北京市通州區(qū)2025屆高三上學(xué)期期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1北京市通州區(qū)2025屆高三上學(xué)期期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合，集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，又，所以，故選：D.2.設(shè)復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，故?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，故C正確.故選：C3.下列函數(shù)中，在上單調(diào)遞增的是（）A B.C. D.【答案】A【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，由，得恒成立，則在上單調(diào)遞增，所以選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，由，得到，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：A.4.已知角終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)三角函數(shù)定義可得：，故可得，則.故選：A.5.設(shè)，為非零向量，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】，為非零向量，“”展開(kāi)為：∴“”是“”的充要條件.故選：C.6.在中，，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，得到，又，，由正弦定理得，所以，故選：D.7.沙漏也叫做沙鐘，是一種測(cè)量時(shí)間的裝置.現(xiàn)有一個(gè)沙漏（如圖）上方裝有的細(xì)沙，細(xì)沙從中間小孔由上方慢慢漏下，經(jīng)過(guò)時(shí)剩余的細(xì)沙量為，且（b為常數(shù)），經(jīng)過(guò)時(shí)，上方還剩下一半細(xì)沙，要使上方細(xì)沙是開(kāi)始時(shí)的，需經(jīng)過(guò)的時(shí)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意有，即，兩邊取對(duì)數(shù)得，所以，得到，當(dāng)容器中只有開(kāi)始時(shí)的時(shí)，則有，所以，兩邊取對(duì)數(shù)得，所以，故選：C．8.設(shè)函數(shù)，已知，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，且，所以，得到①又，則，得到②，由①②得到，，即，又，所以的最小值為，故選：B.9.設(shè)集合，則（）A.對(duì)任意實(shí)數(shù)a， B.對(duì)任意實(shí)數(shù)a，C.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，【答案】C【解析】對(duì)A，若，則，將代入不全部滿足，此時(shí)可知，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，則，將代入全部滿足，此時(shí)可知，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，若，，解之可得，所以C正確；對(duì)D，當(dāng)，則，將代入不全滿足，所以，故D錯(cuò)誤.故選：C10.已知是的重心，過(guò)點(diǎn)作一條直線與邊，分別交于點(diǎn)，（點(diǎn)，與所在邊的端點(diǎn)均不重合），設(shè)，，則的最小值是（）A.1 B. C.2 D.4【答案】B【解析】如圖：取中點(diǎn)，則，，，∵三點(diǎn)共線，∴，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)；故選：B第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數(shù)的定義域是___________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，則且，故的定義域是.12.已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為，則________.【答案】【解析】由圖知，，且，所以，故答案：.13.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，設(shè)其前項(xiàng)和為，且，則過(guò)點(diǎn)和，且滿足的直線的斜率是________.【答案】2【解析】設(shè)公差為，因?yàn)椋?，解得，所以，，故直線斜率為.14.設(shè)函數(shù)①若，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)有________個(gè).②若函數(shù)有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.【答案】3【解析】①，當(dāng)時(shí)，，由解得；由，解得或.綜上所述，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)有個(gè).②，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，值域?yàn)?，無(wú)最值.當(dāng)時(shí)，，開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，，當(dāng)時(shí)，，則，①，的開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，，則①不成立.當(dāng)時(shí)，，則，解得.綜上所述，.故答案為：；15.已知無(wú)窮數(shù)列滿足，，給出下列四個(gè)結(jié)論：①，；②數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列；③，使得；④，均有.其中正確結(jié)論的序號(hào)是________.【答案】①②④【解析】由，，進(jìn)而可得，結(jié)合，以此類推可得，故，故，故①②正確，③錯(cuò)誤，由可得，故.由于，故，進(jìn)而可得，故，因此，累加，故，當(dāng)時(shí)，，故，故④正確，故答案為：①②④.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程.16.已知函數(shù)，.（1）求的最小正周期及的值；（2）直線與函數(shù)，的圖象分別交于兩點(diǎn)，求的最大值.解：（1）因?yàn)椋?，的最小正周期?（2）由題意可知，兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，，則，即，故，因?yàn)?，所以，所以，所以MN在時(shí)的最大值為.17.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，.（1）求及；（2）再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一，求的面積.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分.解：（1）由和余弦定理可得.因?yàn)闉榈膬?nèi)角，所以，故，由變形得，由正弦定理得.（2）選擇條件①：，由正弦定理得，解得，因?yàn)闉榈膬?nèi)角，所以，故，與相互矛盾，故不存在這樣的三角形，所以我們不選擇條件①，選擇條件②：，因?yàn)?，，所以，解得，由余弦定理得，化?jiǎn)得，解得或（舍），所以.選擇條件③：，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，由余弦定理得，化?jiǎn)得.解得或，當(dāng)時(shí)，是直角三角形，與題干不符，故排除，所以.18.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足，．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，且，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）因?yàn)?，，①所以有，．②②①得．所以?shù)列成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．所以．又?jǐn)?shù)列是等差數(shù)列，且，．所以，．所以．（2）因?yàn)樵O(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，所以．19.設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在處取得極小值8.（1）求的值；（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值，以及相應(yīng)x的值；（3）證明：曲線是中心對(duì)稱圖形.解：（1），由題意函數(shù)在處取得極小值8得，解得，.此時(shí)，當(dāng)或時(shí)，f'x>0，當(dāng)時(shí)，f'故為的極小值點(diǎn)，故，滿足條件.（2）由（1）分析列表得：x00,222,33

-0+

24單調(diào)遞減8單調(diào)遞增15所以當(dāng)時(shí)取得最小值為8，時(shí)取得最大值為24.（3）曲線的對(duì)稱中心為，證明如下：設(shè)點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于(0，24)的對(duì)稱點(diǎn)為，因?yàn)樵趫D象上，所以.又.所以點(diǎn)也在圖象上.所以曲線是中心對(duì)稱圖形.20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)，曲線的切線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)；（3）當(dāng)時(shí)，若曲線與直線在區(qū)間上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，的定義域?yàn)?，令，解得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）當(dāng)時(shí)，，.設(shè)曲線的切點(diǎn)為，則切線方程為，假設(shè)切線過(guò)原點(diǎn)，則有，整理得：.令，則.所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以對(duì)任意，，所以方程無(wú)解.綜上可知，曲線在點(diǎn)的切線不過(guò)原點(diǎn).（3）曲線與直線在區(qū)間上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，等價(jià)于在區(qū)間上有兩個(gè)不同的解，即，在區(qū)間上有兩個(gè)不同的解，設(shè)，則，令，解得，又因?yàn)椋?，?dāng)，，所以單調(diào)遞增；當(dāng)，，所以單調(diào)遞減；所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，要使在區(qū)間上有兩個(gè)不同的解，只需使即可.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.21.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為（表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)），數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（1）寫出數(shù)列的前6項(xiàng)；（2）試判斷與是否為數(shù)列中的項(xiàng)，并說(shuō)明理由；（3）證明：數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)有無(wú)數(shù)多個(gè).解：（1）依題意，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，所以，，，，，.（2）是數(shù)列中的項(xiàng)，不是數(shù)列中的項(xiàng).；下面證明不是數(shù)列中的項(xiàng)因?yàn)?/p>