初三數(shù)學(xué)圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

初三數(shù)學(xué)圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)初三數(shù)學(xué)圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)初三數(shù)學(xué)圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)xxx公司初三數(shù)學(xué)圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)文件編號(hào)：文件日期：修訂次數(shù)：第1.0次更改批準(zhǔn)審核制定方案設(shè)計(jì)，管理制度初三數(shù)學(xué)圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、本章知識(shí)框架二、本章重點(diǎn)1．圓的定義：(1)線段OA繞著它的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的封閉曲線，叫做圓．(2)圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合．2．判定一個(gè)點(diǎn)P是否在⊙O上．設(shè)⊙O的半徑為R，OP＝d，則有d>r點(diǎn)P在⊙O外；d＝r點(diǎn)P在⊙O上；d<r點(diǎn)P在⊙O內(nèi)．3．與圓有關(guān)的角(1)圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角．圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)．(2)圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．圓周角的性質(zhì)：①圓周角等于它所對(duì)的弧所對(duì)的圓心角的一半．②同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等．③90°的圓周角所對(duì)的弦為直徑；半圓或直徑所對(duì)的圓周角為直角．④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形．⑤圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；外角等于它的內(nèi)對(duì)角．(3)弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角．弦切角的性質(zhì)：弦切角等于它夾的弧所對(duì)的圓周角．弦切角的度數(shù)等于它夾的弧的度數(shù)的一半．4．圓的性質(zhì)：(1)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是圓心．在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對(duì)應(yīng)的其他各組分別相等．(2)軸對(duì)稱：圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過圓心的任一直線都是它的對(duì)稱軸．垂徑定理及推論：(1)垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?2)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?3)弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對(duì)的兩條?。?4)平分一條弦所對(duì)的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夾的弧相等．5．三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心(1)三角形的內(nèi)心：是三角形三個(gè)角平分線的交點(diǎn)，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示．(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點(diǎn)，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點(diǎn)，在三角形內(nèi)部；它到頂點(diǎn)的距離是到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍，通常用G表示．(4)垂心：是三角形三邊高線的交點(diǎn)．6．切線的判定、性質(zhì)：(1)切線的判定：①經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．②到圓心的距離d等于圓的半徑的直線是圓的切線．(2)切線的性質(zhì)：①圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑．②經(jīng)過圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過切點(diǎn)．③經(jīng)過切點(diǎn)作切線的垂線經(jīng)過圓心．(3)切線長(zhǎng)：從圓外一點(diǎn)作圓的切線，這一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)度叫做切線長(zhǎng)．(4)切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角．7．圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形(1)四個(gè)點(diǎn)都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對(duì)角．(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對(duì)邊之和相等．8．直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O半徑為R，點(diǎn)O到直線l的距離為d．(1)直線和圓沒有公共點(diǎn)直線和圓相離d>R．(2)直線和⊙O有唯一公共點(diǎn)直線l和⊙O相切d＝R．(3)直線l和⊙O有兩個(gè)公共點(diǎn)直線l和⊙O相交d<R．9．圓和圓的位置關(guān)系：設(shè)的半徑為R、r(R>r)，圓心距．(1)沒有公共點(diǎn)，且每一個(gè)圓上的所有點(diǎn)在另一個(gè)圓的外部外離d>R＋r．(2)沒有公共點(diǎn)，且的每一個(gè)點(diǎn)都在外部?jī)?nèi)含d<R－r(3)有唯一公共點(diǎn)，除這個(gè)點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓外部外切d＝R＋r．(4)有唯一公共點(diǎn)，除這個(gè)點(diǎn)外，的每個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)部?jī)?nèi)切d＝R－r．(5)有兩個(gè)公共點(diǎn)相交R－r<d<R＋r．10．兩圓的性質(zhì)：(1)兩個(gè)圓是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是兩圓連心線．(2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經(jīng)過切點(diǎn)．11．圓中有關(guān)計(jì)算：圓的面積公式：，周長(zhǎng)C＝2πR．圓心角為n°、半徑為R的弧長(zhǎng)．圓心角為n°，半徑為R，弧長(zhǎng)為l的扇形的面積．弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計(jì)算．圓柱的側(cè)面圖是一個(gè)矩形，底面半徑為R，母線長(zhǎng)為l的圓柱的體積為，側(cè)面積為2πRl，全面積為．圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長(zhǎng)為l，高為h的圓錐的側(cè)面積為πRl，全面積為，母線長(zhǎng)、圓錐高、底面圓的半徑之間有．【經(jīng)典例題精講】例1如圖23-2，已知AB為⊙O直徑，C為上一點(diǎn)，CD⊥AB于D，∠OCD的平分線CP交⊙O于P，試判斷P點(diǎn)位置是否隨C點(diǎn)位置改變而改變？

分析：要確定P點(diǎn)位置，我們可采用嘗試的辦法，在上再取幾個(gè)符合條件的點(diǎn)試一試，觀察P點(diǎn)位置的變化，然后從中觀察規(guī)律．解：連結(jié)OP，P點(diǎn)為中點(diǎn)．小結(jié)：此題運(yùn)用垂徑定理進(jìn)行推斷．例2下列命題正確的是()A．相等的圓周角對(duì)的弧相等B．等弧所對(duì)的弦相等C．三點(diǎn)確定一個(gè)圓D．平分弦的直徑垂直于弦．解：A．在同圓或等圓中相等的圓周角所對(duì)的劣弧相等，所以A不正確．B．等弧就是在同圓或等圓中能重合的弧，因此B正確．C．三個(gè)點(diǎn)只有不在同一直線上才能確定一個(gè)圓．D．平分弦(不是直徑)的直徑垂直于此弦．故選B．例3四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，求∠D．分析：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角之和相等，圓外切四邊形對(duì)邊之和相等．解：設(shè)∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，則∠D＝∠A＋∠C－∠B＝2x．x＋2x＋3x＋2x＝360°，x＝45°．∴∠D＝90°．小結(jié)：此題可變形為：四邊形ABCD外切于⊙O，周長(zhǎng)為20，且AB︰BC︰CD＝1︰2︰3，求AD的長(zhǎng)．例4為了測(cè)量一個(gè)圓柱形鐵環(huán)的半徑，某同學(xué)采用如下方法：將鐵環(huán)平放在水平桌面上，用一個(gè)銳角為30°的三角板和一個(gè)刻度尺，用如圖23-4所示方法得到相關(guān)數(shù)據(jù)，進(jìn)而可以求得鐵環(huán)半徑．若測(cè)得PA＝5cm，則鐵環(huán)的半徑是__________cm．分析：測(cè)量鐵環(huán)半徑的方法很多，本題主要考查切線長(zhǎng)性質(zhì)定理、切線性質(zhì)、解直角三角形的知識(shí)進(jìn)行合作解決，即過P點(diǎn)作直線OP⊥PA，再用三角板畫一個(gè)頂點(diǎn)為A、一邊為AP、大小為60°的角，這個(gè)角的另一邊與OP的交點(diǎn)即為圓心O，再用三角函數(shù)知識(shí)求解．解：．小結(jié)：應(yīng)用圓的知識(shí)解決實(shí)際問題，應(yīng)將實(shí)際問題變成數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型．例5已知相交于A、B兩點(diǎn)，的半徑是10，的半徑是17，公共弦AB＝16，求兩圓的圓心距．解：分兩種情況討論：(1)若位于AB的兩側(cè)(如圖23-8)，設(shè)與AB交于C，連結(jié)，則垂直平分AB，∴．又∵AB＝16∴AC＝8．在中，．在中，．故．(2)若位于AB的同側(cè)(如圖23-9)，設(shè)的延長(zhǎng)線與AB交于C，連結(jié)．∵垂直平分AB，∴．又∵AB＝16，∴AC＝8．在中，．在中，．故．注意：在圓中若要解兩不等平行弦的距離、兩圓相切、兩圓相離、一個(gè)點(diǎn)到圓上各點(diǎn)的最大距離和最小距離、相交兩圓圓心距等問題時(shí)，要注意雙解或多解問題．

三、相關(guān)定理：1.相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。（經(jīng)過圓內(nèi)一點(diǎn)引兩條線，各弦被這點(diǎn)所分成的兩段的積相等）說明：幾何語言：若弦AB、CD交于點(diǎn)P，則PA·PB=PC·PD（相交弦定理）例1．已知P為⊙O內(nèi)一點(diǎn)，，⊙O半徑為，過P任作一弦AB，設(shè)，，則關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為

。解：由相交弦定理得，即，其中2.切割線定理推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)說明：幾何語言：若AB是直徑，CD垂直AB于點(diǎn)P，則PC^2=PA·PB例2．已知PT切⊙O于T，PBA為割線，交OC于D，CT為直徑，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB長(zhǎng)。解：設(shè)TD=，BP=，由相交弦定理得：即

，（舍）由切割線定理，

由勾股定理，∴

∴∴四、輔助線總結(jié)1.圓中常見的輔助線1）．作半徑，利用同圓或等圓的半徑相等．2）．作弦心距，利用垂徑定理進(jìn)行證明或計(jì)算，或利用“圓心、弧、弦、弦心距”間的關(guān)系進(jìn)行證明．3）．作半徑和弦心距，構(gòu)造由“半徑、半弦和弦心距”組成的直角三角形進(jìn)行計(jì)算．4）．作弦構(gòu)造同弧或等弧所對(duì)的圓周角．5)．作弦、直徑等構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角——直角．6)．遇到切線，作過切點(diǎn)的弦，構(gòu)造弦切角．7)．遇到切線，作過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造直角．8)．欲證直線為圓的切線時(shí)，分兩種情況：(1)若知道直線和圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連結(jié)公共點(diǎn)和圓心證明直線垂直；(2)不知道直線和圓有公共點(diǎn)時(shí)，常過圓心向直線作垂線，證明垂線段的長(zhǎng)等于圓的半徑．9)．遇到三角形的外心常連結(jié)外心和三角形的各頂點(diǎn)．10)．遇到三角形的內(nèi)心，常作：(1)內(nèi)心到三邊的垂線；(2)連結(jié)內(nèi)心和三角形的頂點(diǎn)．11)．遇相交兩圓，常作：(1)公共弦；(2)連心線．12)．遇兩圓相切，常過切點(diǎn)作兩圓的公切線．13)．求公切線時(shí)常過小圓圓心向大圓半徑作垂線，將公切線平移成直角三角形的一條直角邊．2、圓中較特殊的輔助線1)．過圓外一點(diǎn)或圓上一點(diǎn)作圓的切線．2)．將割線、相交弦補(bǔ)充完整．3)．作輔助圓．例1如圖23-10，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，如果AB＝10，CD＝8，那么AE的長(zhǎng)為()A．2 B．3C．4 D．5分析：連結(jié)OC，由AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB知CD＝DE．設(shè)AE＝x，則在Rt△CEO中，，即，則，(舍去)．答案：A．

例2如圖23-11，CA為⊙O的切線，切點(diǎn)為A，點(diǎn)B在⊙O上，如果∠CAB＝55°，那么∠AOB等于()A．35° B．90°C．110° D．120°分析：由弦切角與所夾弧所對(duì)的圓心角的關(guān)系可以知道∠AOB＝2∠BAC＝2×55°＝110°．答案：C．例3如果圓柱的底面半徑為4cm，母線長(zhǎng)為5cm，那么側(cè)面積等于()A．B．C． D．分析：圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，這個(gè)矩形的一邊長(zhǎng)等于圓柱的高，即圓柱的母線長(zhǎng)；另一邊長(zhǎng)是底面圓的周長(zhǎng)，所以圓柱的側(cè)面積等于底面圓的周長(zhǎng)乘以圓柱的高，即．答案：B．

例4如圖23-12，在半徑為4的⊙O中，AB、CD是兩條直徑，M為OB的中點(diǎn)，延長(zhǎng)CM交⊙O于E，且EM>MC，連結(jié)OE、DE，．求：EM的長(zhǎng)．簡(jiǎn)析：(1)由DC是⊙O的直徑，知DE⊥EC，于是．設(shè)EM＝x，則AM·MB＝x(7－x)，即．所以．而EM>MC，即EM＝4．

例5如圖23-13，AB是⊙O的直徑，PB切⊙O于點(diǎn)B，PA交⊙O