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文檔簡介
廣東省河源市龍川縣隆師中學(xué)2025屆高考數(shù)學(xué)全真模擬密押卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知集合,,若,則()A.4 B.-4 C.8 D.-82.已知函數(shù)若函數(shù)在上零點最多,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.3.如圖,拋物線:的焦點為,過點的直線與拋物線交于,兩點,若直線與以為圓心,線段(為坐標(biāo)原點)長為半徑的圓交于,兩點,則關(guān)于值的說法正確的是()A.等于4 B.大于4 C.小于4 D.不確定4.已知x,,則“”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5.我國著名數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界矚目的成就,哥德巴赫猜想內(nèi)容是“每個大于的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”(注:如果一個大于的整數(shù)除了和自身外無其他正因數(shù),則稱這個整數(shù)為素數(shù)),在不超過的素數(shù)中,隨機(jī)選取個不同的素數(shù)、,則的概率是()A. B. C. D.6.設(shè)雙曲線(a>0,b>0)的右焦點為F,右頂點為A,過F作AF的垂線與雙曲線交于B,C兩點,過B,C分別作AC,AB的垂線交于點D.若D到直線BC的距離小于,則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是()A.B.C.D.7.若表示不超過的最大整數(shù)(如,,),已知,,,則()A.2 B.5 C.7 D.88.已知P是雙曲線漸近線上一點,,是雙曲線的左、右焦點,,記,PO,的斜率為,k,,若,-2k,成等差數(shù)列,則此雙曲線的離心率為()A. B. C. D.9.已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列,且成等比數(shù)列,則()A.4 B.3 C.2 D.110.根據(jù)最小二乘法由一組樣本點(其中),求得的回歸方程是,則下列說法正確的是()A.至少有一個樣本點落在回歸直線上B.若所有樣本點都在回歸直線上,則變量同的相關(guān)系數(shù)為1C.對所有的解釋變量(),的值一定與有誤差D.若回歸直線的斜率,則變量x與y正相關(guān)11.如圖所示,直三棱柱的高為4,底面邊長分別是5,12,13,當(dāng)球與上底面三條棱都相切時球心到下底面距離為8,則球的體積為()A.1605π3 B.64212.已知函數(shù),則不等式的解集為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知關(guān)于x的不等式(ax﹣a2﹣4)(x﹣4)>0的解集為A,且A中共含有n個整數(shù),則當(dāng)n最小時實數(shù)a的值為_____.14.如圖,已知一塊半徑為2的殘缺的半圓形材料,O為半圓的圓心,,殘缺部分位于過點C的豎直線的右側(cè),現(xiàn)要在這塊材料上裁出一個直角三角形,若該直角三角形一條邊在上,則裁出三角形面積的最大值為______.15.已知,,且,則的最小值是______.16.已知拋物線的焦點為,過點且斜率為1的直線交拋物線于兩點,,若線段的垂直平分線與軸交點的橫坐標(biāo)為,則的值為_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=x2?4xsinx?4cosx.(1)討論函數(shù)f(x)在[?π,π]上的單調(diào)性;(2)證明:函數(shù)f(x)在R上有且僅有兩個零點.18.(12分)已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=,(1)求f(x)的最小值;(2)對任意,都有恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;(3)證明:對一切,都有成立.19.(12分)如圖,四棱錐,側(cè)面是邊長為2的正三角形,且與底面垂直,底面是的菱形,為棱上的動點,且.(I)求證:為直角三角形;(II)試確定的值,使得二面角的平面角余弦值為.20.(12分)設(shè)拋物線的焦點為,準(zhǔn)線為,為拋物線過焦點的弦,已知以為直徑的圓與相切于點.(1)求的值及圓的方程;(2)設(shè)為上任意一點,過點作的切線,切點為,證明:.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,點,直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,以軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線與曲線相交于不同的兩點是線段的中點,當(dāng)時,求的值.22.(10分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求曲線在點的切線方程;(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
根據(jù)交集的定義,,可知,代入計算即可求出.【詳解】由,可知,又因為,所以時,,解得.故選:B.【點睛】本題考查交集的概念,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】
將函數(shù)的零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線的交點的個數(shù)問題,畫出函數(shù)的圖象,易知直線過定點,故與在時的圖象必有兩個交點,故只需與在時的圖象有兩個交點,再與切線問題相結(jié)合,即可求解.【詳解】由圖知與有個公共點即可,即,當(dāng)設(shè)切點,則,.故選:D.【點睛】本題考查了函數(shù)的零點個數(shù)的問題,曲線的切線問題,注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,屬于較難的壓軸題.3、A【解析】
利用的坐標(biāo)為,設(shè)直線的方程為,然后聯(lián)立方程得,最后利用韋達(dá)定理求解即可【詳解】據(jù)題意,得點的坐標(biāo)為.設(shè)直線的方程為,點,的坐標(biāo)分別為,.討論:當(dāng)時,;當(dāng)時,據(jù),得,所以,所以.【點睛】本題考查直線與拋物線的相交問題,解題核心在于聯(lián)立直線與拋物線的方程,屬于基礎(chǔ)題4、D【解析】
,不能得到,成立也不能推出,即可得到答案.【詳解】因為x,,當(dāng)時,不妨取,,故時,不成立,當(dāng)時,不妨取,則不成立,綜上可知,“”是“”的既不充分也不必要條件,故選:D【點睛】本題主要考查了充分條件,必要條件的判定,屬于容易題.5、B【解析】
先列舉出不超過的素數(shù),并列舉出所有的基本事件以及事件“在不超過的素數(shù)中,隨機(jī)選取個不同的素數(shù)、,滿足”所包含的基本事件,利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】不超過的素數(shù)有:、、、、、,在不超過的素數(shù)中,隨機(jī)選取個不同的素數(shù),所有的基本事件有:、、、、、、、、、、、、、、,共種情況,其中,事件“在不超過的素數(shù)中,隨機(jī)選取個不同的素數(shù)、,且”包含的基本事件有:、、、,共種情況,因此,所求事件的概率為.故選:B.【點睛】本題考查古典概型概率的計算,一般利用列舉法列舉出基本事件,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】
由題意,根據(jù)雙曲線的對稱性知在軸上,設(shè),則由得:,因為到直線的距離小于,所以,即,所以雙曲線漸近線斜率,故選A.7、B【解析】
求出,,,,,,判斷出是一個以周期為6的周期數(shù)列,求出即可.【詳解】解:.,∴,,,同理可得:;;.;,,…….∴.故是一個以周期為6的周期數(shù)列,則.故選:B.【點睛】本題考查周期數(shù)列的判斷和取整函數(shù)的應(yīng)用.8、B【解析】
求得雙曲線的一條漸近線方程,設(shè)出的坐標(biāo),由題意求得,運(yùn)用直線的斜率公式可得,,,再由等差數(shù)列中項性質(zhì)和離心率公式,計算可得所求值.【詳解】設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為,且,由,可得以為圓心,為半徑的圓與漸近線交于,可得,可取,則,設(shè),,則,,,由,,成等差數(shù)列,可得,化為,即,可得,故選:.【點睛】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì),主要是漸近線方程和離心率,考查方程思想和運(yùn)算能力,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.9、A【解析】
根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列公式直接計算得到答案.【詳解】由成等比數(shù)列得,即,已知,解得.故選:.【點睛】本題考查了等差數(shù)列,等比數(shù)列的基本量的計算,意在考查學(xué)生的計算能力.10、D【解析】
對每一個選項逐一分析判斷得解.【詳解】回歸直線必過樣本數(shù)據(jù)中心點,但樣本點可能全部不在回歸直線上﹐故A錯誤;所有樣本點都在回歸直線上,則變量間的相關(guān)系數(shù)為,故B錯誤;若所有的樣本點都在回歸直線上,則的值與相等,故C錯誤;相關(guān)系數(shù)r與符號相同,若回歸直線的斜率,則,樣本點分布應(yīng)從左到右是上升的,則變量x與y正相關(guān),故D正確.故選D.【點睛】本題主要考查線性回歸方程的性質(zhì),意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.11、A【解析】
設(shè)球心為O,三棱柱的上底面ΔA1B1C1的內(nèi)切圓的圓心為O1,該圓與邊B【詳解】如圖,設(shè)三棱柱為ABC-A1B1C所以底面ΔA1B1C1為斜邊是A1C1則圓O1的半徑為O設(shè)球心為O,則由球的幾何知識得ΔOO1M所以O(shè)M=2即球O的半徑為25所以球O的體積為43故選A.【點睛】本題考查與球有關(guān)的組合體的問題,解答本題的關(guān)鍵有兩個:(1)構(gòu)造以球半徑R、球心到小圓圓心的距離d和小圓半徑r為三邊的直角三角形,并在此三角形內(nèi)求出球的半徑,這是解決與球有關(guān)的問題時常用的方法.(2)若直角三角形的兩直角邊為a,b,斜邊為c,則該直角三角形內(nèi)切圓的半徑r=a+b-c12、D【解析】
先判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,得到,且,解不等式得解.【詳解】由題得函數(shù)的定義域為.因為,所以為上的偶函數(shù),因為函數(shù)都是在上單調(diào)遞減.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.因為,所以,且,解得.故選:D【點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷,考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、-1【解析】
討論三種情況,a<0時,根據(jù)均值不等式得到a(﹣a)≤﹣14,計算等號成立的條件得到答案.【詳解】已知關(guān)于x的不等式(ax﹣a1﹣4)(x﹣4)>0,①a<0時,[x﹣(a)](x﹣4)<0,其中a0,故解集為(a,4),由于a(﹣a)≤﹣14,當(dāng)且僅當(dāng)﹣a,即a=﹣1時取等號,∴a的最大值為﹣4,當(dāng)且僅當(dāng)a4時,A中共含有最少個整數(shù),此時實數(shù)a的值為﹣1;②a=0時,﹣4(x﹣4)>0,解集為(﹣∞,4),整數(shù)解有無窮多,故a=0不符合條件;③a>0時,[x﹣(a)](x﹣4)>0,其中a4,∴故解集為(﹣∞,4)∪(a,+∞),整數(shù)解有無窮多,故a>0不符合條件;綜上所述,a=﹣1.故答案為:﹣1.【點睛】本題考查了解不等式,均值不等式,意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.14、【解析】
分兩種情況討論:(1)斜邊在BC上,設(shè),則,(2)若在若一條直角邊在上,設(shè),則,進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和三角函數(shù)關(guān)系式恒等變形和函數(shù)單調(diào)性即可求出最大值.【詳解】(1)斜邊在上,設(shè),則,則,,從而.當(dāng)時,此時,符合.(2)若一條直角邊在上,設(shè),則,則,,由知.,當(dāng)時,,單調(diào)遞增,當(dāng)時,,單調(diào)遞減,.當(dāng),即時,最大.故答案為:.【點睛】此題考查實際問題中導(dǎo)數(shù),三角函數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用,注意分類討論把所有情況考慮完全,屬于一般性題目.15、1【解析】
先將前兩項利用基本不等式去掉,,再處理只含的算式即可.【詳解】解:,因為,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng),,時等號成立,故答案為:1.【點睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用,但是由于有3個變量,導(dǎo)致該題不易找到思路,屬于中檔題.16、1【解析】
設(shè),寫出直線方程代入拋物線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理求得,由拋物線定義得焦點弦長,求得,再寫出的垂直平分線方程,得,從而可得結(jié)論.【詳解】拋物線的焦點坐標(biāo)為,直線的方程為,據(jù)得.設(shè),則.線段垂直平分線方程為,令,則,所以,所以.故答案為:1.【點睛】本題考查拋物線的焦點弦問題,根據(jù)拋物線的定義表示出焦點弦長是解題關(guān)鍵.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、見解析【解析】
(1)f(x)=2x?4xcosx?4sinx+4sinx=,由f(x)=1,x∈[?π,π]得x=1或或.當(dāng)x變化時,f(x)和f(x)的變化情況如下表:x1f(x)?1+1?1+f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以f(x)在區(qū)間,上單調(diào)遞減,在區(qū)間,上單調(diào)遞增.(2)由(1)得極大值為f(1)=?4;極小值為f()=f()<f(1)<1.又f(π)=f(?π)=π2+4>1,所以f(x)在,上各有一個零點.顯然x∈(π,2π)時,?4xsinx>1,x2?4cosx>1,所以f(x)>1;x∈[2π,+∞)時,f(x)≥x2?4x?4>62?4×6?4=8>1,所以f(x)在(π,+∞)上沒有零點.因為f(?x)=(?x)2?4(?x)sin(?x)?4cos(?x)=x2?4xsinx?4cosx=f(x),所以f(x)為偶函數(shù),從而x<?π時,f(x)>1,即f(x)在(?∞,?π)上也沒有零點.故f(x)僅在,上各有一個零點,即f(x)在R上有且僅有兩個零點.18、(1)(2)((3)見證明【解析】
(1)先求函數(shù)導(dǎo)數(shù),再求導(dǎo)函數(shù)零點,列表分析導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律確定函數(shù)單調(diào)性,最后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性確定最小值取法;(2)先分離不等式,轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題,利用導(dǎo)數(shù)求對應(yīng)函數(shù)最值即得結(jié)果;(3)構(gòu)造兩個函數(shù),再利用兩函數(shù)最值關(guān)系進(jìn)行證明.【詳解】(1)當(dāng)時,單調(diào)遞減,當(dāng)時,單調(diào)遞增,所以函數(shù)f(x)的最小值為f()=;(2)因為所以問題等價于在上恒成立,記則,因為,令函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減;函數(shù)f(x)在(1,+)上單調(diào)遞增;即,即實數(shù)a的取值范圍為(.(3)問題等價于證明由(1)知道,令函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞增;函數(shù)在(1,+)上單調(diào)遞減;所以{,因此,因為兩個等號不能同時取得,所以即對一切,都有成立.【點睛】對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題,在可能的情況下把參數(shù)分離出來,使不等式一端是含有參數(shù)的不等式,另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù),這樣就把問題轉(zhuǎn)化為一端是函數(shù),另一端是參數(shù)的不等式,便于問題的解決.但要注意分離參數(shù)法不是萬能的,如果分離參數(shù)后,得出的函數(shù)解析式較為復(fù)雜,性質(zhì)很難研究,就不要使用分離參數(shù)法.19、(1)見解析;(II).【解析】
試題分析:(1)取中點,連結(jié),以為原點,為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能證明為直角三角形;(2)設(shè),由,得,求出平面的法向量和平面的法向量,,根據(jù)空間向量夾角余弦公式能求出結(jié)果.試題解析:(I)取中點,連結(jié),依題意可知均為正三角形,所以,又平面平面,所以平面,又平面,所以,因為,所以,即,從而為直角三角形.(II)法一:由(I)可知,又平面平面,平面平面,平面,所以平面.以為原點,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則,由可得點的坐標(biāo)所以,設(shè)平面的法向量為,則,即解得,令,得,顯然平面的一個法向量為,依題意,解得或(舍去),所以,當(dāng)時,二面角的余弦值為.法二:由(I)可知平面,所以,所以為二面角的平面角,即,在中,,所以,由正弦定理可得,即解得,又,所以,所以,當(dāng)時,二面角的余弦值為.20、(1)2,;(2)證明見解析.【解析】
(1)由題意得的方程為,根據(jù)為拋物線過焦點的弦,以為直徑的圓與相切于點..利用拋物線和圓的對稱性,可得,圓心為,半徑為2.(2)設(shè),的方程為,代入的方程,得,根據(jù)直線與拋物線相切,令,得,代入,解得.將代入的方程,得,得到點N的坐標(biāo)為,然后求解.【詳解】(1)解:由題意得的方程為,所以,解得.又由拋物線和圓的對稱性可知,所求圓的圓心為,半徑為2.所以圓的方程為.(2)證明:易知直線的斜率存在且不為0,設(shè),的方程為,代入的方程,得.令,得,所以,解得.將代入的方程,得,即點N的坐標(biāo)為,所以,,故.【點睛】本題主要考查拋物線的定義幾何性質(zhì)以及直線與拋物線的位置關(guān)系,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.21、(1);(2).【解析】
(1)在已知極坐標(biāo)方程兩邊同時乘以ρ后,利用ρcosθ=x,ρsinθ=y(tǒng),ρ2=x2+y2可得曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)聯(lián)立直線l的參數(shù)方程與x2=4y由韋達(dá)定理以及參數(shù)的幾何意義和弦長公式可得
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