《數(shù)字信號(hào)處理》課件-第6章

6.1引言6.2FIR濾波器的線性相位特性

6.3用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器

6.4用頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器6.5利用等波紋最佳逼近法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器習(xí)題與上機(jī)題

一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)，若分母多項(xiàng)式A(z)的階數(shù)N=0，則該系統(tǒng)就變成FIR系統(tǒng)，即

6.1引言顯然，系數(shù)b0，b1，…，bM即為該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(0)，h(1)，…，h(M)，且當(dāng)n>M時(shí)，h(n)=0。

由于FIR系統(tǒng)只有零點(diǎn)，因此這一類系統(tǒng)不像IIR系統(tǒng)那樣易取得比較好的通帶與阻帶衰減特性。要取得好的衰減特性，一般要求H(z)的階次要高，即M要大。但FIR系統(tǒng)有自己突出的優(yōu)點(diǎn)，其一是系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，其二是易實(shí)現(xiàn)線性相位，其三是允許設(shè)計(jì)多通帶(或多阻帶)濾波器。后兩項(xiàng)都是IIR系統(tǒng)不易實(shí)現(xiàn)的。

FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法主要分為兩類：第一類是基于逼近理想濾波器特性的方法，包括窗函數(shù)法、頻率采樣法和等波紋最佳逼近法;第二類是最優(yōu)設(shè)計(jì)法。本章主要討論FIR濾波器的線性相位特性以及第一類設(shè)計(jì)方法，側(cè)重于濾波器設(shè)計(jì)方法和相應(yīng)Matlab工具箱函數(shù)的介紹。

FIR濾波器是指系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)僅在有限范圍內(nèi)有非零值的濾波器。N-1階FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)可表示為

(6.2.1)

H(z)是z-1的N-1次多項(xiàng)式，它在z平面上有N-1個(gè)零點(diǎn)，原點(diǎn)z=0是N-1階重極點(diǎn)。6.2FIR濾波器的線性相位特性因此，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器永遠(yuǎn)穩(wěn)定。

FIR濾波器的頻率響應(yīng)H(ejω)為

(6.2.2)

由于H(ejω)一般為復(fù)數(shù)，因此可將其表示成

H(ejω)=|H(ejω)|ejθ(ω)

(6.2.3)式中，|H(ejω)|和θ(ω)分別稱為FIR濾波器的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)。

H(ejω)線性相位是指θ(ω)是ω的線性函數(shù)，即

θ(ω)=-αω

(6.2.4)式中，α為常數(shù)。此時(shí)通過這一系統(tǒng)的各頻率分量的時(shí)延為相同的常數(shù)，系統(tǒng)的群時(shí)延為

(6.2.5)即系統(tǒng)的群時(shí)延是一個(gè)與ω?zé)o關(guān)的常數(shù)α，稱系統(tǒng)H(z)具有嚴(yán)格的線性相位。由于嚴(yán)格線性相位條件在數(shù)學(xué)上處理較為困難，因此在FIR濾波器設(shè)計(jì)中一般使用廣義線性相位。若一個(gè)離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(ejω)可以寫為

(6.2.6)其中，α和β是與ω?zé)o關(guān)的常數(shù)，Hg(ω)為ω的實(shí)函數(shù)(可以取負(fù)值)，則稱為廣義幅頻響應(yīng)，

θ(ω)稱為廣義相頻響應(yīng)。

式(6.2.6)中θ(ω)為

θ(ω)=-αω+β

(6.2.7)

當(dāng)β=0時(shí)，稱滿足式(6.2.7)是第一類線性相位;當(dāng)β≠0(一般)時(shí)，稱滿足式(6.2.7)是第二類線性相位。滿足第一類線性相位的條件是：h(n)是實(shí)序列且關(guān)于

偶對(duì)稱，即

h(n)=h(N-1-n)

(6.2.8)

滿足第二類線性相位的條件是：h(n)是實(shí)序列且關(guān)于

奇對(duì)稱，即

h(n)=-h(N-1-n)

(6.2.9)6.2.1FIR濾波器的第一類線性相位

FIR濾波器滿足第一類線性相位的條件是

h(n)=h(N-1-n)

由于h(n)的點(diǎn)數(shù)N可分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況，因而第一類線性相位又可分為兩類，下面分別進(jìn)行討論。

1.h(n)為偶對(duì)稱，N為奇數(shù)

(6.2.10)顯然

(6.2.11)

滿足第一類線性相位的條件，而

(6.2.12)由于N為奇數(shù)，因此為整數(shù)。由于

cos(nω)關(guān)于ω=0，π，2π這些點(diǎn)都是偶對(duì)稱的，因此Hg(ω)關(guān)于ω=0，π，2π也是偶對(duì)稱的，這種情況適合設(shè)計(jì)低通、高通、帶通、帶阻濾波器。h(n)為偶對(duì)稱，N為奇數(shù)時(shí)的單位脈沖響應(yīng)、幅頻響應(yīng)及相頻響應(yīng)見表6.2.1情況1所示。

2.h(n)為偶對(duì)稱，N為偶數(shù)

采用類似的方法，可以得到

(6.2.13)其相頻響應(yīng)與N為奇數(shù)時(shí)相同，為

而幅頻響應(yīng)為

(6.2.14)由于N為偶數(shù)，因此為0.5的奇數(shù)倍。

關(guān)于ω=π奇對(duì)稱，當(dāng)ω=π時(shí)，因此Hg(π)=0，即H(z)在z=-1處必然有一個(gè)零點(diǎn)，而且Hg(ω)關(guān)于ω=π奇對(duì)稱，如表6.2.1情況2所示。因此，這種情況不適合設(shè)計(jì)高通和帶阻濾波器。6.2.2FIR濾波器的第二類線性相位

FIR濾波器滿足第二類線性相位的條件是

h(n)=-h(N-1-n)

由于h(n)的點(diǎn)數(shù)N可分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況，因而第二類線性相位同樣又可分為兩類，下面分別進(jìn)行討論。

1.h(n)為奇對(duì)稱，N為奇數(shù)

在這種情況下，h(n)的中間項(xiàng)必須為0，因此

(6.2.15)此時(shí)的相位為

(6.2.16)

滿足第二類線性相位條件，而幅頻響應(yīng)為

(6.2.17)由于sin(ωn)在ω=0，π，2π處都為0，因此Hg(ω)在

ω=0，π，2π處為0，也即H(z)在z=±1處都有零點(diǎn)，并且Hg(ω)關(guān)于ω=0，π，2π奇對(duì)稱，如表6.2.1情況3所示。因此，該類型濾波器不適合設(shè)計(jì)低通、高通和帶阻濾波器，只適合設(shè)計(jì)帶通濾波器。

2.h(n)為奇對(duì)稱，N為偶數(shù)

類似于上述方法，可以得到

(6.2.18)

其相位為

而幅頻響應(yīng)為

(6.2.19)

由于在ω=0，2π處為0，因此Hg(ω)在ω=0，2π處為0，即H(z)在z=1上有零點(diǎn)，且關(guān)于ω=0，2π奇對(duì)稱，如表6.2.1情況4所示。

h(n)為奇對(duì)稱的兩種情況，對(duì)任何頻率都有固定的相移，即所有通過該濾波器的信號(hào)的所有頻率都相移，因此第二類線性相位FIR濾波器一般用于正交移相器或微分器。

綜上所述可知，F(xiàn)IR濾波器的單位脈沖響應(yīng)只要滿足對(duì)稱條件，就具有線性相位特性。6.2.3線性相位FIR濾波器的零點(diǎn)特性

由于線性相位FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)具有對(duì)稱特性，即

h(n)=±h(N-1-n)

則

將m=N-1-n代入上式，得

(6.2.20)

因此，其系統(tǒng)函數(shù)具有以下特點(diǎn)：

H(z)=±z-(N-1)H(z-1)

(6.2.21)可以看出，若z=zi是H(z)的零點(diǎn)，則z=也一定是H(z)的零點(diǎn)。由于h(n)是實(shí)數(shù)，H(z)的零點(diǎn)必然共軛成對(duì)出現(xiàn)，因此z=z*i及也必定是零點(diǎn)。zi的位置有四種可能的情況：①zi既不在實(shí)軸上也不在單位圓上，此時(shí)零點(diǎn)是互為倒數(shù)的兩組共軛對(duì)，如圖6.2.1(a)所示；②zi在單位圓上但不在實(shí)軸上，此時(shí)零點(diǎn)為一對(duì)共軛零點(diǎn)，如圖6.2.1(b)所示;③zi在實(shí)軸上但不在單位圓上，這是實(shí)數(shù)零點(diǎn)，沒有復(fù)共軛部分，只有倒數(shù)部分，倒數(shù)也在實(shí)軸上，零點(diǎn)對(duì)如圖6.2.1(c)所示；④zi既在單位圓上又在實(shí)軸上，此時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)，并且只有兩種可能，即z=1或者z=-1，如圖6.2.1(d)所示。圖6.2.1線性相位FIR濾波器的四種不同零點(diǎn)結(jié)構(gòu)(a)zi既不在單位圓上也不在實(shí)軸上;(b)zi在單位圓上但不在實(shí)軸上(c)zi在實(shí)軸上但不在單位圓上;(d)zi既在單位圓上又在實(shí)軸上從幅頻響應(yīng)的討論中已經(jīng)知道，對(duì)于表6.2.1情況2的線性相位濾波器(h(n)偶對(duì)稱，N為偶數(shù))，Hg(π)=0，故必有單根z＝-1;對(duì)于情況4(h(n)奇對(duì)稱，N為偶數(shù))，Hg(0)=0，

故必有單根z=1；對(duì)于情況3(h(n)奇對(duì)稱，N為奇數(shù))，Hg(0)=H(π)=0，故z=1及z=-1都為零點(diǎn)。

線性相位FIR濾波器是FIR濾波器中最重要的一類。在以下的討論中如需要設(shè)計(jì)線性相位FIR濾波器，必須遵循本節(jié)所討論的約束條件。窗函數(shù)法的基本思想是用數(shù)字FIR濾波器去逼近理想的濾波特性。由第5章可知，一個(gè)理想濾波器的脈沖響應(yīng)hd(n)是無限長(zhǎng)的非因果序列，因此理想濾波器不能物理實(shí)現(xiàn)，但可以近似實(shí)現(xiàn)。從5.3.1節(jié)知道，將脈沖響應(yīng)兩邊響應(yīng)值很小的采樣點(diǎn)截去，使脈沖響應(yīng)變?yōu)橛邢揲L(zhǎng)，通過向右移動(dòng)變?yōu)橐蚬蛄衕(n)。窗函數(shù)法就是選擇合適的窗函數(shù)截取hd(n),使之變成數(shù)字FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)。后面會(huì)看到，截取的長(zhǎng)度和窗函數(shù)的類型都直接影響濾波器的指標(biāo)。本節(jié)首先介紹用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器的基本過程及其性能分析，然后介紹幾種常用的窗函數(shù)，最后給出窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器的Matlab實(shí)例。6.3用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器6.3.1窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器的基本方法

1.具體設(shè)計(jì)步驟

具體設(shè)計(jì)步驟如下：

(1)以低通線性相位FIR數(shù)字濾波器為例，如圖6.3.1所示，構(gòu)造希望逼近的理想頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ejω)，通帶截止頻率為ωd，相頻響應(yīng)的常系數(shù)為0，即

(6.3.1)圖6.3.1理想低通濾波器的hd(n)和Hd(ejω)(a)理想低通濾波器的脈沖響應(yīng);(b)理想低通濾波器的頻率響應(yīng)

(2)求出hd(n)。對(duì)Hd(ejω)進(jìn)行ISFT得到

(6.3.2)

(3)移位。把hd(n)向右移M位(，N為FIR濾波器單位脈沖序列的長(zhǎng)度，N-1為濾波器的階數(shù))，得到hd(n-M)，如圖6.3.2所示。圖6.3.2移位后的hd(n)示意圖

(4)加窗得到數(shù)字FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)。

h(n)=hd(n-M)w(n)

(6.3.3)

式中，w(n)稱為窗函數(shù)，其長(zhǎng)度為N。如果要求設(shè)計(jì)第一類線性相位FIR濾波器，則要求h(n)關(guān)于M點(diǎn)偶對(duì)稱，同時(shí)要求w(n)關(guān)于M點(diǎn)偶對(duì)稱。各種常用窗函數(shù)都滿足這種偶對(duì)

稱要求。若構(gòu)造Hd(ejω)為式(6.3.1)表示的線性相位理想低通頻率響應(yīng)函數(shù)，其中，窗函數(shù)選擇矩形窗，即w(n)=wR(n)=RN(n)，窗長(zhǎng)N=31，則有

h(n)及其幅頻響應(yīng)分別如圖6.3.3所示。圖6.3.3用矩形窗函數(shù)設(shè)計(jì)的FIR濾波器的時(shí)域和幅頻響應(yīng)波形(a)時(shí)域波形;(b)幅頻響應(yīng)由圖6.3.3可見，由于加窗移位使h(n)≠hd(n)，因此H(ejω)≠Hd(ejω)，存在誤差。下面討論引起誤差的因素和逼近誤差的定量估計(jì)。

2.加窗移位對(duì)濾波器頻率響應(yīng)的影響

為了分析加窗處理對(duì)濾波器頻率特性的影響，我們首先了解矩形窗函數(shù)的頻譜結(jié)構(gòu)。

1)矩形窗函數(shù)wR(n)的譜

矩形窗函數(shù)表達(dá)式為

(6.3.4)對(duì)窗函數(shù)wR(n)求序列傅里葉變換(SFT)，得其頻譜為

(6.3.5)可以用幅頻響應(yīng)與相頻響應(yīng)來表示W(wǎng)R(ejω)

WR(ejω)=WR(ω)e-jωα

(6.3.6)

其線性相位部分e-jωα只是表示時(shí)延，影響FIR濾波器幅頻響應(yīng)的是它的幅頻響應(yīng)

(6.3.7)矩形窗函數(shù)及其幅頻響應(yīng)如圖6.3.4所示，矩形窗幅頻響應(yīng)在［0，π］內(nèi)有個(gè)波瓣(包括主瓣的半個(gè));主瓣的峰值最大，旁瓣峰值逐漸減小;主瓣寬度兩零點(diǎn)間的寬度)為，旁瓣的寬度Bs為;每個(gè)瓣的面積Sk近似為常數(shù)，且與窗長(zhǎng)N無關(guān)。若命名主瓣兩側(cè)的旁瓣依次為第一旁瓣、第二旁瓣……

第k旁瓣，則隨著k增加，旁瓣面積Sk逐漸減小。圖6.3.4矩形窗函數(shù)wR(n)及其幅頻響應(yīng)WR(ω)(a)矩形窗函數(shù);(b)幅頻響應(yīng)

2)移位對(duì)濾波器頻率響應(yīng)的影響

為使FIR濾波器為因果系統(tǒng)，需要將hd(n)移位，即

h(n)=hd(n-M)

對(duì)上式h(n)求序列傅里葉變換(SFT)，得

H(ejω)=SFT［h(n)］=Hd(ejω)e-jMω

(6.3.8)顯然，對(duì)濾波型濾波器移位不影響濾波器的幅頻響應(yīng)，只是增加了一個(gè)輸出時(shí)延M。下面重點(diǎn)討論移位對(duì)移相型濾波器的影響。

理想濾波器的頻率響應(yīng)除了如圖6.3.1(b)所示的濾波型外，還有一種移相型。移相型濾波器就是要求幅度全通，相移為。其理想移相器的頻率響應(yīng)為

且

(6.3.9)由此可得

(6.3.10)

該理想移相型濾波器的頻率響應(yīng)如圖6.3.5所示。圖6.3.5移相型濾波器的頻率響應(yīng)圖6.3.6用移相器產(chǎn)生正交信號(hào)設(shè)信號(hào)x(n)經(jīng)過理想正交移相器的輸出為，此時(shí)得到的與x(n)正交，以組成復(fù)信號(hào)，即。由于對(duì)理想正交移相器加窗移位的影響，使得實(shí)際移相器的輸出除了時(shí)延外，還增加了一個(gè)輸出時(shí)延M，即，此時(shí)輸出信號(hào)與x(n-M)正交。因此可以用圖6.3.6中的模型產(chǎn)生相互正交的信號(hào)。圖6.3.6中的必須為整數(shù)，所以N必須為奇數(shù)，只有用表6.1中的情況3所對(duì)應(yīng)的相頻響應(yīng)和幅頻響應(yīng)才能滿足式(6.3.9)要求的奇對(duì)稱90°移相特性。

3)截短對(duì)頻率響應(yīng)的影響(吉布斯(Gibbs)效應(yīng))

由于移位不影響濾波器的幅頻響應(yīng)，因此只考慮加窗后h(n)幅頻響應(yīng)的變化。

對(duì)式(6.3.3)進(jìn)行傅里葉變換，根據(jù)卷積公式，得

(6.3.11)令Hd(ejω)=Hd(ω)(相頻響應(yīng)的常系數(shù)為0)，WR(ejω)=WR(ω)e-jωM(矩形窗的長(zhǎng)度為N=2M+1)，則

將H(ejω)寫成下式

H(ejω)=H(ω)e-jωM

則實(shí)際FIR濾波器的幅頻響應(yīng)H(ω)為

(6.3.12)

可見，對(duì)實(shí)際FIR濾被器頻率響應(yīng)的幅頻響應(yīng)H(ω)起影響的是窗函數(shù)頻率響應(yīng)的幅頻響應(yīng)WR(ω)。式(6.3.12)的卷積過程可用圖6.3.7來說明，只要看幾個(gè)特殊的頻率點(diǎn)，就可以看出H(ω)的一般情況。特別要注意卷積過程給H(ω)造成的起伏現(xiàn)象。圖6.3.7矩形窗的卷積過程

(1)當(dāng)ω=0時(shí)，根據(jù)式(6.3.12)，幅頻響應(yīng)H(0)應(yīng)該是Hd(θ)與WR(-θ)兩個(gè)函數(shù)乘積的積分，見圖6.3.7(a)，也就是WR(-θ)在-ωd到ωd一段內(nèi)的積分面積。

由于一般情況下都滿足，因此H(0)可以近似看成是θ從-π到π的WR(-θ)的全部積分面積。將H(0)值歸一化到1。

(2)當(dāng)ω=ωd時(shí)，Hd(θ)正好與WR(ω-θ)的一半重疊，如圖6.3.7(b)所示，因此

(3)當(dāng)時(shí)，WR(ω-θ)的全部主瓣在Hd(θ)的通帶|ω|≤ωd之內(nèi)，但最大的第一旁瓣移出積分區(qū)間，如圖6.3.7(c)所示，因此卷積結(jié)果有最大值，即

頻響出現(xiàn)正肩峰。

(4)當(dāng)時(shí)，WR(ω-θ)的全部主瓣都在Hd(θ)的通帶之外，如圖6.3.7(d)所示，而通帶內(nèi)第一旁瓣起著主導(dǎo)作用，使得負(fù)的面積大于正的面積，因而

為負(fù)的最大值，出現(xiàn)負(fù)的肩峰。

(5)當(dāng)時(shí)，隨著ω的增加，WR(ω-θ)左邊旁瓣的起伏部分將掃過通帶，卷積值也將隨WR(ω-θ)的旁瓣在通帶內(nèi)面積的變化而變化，故H(ω)將圍繞著零值而出現(xiàn)正負(fù)波動(dòng)。卷積得到的H(ω)就如圖6.3.7(e)所示。綜上所述，加窗處理對(duì)理想濾波器的頻率響應(yīng)產(chǎn)生以下幾點(diǎn)影響：

(1)濾波器在ωd處衰減6dB。

(2)理想的Hd(ω)在通帶截止頻率ωd處的間斷點(diǎn)變成了連續(xù)曲線，從而使H(ω)出現(xiàn)一個(gè)過渡帶，其寬度取決于窗函數(shù)的主瓣寬度，對(duì)于矩形窗WR(ω)，其主瓣寬度等于。注意，這里所說的過渡帶是指兩個(gè)肩峰之間的寬度，與濾波器的真正過渡帶還有一些區(qū)別，也就是說，濾波器的過渡帶比這個(gè)數(shù)值要小。

(3)由于窗函數(shù)旁瓣的作用，使幅頻響應(yīng)出現(xiàn)波動(dòng)。旁瓣所包圍的面積越大，通、阻帶波動(dòng)幅度越大，阻帶衰減減少。

(4)增加截取長(zhǎng)度N，則在主瓣附近的窗的頻率響應(yīng)為

(6.3.13)式中，?？梢?，改變N，只能改變窗譜的主瓣寬度、ω坐標(biāo)的比例以及WR(ω)的絕對(duì)值大小，但不能改變主瓣與旁瓣的相對(duì)比例(當(dāng)然N太小，會(huì)影響旁瓣的相對(duì)值)，這個(gè)相對(duì)比例由sinx/x來決定，或者說只由窗函數(shù)的形狀來決定。因而，當(dāng)截取長(zhǎng)度N增加時(shí)，主瓣變窄，這只會(huì)減小過渡帶寬，而不會(huì)改變肩峰的相對(duì)值。例如，在矩形窗情況下，最大相對(duì)肩峰值為8.95％，N增大時(shí)，減小，故起伏振蕩變密，最大肩峰則總是8.95％,見圖6.3.7(e)，這種現(xiàn)象稱為吉布斯(Gibbs)效應(yīng)。窗譜肩峰的大小，影響到H(ω)通帶的平穩(wěn)和阻帶的衰減，對(duì)濾波器影響很大。根據(jù)5.3.2小節(jié)有關(guān)濾波器指標(biāo)的定義，用矩形窗截?cái)啵玫降臑V波器通帶最大衰減和阻帶最小衰減為

【例6.3.1】試設(shè)計(jì)一個(gè)FIR低通濾波器，要求指標(biāo)為：通帶截止頻率ωp=0.5π，阻帶起始頻率ωs=0.54π，阻帶最小衰減αs≥20dB。求FIR數(shù)字低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)。

解第一步：求理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)hd(n)。根據(jù)式(6.3.2)

將ωd=0.5(ωp+ωs)=0.52π代入，得

第二步：選擇截取理想低通濾波器單位脈沖響應(yīng)的窗，并確定窗長(zhǎng)。因?yàn)棣羢≥20dB，矩形窗的阻帶最小衰減為21.71dB，所以選矩形窗即可滿足指標(biāo)。

由于要求過渡帶帶寬Bt=ωs-ωp=0.04π，因此只要矩形窗的主瓣寬度小于過渡帶寬度即可滿足指標(biāo)。所以有Bt=0.04π≥，即N≥100。選N=101，此時(shí)M=50。第三步：將理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)移位hd(n-M)。第四步：截取

6.3.2常用窗函數(shù)的頻譜特點(diǎn)及選擇原則

由于矩形窗截?cái)喈a(chǎn)生的肩峰為8.95％，因此用矩形窗設(shè)計(jì)出的濾波器的阻帶最小衰減為21.71dB。這個(gè)衰減量在實(shí)際工程應(yīng)用中常常是不夠的。由前面的分析可知，阻帶的衰減是由窗函數(shù)旁瓣的面積確定的，可以通過選用旁瓣幅度較小的窗函數(shù)來提高FIR濾波器在阻帶的衰減。由于矩形窗幅度在時(shí)域存在由0到1以及由1到0的跳變，因此矩形窗的頻譜有較多的高頻分量，其旁瓣的相對(duì)幅度比較大。為了減小窗函數(shù)旁瓣的幅度，可選用在時(shí)域幅度較平滑的窗函數(shù)。這類窗函數(shù)的特點(diǎn)是減小了窗函數(shù)旁瓣的相對(duì)幅度，增加了主瓣的寬度。

所以這是以增加過渡帶寬度為代價(jià)來提高FIR濾波器阻帶衰減的。

1.窗函數(shù)的選擇原則

由上一小節(jié)分析可知，一般希望窗函數(shù)滿足以下兩項(xiàng)要求：①窗函數(shù)頻譜的主瓣盡可能得窄，以獲得較陡的過渡帶;②盡量減少窗函數(shù)頻譜的最大旁瓣的幅度，也就是能量盡

量集中于主瓣，使肩峰和波紋幅度減小，增大阻帶衰減。但是實(shí)際設(shè)計(jì)濾波器時(shí)，這兩項(xiàng)指標(biāo)要求是不能同時(shí)得到滿足的，往往是增加了阻帶衰減同時(shí)也增加了過渡帶寬。下面介紹幾種典型的窗函數(shù)及其幅頻響應(yīng)，并給出用這些窗函數(shù)設(shè)計(jì)的FIR數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)。

2.窗函數(shù)介紹

1)矩形窗(RectangleWindow)

矩形窗的時(shí)域及頻域特性在上小節(jié)已詳細(xì)討論過，現(xiàn)歸納如下：

為了方便描述，定義窗函數(shù)幾個(gè)參數(shù)。

旁瓣峰值αn：窗函數(shù)的幅頻響應(yīng)WR(ω)最大旁瓣的最大值相對(duì)主瓣最大值的衰減(dB)。

過渡帶寬度Bt：用窗函數(shù)設(shè)計(jì)的FIR數(shù)字濾波器的過渡帶的寬度。

當(dāng)矩形窗長(zhǎng)分別為N=31，51，71時(shí)，矩形窗函數(shù)的幅頻響應(yīng)如圖6.3.8(a)、(b)和(c)所示。由該圖可以看出矩形窗主瓣寬度與N成反比，但是旁瓣峰值并不隨N增大而減小，也即如果用矩形窗來截取理想濾波器的單位脈沖響應(yīng)，窗長(zhǎng)N的增大并不能增大濾波器的阻帶衰減，但窗長(zhǎng)的增加會(huì)帶來遠(yuǎn)離通帶的阻帶衰減增加。因此，要改善阻帶衰減特性，必須選擇其他類型的窗函數(shù)。圖6.3.9所示為用矩形窗(N=31)截取理想低通濾波器(ωd=0.5π)后所得的FIR低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)和幅頻響應(yīng)，參數(shù)為

圖6.3.8矩形窗長(zhǎng)度N對(duì)幅頻響應(yīng)主瓣寬度的影響(a)N=31;(b)N=51；(c)N=71圖6.3.9用矩形窗設(shè)計(jì)的FIR低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)和幅頻響應(yīng)(a)單位脈沖響應(yīng);(b)幅頻響應(yīng)

2)三角窗(BartlettWindow)

(6.3.14)

(6.3.15)

(6.3.16)

三角窗(N=31)的四種波形如圖6.3.10所示，參數(shù)為αn=-25dB，

圖6.3.10三角窗的四種波形

3)漢寧窗(HanningWindow)——升余弦窗

(6.3.17)利用SFT的調(diào)制特性并代入三角函數(shù)的歐拉公式，得

(6.3.18)

當(dāng)N1時(shí)，N-1≈N，因此幅頻響應(yīng)近似為

(6.3.19)

這三部分之和使旁瓣互相抵消，能量更集中在主瓣，見圖6.3.11，但代價(jià)是主瓣寬度比矩形窗的主瓣寬度增加一倍，即為。

漢寧窗的四種波形如圖6.3.12所示，參數(shù)為圖6.3.11漢寧窗頻譜(a)三部分頻譜相加;(b)相加結(jié)果圖6.3.12漢寧窗的四種波形

4)漢明窗(HammingWindow)——改進(jìn)的升余弦窗

將漢寧窗進(jìn)行改進(jìn)，可以得到旁瓣更小的漢明窗，其形式為

(6.3.20)頻率響應(yīng)為

幅頻響應(yīng)為

(6.3.21)結(jié)果可將99.963％的能量集中在窗譜的主瓣內(nèi)，第一旁瓣的峰值比主瓣小41dB。而與漢寧窗相比，主瓣寬度相同，為。

漢明窗的四種波形如圖6.3.13所示，參數(shù)為

圖6.3.13漢明窗的四種波形

5)布萊克曼窗(BlackmanWindow)——二階升余弦窗

為了更進(jìn)一步抑制旁瓣，可再加上余弦的二次諧波分量，得到布萊克曼窗

(6.3.22)其頻率響應(yīng)為

其幅頻響應(yīng)為(6.3.23)這樣可以得到更低的旁瓣，但是主瓣寬度卻不得不進(jìn)一步加寬到矩形窗的3倍。

布萊克曼窗的四種波形如圖6.3.14所示，參數(shù)為

圖6.3.14布萊克曼窗的四種波形

6)凱塞窗(KaiserWindow)

上面介紹的四種窗函數(shù)都是固定的窗函數(shù)，用每種窗函數(shù)設(shè)計(jì)的濾波器的阻帶最小衰減αs都是固定的。

凱塞窗函數(shù)是一種可調(diào)整的窗函數(shù)，是最有用且最優(yōu)的窗函數(shù)之一，通過調(diào)整控制參數(shù)可以達(dá)到不同的阻帶最小衰減αs，并提供最小的主瓣寬度，也就是最窄的過渡帶。反之，對(duì)給定的指標(biāo)，凱塞窗函數(shù)可以使濾波器階數(shù)最小。凱塞窗是由零階貝塞爾函數(shù)I0(x)構(gòu)成的：

(6.3.24)式中，I0(β)表示零階第一類修正貝塞爾函數(shù)，可以用下式計(jì)算：

(6.3.25)實(shí)際中取前20項(xiàng)就可以滿足精度要求。β是可調(diào)整參數(shù)，β越大，wK(n)窗越寬，即主瓣寬度增加，同時(shí)頻譜旁瓣幅度越小。故改變?chǔ)轮稻涂梢詫?duì)主瓣寬度和旁瓣衰減進(jìn)行選擇，β=0相當(dāng)于矩形窗。圖6.3.15給出了β=8.5和β=5.44兩種情形下的凱塞窗函數(shù)序列的包絡(luò)形狀圖。當(dāng)時(shí)，凱塞窗處于最大值，即

從這一點(diǎn)向兩邊變化時(shí)，wK(n)逐漸減小，最邊上兩點(diǎn)

(6.3.26)

參數(shù)β越大，

wK(n)變化越快，見圖6.3.15。

不同β值的凱塞窗性能如表6.3.1所示。圖6.3.15凱塞窗函數(shù)表6.3.1不同β值的凱塞窗特性對(duì)于凱塞窗，若給定濾波器的過渡帶寬Bt，阻帶最小衰減αs，這時(shí)濾波器長(zhǎng)度N和參數(shù)β和可由下列經(jīng)驗(yàn)公式求得

(6.3.28)(6.3.27)為了便于比較選擇，將上述五種窗函數(shù)的基本參數(shù)列于表6.3.2中。設(shè)計(jì)過程中根據(jù)阻帶最小衰減選擇窗函數(shù)的類型，再根據(jù)過渡帶寬度確定所選窗函數(shù)的長(zhǎng)度N。

表6.3.2中前四種窗函數(shù)，矩形窗過渡帶最窄，阻帶最小衰減最小;布萊克曼窗的過渡帶最寬，但是阻帶最小衰減最大。為了達(dá)到相同的過渡帶寬度，布萊克曼窗的長(zhǎng)度是矩形窗的3倍。表6.3.2幾種窗函數(shù)的性能比較

注意：設(shè)計(jì)濾波器時(shí)，如果根據(jù)窗的主瓣寬度Bm確定FIR濾波器的階數(shù)N，則設(shè)計(jì)出的濾波器會(huì)超出設(shè)計(jì)指標(biāo)要求。如果用精確過渡帶Bt來設(shè)計(jì)，則階數(shù)N要小一些，也可滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)。因此實(shí)際設(shè)計(jì)時(shí)，如果對(duì)FIR濾波器的階數(shù)要求很嚴(yán)格，則可以用窗函數(shù)的精確過渡帶寬來確定窗長(zhǎng)，以減少FIR濾波器的長(zhǎng)度。隨著數(shù)字信號(hào)處理的不斷發(fā)展，已有幾十種窗函數(shù)，除了上述六種窗函數(shù)外，比較有名的還有Chebyshev窗，Gaussian窗。Matlab信號(hào)處理工具箱函數(shù)提供了14種窗函數(shù)的產(chǎn)生函數(shù)，下面列出上述六種窗函數(shù)的產(chǎn)生函數(shù)：

wn=rectwin(N)%列向量wn中返回長(zhǎng)度N的矩形窗函數(shù)w(n)

wn=bartlett(N)%列向量wn中返回長(zhǎng)度N的三角窗函數(shù)w(n)

wn=hann(N)%列向量wn中返回長(zhǎng)度N的漢寧窗函數(shù)w(n)wn=hamming(N)

%列向量wn中返回長(zhǎng)度N的漢明窗函數(shù)w(n)

wn=blackman(N)

%列向量wn中返回長(zhǎng)度N的布萊克曼窗函數(shù)w(n)

wn=kaiser(N，beta)

%列向量wn中返回長(zhǎng)度N的凱塞窗函數(shù)w(n)

例如，hm=hamming(N)產(chǎn)生長(zhǎng)度為N的漢明窗函數(shù)列向量hm。運(yùn)行下面程序即可產(chǎn)生并圖示漢明窗函數(shù)，如圖6.3.16所示。

N=31；whm=hamming(N)；stem(0：N-1，whm，′.′)圖6.3.16hamming窗函數(shù)(N=31)

3.窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器存在的問題

當(dāng)Hd(ejω)很復(fù)雜或不能用式(6.3.2)直接計(jì)算出積分時(shí)，就很難得到或根本得不到hd(n)的表達(dá)式，這時(shí)可用求和代替積分，以便于在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行計(jì)算。將積分限分成M段，對(duì)Hd(ejω)取樣，M個(gè)取樣頻率是，k=0，1，2，…，M-1，于是

(6.3.29)頻域的取樣造成時(shí)域序列的周期延拓，延拓周期是M，即

(6.3.30)

因hd(n)可能是無限長(zhǎng)序列，所以嚴(yán)格說必須當(dāng)M→∞時(shí)，hM(n)才能等于hd(n)而不產(chǎn)生混疊現(xiàn)象，即

(6.3.31)實(shí)際上，由于hd(n)隨著n的增加，衰減很快，一般只要M足夠大，就足夠了。式(6.3.29)正是

的M點(diǎn)離散傅里葉反變換，因此可用FFT來計(jì)算，很快得到結(jié)果。

窗函數(shù)設(shè)計(jì)法的另一個(gè)困難是需要預(yù)先確定窗函數(shù)的形式和窗的長(zhǎng)度N，以滿足待設(shè)計(jì)濾波器的指標(biāo)要求，這一困難可以借助計(jì)算機(jī)采用試探法加以解決。

窗函數(shù)大多都有封閉的公式可循，所以窗函數(shù)設(shè)計(jì)法簡(jiǎn)單、方便、實(shí)用。6.3.3窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器的Matlab實(shí)例

綜上所述，可以歸納出用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)第一類線性相位FIR數(shù)字濾波器的步驟：

(1)根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)，構(gòu)造希望逼近的頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ejω)，并計(jì)算出hd(n);

(2)根據(jù)阻帶最小衰減選擇窗函數(shù)w(n)的類型，再根據(jù)過渡帶寬度確定所選窗函數(shù)的長(zhǎng)度N;

(3)將hd(n)右移位，得hd(n-M);

(4)加窗得到設(shè)計(jì)結(jié)果：h(n)=hd(n-M)w(n)。圖6.3.17帶通濾波器的幅頻響應(yīng)示意圖

【例6.3.2】設(shè)計(jì)一個(gè)FIR帶通濾波器(BPF)，其幅頻響應(yīng)示意圖如圖6.3.17所示，指標(biāo)如下：

ωpl=0.32π，ωpu=0.6π，ωsl=0.28π，ωsu=0.66π，

αs≥50dB

解

(1)求hd(n)。

帶通濾波器的設(shè)計(jì)可以看成兩個(gè)低通濾波器相減得到，即

(2)選擇窗的形式，確定窗的長(zhǎng)度N，因?yàn)棣羢≥50dB，

所以選擇漢明窗，即

確定窗的長(zhǎng)度N

Bt1=|ωsl-ωpl|=0.04π，Bt2=|ωsu-ωpu|=0.06π

注意：設(shè)計(jì)帶通濾波器時(shí)，當(dāng)兩個(gè)過渡帶的寬度不一致時(shí)，一般我們選擇較窄的過渡帶來設(shè)計(jì)。

由于漢明窗的精確過渡帶，因此

(3)移位得hd(n-M)。

(4)所設(shè)計(jì)的濾波器單位脈沖響應(yīng)和幅頻響應(yīng)如圖6.3.18所示。由幅頻響應(yīng)可以看出，根據(jù)漢明窗的精確過渡帶寬

設(shè)計(jì)的FIR帶通濾波器，在ωd1、ωd2處衰減6dB，在0.28π和0.66π處衰減約50dB，基本滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)要求。如果根據(jù)漢明窗的主瓣寬度設(shè)計(jì)FIR帶通濾波器，則N=201，在ωd1、ωd2處衰減6dB，在0.28π和0.66π處衰減約58dB，超出設(shè)計(jì)指標(biāo)要求。圖6.3.18例6.3.2設(shè)計(jì)出FIR帶通濾波器的脈沖響應(yīng)和幅頻響應(yīng)(a)脈沖響應(yīng);(b)幅頻響應(yīng)在實(shí)際應(yīng)用中，用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器時(shí)一般用Matlab工具箱函數(shù)。以上步驟(2)~(4)的解題過程可調(diào)用工具箱函數(shù)fir1實(shí)現(xiàn)。

fir1具有以下多種形式：

hn=fir1(N-1，wn)，返回6dB截止頻率為wn的N-1階(單位脈沖響應(yīng)h(n)的長(zhǎng)度為N)FIR低通濾波器的系數(shù)向量hn，默認(rèn)選用漢明窗。濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)與hn的關(guān)系為h(n)=hn(n+1)，n=0，1，2，…，N-1，而且滿足線性相位條件h(n)=h(N-1-n)。其中wn為對(duì)π歸一化的數(shù)字頻率，范圍是0≤wn≤1。當(dāng)wn=［wn1，wn2］時(shí)，得到的是帶通濾波器，其6dB通帶為wn1≤ω≤wn2。

hn=fir1(N-1，wn，′ftype′)，可設(shè)計(jì)高通和帶阻FIR濾波器。當(dāng)ftype為high時(shí)，設(shè)計(jì)高通濾波器;當(dāng)ftype為stop且wn=［wn1，wn2］時(shí)，設(shè)計(jì)帶阻FIR濾波器。

應(yīng)當(dāng)注意，在設(shè)計(jì)高通和帶阻FIR濾波器時(shí)，階數(shù)N-1只能取偶數(shù)，即h(n)的長(zhǎng)度N只能為奇數(shù)。不過，當(dāng)用戶將N設(shè)置為偶數(shù)時(shí)，fir1會(huì)自動(dòng)對(duì)N加1。

hn=fir1(N-1，wn，window)，可以指定窗函數(shù)向量window。默認(rèn)參數(shù)是漢明窗，其余窗函數(shù)參見6.3.2小節(jié)。

hn=fir1(N-1，wn，′ftype′，window)，通過選擇wn、ftype和window參數(shù)(含義同上)，可以設(shè)計(jì)各種加窗濾波器。用函數(shù)fir2設(shè)計(jì)時(shí)，可以指定任意形狀的頻率響應(yīng)。它實(shí)質(zhì)是一種頻率采樣法(見6.4節(jié))與窗函數(shù)法的綜合設(shè)計(jì)函數(shù)，主要用于幅頻響應(yīng)形狀特殊的濾波器(如數(shù)字微分器

和多帶濾波器等)。用help命令可查閱其調(diào)用格式及調(diào)用參數(shù)的含義。

【例6.3.3】

用Matlab設(shè)計(jì)例6.3.2。

解

clc;clearall;

wpl=0.32*pi;wpu=0.6*pi;wsl=0.28*pi;wsu=0.66*pi；

%設(shè)計(jì)指標(biāo)參數(shù)賦值

wd1=0.5*(wpl+wsl);wd2=0.5*(wpu+wsu);

%理想帶通濾波器截止頻率

Bt=min(abs(wsl-wpl)，abs(wsu-wpu));

%過渡帶的寬度

N=ceil(6.6*pi/Bt); %選用漢明窗，計(jì)算濾波器長(zhǎng)度

wn=［wd1/pi，wd2/pi］;

%設(shè)置理想帶通截止頻率

h=fir1(N-1，wn，′bandpass′，hamming(N));

【例6.3.4】設(shè)接收到的模擬信號(hào)是由兩個(gè)單頻信號(hào)組成的實(shí)信號(hào)，其中f1=1.5kHz,f2=2.5kHz。希望對(duì)模擬信號(hào)采樣后用線性相位FIR數(shù)字濾波器濾除頻率較高的分量即

f2，衰減達(dá)到40dB。用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)滿足要求的FIR低通濾波器，畫出濾波器的幅頻響應(yīng)和濾波前后的信號(hào)(用序列表示)。為了降低運(yùn)算量，希望濾波器的階數(shù)盡量低。

解先對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行采樣，采樣頻率Fs≥2max(f1，f2)，這里設(shè)Fs=10kHz。

(1)確定相應(yīng)的數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)：

(2)用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR低通濾波器，為了降低階數(shù)，可以選擇凱塞窗。根據(jù)式(6.3.28)計(jì)算凱塞窗的控制參數(shù)為β=0.5842(αs-21)0.4+0.07886(αs-21)=3.3953

指標(biāo)要求過渡帶寬度Bt=ωs-ωp=0.2π，根據(jù)式(6.3.27)計(jì)算濾波器的階數(shù)為

取滿足要求的最小整數(shù)N=23。但是，如果用漢寧窗，

h(n)的長(zhǎng)度為31;用漢明窗，h(n)的長(zhǎng)度為33;用布萊克曼窗，h(n)的長(zhǎng)度為55?？梢?，用凱塞窗可以得到階數(shù)最低且滿足要求的濾波器，降低了運(yùn)算量。

理想低通濾波器的通帶截止頻率ωd=0.5(ωp+ωs)=0.4π。實(shí)現(xiàn)本例設(shè)計(jì)的Matlab程序如下：

%例6.3.4用凱塞窗函數(shù)設(shè)計(jì)線性相位低通FIR濾波器

clc;clearall;

N1=256; %信號(hào)的采樣點(diǎn)數(shù)

n=0：N1-1;

Fs=10000;f1=1500;f2=2500;alphas=40;

%設(shè)置濾波器的參數(shù)

wp=2*pi*f1/Fs; %濾波器的通帶截止頻率

ws=2*pi*f2/Fs; %濾波器的阻帶起始頻率

beta=0.5842*(alphas-21)^0.4+0.07886*(alphas-21);

%凱塞窗控制參數(shù)

Bt=ws-wp; %過渡帶

N=ceil((alphas-8)/(2.285*Bt)); %凱塞窗的長(zhǎng)度

wd=0.5*(wp+ws); %理想低通濾波器通帶截止頻率

hn=fir1(N-1，wd/pi，kaiser(N，beta));

%調(diào)用fir1計(jì)算低通FIR濾波器

x=cos(2*pi*f1/Fs*n)+cos(2*pi*f2/Fs*n);

%模擬信號(hào)采樣得到的數(shù)字信號(hào)

y=conv(x，hn); %對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波

M=512; %設(shè)置DFT的點(diǎn)數(shù)

X=20*log10(abs(fft(x，M))/max(abs(fft(x，M))));

%計(jì)算原信號(hào)的幅頻響應(yīng)

H=20*log10(abs(fft(hn，M))/max(abs(fft(hn，M))));

%計(jì)算濾波器的幅頻響應(yīng)

Y=20*log10(abs(fft(y，M))/max(abs(fft(y，M))));

%計(jì)算濾波后的幅頻響應(yīng)

繪圖部分略，程序運(yùn)行結(jié)果如圖6.3.19所示。圖6.3.19例6.3.4信號(hào)處理前后的幅頻響應(yīng)(a)幅頻特性;(b)濾波后信號(hào)的幅頻特性窗函數(shù)法適合設(shè)計(jì)比較規(guī)范的Hd(ejω)，設(shè)計(jì)出的FIR階數(shù)較高，運(yùn)算量較大。頻率采樣法適合設(shè)計(jì)任意幅頻響應(yīng)濾波器(尤其是窄帶濾波器)，運(yùn)算量較小，但容易不穩(wěn)定。

本節(jié)將介紹頻率采樣設(shè)計(jì)法。6.4用頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器6.4.1頻率采樣設(shè)計(jì)法的基本思想

窗函數(shù)設(shè)計(jì)方法的出發(fā)點(diǎn)是從時(shí)域開始，用窗函數(shù)截取理想的hd(n)，得到實(shí)際系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)，再以有限長(zhǎng)h(n)近似理想的hd(n)，這樣得到的頻率響應(yīng)H(ejω)逼近于理想的頻響Hd(ejω)。頻率采樣設(shè)計(jì)法是從頻域出發(fā)的。由于有限長(zhǎng)序列h(n)又可用其離散傅里葉變換H(k)來唯一確定，H(k)與所要求的FIR濾波器系統(tǒng)函數(shù)Hd(z)之間存在著頻率采樣關(guān)系，即Hd(z)在z平面單位圓上按角度等分的采樣值等于Hd(k)的各對(duì)應(yīng)值，因此以Hd(k)作為實(shí)際FIR數(shù)字濾波頻率特性的采樣值H(k)，或者說H(k)正是所要求的頻率響應(yīng)Hd(ejω)的N個(gè)等間隔的采樣值，即

(6.4.1)再對(duì)N點(diǎn)H(k)進(jìn)行IDFT，得到h(n)

(6.4.2)式中，h(n)作為所設(shè)計(jì)的濾波器的單位脈沖響應(yīng)，根據(jù)3.6節(jié)推導(dǎo)出的內(nèi)插公式可得其系統(tǒng)函數(shù)H(z)為

(6.4.3)式(6.4.3)就是直接利用頻率采樣值H(k)形成濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。式(6.4.2)和式(6.4.3)都屬于用頻率采樣法設(shè)計(jì)的濾波器，它們分別對(duì)應(yīng)著不同的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，式(6.4.2)適合FIR直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，式(6.4.3)適合頻率采樣結(jié)構(gòu)(FIR濾波器的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)將在第8章進(jìn)行介紹)。下面我們討論兩個(gè)問題，一是為實(shí)現(xiàn)線性相位H(k)應(yīng)滿足什么條件，另一個(gè)問題是逼近誤差問題及其改進(jìn)措施。6.4.2設(shè)計(jì)線性相位FIR濾波器時(shí)對(duì)H(k)的約束條件

1.h(n)為實(shí)數(shù)的約束條件

設(shè)

H(k)=Hg(k)ejθ(k)

(6.4.4)

根據(jù)DFT的對(duì)稱性質(zhì)知，有限長(zhǎng)實(shí)數(shù)序列的DFT是有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱的，所以有

(6.4.5)因此，可以得到

(6.4.6)

即為了保證h(n)為實(shí)數(shù)，需要濾波器的離散幅頻響應(yīng)滿足條件偶對(duì)稱，離散相頻響應(yīng)滿足條件奇對(duì)稱。

2.h(n)為線性相位的約束條件

第一類線性相位的約束條件是h(n)=h(N-n-1)，

，又有

(6.4.7)

1)N為奇數(shù)

根據(jù)表6.1情況1，幅頻響應(yīng)Hg(ω)關(guān)于ω=π偶對(duì)稱，因此

Hg(k)=Hg(N-k)，1≤k≤N-1即Hg(k)滿足條件偶對(duì)稱，而相頻響應(yīng)為

由于

當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，(N-1)π為π的偶數(shù)倍，因此有

ejθ(N-k)=e-jθ(k)

所以有

(6.4.8)

即H(k)在滿足線性相位條件的同時(shí)，又是有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱的，保證了h(n)為實(shí)數(shù)。

2)N為偶數(shù)

根據(jù)表6.1情況2，幅頻響應(yīng)Hg(ω)關(guān)于ω=π奇對(duì)稱，因此

Hg(k)=-Hg(N-k)，1≤k≤N-1

即Hg(k)滿足條件奇對(duì)稱，而相頻響應(yīng)為

同理，由于

當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，(N-1)π為π的奇數(shù)倍，因此有

ejθ(N-k)=-e-jθ(k)

所以有

(6.4.9)即H(k)在滿足線性相位條件的同時(shí)，又是有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱的，保證了h(n)為實(shí)數(shù)。

注意：

N為偶數(shù)時(shí)，只能設(shè)計(jì)低通和帶通濾波器。

若用理想低通濾波器作為希望設(shè)計(jì)的濾波器，通帶截止頻率為ωd，采樣點(diǎn)數(shù)為N，Hg(k)和θ(k)用下面公式計(jì)算：

N=奇數(shù)(情況1)時(shí)

(6.4.10)

N=偶數(shù)(情況2)時(shí)

(6.4.11)式中，kc是小于等于ωdN/(2π)的最大整數(shù)。另外，對(duì)于高通和帶阻濾波器，這里N只能取奇數(shù)。

對(duì)于第二類線性相位，要求h(n)=-h(N-1-n)，同樣可得對(duì)相頻響應(yīng)要求為

(6.4.12)對(duì)幅頻響應(yīng)的要求：

N=奇數(shù)(情況3)時(shí)

Hg(k)=-Hg(N-k)(6.4.13)

N=偶數(shù)(情況4)時(shí)

Hg(k)=Hg(N-k)

(6.4.14)

讀者可自行推導(dǎo)出用理想正交移相器作為所希望設(shè)計(jì)濾波器時(shí)Hg(k)和θ(k)的計(jì)算公式。6.4.3頻率采樣設(shè)計(jì)法的誤差分析及改進(jìn)措施

1.頻率采樣設(shè)計(jì)法的逼近誤差分析

對(duì)于單位圓上的頻響，式(6.4.3)可以表達(dá)為

(6.4.15)式中

(6.4.16)令(6.4.17)由式(6.4.17)很容易看出式(6.4.15)的頻率響應(yīng)H(ejω)在采樣點(diǎn)上就等于H(k)，而采樣點(diǎn)之間的值H(ejω)則由各采樣值的內(nèi)插函數(shù)延伸疊加形成，因而有一定的逼近誤差，誤差大

小取決于理想頻率響應(yīng)的曲線形狀。采樣點(diǎn)之間的理想頻率特性變化越陡，內(nèi)插值與理想值之間的誤差越大，因而在理想頻率特性的不連續(xù)點(diǎn)附近就會(huì)產(chǎn)生肩峰和波紋。反之，理想頻率響應(yīng)特性變化越平緩，內(nèi)插值越接近于理想值，逼近誤差就越小。

為了對(duì)逼近誤差及其起因建立感性認(rèn)識(shí)，首先采用上述頻率采樣的基本設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì)一個(gè)低通濾波器，然后觀察逼近誤差的特點(diǎn)，尋找減小逼近誤差的有效措施。

【例6.4.1】

利用頻率采樣法設(shè)計(jì)第一類線性相位低通FIR數(shù)字濾波器，要求截止頻率域采樣點(diǎn)數(shù)分別取N=15和N=75。繪制h(n)及其幅頻響應(yīng)波形，觀察逼近誤差的特點(diǎn)。

解用理想低通作為逼近濾波器，。

當(dāng)N=15時(shí)，式(6.4.10)中的，得

Hg(k)=1，k=0，1，2，3，4Hg(15-k)=1，k=1，2，3，4

Hg(k)=0，k=5，6，…，10

頻域采樣為

對(duì)H(k)進(jìn)行N點(diǎn)IDFT得到第一類相位低通FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)為

h(n)=IDFT［H(k)］由于設(shè)置的頻域采樣H(k)滿足情況1的設(shè)置原則，因此H(ejω)必然有線性相位特性。

h(n)如圖6.4.1(b)所示，Hg(ω)如圖6.4.1(c)所示，相頻響應(yīng)如圖6.4.1(d)所示。圖6.4.1頻率采樣法設(shè)計(jì)過程中的波形(N=15)(a)Hg(k);(b)h(n);(c)H(ejω);(d)θ(ω)參考Matlab程序如下：

clc;clearall;

N=15; %頻域采樣點(diǎn)數(shù)

wd=0.5*pi;

%理想低通濾波器的截止頻率

kc=ceil(wd/2/pi*N); %計(jì)算kc

Hg(1：kc+1)=1;Hg(N-kc+1：N)=1;Hg(kc+2：N-kc)=0; %設(shè)置理想低通濾波器幅頻函數(shù)

thetak=-(N-1)/N*pi*(0：N-1);

%計(jì)算低通濾波器的相頻函數(shù)

Hd=Hg.*exp(j*thetak); %計(jì)算濾波器的頻率響應(yīng)

hn=ifft(Hd);

%得到濾波器的單位脈沖響應(yīng)

M=256;

%設(shè)FFT的點(diǎn)數(shù)

hf=fft(hn，M);

H=abs(hf);

%計(jì)算FIR濾波器的幅頻特性

H1=20*log10(H/max(abs(H)));

thet=unwrap(angle(hf));

N=15和N=75兩種情況下的幅頻響應(yīng)如圖6.4.2所示，由圖可以看出，在采樣頻率點(diǎn)上逼近誤差為零;逼近誤差與希望逼近的幅頻響應(yīng)形狀有關(guān)，平坦區(qū)域逼近誤差小，陡峭

區(qū)域逼近誤差大；N越大，通帶和阻帶波紋變化越快，形成的過渡帶越窄，通帶最大衰減和阻帶最小衰減隨N的增大并無明顯改善，濾波器遠(yuǎn)離過渡帶的阻帶衰減越大。圖6.4.2采樣點(diǎn)數(shù)N不同時(shí)的逼近誤差比較

2.降低逼近誤差的措施

從以上分析可見，頻率采樣設(shè)計(jì)法的逼近誤差一般不能滿足工程指標(biāo)要求，通常采用以下改進(jìn)措施：

(1)設(shè)置適當(dāng)?shù)倪^渡帶，使希望逼近的幅頻響應(yīng)Hg(ω)從通帶比較平滑地過渡到阻帶，消除階躍突變，從而使逼近誤差減小。其實(shí)質(zhì)是對(duì)幅度采樣Hg(k)增加過渡帶采樣點(diǎn)，以

加寬過渡帶為代價(jià)換取通帶和阻帶內(nèi)波紋幅度的減小。那么過渡帶采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)與阻帶最小衰減αs是什么關(guān)系？每個(gè)過渡帶采樣值取多大才會(huì)使阻帶最小衰減αs最大？這些問題要用優(yōu)化算法去解決。其基本思想是將過渡帶采樣設(shè)為自由量，用一種優(yōu)化算法改變它，最終使阻帶最小衰減αs最大。該內(nèi)容不在本書討論范圍內(nèi)。例6.4.2可說明這種優(yōu)化的有效性和上述改進(jìn)措施的正確性。

將過渡帶采樣點(diǎn)數(shù)m與濾波器阻帶最小衰減αs的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)列于表6.4.1中，我們可以根據(jù)給定的阻帶最小衰減αs選擇過渡帶采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)m。表6.4.1過渡帶采樣點(diǎn)數(shù)m與濾波器阻帶最小衰減αs的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)

(2)采用優(yōu)化設(shè)計(jì)法，以便根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)選擇優(yōu)化參數(shù)(過渡帶采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)m和h(n)的長(zhǎng)度N)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

(3)選擇合適的濾波器長(zhǎng)度N，以滿足過渡帶寬度要求。如上所述，增加過渡帶采樣點(diǎn)可以使通帶和阻帶內(nèi)波紋幅度變小，但是如果增加m個(gè)過渡帶采樣點(diǎn)，則過渡帶寬度近

似成。當(dāng)N確定時(shí)，m越大，過渡帶越寬。如果給定過渡帶寬度Bt，則濾波器的長(zhǎng)度N必須滿足如下估計(jì)公式：

(6.4.18)

【例6.4.2】利用頻率采樣法設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位低通FIR數(shù)字濾波器，設(shè)計(jì)指標(biāo)如下：

通帶截止頻率，阻帶最小衰減αs=40dB，過渡帶。

解查表6.4.1，當(dāng)αs=40dB時(shí)，可取過渡帶采樣點(diǎn)數(shù)m=1，，根據(jù)式(6.4.18)估算出濾波器的長(zhǎng)度

取

N=65。與例6.4.1相同，構(gòu)造理想低通濾

波器頻率響應(yīng)函數(shù)H(k)，其幅頻響應(yīng)函數(shù)如圖6.4.3和6.4.4所示。

Matlab程序如下：

clc;clearall;

H1=input(′H1=′) %輸入過渡帶采樣值H1

wp=pi/3;alphas=40; %設(shè)置濾波器指標(biāo)

Bt=pi/16;

%設(shè)置過渡帶

m=1;N=2*pi*(m+1)/Bt+1;

%設(shè)置過渡帶點(diǎn)數(shù)m和濾波器長(zhǎng)度Nkc=ceil(wp*N/(2*pi));

%kc+1為通帶［0，wp］上采樣點(diǎn)數(shù)

ks=N-1-2*kc;

%ks為阻帶上的采樣點(diǎn)數(shù)

Hg=［ones(1，kc+1)，zeros(1，ks)，ones(1，kc)］;

%設(shè)置理想低通濾波器的幅度Hg(kc+2)=H1;Hg(N-kc)=H1; %增加一個(gè)過渡采樣

thetak=-pi*(0：N-1)*(N-1)/N; %相位采樣向量

Hk=Hg.*exp(j*thetak); %構(gòu)造頻域采樣向量H(k)

hn=real(ifft(Hk)); %h(n)=IDFT［H(k)］

M=1024; %FFT的點(diǎn)數(shù)

Hw=abs(fft(hn，M))/max(abs(fft(hn，M)));

%計(jì)算歸一化幅頻響應(yīng)

Hw1=20*log10(Hw); %計(jì)算歸一化幅頻響應(yīng)的分貝值繪圖程序略。

運(yùn)行程序，輸入H1=0.38時(shí)，得到的設(shè)計(jì)結(jié)果如圖6.4.3所示。改變H1=0.5，得到的設(shè)計(jì)結(jié)果如圖6.4.4所示。從圖上可以看出，H1=0.38時(shí)，阻帶最小衰減大于40dB，H1=0.5時(shí)，阻帶最小衰減約30dB。當(dāng)過渡帶采樣點(diǎn)數(shù)給定時(shí)，過渡帶采樣值不同，則逼近誤差不同。所以，對(duì)過渡帶采樣值進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)才是有效的方法。圖6.4.3一個(gè)過渡帶的設(shè)計(jì)結(jié)果(H1=0.38)圖6.4.4一個(gè)過渡帶的設(shè)計(jì)結(jié)果(H1=0.5)

3.頻率采樣法設(shè)計(jì)步驟

綜上所述，可以歸納出頻率采樣法的設(shè)計(jì)步驟如下：

(1)根據(jù)阻帶最小衰減αs選擇過渡帶采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)m。(2)確定過渡帶寬度Bt，按照式(6.4.18)估計(jì)濾波器的長(zhǎng)度N。

(3)構(gòu)造一個(gè)希望逼近的濾波器頻率響應(yīng)函數(shù)的頻率采樣H(k)=Hg(k)ejθ(k)，其中Hg(k)和θ(k)按式(6.4.10)構(gòu)造，并加入過渡帶采樣值。過渡帶采樣值可以設(shè)置為經(jīng)驗(yàn)值，或用累試法確定，也可以用優(yōu)化算法估算。

(4)對(duì)H(k)進(jìn)行N點(diǎn)IDFT，得到第一類線性相位FIR的單位脈沖響應(yīng)h(n)。

(5)檢驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)果。如果阻帶最小衰減未達(dá)到指標(biāo)要求，則要求改變過渡帶采樣值，直到滿足指標(biāo)要求為止。

4.頻率采樣法和窗函數(shù)法的不足

窗函數(shù)法和頻率采樣法簡(jiǎn)單方便，易于實(shí)現(xiàn)，但它們存在以下缺點(diǎn)：

(1)濾波器的邊界頻率不易精確控制。

(2)窗函數(shù)法總使通帶和阻帶波紋幅度相等，頻率采樣法只能控制阻帶波紋幅度，所以兩種方法都不能分別控制通帶和阻帶波紋幅度。但是工程上對(duì)二者的要求是不同的，希望能分別控制。

(3)所設(shè)計(jì)的濾波器在阻帶邊界頻率附近的衰減最小，距阻帶邊界頻率越遠(yuǎn)，衰減越大。所以，如果在阻帶邊界頻率附近的衰減剛好達(dá)到設(shè)計(jì)指標(biāo)要求，則阻帶中其他頻段的

衰減就有很大富裕量。這就說明這兩種設(shè)計(jì)存在較大資源浪費(fèi)，或者說所設(shè)計(jì)濾波器的性能價(jià)格比低。

下面介紹一種能克服上述缺點(diǎn)的設(shè)計(jì)方法。等波紋最佳逼近法是一種優(yōu)化設(shè)計(jì)法，它克服了窗函數(shù)法和頻率采樣法的缺點(diǎn)，使最大誤差最小化，并在整個(gè)逼近頻段上均勻分布。“等波紋”的含義是指所設(shè)計(jì)的FIR濾

波器的幅頻響應(yīng)在通帶和阻帶都是等波紋的，而且通帶和阻帶波紋幅度可以分別控制。“最佳逼近”指在濾波器長(zhǎng)度給定的條件下使加權(quán)誤差波紋幅度最小化。6.5利用等波紋最佳逼近法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器與窗函數(shù)法和頻率采樣法比較，由于等波紋最佳逼近法使最大誤差均勻分布，因此設(shè)計(jì)的濾波器性能價(jià)格比最高。階數(shù)相同時(shí)，這種設(shè)計(jì)法使濾波器的最大逼近誤差最小，

即通帶最大衰減最小，阻帶最小衰減最大;指標(biāo)相同時(shí)，這種設(shè)計(jì)法使濾波器階數(shù)最低。

等波紋最佳逼近法設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)證明復(fù)雜，所以本節(jié)略去等波紋最佳逼近法復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，只介紹其基本思想和實(shí)現(xiàn)線性相位FIR濾波器的等波紋最佳逼近法的Matlab信

號(hào)處理工具箱。由于切比雪夫(Chebyshev)和雷米茲(Remez)對(duì)等波紋最佳逼近法做出了貢獻(xiàn)，因此又稱該方法為切比雪夫逼近法或雷米茲逼近法。6.5.1等波紋最佳逼近法的基本思想

用Hd(ω)表示希望逼近的幅頻響應(yīng)函數(shù)，要求設(shè)計(jì)線性相位FIR濾波器時(shí)，Hd(ω)必須滿足線性相位約束條件。用Hg(ω)表示實(shí)際設(shè)計(jì)的濾波器的幅頻響應(yīng)函數(shù)。定義加權(quán)誤差函數(shù)為

E(ω)=W(ω)［Hd(ω)-H(ω)］(6.5.1)圖6.5.1等波紋濾波器的幅頻響應(yīng)曲線

式中，W(ω)稱為誤差加權(quán)函數(shù)，用來控制不同頻段(一般指通帶和阻帶)的逼近精度。等波紋最佳逼近在通帶和阻帶以|E(ω)|的最大值最小化為準(zhǔn)則。用等波紋最佳逼近設(shè)計(jì)法求濾波器長(zhǎng)度N和誤差加權(quán)函數(shù)W(ω)時(shí)，要求給出濾波器通帶和阻帶的振蕩波紋幅度δ1和δ2，如圖6.5.1所示。在工程實(shí)際中常用的設(shè)計(jì)指標(biāo)以αp和αs給出。由αp

和αs換算出通帶和阻帶的振蕩波紋幅度δ1和δ2，根據(jù)式(5.3.2)和式(5.3.3)

因此有

(6.5.2)下面舉例說明誤差加權(quán)函數(shù)W(ω)的作用，以及濾波器長(zhǎng)度N和波紋幅度δ1、δ2的制約關(guān)系。設(shè)期望逼近的通帶和阻帶分別為，對(duì)四種不同的控制參數(shù)，等波紋最佳逼近的幅頻響應(yīng)曲線分別如圖6.5.2(a)、(b)、(c)和(d)所示。圖中，W=［a，b］表示第一個(gè)逼近區(qū)上的誤差加權(quán)函數(shù)W(ω)=a，第二個(gè)逼近區(qū)上的誤差加權(quán)函數(shù)W(ω)=b