北師版九年級數(shù)學上冊期末復習考題猜想 專題01 特殊平行四邊形（考題猜想易錯必刷40題7種題型專項訓練）

專題01特殊平行四邊形（易錯必刷40題7種題型專項訓練）菱形的性質矩形的性質矩形的判定矩形的判定與性質正方形的性質正方形的判定與性質軸對稱-最短路線問題一．菱形的性質（共5小題）1．如圖，已知菱形ABCD的邊長為6，點M是對角線AC上的一動點，且∠ABC＝120°，則MA+MB+MD的最小值是（）A． B．3+3 C．6+ D．2．如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點D作DH⊥AB于點H，連接OH，若OA＝10，S菱形ABCD＝100，則OH的長為（）A． B．10 C．5 D．3．如圖，點F是菱形對角線BD上一動點，點E是線段BC上一點，且CE＝4BE，連接EF、CF，設BF的長為x，EF+CF＝y(tǒng)，點F從點B運動到點D時，y隨x變化的關系圖象，圖象最低點的縱坐標是（）A． B． C．4 D．4．如圖，邊長為1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，連接對角線AC，以AC為邊作第二個菱形ACC1D1，使∠D1AC＝60°；連接AC1，再以AC1為邊作第三個菱形AC1C2D2，使∠D2AC1＝60°，…，按此規(guī)律所作的第2023個菱形的邊長為（）A． B． C． D．5．如圖，四邊形ABCD為菱形，∠D＝60°，AB＝4，E為邊BC上的動點，連接AE，作AE的垂直平分線GF交直線CD于F點，垂足為點G，則線段GF的最小值為．二．矩形的性質（共14小題）6．如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，AB＝6，BC＝8，過點O作OE⊥AC，交AD于點E，過點E作EF⊥BD，垂足為F，則OE+EF的值為（）A． B． C． D．7．定義：如果一個三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半，那么稱三角形為“智慧三角形”．如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊OA＝3，OC＝4，點M（2，0），在邊AB存在點P，使得△CMP為“智慧三角形”，則點P的坐標為（）A．（3，1）或（3，3） B．（3，）或（3，3） C．（3，）或（3，1） D．（3，）或（3，1）或（3，3）8．如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD交于點O，過點O作BD的垂線分別交AD，BC于E，F(xiàn)兩點．若AC＝2，∠AEO＝120°，則EF的長度為（）A．1 B．2 C． D．9．如圖，∠MON＝90°，矩形ABCD在∠MON的內(nèi)部，頂點A，B分別在射線OM，ON上，AB＝4，BC＝2，則點D到點O的最大距離是（）A．2﹣2 B．2+2 C．2﹣2 D．10．如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，且有一點P從B點沿著BD往D點移動，若過P點作AB的垂線交AB于E點，過P點作AD的垂線交AD于F點，則EF的長度最小為多少（）A． B． C．5 D．711．如圖，矩形ABCD中，對角線BD的垂直平分線MN分別交AD，BC于點M，N．若AM＝1，BN＝2，則BD的長為（）A． B．3 C． D．12．如圖，在矩形AOBC中，點A的坐標是（﹣2，1），點C的縱坐標是4，則B、C兩點的坐標分別是（）A．（，3），（﹣，4） B．（，），（，4） C．（，3），（，4） D．（，），（，4）13．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，點E在CD上，DE＝1，點F是邊AB上一動點，以EF為斜邊作Rt△EFP．若點P在矩形ABCD的邊上，且這樣的直角三角形恰好有兩個，則AF的值是．14．如圖，將矩形ABCD沿直線EF對折，點D恰好與BC邊上的點H重合，∠GFP＝62°，那么∠EHF的度數(shù)等于°．15．如圖，在矩形ABCD中，EF為對角線BD的垂直平分線，分別交AD、BC于點E、F，連接AO，若AO＝4，EF＝6，則AB＝．16．如圖，O為坐標原點，四邊形OABC為矩形，A（20，0），C（0，8），D為OA的中點，點P在邊BC上運動，當PD＝OD時，點P的坐標為．17．如圖，A，B，C，D為矩形的四個頂點，AB＝4cm，AD＝2cm，動點P、Q分別從點A，C同時出發(fā)，都以1cm/s的速度運動，其中點P由A運動到B停止，點Q由點C運動到點D停止．（1）求四邊形PBCQ的面積；（2）P、Q兩點從出發(fā)開始到幾秒時，點P、Q、D組成的三角形是等腰三角形？18．已知，如圖，在長方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延長BC到點E，使CE＝3，連接DE．（1）動點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿BC﹣CD﹣DA向終點A運動，設點P運動的時間為t秒，求當t為何值時，△ABP和△DCE全等？（2）若動點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位的速度僅沿著BE向終點E運動，連接DP．設點P運動的時間為t秒，是否存在t，使△PDE為等腰三角形？若存在，請求出t的值；否則，說明理由．19．如圖，在矩形ABCD中，點E在AB上，AB＝DE，CF⊥DE，垂足為F．（1）求證：CF＝CB；（2）若∠FCB＝30°，且AD＝2，求EF的長．三．矩形的判定（共1小題）20．下列說法中錯誤的是（）A．兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 B．兩條對角線相等的四邊形是矩形 C．兩條對角線互相垂直的矩形是正方形 D．兩條對角線相等的菱形是正方形四．矩形的判定與性質（共2小題）21．如圖，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點D是AB上的一個動點，過點D作DE⊥AC于E點，DF⊥BC于F點，連接EF，則線段EF長的最小值為．22．如圖，在?ABCD中，AC⊥AD，作∠ECA＝∠ACD，CE交AB于點O，交DA的延長線于點E，連接BE．（1）求證：四邊形ACBE是矩形；（2）連接OD，若AB＝4，∠ACD＝60°，求OD的長．五．正方形的性質（共16小題）23．將n個邊長都為1cm的正方形按如圖所示的方法擺放，點A1，A2，…，An分別是正方形對角線的交點，則n個正方形重疊形成的重疊部分的面積和為（）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．（）ncm224．如圖，已知CB＝CA，∠ACB＝90°，點D在邊BC上（與B，C不重合），四邊形ADEF為正方形，過點F作FG⊥CA，交CA的延長線于點G，連接FB，交DE于點Q，得出以下結論：①AC＝FG；②S△FAB：S四邊形CBFG＝1：2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ?AC．其中正確結論的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．425．已知：如圖，在正方形ABCD外取一點E，連接AE，BE，DE．過點A作AE的垂線交DE于點P．若，PB＝10，下列結論：①△APD≌△AEB；②∠AEB＝135°；③；④S△APD+S△APB＝33；⑤CD＝11．其中正確結論的序號是（）A．①②③④ B．①④⑤ C．①②④ D．③④⑤26．如圖，在正方形ABCD和正方形CEFG中，點G在CD上，BC＝8，CE＝4，H是AF的中點，那么CH的長為（）A．4 B．2 C．4 D．227．如圖，正方形ABCD的邊長為10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，連接GH．則線段GH的長（）A． B．10﹣5 C．2 D．28．如圖，在正方形ABCD的外側，作等邊△ADE，則∠ABE為（）A．10° B．15° C．20° D．25°29．一個正方形和兩個等邊三角形的位置如圖所示，若AB∥CD，則∠1+∠2＝（）A．90° B．100° C．110° D．120°30．如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，P是對角線BD上一點，PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F，連接AP，EF．給出下列結論：①PD＝DF；②四邊形PECF的周長為8；③EF的最小值為2；④AP⊥EF．其中正確結論的序號為（）A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③31．如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，點E，F(xiàn)分別在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于點G．若圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3，則△BCG的周長為．32．如圖，在正方形ABCD中，E為對角線AC上一點，連接DE，過點E作EF⊥DE，交BC延長線于點F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．在下列結論中：①DE＝EF；②△DAE≌△DCG；③AC⊥CG；④CE＝CF．其中正確的結論序號是．33．如圖，在正方形ABCD中，AD＝4，點E、F分別為AB、BC上的動點，且AE＝BF，AF與DE交于點O，點P為EF的中點．（1）若AE＝1，則EF的長＝；（2）在整個運動過程中，OP長的最小值為．34．已知邊長為4的正方形OABC在直角坐標系中，OA與y軸的夾角為30°，則點B的坐標是．35．如圖，正方形ABCD的邊長為8，P是邊CD上的一動點，EF⊥BP交BP于G，且EF平分正方形ABCD的面積，則線段GC的最小值是．36．如圖，分別以△ABC的邊AB，AC為邊往外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接BG，CE，EG，若AB＝3，AC＝1，則BC2+EG2的值為．37．如圖，點G是正方形ABCD對角線CA的延長線一點，對角線BD與AC交于點O，以線段AG為邊作一個正方形AEFG，連接EB、GD．（1）求證：EB＝GD；（2）若AB＝5，AG＝2，求EB的長．38．如圖1，在正方形ABCD中，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F．（1）若點E是BC邊上的中點，求證：AE＝EF；（2）如圖2，若點E是BC的延長線上（除C點外）的任意一點，其他條件不變，那么結論“AE＝EF”是否仍然成立，若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；（3）如圖3，若點E是BC邊上的任意點一，在AB邊上是否存在點M，使得四邊形DMEF是平行四邊形？若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由．六．正方形的判定與性質（共1小題）39．如圖，已知四邊形ABCD是正方形，AB＝4，點E為對角線AC上一動點，連接DE，過點E作EF⊥DE，交射線BC于點F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連CG．（1）求證：四邊形DEFG是正方形；（2）求AE2+CE2的最小值．七．軸對稱-最短路線問題（共1小題）40．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，點P在AD上，點Q在BC上，且AP＝CQ，連接CP，QD，則PC+QD的最小值為（）A．10 B．11 C．12 D．13

專題01特殊平行四邊形（易錯必刷40題7種題型專項訓練）菱形的性質矩形的性質矩形的判定矩形的判定與性質正方形的性質正方形的判定與性質軸對稱-最短路線問題一．菱形的性質（共5小題）1．如圖，已知菱形ABCD的邊長為6，點M是對角線AC上的一動點，且∠ABC＝120°，則MA+MB+MD的最小值是（）A． B．3+3 C．6+ D．【答案】D【解答】解：如圖，過點M作ME⊥AB于點E，連接BD交AC于O，∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝DC＝BC，∴△ADB是等邊三角形，∴∠MAE＝30°，∴AM＝2ME，∵MD＝MB，∴MA+MB+MD＝2ME+2DM＝2DE，點M運動到DE上，且DE⊥射線AB時，DE取得最小值，此時DE最短，即MA+MB+MD最小，∵菱形ABCD的邊長為6，∴DE＝＝＝3，∴2DE＝6．∴MA+MB+MD的最小值是6．故選：D．2．如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點D作DH⊥AB于點H，連接OH，若OA＝10，S菱形ABCD＝100，則OH的長為（）A． B．10 C．5 D．【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC＝2AO＝20，又∵S菱形ABCD＝×AC×BD＝20×BD＝100，∴BD＝10，∵DH⊥AB，∴在Rt△BHD中，點O是BD的中點，∴OH＝BD＝10＝5．故選：C．3．如圖，點F是菱形對角線BD上一動點，點E是線段BC上一點，且CE＝4BE，連接EF、CF，設BF的長為x，EF+CF＝y(tǒng)，點F從點B運動到點D時，y隨x變化的關系圖象，圖象最低點的縱坐標是（）A． B． C．4 D．【答案】B【解答】解：如圖1，連接AF，AE，AE交BD于F1，∵在菱形ABCD中點A，點C關于BD對稱，∴AF＝CF，∴y＝EF+CF＝EF+AF，當A、F、E三點在同一直線上時，y取最小值，y的最小值為線段AE的長，如圖2，當x＝0時，y＝6，設BE＝a，則CE＝4a，∴y＝a+5a＝6，∴a＝1，∴BC＝5，由圖2知：BD＝6，如圖3，連接AC交BD于G，連接EG，過點E作EH⊥AC于H，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BG＝BD＝3，由勾股定理得：CG＝4，∴△ECG的面積＝S△BCG＝?CG?EH，∴××3×4＝×4×EH，∴EH＝，∴CH＝＝＝，∴AH＝AC﹣CH＝8﹣＝，∴AE＝＝＝，即圖象最低點的縱坐標是．故選：B．4．如圖，邊長為1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，連接對角線AC，以AC為邊作第二個菱形ACC1D1，使∠D1AC＝60°；連接AC1，再以AC1為邊作第三個菱形AC1C2D2，使∠D2AC1＝60°，…，按此規(guī)律所作的第2023個菱形的邊長為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：連接BD，交AC于點O，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠AOB＝90°，OB＝BD，OA＝AC，DA＝AB＝1，∵∠DAB＝60°，∴△ADB是等邊三角形，∴BD＝AB＝AD＝1，∴OB＝BD＝，∴AO＝＝＝，∴AC＝2AO＝，同理可得：AC1＝3，∴第1個菱形的邊長＝1＝（）0，第2個菱形的邊長＝＝（）1，第3個菱形的邊長＝3＝（）2，…∴第2023個菱形的邊長＝（）2022，故選：B．5．如圖，四邊形ABCD為菱形，∠D＝60°，AB＝4，E為邊BC上的動點，連接AE，作AE的垂直平分線GF交直線CD于F點，垂足為點G，則線段GF的最小值為3．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：連接AC，過點F作FM⊥AC于M，作FN⊥BC延長線于N，連接AF、EF，∵四邊形ABCD是菱形，且∠D＝60°，∴∠B＝∠D＝60°，AD∥BC，∴∠FCN＝∠D＝60°＝∠FCM，∴FM＝FN，∵FG垂直平分AE，∴AF＝EF，∴Rt△AFM≌Rt△EFN（HL），∴∠AFM＝∠EFN，∴∠AFE＝∠MFN，∵∠FMC＝∠FNC＝90°，∠MCN＝120°，∴∠MFN＝60°，∴∠AFE＝60°，∴△AEF是等邊三角形，∴FG＝AG＝，∴當AE⊥BC時，Rt△ABE中，∠B＝60°，∴∠BAE＝30°，∵AB＝4，∴BE＝2，AE＝2，∴當AE⊥BC時，即AE＝2時，F(xiàn)G最小，最小為3；故答案為：3．參考第二種解法如下：取AB中點點P，連接PG，如圖所示，∵GF垂直平分AE，∴AG＝EG，GF⊥AE，∵AP＝BP，∴PG＝BE，由此可見，當點P，G，F(xiàn)共線時，GF有最小值，此時PF⊥AE于點G，AE⊥BC，∴PF＝AD＝AB＝4，PG＝BE＝×2＝1，∴GF＝PF﹣PG＝4﹣1＝3．故答案為：3．二．矩形的性質（共14小題）6．如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，AB＝6，BC＝8，過點O作OE⊥AC，交AD于點E，過點E作EF⊥BD，垂足為F，則OE+EF的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵AB＝6，BC＝8，∴矩形ABCD的面積為48，AC＝＝10，∴AO＝DO＝AC＝5，∵對角線AC，BD交于點O，∴△AOD的面積為12，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12＝AO×EO+DO×EF，∴12＝×5×EO+×5×EF，∴5（EO+EF）＝24，∴EO+EF＝，故選：C．7．定義：如果一個三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半，那么稱三角形為“智慧三角形”．如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊OA＝3，OC＝4，點M（2，0），在邊AB存在點P，使得△CMP為“智慧三角形”，則點P的坐標為（）A．（3，1）或（3，3） B．（3，）或（3，3） C．（3，）或（3，1） D．（3，）或（3，1）或（3，3）【答案】D【解答】解：由題意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°，∴設P（3，a），則AP＝a，BP＝4﹣a；①若∠CPM＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：CP2＝BP2+BC2＝（4﹣a）2+9，在Rt△MPA中，由勾股定理得：MP2＝MA2+AP2＝1+a2，在Rt△MPC中，由勾股定理得：CM2＝MP2+CP2＝1+a2+（4﹣a）2+9＝2a2﹣8a+26，又∵CM2＝OM2+OC2＝4+16＝20，∴2a2﹣8a+26＝20，∴（a﹣3）（a﹣1）＝0，解得：a＝3或a＝1，∴P（3，3）或（3，1）；②若∠CMP＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：CP2＝BP2+BC2＝（4﹣a）2+9，在Rt△MPA中，由勾股定理得：MP2＝MA2+AP2＝1+a2，∵CM2＝OM2+OC2＝20，在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM2+MP2＝CP2，∴20+1+a2＝（4﹣a）2+9，解得：a＝．∴P（3，）．綜上，P（3，）或（3，1）或（3，3）．故選：D．8．如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD交于點O，過點O作BD的垂線分別交AD，BC于E，F(xiàn)兩點．若AC＝2，∠AEO＝120°，則EF的長度為（）A．1 B．2 C． D．【答案】B【解答】解：∵∠AEO＝120°，∠DOE＝90°，∴∠EDO＝30°，又∵AC＝2，∴DO＝BD＝AC＝，∴Rt△DOE中，OE＝tan30°×DO＝1，同理可得，Rt△BOF中，OF＝1，∴EF＝2，故選：B．9．如圖，∠MON＝90°，矩形ABCD在∠MON的內(nèi)部，頂點A，B分別在射線OM，ON上，AB＝4，BC＝2，則點D到點O的最大距離是（）A．2﹣2 B．2+2 C．2﹣2 D．【答案】B【解答】解：取AB中點E，連接OE、DE、OD，∵∠MON＝90°，∴OE＝AB＝2．在Rt△DAE中，利用勾股定理可得DE＝2．在△ODE中，根據(jù)三角形三邊關系可知DE+OE＞OD，∴當O、E、D三點共線時，OD最大為OE+DE＝2+2．故選：B．10．如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，且有一點P從B點沿著BD往D點移動，若過P點作AB的垂線交AB于E點，過P點作AD的垂線交AD于F點，則EF的長度最小為多少（）A． B． C．5 D．7【答案】B【解答】解：如圖，連接AP、EF，∵PE⊥AB，PF⊥AD，∴∠AEP＝∠AFP＝90°．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°．∴四邊形AEPF為矩形．∴AP＝EF．∴要求EF的最小值就是要求AP的最小值．∵點P從B點沿著BD往D點移動，∴當AP⊥BD時，AP取最小值．下面求此時AP的值，在Rt△BAD中，∵∠BAD＝90°，AB＝6，AD＝8，∴BD＝＝＝＝10．∵S△ABD＝＝，∴AP＝＝＝．∴EF的長度最小為：．故本題選B．11．如圖，矩形ABCD中，對角線BD的垂直平分線MN分別交AD，BC于點M，N．若AM＝1，BN＝2，則BD的長為（）A． B．3 C． D．【答案】A【解答】解：由題意，連接BM，記BD與MN交于點O．∵線段MN垂直平分BD，∴BO＝DO，BM＝DM．∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴∠MDO＝∠NBO．又∠DOM＝∠BON，∴△DMO≌△BNO（ASA）．∴DM＝BN＝BM＝2．在Rt△BAM中，∴AB＝＝．∴在Rt△BAD中可得，BD＝＝2．故選：A．12．如圖，在矩形AOBC中，點A的坐標是（﹣2，1），點C的縱坐標是4，則B、C兩點的坐標分別是（）A．（，3），（﹣，4） B．（，），（，4） C．（，3），（，4） D．（，），（，4）【答案】A【解答】解：如圖，過點A作AD⊥x軸于點D，過點B作BE⊥x軸于點E，過點C作CF∥y軸，過點A作AF∥x軸，交點為F，延長CA交x軸于點H，∵四邊形AOBC是矩形，∴AC∥OB，AC＝OB，∴∠CAF＝∠BOE＝∠CHO，在△ACF和△OBE中，，∴△CAF≌△BOE（AAS），∴BE＝CF＝4﹣1＝3，∵∠AOD+∠BOE＝∠BOE+∠OBE＝90°，∴∠AOD＝∠OBE，∵∠ADO＝∠OEB＝90°，∴△AOD∽△OBE，∴＝，即＝，∴OE＝，即點B（，3），∴AF＝OE＝，∴點C的橫坐標為：﹣（2﹣）＝﹣，∴點C（﹣，4）．故選：A．13．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，點E在CD上，DE＝1，點F是邊AB上一動點，以EF為斜邊作Rt△EFP．若點P在矩形ABCD的邊上，且這樣的直角三角形恰好有兩個，則AF的值是0或1＜AF或4．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵△EFP是直角三角形，且點P在矩形ABCD的邊上，∴P是以EF為直徑的圓O與矩形ABCD的交點，①當AF＝0時，如圖1，此時點P有兩個，一個與D重合，一個交在邊AB上；②當⊙O與AD相切時，設與AD邊的切點為P，如圖2，此時△EFP是直角三角形，點P只有一個，解法一：當⊙O與BC相切時，如圖6，連接OP，EP，PF，此時構成三個直角三角形，∵EC∥OP∥BF，EO＝OF，∴PC＝BP＝1，∵DE＝1，CD＝4，∴CE＝3，∵∠ECP＝∠EPF＝∠B＝90°，∴∠EPC＝∠BFP，∴△ECP∽△PBF，∴，即，BF＝，∴AF＝4﹣＝；解法二：當⊙O與BC相切時，如圖4，連接OP，此時構成三個直角三角形，則OP⊥BC，設AF＝x，則BF＝P1C＝4﹣x，EP1＝x﹣1，∵OP∥EC，OE＝OF，∴OG＝EP1＝，∴⊙O的半徑為：OF＝OP＝+（4﹣x），在Rt△OGF中，由勾股定理得：OF2＝OG2+GF2，∴，解得：x＝，∴當1＜AF＜時，這樣的直角三角形恰好有兩個，如圖3，③當AF＝4，即F與B重合時，這樣的直角三角形恰好有兩個，如圖5，綜上所述，則AF的值是：0或1＜AF或4．故答案為：0或1＜AF或4．14．如圖，將矩形ABCD沿直線EF對折，點D恰好與BC邊上的點H重合，∠GFP＝62°，那么∠EHF的度數(shù)等于56°．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵矩形ABCD沿直線EF對折，點D恰好與BC邊上的點H重合，∴∠CFP＝∠GFP，HE∥GF∴∠CFG＝2∠GFP＝124°，∴∠HFG＝180°﹣∠CFG＝56°，∴∠EHF＝∠HFG＝56°．故答案為56．15．如圖，在矩形ABCD中，EF為對角線BD的垂直平分線，分別交AD、BC于點E、F，連接AO，若AO＝4，EF＝6，則AB＝4.8．【答案】4.8．【解答】解：連接BE，∵EF為矩形ABCD的對角線BD的垂直平分線，AO＝4，∴BD＝2DO＝2AO＝8，BE＝DE，∠DOE＝90°，∴DO＝4，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO，∵OB＝OD，∠EOD＝∠FOB，∴△EOD≌△FOB（ASA），∴EO＝OF，∵EF＝6，∴EO＝3，設AE＝x，由勾股定理得：BE＝DE＝＝5，AB2＝BD2﹣AD2＝BE2﹣AE2，∴82﹣（5+x）2＝52﹣x2，∴x＝，∴AB＝＝4.8．故答案為：4.8．16．如圖，O為坐標原點，四邊形OABC為矩形，A（20，0），C（0，8），D為OA的中點，點P在邊BC上運動，當PD＝OD時，點P的坐標為（4，8）或（16，8）．【答案】（4，8）或（16，8）．【解答】解：如圖，作DH⊥BC于H，∵D為OA的中點，A（20，0），∴OD＝10，∵DP＝DO，∴DP＝10，當點P在H左邊時，在Rt△DHP中，由勾股定理得，PH＝＝6，當點P'在H右邊時，HP'＝PH＝6，∴CP＝4，CP'＝16，∴P（4，8）或（16，8），故答案為：（4，8）或（16，8）．17．如圖，A，B，C，D為矩形的四個頂點，AB＝4cm，AD＝2cm，動點P、Q分別從點A，C同時出發(fā)，都以1cm/s的速度運動，其中點P由A運動到B停止，點Q由點C運動到點D停止．（1）求四邊形PBCQ的面積；（2）P、Q兩點從出發(fā)開始到幾秒時，點P、Q、D組成的三角形是等腰三角形？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設運動時間為t，則AP＝t，CQ＝t，∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝4cm，BC＝AD＝2cm，∠B＝∠C＝90°，∴BP＝4﹣t，∴四邊形PBCQ的面積＝（PB+CQ）?BC＝4×2＝4（cm）2；（2）設P、Q兩點從出發(fā)開始到t秒時，點P、Q、D組成的三角形是等腰三角形，∵CQ＝t，∴DQ＝4﹣t，①當PQ＝DQ＝4﹣t時，如圖1，過P作PH⊥DQ于H，則PH＝AD＝2，DH＝AP＝t，∵CQ＝t，∴HQ＝4﹣2t，∵PH2+HQ2＝PQ2，∴22+（4﹣2t）2＝（4﹣t）2，解得：t＝2，t＝，②當PQ＝PD時，如圖2，過P作PH⊥DQ于H，則PH＝AD＝2，DH＝AP＝HQ＝t，∵CQ＝t，∴HQ＝4﹣2t，∴4﹣2t＝t，∴t＝，③當DQ＝PD時，∴DQ＝4﹣t，∴PD＝DQ＝4﹣t，∵AP2+AD2＝PD2，∴t2+22＝（4﹣t）2，∴t＝，綜上所述，當t＝2秒或t＝秒或t＝秒或t＝秒時，點P、Q、D組成的三角形是等腰三角形．18．已知，如圖，在長方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延長BC到點E，使CE＝3，連接DE．（1）動點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿BC﹣CD﹣DA向終點A運動，設點P運動的時間為t秒，求當t為何值時，△ABP和△DCE全等？（2）若動點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位的速度僅沿著BE向終點E運動，連接DP．設點P運動的時間為t秒，是否存在t，使△PDE為等腰三角形？若存在，請求出t的值；否則，說明理由．【答案】（1）當t為3或13時，△ABP和△DCE全等；（2）t＝3或4或時，△PDE為等腰三角形．【解答】解：（1）若△ABP與△DCE全等，∴BP＝CE或AP＝CE，當BP＝CE＝3時，則t＝3÷1＝3，當AP＝CE＝3時，則t＝（6+6+4﹣3）÷1＝13，∴當t為3或13時，△ABP和△DCE全等；（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，CD⊥BC，在Rt△DCE中，CE＝3，∴DE＝＝5，若△PDE為等腰三角形，則PD＝DE或PE＝DE或PD＝PE，當PD＝DE時，∵PD＝DE，DC⊥BE，∴PC＝CE＝3，∵BP＝BC﹣CP＝3，∴t＝3÷1＝3，當PE＝DE＝5時，∵BP＝BE﹣PE，∴BP＝9﹣5＝4，∴t＝4÷1＝4，當PD＝PE時，∴PE＝PC+CE＝3+PC，∴PD＝3+PC，在Rt△PDC中，DP2＝CD2+PC2．∴（3+PC）2＝16+PC2，∴PC＝，∵BP＝BC﹣PC，∴BP＝，∴t＝÷1＝，綜上所述：當t＝3或4或時，△PDE為等腰三角形．19．如圖，在矩形ABCD中，點E在AB上，AB＝DE，CF⊥DE，垂足為F．（1）求證：CF＝CB；（2）若∠FCB＝30°，且AD＝2，求EF的長．【答案】（1）證明見解答；（2）4﹣2．【解答】（1）證明：如圖，連接CE，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠DCE＝∠BEC，∵AB＝DE，∴CD＝DE，∴∠DCE＝∠DEC，∴∠DEC＝∠BEC，∵∠B＝∠EFC＝90°，CE＝CE，∴△EFC≌△EBC（AAS），∴CF＝CB；（2）解：∵∠FCB＝30°，∠BCD＝90°，∴∠DCF＝60°，∵∠DFC＝90°，∴∠CDF＝30°，∵AD＝BC＝CF＝2，∴CD＝2CF＝4，DF＝2，∴EF＝DE﹣DF＝4﹣2．答：EF的長為4﹣2．三．矩形的判定（共1小題）20．下列說法中錯誤的是（）A．兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 B．兩條對角線相等的四邊形是矩形 C．兩條對角線互相垂直的矩形是正方形 D．兩條對角線相等的菱形是正方形【答案】B【解答】解：A、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故A選項正確；B、對角線相等的平行四邊形才是矩形，故B選項錯誤；C、對角線互相垂直的矩形是正方形，故C選項正確；D、兩條對角線相等的菱形是正方形，故D選項正確；綜上所述，B符合題意，故選：B．四．矩形的判定與性質（共2小題）21．如圖，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點D是AB上的一個動點，過點D作DE⊥AC于E點，DF⊥BC于F點，連接EF，則線段EF長的最小值為2.4．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖，連接CD．∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB＝90°，∴四邊形CFDE是矩形，∴EF＝CD，由垂線段最短，可得當CD⊥AB時，CD最短，即線段EF的值最小，此時，S△ABC＝BC?AC＝AB?CD，即×4×3＝×5?CD，解得CD＝2.4，∴線段EF長的最小值為2.4．故答案為：2.422．如圖，在?ABCD中，AC⊥AD，作∠ECA＝∠ACD，CE交AB于點O，交DA的延長線于點E，連接BE．（1）求證：四邊形ACBE是矩形；（2）連接OD，若AB＝4，∠ACD＝60°，求OD的長．【答案】（1）證明見解答；（2）2．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵AC⊥AD，∴∠EAC＝∠DAC＝90°，∵∠ECA＝∠ACD，∴∠AEC＝∠ADC，∴CE＝CD，∴AE＝AD＝BC，∵AE∥BC，∴四邊形ACBE是平行四邊形，∵∠EAC＝90°，∴四邊形ACBE是矩形；（2）解：如圖，過點O作OF⊥DE于F，由（1）知：四邊形ACBE是矩形，∴對角線AB和CE相等且互相平分，AO＝AB＝2，∴OA＝OC，∵∠ACD＝∠ACO＝60°，∴△AOC是等邊三邊形，∴∠OAC＝60°，∵∠EAC＝90°，∴∠FAO＝90°﹣60°＝30°，Rt△AFO中，OF＝AO＝1，AF＝，Rt△AEB中，AE＝＝2，∴DF＝AF+AD＝+2＝3，∴OD＝＝＝2．五．正方形的性質（共16小題）23．將n個邊長都為1cm的正方形按如圖所示的方法擺放，點A1，A2，…，An分別是正方形對角線的交點，則n個正方形重疊形成的重疊部分的面積和為（）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．（）ncm2【答案】B【解答】解：由題意可得陰影部分面積等于正方形面積的，即是，5個這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為×4，n個這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為×（n﹣1）＝．故選：B．24．如圖，已知CB＝CA，∠ACB＝90°，點D在邊BC上（與B，C不重合），四邊形ADEF為正方形，過點F作FG⊥CA，交CA的延長線于點G，連接FB，交DE于點Q，得出以下結論：①AC＝FG；②S△FAB：S四邊形CBFG＝1：2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ?AC．其中正確結論的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解答】解：∵四邊形ADEF為正方形，∴∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，∴∠CAD+∠FAG＝90°，∵FG⊥CA，∴∠GAF+∠AFG＝90°，∴∠CAD＝∠AFG，在△FGA和△ACD中，，∴△FGA≌△ACD（AAS），∴AC＝FG，故①正確；∵BC＝AC，∴FG＝BC，∵∠ACB＝90°，F(xiàn)G⊥CA，∴FG∥BC，∴四邊形CBFG是矩形，∴∠CBF＝90°，S△FAB＝FB?FG＝S四邊形CBFG，故②正確；∵CA＝CB，∠C＝∠CBF＝90°，∴∠ABC＝∠ABF＝45°，故③正確；∵∠FQE＝∠DQB＝∠ADC，∠E＝∠C＝90°，∴△ACD∽△FEQ，∴AC：AD＝FE：FQ，∴AD?FE＝AD2＝FQ?AC，故④正確；故選：D．25．已知：如圖，在正方形ABCD外取一點E，連接AE，BE，DE．過點A作AE的垂線交DE于點P．若，PB＝10，下列結論：①△APD≌△AEB；②∠AEB＝135°；③；④S△APD+S△APB＝33；⑤CD＝11．其中正確結論的序號是（）A．①②③④ B．①④⑤ C．①②④ D．③④⑤【答案】C【解答】解：①在正方形ABCD，AB＝AD，∠BAD＝90°，∵EA⊥PA，∴∠EAP＝∠BAD＝90°∴∠EAB+∠BAP＝90°，∠PAD+∠BAP＝90°，∴∠EAB＝∠PAD，∵AE＝AP，在△APD和△AEB中，，∴△APD≌△AEB（SAS）；故①成立；②∵AE＝AP＝3，∠EAP＝90°，∴∠AEP＝∠APE＝45°，PE＝AE＝6，∵△APD≌△AEB，∴∠AEB＝∠APD＝180°﹣45°＝135°，故②成立；③∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°，∴EB⊥ED，在Rt△BPE中，PE＝6，PB＝10，∴BE＝＝8，故③不成立；④如圖，連接BD，由②得：PE＝6，BE＝8，∵△APD≌△AEB，∴S△APD+S△APB＝S△AEB+S△APB＝S四邊形AEBP＝S△AEP+S△EPB＝?AE?AP+?PE?BE＝×3×3+×6×8＝33．故④成立；∵△APD≌△AEB，∴PD＝BE＝8，∴S△BDP＝PD?BE＝32，∴S△ABD＝S△APD+S△APB+S△BPD＝33+32＝65，∴S正方形ABCD＝2S△ABD＝130，∴CD2＝130，∴CD＝，故⑤不成立．綜上所述，正確結論的序號是①②④，故選：C．26．如圖，在正方形ABCD和正方形CEFG中，點G在CD上，BC＝8，CE＝4，H是AF的中點，那么CH的長為（）A．4 B．2 C．4 D．2【答案】B【解答】解：連接AC、CF，如圖：∵四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，∴∠ACG＝45°，∠FCG＝45°，∴∠ACF＝90°，∵BC＝8，CE＝4，∴AC＝8，CF＝4，由勾股定理得，AF＝＝4，∵H是AF的中點，∠ACF＝90°，∴CH＝AF＝2，故選：B．27．如圖，正方形ABCD的邊長為10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，連接GH．則線段GH的長（）A． B．10﹣5 C．2 D．【答案】C【解答】解：如圖，延長BG交CH于點E，∵AB＝CD＝10，BG＝DH＝6，AG＝CH＝8，∴AG2+BG2＝AB2，∴△ABG和△DCH是直角三角形，在△ABG和△CDH中，，∴△ABG≌△CDH（SSS），∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，∠AGB＝∠CHD＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°，又∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°，∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，在△ABG和△BCE中，，∴△ABG≌△BCE（ASA），∴BE＝AG＝8，CE＝BG＝6，∠BEC＝∠AGB＝90°，∴GE＝BE﹣BG＝8﹣6＝2，同理可得HE＝2，在Rt△GHE中，GH＝＝＝2，故選：C．28．如圖，在正方形ABCD的外側，作等邊△ADE，則∠ABE為（）A．10° B．15° C．20° D．25°【答案】B【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，△ADE為等邊三角形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝AE＝DE，∠BAD＝90°，∠DAE＝60°，∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝150°，又∵AB＝AE，∴∠ABE＝（180°﹣150°）＝15°．故選：B．29．一個正方形和兩個等邊三角形的位置如圖所示，若AB∥CD，則∠1+∠2＝（）A．90° B．100° C．110° D．120°【答案】A【解答】解：∵AB∥CD∴∠BED＝∠B＝60°∵△CHE的外角和為360°∴∠1+90°+∠2+60°+60°×2＝360°∴∠1+∠2＝90°故選：A．30．如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，P是對角線BD上一點，PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F，連接AP，EF．給出下列結論：①PD＝DF；②四邊形PECF的周長為8；③EF的最小值為2；④AP⊥EF．其中正確結論的序號為（）A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③【答案】B【解答】解：如圖，連接PC，①∵正方形ABCD的邊長為4，P是對角線BD上一點，∴∠PDC＝45°，又∵PF⊥CD，∴∠PFD＝90°，∴△PDF為等腰直角三角形，∴PD＝DF，故①正確；②由①同理得：△BPE是等腰直角三角形，∴PE＝BE，∵∠PEC＝∠ECF＝∠PFC＝90°∴四邊形PECF為矩形，∴四邊形PECF的周長＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2（CE+BE）＝2BC＝2×4＝8，故②正確；③∵四邊形PECF為矩形，∴PC＝EF，∵四邊形ABCD為正方形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，在△ADP和△CDP中，，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴AP＝PC，∴AP＝EF，當AP最小時，EF最小，∴當AP⊥BD時，垂線段最短，即AP＝BD＝2時，EF的最小值等于2；故③錯誤；④延長FP交AB于M，延長AP交EF于H，∵AB∥CD，PF⊥CD，∴FM⊥AB，∵BD平分∠ABC，PM⊥AB，PE⊥BC，∴PM＝PE，∵AP＝EF，∠AMP＝∠EPF＝90°，∴Rt△AMP≌Rt△FPE（HL），∴∠BAP＝∠PFE，∵∠AMP＝90°，∴∠BAP+∠APM＝90°，∵∠APM＝∠HPF，∴∠PFH+∠HPF＝90°，∴∠PHF＝90°，∴AP⊥EF，故④正確；綜上，①②④正確．故選：B．31．如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，點E，F(xiàn)分別在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于點G．若圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3，則△BCG的周長為+3．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3，∴陰影部分的面積為×9＝6，∴空白部分的面積為9﹣6＝3，由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，可得△BCE≌△CDF，∴△BCG的面積與四邊形DEGF的面積相等，均為×3＝，∠CBE＝∠DCF，∵∠DCF+∠BCG＝90°，∴∠CBG+∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°，設BG＝a，CG＝b，則ab＝，又∵a2+b2＝32，∴a2+2ab+b2＝9+6＝15，即（a+b）2＝15，∴a+b＝，即BG+CG＝，∴△BCG的周長＝+3，故答案為：+3．32．如圖，在正方形ABCD中，E為對角線AC上一點，連接DE，過點E作EF⊥DE，交BC延長線于點F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．在下列結論中：①DE＝EF；②△DAE≌△DCG；③AC⊥CG；④CE＝CF．其中正確的結論序號是①②③．【答案】①②③．【解答】解：過E作EM⊥BC于M點，過E作EN⊥CD于N點，如圖所示：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴NE＝NC，∴四邊形EMCN為正方形，∵四邊形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，故①正確；∴矩形DEFG為正方形；∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），故②正確；∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，∴∠ACG＝90°，∴AC⊥CG，故③正確；當DE⊥AC時，點C與點F重合，∴CE不一定等于CF，故④錯誤，綜上所述：①②③．故答案為：①②③．33．如圖，在正方形ABCD中，AD＝4，點E、F分別為AB、BC上的動點，且AE＝BF，AF與DE交于點O，點P為EF的中點．（1）若AE＝1，則EF的長＝；（2）在整個運動過程中，OP長的最小值為．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）∵ABCD是正方形，∴AD＝AB＝4，∠DAB＝∠ABF＝90°，又∵AE＝BF，∴△DAE≌△ABF（SAS），∴∠ADE＝∠BAF，AE＝BF，∵AE＝1，∴BF＝1，BE＝3，∴EF＝＝；故答案為：；（2）∵∠ADE＝∠BAF，∴∠ADE+∠DAF＝∠BAF+∠DAF＝90°，∴∠EOF＝∠AOD＝90°，又∵點P為EF的中點，∴OP＝EF，設AE＝BF＝x，則BE＝4﹣x，∴EF＝＝＝，∴當x＝2時，EF最小為2，即OP最小為；故答案為：．34．已知邊長為4的正方形OABC在直角坐標系中，OA與y軸的夾角為30°，則點B的坐標是（﹣2+2，2+2）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：作AD⊥x軸于D，作CE⊥x軸于E，作BF⊥CE于F，如圖，∵OA與y軸的夾角為30°，∴∠AOD＝60°，∵∠AOC＝90°，∴∠COE＝30°，在Rt△COE中，CE＝OC＝2，OE＝CE＝2，∵∠OCE＝60°，∠BCO＝90°，∴∠BCF＝30°，∴BF＝BC＝2，CF＝BF＝2，∴B（﹣2+2，2+2）．故答案為：（﹣2+2，2+2）．35．如圖，正方形ABCD的邊長為8，P是邊CD上的一動點，EF⊥BP交BP于G，且EF平分正方形ABCD的面積，則線段GC的最小值是．【答案】．【解答】解：如圖，連接AC，BD交于點O．∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∵直線EF平分正方形ABCD的面積，∴直線EF經(jīng)過點O，取OB的中點H，連接CH，GH．∵AB＝AD＝8，∠DAB＝90°，∴BD＝＝，∴OB＝OC＝，OH＝2，∵EF⊥PB，∴∠OGB＝90°，Rt△BOG中，HG＝OB＝，Rt△CHO中，CH＝＝，∵CG≥CH﹣GH＝，∴CG的最小值為．故答案為：．36．如圖，分別以△ABC的邊AB，AC為邊往外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接BG，CE，EG，若AB＝3，AC＝1，則BC2+EG2的值為20．【答案】20．【解答】解：如圖，連接BE，CG，∵正方形ABDE和正方形ACFG，∴AB＝AE，AG＝AC，∠BAE＝∠CAG＝90°，∴∠BAG＝∠CAE，∴△BAG≌△EAC（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，∵∠AHB＝∠OHE，∴∠EOH＝∠BAH＝90°，∴∠EOG＝∠BOC＝90°，∴BC2+EG2＝OB2+OC2+OE2+OG2＝BE2+CG2，∵AB＝3，AC＝1，∴BE2＝32+32＝18，CG2＝12+12＝2，∴BE2+CG2＝18+2＝20，∴BC2+EG2＝20．故答案為：20．