遼寧省大連市濱城高中聯(lián)盟2025屆高三上學期期中考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1遼寧省大連市濱城高中聯(lián)盟2025屆高三上學期期中考試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復數(shù)，則其共軛復數(shù)在復平面內對應的點所在的象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】復數(shù)，所以復數(shù)的共軛復數(shù)，故復數(shù)在復平面內對應的點的坐標，在第四象限.故選：D．2.若且，則的最小值為（）A.2 B. C. D.4【答案】B【解析】因為，則，當，即，聯(lián)立，得，時等號成立.所以的最小值為.故選：B3.圓臺的上下底面半徑分別為1和4，軸截面的兩條對角線互相垂直，則這個圓臺的體積是（）A. B.24π C. D.【答案】C【解析】如圖，圓臺的軸截面為，上下底面圓的圓心分別為，設與相交于點，因為為等腰梯形，且，，，則圓臺的高，所以這個圓臺的體積為.故選：C.4.下列選項中，p是q充要條件的是（）A.p：或，q：兩條直線與平行B.p：直線與曲線有兩個不同交點，C.在圓外部，D.p：直線與圓相離，【答案】B【解析】對于A，若兩條直線與平行，所以，解得或，但是當時，兩直線重合，所以，則p是q的必要不充分條件，故A錯誤；對于B，，可得，，所以，表示圓心為0,1，半徑的圓的上半部分，如圖所示：直線恒過點，一般式為，因為直線與曲線有兩個不同的交點，所以圓心到直線的距離小于半徑，即，解得，當時，左邊圓上的端點為，此時斜率為，所以，所以p是q的充要條件，故B正確；對于C，圓半徑，即，所以，因為在圓外部，所以，解得，綜上，所以p是q的充分不必要條件，故C錯誤；對于D，圓化為標準式為：，圓心為0,1，半徑為，若直線與圓相離，則圓心到直線的距離為，兩邊平方化簡得，綜上，所以p是q的充分不必要條件，故D錯誤；故選：B.5.，，則（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】因為，，所以，解得，，所以，所以，故選：C.6.函數(shù)，若在上有且只有四個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，得.由于，所以.又因為在上有且只有四個零點，所以，解得.故選：A.7.已知圓，圓．若圓上存在點，過點作圓兩條切線，切點為，，使得，則的取值范圍（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，圓的半徑為，圓上存在點，過點作圓的兩條切線，切點為，使得，則，在中，，又圓的半徑等于，圓心坐標，，，，由，解得：，則的取值范圍為.故選：D.8.直線是曲線和的公切線，則（）A. B. C.或 D.【答案】C【解析】對于，設切點為，求導得，則在該點處的斜率為，則切線方程為：，即，對于，設切點為，求導得，則在該點處的斜率為，則切線方程為：，即，因為是公切線，所以，即，所以，即，所以即或，解得或，當時，此時，，所以當時，此時，，所以，所以或，故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列命題中，正確的命題是（）A.若，則為等腰三角形B.若，則C.若，，則面積最大值為3D.，角B的平分線BD交AC邊于D，且，則的最小值為12【答案】BCD【解析】對于A：若，根據正弦定理則，即，因為，所以或即或，所以為等腰三角形或直角三角形，A錯誤；對B，因為，則，，則根據正弦定理有，故B正確；對C，設，.則，，所以，當時，三角形的面積取得最大值，故C正確；對D，由題意可知，，由角平分線性質和三角形面積公式得，化簡得，即，因此，當且僅當，即時取等號，即的最小值為，則D正確.故選：BCD.10.已知橢圓的左右兩個焦點分別為、，左右兩個頂點分別為、，P點是橢圓上任意一點（與不重合），，則下列命題中，正確的命題是（）A. B.的最大面積為C.存在點P，使得 D.的周長最大值是【答案】ABD【解析】對A，由題知，，則，設Px0,則，A正確；對B，易知當點為短軸端點時，的面積最大，最大值為，B正確；對C，，則，C錯誤；對D，由橢圓定義可知，，所以，又，所以，當三點共線，且在線段上時，等號成立，D正確.故選：ABD11.如圖，在棱長為2的正方體中，分別為棱BD，，的中點，N點在線段上運動，則下列說法正確的是（）A.平面B.三棱錐的體積不是定值C.三棱錐的外接球的表面積是D.當直線和所成角最小時，線段長為【答案】ACD【解析】對于A，取中點，連接，由于分別為棱BD的中點，所以有，且，又因為，且，所以，且，則四邊形是平行四邊行，即，又因為平面，平面，所以平面，故A正確；對于B，由于，平面，平面，所以平面，而N點在線段上運動，、則點N到平面的距離不變，而為的中點，所以三角形的面積是定值，即三棱錐的體積是定值，故B錯誤；對于C，由直角三角形的外接圓心是點，再取的中點為，則平面，即三棱錐的外接球的球心在上，所以設，由棱長為2的正方體可知，，，又因為，所以，解得：，即三棱錐的外接球的表面積為，故C正確；對于D，建立如圖以為原點的空間直角坐標系，可知：，設點的坐標為，則，所以有令，則，因，所以，即則上式二次函數(shù)在遞減，在遞增，所以在有最小值，即，故上式有最大值，即，此時線和所成角最小，所以此時，則，故D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知橢圓和橢圓的離心率分別為和，若，則________．【答案】或.【解析】設橢圓的長半軸長為，短半軸長為，半焦距為，則，，，所以橢圓的離心率，又，所以，設橢圓的長半軸長為，短半軸長為，半焦距為，則，所以，所以，當橢圓的焦點在軸上時，，所以，當橢圓的焦點在軸上時，，所以，所以或.故答案為：或.13.如圖，在五棱錐中，底面ABCDE，，，，，，則平面與平面的夾角的余弦值為________．【答案】【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系，因為，，所以,則，假設平面的一個法向量為，則，令，則，所以，假設平面的一個法向量為，則，令，則，所以，假設平面與平面的夾角為，則，故答案為：14.已知函數(shù)，若關于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的最大值為________．【答案】【解析】設，則其定義域為，且，故為奇函數(shù).而，且僅在時，所以為增函數(shù).同時，不等式可化為，即.而是奇函數(shù)，故原不等式又等價于，再根據是增函數(shù)，知這等價于.當x>0時，這可化為，故條件即為對任意x∈0,+∞成立.①一方面，在條件中取x=1，即可得到，從而一定有；②另一方面，當時，我們證明對任意的，都有.首先，代入，然后兩邊同乘正數(shù)，可知該不等式等價于.設，則，故對有，對有.從而在上遞減，在上遞增，所以對均有.這就意味著，所以從而由即可得到.這就證明了不等式對恒成立，從而原條件一定滿足.綜合①②兩方面，可知的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)，中的三個內角，，的對邊長分別為，，，．（1）求角的大??；（2）若為銳角三角形，，求周長的取值范圍．解:（1），由，則，則，即，又B∈0,π，故；（2）由正弦定理可得，，則，由為銳角三角形，，則有，解得，則，由在上單調遞增，故，，，故，故，即周長的取值范圍為.16.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的菱形，，，，E，F(xiàn)分別是SC，BD的中點．（1）求證：∥平面SAB；（2）求三棱錐的體積；（3）求直線AD與平面BED所成角的正弦值．解:（1）連接，因為ABCD是菱形，F(xiàn)是BD的中點，可知是的中點，且E是SC的中點，則∥，又因為平面SAB，平面SAB，所以∥平面SAB.（2）取的中點，連接，因為，則，又因為，，平面，所以平面，且平面，可知，且點為的中點，則，結合題意可知：，又因為，在中，可得，且，可知，由平面，平面，可知平面平面，且平面平面，過點作平面的垂線，垂足為，由面面垂直的性質可知，則，，所以三棱錐的體積.（3）以為坐標原點，分別為軸，平行于的直線為軸，建立空間直角坐標系，則，可得，設平面BED的法向量為，則，令，則，可得，則，所以直線AD與平面BED所成角的正弦值為.17.已知函數(shù)，恒有．（1）求實數(shù)a的值；（2）證明：對任意的，有．解:（1）由可得，當時，因為，所以，即，所以函數(shù)在上單調遞增，當時，，，不滿足恒成立，當時，令，即，解得，當時，，函數(shù)單調遞減，當時，，函數(shù)單調遞增，所以在處取得最小值，，因為恒成立，所以，令，則，當時，，則單調遞增，當時，，則單調遞減，所以在處取得最大值，所以得解為.（2）由（1）可知，則，，，要證，即證，化簡右邊可得，則只需證，進一步化簡得，化簡可得，因為，所以，則成立.18.已知橢圓C的兩個焦點，，過點且與坐標軸不平行的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，的周長等于16.（1）求橢圓C的標準方程；（2）若過點的直線與橢圓C交于兩點A，B，設直線，的斜率分別為，.（i）求證：為定值；（ii）求面積的最大值.解:（1）由題意可得橢圓焦點在x軸上，且，所以橢圓的方程為.（2）（i）證明：由題意可知直線斜率存在，當直線斜率為0時，顯然，所以；當直線斜率不為0時，設直線方程為，聯(lián)立，則，設Ax1,所以，因為，所以.綜上，為定值0.（ii）由（i）可得，所以，所以，當且僅當即時等號成立，所以面積的最大值為.19.新定義：在平面直角坐標系中，將函數(shù)的圖象繞坐標原點逆時針旋轉后，所得曲線仍然是一個函數(shù)圖象，即對于，直線與函數(shù)的圖象至多有一個交點，則稱為“旋轉函數(shù)”．（1）判斷函數(shù)是否為“旋轉函數(shù)”并說明理由；（2）判斷函數(shù)是否為“旋轉函數(shù)”并說明理由；（3）已知函數(shù)是“旋轉函數(shù)”，求的最大值．解:（1）函數(shù)不是“旋轉函數(shù)”，理由如下：如果是“旋轉函數(shù)”，即和最多一個交點，顯然，當時，兩條直線重合，有無數(shù)個交點，