(xué)書的概率是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,,求____________.14.定義在上的奇函數(shù)滿足,并且當(dāng)時,則___15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和公式為,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為___.16.已知向量,且,則___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知平行于x軸的動直線l交拋物線C:于點(diǎn)P,點(diǎn)F為C的焦點(diǎn).圓心不在y軸上的圓M與直線l,PF,x軸都相切,設(shè)M的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程;(2)若直線與曲線E相切于點(diǎn),過Q且垂直于的直線為,直線,分別與y軸相交于點(diǎn)A,當(dāng)線段AB的長度最小時,求s的值.18.(12分)已知數(shù)列滿足,且,,成等比數(shù)列.(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.19.(12分)已知函數(shù),(1)證明:在區(qū)間單調(diào)遞減;(2)證明:對任意的有.20.(12分)已知,函數(shù)有最小值7.(1)求的值;(2)設(shè),,求證:.21.(12分)如圖,在三棱柱中,已知四邊形為矩形,,,,的角平分線交于.(1)求證:平面平面;(2)求二面角的余弦值.22.(10分)已知橢圓,左、右焦點(diǎn)為,點(diǎn)為上任意一點(diǎn),若的最大值為3,最小值為1.(1)求橢圓的方程;(2)動直線過點(diǎn)與交于兩點(diǎn),在軸上是否存在定點(diǎn),使成立,說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
對數(shù)字分類討論,結(jié)合數(shù)字中有且僅有兩個數(shù)字相鄰,利用分類計數(shù)原理,即可得到結(jié)論【詳解】數(shù)字出現(xiàn)在第位時,數(shù)字中相鄰的數(shù)字出現(xiàn)在第位或者位,共有個數(shù)字出現(xiàn)在第位時,同理也有個數(shù)字出現(xiàn)在第位時,數(shù)字中相鄰的數(shù)字出現(xiàn)在第位或者位,共有個故滿足條件的不同的五位數(shù)的個數(shù)是個故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列,組合及簡單計數(shù)問題,解題的關(guān)鍵是對數(shù)字分類討論,屬于基礎(chǔ)題。2、C【解析】
因?yàn)?,,所以根?jù)正弦定理可得,所以,,所以,其中,,因?yàn)榇嬖谧畲笾?,所以由,可得,所以,所以,解得,所以正?shù)的取值范圍為,故選C.3、B【解析】
根據(jù),可知命題的真假,然后對取值,可得命題的真假,最后根據(jù)真值表,可得結(jié)果.【詳解】對命題:可知,所以R,故命題為假命題命題:取,可知所以R,故命題為真命題所以為真命題故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查對命題真假的判斷以及真值表的應(yīng)用,識記真值表,屬基礎(chǔ)題.4、C【解析】程序在運(yùn)行過程中各變量值變化如下表:KS是否繼續(xù)循環(huán)循環(huán)前11第一圈24是第二圈311是第三圈426是第四圈557是第五圈6120否故退出循環(huán)的條件應(yīng)為k>5?本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛:使用循環(huán)結(jié)構(gòu)尋數(shù)時,要明確數(shù)字的結(jié)構(gòu)特征,決定循環(huán)的終止條件與數(shù)的結(jié)構(gòu)特征的關(guān)系及循環(huán)次數(shù).尤其是統(tǒng)計數(shù)時,注意要統(tǒng)計的數(shù)的出現(xiàn)次數(shù)與循環(huán)次數(shù)的區(qū)別.5、B【解析】
試題分析:由程序框圖可知,框圖統(tǒng)計的是成績不小于80和成績不小于60且小于80的人數(shù),由莖葉圖可知,成績不小于80的有12個,成績不小于60且小于80的有26個,故,.考點(diǎn):程序框圖、莖葉圖.6、C【解析】
由余弦函數(shù)的單調(diào)性找出的等價條件為,再利用大角對大邊,結(jié)合正弦定理可判斷出“”是“”的充分必要條件.【詳解】余弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,且,,由,可得,,由正弦定理可得.因此,“”是“”的充分必要條件.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件的判定,同時也考查了余弦函數(shù)的單調(diào)性、大角對大邊以及正弦定理的應(yīng)用,考查推理能力,屬于中等題.7、D【解析】
由試驗(yàn)結(jié)果知對0~1之間的均勻隨機(jī)數(shù),滿足,面積為1,再計算構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對,滿足條件的面積,由幾何概型概率計算公式,得出所取的點(diǎn)在圓內(nèi)的概率是圓的面積比正方形的面積,即可估計的值.【詳解】解:根據(jù)題意知,名同學(xué)取對都小于的正實(shí)數(shù)對,即,對應(yīng)區(qū)域?yàn)檫呴L為的正方形,其面積為,若兩個正實(shí)數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊,則有,其面積;則有,解得故選:.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃可行域問題及隨機(jī)模擬法求圓周率的幾何概型應(yīng)用問題.線性規(guī)劃可行域是一個封閉的圖形,可以直接解出可行域的面積;求解與面積有關(guān)的幾何概型時,關(guān)鍵是弄清某事件對應(yīng)的面積,必要時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量,把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo),找到試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形,以便求解.8、B【解析】
由頻率分布直方圖求出在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的頻率即可得到車輛數(shù),同時利用頻率分布直方圖能求行駛速度超過的頻率.【詳解】由頻率分布直方圖得:在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的頻率為,∴在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的車輛數(shù)為:,行駛速度超過的頻率為:.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查頻數(shù)、頻率的求法,考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.9、D【解析】
根據(jù)題意,對于函數(shù)分2段分析:當(dāng),由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析可得①,當(dāng),由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得,在上恒成立,變形可得②,再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,分析可得③,聯(lián)立三個式子,分析可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,函數(shù)在上單調(diào)遞增,
當(dāng),若為增函數(shù),則①,
當(dāng),若為增函數(shù),必有在上恒成立,
變形可得:,
又由,可得在上單調(diào)遞減,則,
若在上恒成立,則有②,
若函數(shù)在上單調(diào)遞增,左邊一段函數(shù)的最大值不能大于右邊一段函數(shù)的最小值,則需有,③
聯(lián)立①②③可得:.
故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)以及應(yīng)用,注意分段函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì).10、B【解析】
根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題,得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題,可得,本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查含量詞的命題的否定,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】
可根據(jù)題意把要求的向量重新組合成已知向量的表達(dá),利用向量數(shù)量積的性質(zhì),化簡為三角函數(shù)最值.【詳解】由題意可得:,,,故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新組合成已知向量的表達(dá)是本題的關(guān)鍵點(diǎn).本題屬中檔題.12、D【解析】
把5本書編號,然后用列舉法列出所有基本事件.計數(shù)后可求得概率.【詳解】3本不同的語文書編號為,2本不同的數(shù)學(xué)書編號為,從中任意取出2本,所有的可能為:共10個,恰好都是數(shù)學(xué)書的只有一種,∴所求概率為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型,解題方法是列舉法,用列舉法寫出所有的基本事件,然后計數(shù)計算概率.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
求出向量的坐標(biāo),然后利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可計算出結(jié)果.【詳解】,,,因此,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
根據(jù)所給表達(dá)式,結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì),即可確定函數(shù)對稱軸及周期性,進(jìn)而由的解析式求得的值.【詳解】滿足,由函數(shù)對稱性可知關(guān)于對稱,且令,代入可得,由奇函數(shù)性質(zhì)可知,所以令,代入可得,所以是以4為周期的周期函數(shù),則當(dāng)時,所以,所以,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)奇偶性與對稱性的綜合應(yīng)用,周期函數(shù)的判斷及應(yīng)用,屬于中檔題.15、【解析】
由題意,根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系,即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】由題意,可知當(dāng)時,;當(dāng)時,.又因?yàn)椴粷M足,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系求解數(shù)列的通項(xiàng)公式,其中解答中熟記數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系,合理準(zhǔn)確推導(dǎo)是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
由向量平行的坐標(biāo)表示得出,求解即可得出答案.【詳解】因?yàn)椋?,解?故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了由向量共線或平行求參數(shù),屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),(2).【解析】
根據(jù)題意設(shè),可得PF的方程,根據(jù)距離即可求出;點(diǎn)Q處的切線的斜率存在,由對稱性不妨設(shè),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和斜率公式,求,并構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值.【詳解】因?yàn)閽佄锞€C的方程為,所以F的坐標(biāo)為,設(shè),因?yàn)閳AM與x軸、直線l都相切,l平行于x軸,所以圓M的半徑為,點(diǎn),則直線PF的方程為,即,所以,又m,,所以,即,所以E的方程為,,設(shè),,,由知,點(diǎn)Q處的切線的斜率存在,由對稱性不妨設(shè),由,所以,,所以,,所以,.令,,則,由得,由得,所以在區(qū)間單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,所以當(dāng)時,取得極小值也是最小值,即AB取得最小值此時.【點(diǎn)睛】本題考查了直線和拋物線的位置關(guān)系,以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的關(guān)系,考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力,屬于難題.18、(1)見解析;(2)【解析】
(1)因?yàn)?,所以,所以,所以?shù)列是等差數(shù)列,設(shè)數(shù)列的公差為,由可得,因?yàn)槌傻缺葦?shù)列,所以,所以,所以,因?yàn)?,所以,解得(舍去)或,所以,所以.?)由(1)知,,所以,所以.19、(1)答案見解析.(2)答案見解析【解析】
(1)利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)求出,利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可求解.(2)首先證,令,求導(dǎo)可得單調(diào)遞增,由即可證出;再令,再利用導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)遞增,由即可證出.【詳解】(1)顯然時,,故在單調(diào)遞減.(2)首先證,令,則單調(diào)遞增,且,所以再令,所以單調(diào)遞增,即,∴【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,解題的關(guān)鍵掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),屬于難題.20、(1).(2)見解析【解析】
(1)由絕對值三解不等式可得,所以當(dāng)時,,即可求出參數(shù)的值;(2)由,可得,再利用基本不等式求出的最小值,即可得證;【詳解】解:(1)∵,∴當(dāng)時,,解得.(2)∵,∴,∴,當(dāng)且僅當(dāng),即,時,等號成立.∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對值三角不等式及基本不等式的簡單應(yīng)用,屬于中檔題.21、(1)見解析;(2)【解析】
(1)過點(diǎn)作交于,連接,設(shè),連接,由角平分線的性質(zhì),正方形的性質(zhì),三角形的全等,證得,,由線面垂直的判斷定理證得平面,再由面面垂直的判斷得證.(2)平面幾何知識和線面的關(guān)系可證得平面,建立空間直角坐標(biāo)系,求得兩個平面的法向量,根據(jù)二面角的向量計算公式可求得其值.【詳解】(1)如圖,過點(diǎn)作交于,連接,設(shè),連接,,,又為的角平分線,四邊形為正方形,,又,,,,,又為的中點(diǎn),又平面,,平面,又平面,平面平面,(2)在中,,,,在中,,,又,,,,又,,平面,平面,故建立如圖空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,,設(shè)平面的一個法向量為,則,,令,得,設(shè)平面的一個法向量為,則,,令,得,由圖示可知二面角是銳角,故二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查空間的面面垂直關(guān)系的證明,二面角的計算,在證明垂直關(guān)系時,注意運(yùn)用平面幾何中的等腰三角形的“三線合一”,勾股定理、菱形的對角線互相垂直,屬于基礎(chǔ)題.22、(
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