八年級數學下冊平面幾何經典難題訓練滬科版

#/17（一）1、已知：如圖，。是半圓的圓心，C、E是圓上的兩點，CD±AB,EF±AB,EGXCO.求證：CD=GF.3、如圖，已知四邊形ABCD、A^CR都是正方形，的中點．求證：四邊形A2B23、如圖，已知四邊形ABCD、A^CR都是正方形，的中點．求證：四邊形A2B2cp2是正方形.（初二）A2、B2、C2、D2分別是AA1、BB1、CC1、DD14、已知：求證：如圖，在四邊形ABCD中，交MN于E、F.ZDEN=ZF.AD=BC,M、N分別是AB、CD的中點，AD、BC的延長線2、已知：如圖，P是正方形ABCD內一點，NPAD=NPDA=150.求證：^PBC是正三角形.（二）1、已知：4ABC中，H為垂心（各邊高線的交點），。為外心,1、（1）求證:AH=2OM；（2）若NBAC=600,求證：AH=AO.（初二）2、設MN是圓O外一直線，過O作OALMN于A,直線EB及CD分別交MN于P、Q.求證：AP=AQ.（初二）3、如果上題把直線MN由圓外平移至圓內，則由此可得以下命題：設MN是圓。的弦，過MN的中點A任作兩弦BC、DE，設CD、EB分別交MN于P、Q.求證：AP=AQ.（初二）4、如圖，分別以4ABC的AC和BC為一邊，在4ABC的外側作正方形ACDE和正方形CBFG,點P是EF的中點.求證：點P到邊AB的距離等于AB的一半.（初二）（三）1、如圖，四邊形ABCD1、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE〃AC,AE=AC,AE與CD相交于F.A DA D求證：CE=CF.（初二）2、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE〃AC,且CE=CA,直線EC交DA延長線于F.求證：AE=AF.（初二）3、設P是正方形ABCD一邊BC上的任一點，PF±AP,CF平分NDCE.求證：PA=PF.（初二）4、如圖，PC切圓。于C,AC為圓的直徑，證：AB=DC,BC=AD.（初三）（四）1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形內一點，求：1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形內一點，求：NAPB的度數.（初二）PA=3,PB=4,2、設P是平行四邊形ABCD內部的一點，且NPBA=NPDA.求證：NPAB=NPCB.（初二）3、設ABCD為圓內接凸四邊形，求證：AB-CD+AD-BC=AC-BD.4、平行四邊形ABCD中，設E、F分別是BC、AB上的一點，AE與CF相交于P,且AE=CF.求證：NDPA=NDPC.（初二）（五）1、設P是邊長為1的正△ABC內任一點，L=PA+PB+PC,求證：WL<2.2、已知：P是邊長為1的正方形ABCD內的一點，求PA+PB+PC的最小值.3、P為正方形ABCD內的一點，并且PA=a,PB=2a,PC=3a,求正方形的邊長.4、如圖，^ABC中，NABC=NACB=800,D、E分別是AB、AC上的點，=200,求/BED的度數.經典難題解答：經典難題（一）.如下圖做GHLAB,連接EO。由于GOFE四點共圓，所以/GFH=/OEG,， —EOGOCO一即△GHFS-GEE得G二G二五'又CO叩所以CD=GF得證。.如下圖做4DGC使與4ADP全等，可得4PDG為等邊△，從而可得△DGC04APD04CGP,得出PC=AD=DC,和/DCG=NPCG=15。所以/DCP=300,從而得出4PBC是正三角形.如下圖連接BC1和AB1分別找其中點F,E.連接C2F與A2E并延長相交于Q點，連接EB2并延長交C2Q于H點，連接FB2并延長交A2Q于G點，由A2E=2A1B1=:B1C1=FB2,EB廣2AB=:BC=FC1,又NGFQ+NQ=90LDZGEB2+ZQ=90o,所以NGEB廣NGFQXZB2FC2=ZA2EB2,可得△B2FC204A2EB2，所以A2B2=B2c2,又NGFQ+NHBF=90。和NGFQ=NEBA,2 22從而可得NA2B2c2=90。，同理可得其他邊垂直且相等，從而得出四邊形A2B2C2D2是正方形。.如下圖連接AC并取其中點Q,連接QN和QM,所以可得NQMF二NF,NQNM二NDEN和NQMN二NQNM,從而得出NDEN=NF。經典難題(二)1.(1)延長AD至UF連BF,做OGXAF,又NF=NACB二NBHD,可得BH=BF,從而可得HD=DF,又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)連接OB,OC,既得NB0C=120。，從而可得NB0M=60。，所以可得OB=2OM=AH=AO,得證。.作OF^CD,OGLBE,連接OP,OA,OF,AF,OG,AG,OQ。ADACCD2FD FD由于 二——二——二-——二——，AB AEBE2BGBG由此可得△ADF04ABG,從而可得NAFC二NAGE。又因為PFOA與QGOA四點共圓，可得NAFC二NAOP和NAGE二NAOQ,NAOP二NAOQ,從而可得AP二AQ。、， 一…小，…，一 一口EG+FH.過E,C,F點分別作AB所在直線的高EG,CI,FH?？傻肞Q二——-——由△EGA04AIC,可得EG=AI,由△BFH04CBI,可得FH二BI。AI+BIAB從而可得PQ=一?-=—，從而得證。經典難題（三）.順時針旋轉^ADE,到4486,連接CG.由于/ABG=NADE=9Oo+45o=135。從而可得B,G,D在一條直線上，可得△AGB04CGB。推出AE二AG二AC二GC,可得4AGC為等邊三角形。NAGB=30。，既得NEAC=30。，從而可得NAEC=75o。又NEFC=NDFA=45o+3Oo=75。.可證：CE二CF。.連接BD作CHLDE,可得四邊形CGDH是正方形。由AC=CE=2GC=2CH,可得/CEH=3Oo，所以NCAE=ZCEA=ZAED=15o,又ZFAE=9Oo+45o+15「150。，從而可知道NF=15。，從而得出AE二AF。.作FGLCD,FE±BE,可以得出GFEC為正方形。令AB=Y,BP=X,CE=Z,可得PC=Y-X。xztanZBAP=tanZEPF=—= ，可得YZ=XY-X?+XZ,YY-X+Z即Z(Y-X)=X(Y-X),既得X二Z,得出△ABP04PEF,得到PA=PF,得證。經典難題（四）.順時針旋轉^ABP600,連接PQ，則4PBQ是正三角形。可得APQC是直角三角形。所以NAPB=150。。.作過P點平行于AD的直線，并選一點E,使AE〃DC,BE〃PC.可以得出NABP二NADP二NAEP,可得：AEBP共圓（一邊所對兩角相等）?？傻肗BAP二NBEP二NBCP,得證。.在BD取一點E,使NBCE二NACD,既得△BECs^ADC,可得:BEADTOC\o"1-5"\h\z——=——，即AD-BC=BE-AC, ①BCAC又NACB二NDCE,可得△ABCs^DEC,既得ABDE——=——，即AB^CD=DE^AC, ②ACDC由①+②可得：ABKD+AD吆C=AC(BE+DE);AC?BD，得證。.過D作AQ^AE,AGXCF，由S=yabcd=S，可得:VADE2 VDFCAEgPQAEgPQ「 = ，由AE=FC。2 2可得DQ二DG,可得NDPA=NDPC(角平分線逆定理)。經典難題(五).(1)順時針旋轉ABPC600,可得4PBE為等邊三角形。條直線上，既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP,PE,EF在條直線上，即如下圖：可得最小L=

(2)過P點作BC的平行線交AB,AC與點D,F。由于NAPD〉NATP=NADP,TOC\o"1-5"\h\z推出AD>AP ①又BP+DP>BP ②和PF+FOPC ③又DF=AF @WL<2o由①②③④可得：最大L<2；WL<2o由（1）和（2）既得:

.順時針旋轉ABPC6Oo,可得APBE為等邊三角形。既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP,PE,EF在一條直線上,即如下圖：可得最小PA+PB+PC=AF。產+1)2V6+72孕用1).順時針旋轉^ABP900,可得如下圖:既得正方形邊長L既得正方形邊長L=..七2、八：2、(2+--)2+(--)2卯.在AB上找一點F,使NB