專題11 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)不等式+零點(diǎn)+雙變量問(wèn)題（期末壓軸專項(xiàng)訓(xùn)練30題）（解析版）-25學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點(diǎn)大串講

專題11利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)不等式+零點(diǎn)+雙變量問(wèn)題（期末壓軸專項(xiàng)訓(xùn)練30題）一、單選題1．若關(guān)于x的不等式在上恒成立，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題【分析】由題設(shè)易得，整理題設(shè)為，設(shè)，，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而轉(zhuǎn)化問(wèn)題為在上恒成立，設(shè)，，進(jìn)而結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性，進(jìn)而求解即可.【詳解】由題設(shè)，顯然，由，即，即，設(shè)，，則，而，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，，則，令，得；令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即，又，所以a的取值范圍是.故選：B.2．已知函數(shù)，，若對(duì)任意兩個(gè)不相等正數(shù)，，都有，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題【分析】根據(jù)已知不等式的形式構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】不妨設(shè)，由，得，令，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，即，所以，即的取值范圍是.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵由變形為，然后通過(guò)構(gòu)造新，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.3．若對(duì)任意的且，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題【分析】根據(jù)題意易知，變形可得，故構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，由即可得解.【詳解】對(duì)任意的，，且，，易知，則，所以，即．令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減．因?yàn)椋?，可得，所以函?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，所以，故，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：C．4．函數(shù)，若存在，使得對(duì)任意，都有，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問(wèn)題、函數(shù)最值與極值的關(guān)系辨析【分析】因?yàn)槿我?，都有，所以是函?shù)的最小值，也是極小值，又當(dāng)時(shí)，，故只需即可.【詳解】由，又，因?yàn)槿我?，都有，所以是函?shù)的最小值，也是極小值，故有兩實(shí)根，即有兩實(shí)根，則，記二次函數(shù)的零點(diǎn)為，且，則在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槭亲钚≈?，所以，即，解得，故，故選：B．5．已知為函數(shù)的零點(diǎn)，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)【分析】由題意確定為方程的根，構(gòu)造函數(shù)，由其單調(diào)性即可求解.【詳解】由得，即，即，因?yàn)?，所以，所以為方程的根，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，即，即，故選：B．6．函數(shù)存在3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍、求已知函數(shù)的極值、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，再借助三次函數(shù)的性質(zhì)列出不等式組求解即得.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，該函數(shù)最多一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由，得或，由，得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，函數(shù)存在3個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，所以的取值范圍為.故選：C7．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根【分析】作出的大致圖象，方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于曲線與直線一共三個(gè)交點(diǎn)，由數(shù)形結(jié)合判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，則當(dāng)，當(dāng)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)，又，；當(dāng)時(shí)，，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，則.所以的大致圖象如圖所示.由，解得或.由圖象可知，沒(méi)有根，所以關(guān)于的方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，等價(jià)于有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，由圖象可知，有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，只需.故選：B.8．已知關(guān)于x的方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．|【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍、函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根【分析】根據(jù)題意將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線有3個(gè)不同的交點(diǎn)，然后對(duì)求導(dǎo)，求出單調(diào)區(qū)間和極值，畫(huà)出圖象可得答案.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于x的方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，所以函數(shù)的圖象與直線有3個(gè)不同的交點(diǎn)，由，得，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在和上遞增，在上遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，函數(shù)圖象如圖所示

由圖象可知當(dāng)時(shí)，兩圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是，故選：B9．已知若對(duì)于任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)、，都有恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題、利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問(wèn)題【分析】設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，分析可知函數(shù)在上為增函數(shù)，可知對(duì)任意的恒成立，利用參變量分離法可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】不妨設(shè)，可得，可得，令，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，對(duì)任意的恒成立，所以，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，.故選：B.10．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且?duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題、利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問(wèn)題【分析】設(shè)，由題意，原問(wèn)題等價(jià)于，令，則，進(jìn)而可得在上為減函數(shù)，則在上恒成立，即從而即可求解.【詳解】解：設(shè)，因?yàn)閷?duì)，當(dāng)時(shí)都有恒成立，等價(jià)于，即，令，則，所以在上為減函數(shù)，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，，且，所以，所以，解得，故選：A.11．已知函數(shù)．若對(duì)任意的，都存在唯一的，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問(wèn)題【分析】先利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性及在，上的取值情況，再根據(jù)題意可得或，由此建立關(guān)于的不等式組，解出即可．【詳解】，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，且，又對(duì)任意的，，都存在唯一的，，使得成立，或，又，，故，，解得．故選：C二、填空題12．已知函數(shù)，若在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題、含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【分析】就、分類討論，前者再就分類后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)討論單調(diào)性后可得相應(yīng)范圍，后者結(jié)合常見(jiàn)的函數(shù)不等式可得恒成立，故可得參數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則因?yàn)?，故均為上的增函?shù)，故在上為增函數(shù)，若即，則在上恒成立，故在上為增函數(shù)，故恒成立，故為上為增函數(shù)，故恒成立，故符合，若即，此時(shí)，而，故存在，使得，且，即在上為減函數(shù)，故，即在上為減函數(shù)，故，與題設(shè)矛盾，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，故即，設(shè)，則，在上為增函數(shù)，故即，而，故，即即，故也成立，綜上，，故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：不等式的恒成立，注意驗(yàn)證區(qū)間的端點(diǎn)處的函數(shù)值，如果函數(shù)值為零，則往往需要討論導(dǎo)數(shù)（或二階導(dǎo)數(shù)）在端點(diǎn)處的函數(shù)值的符號(hào)，從而得到分類討論的標(biāo)準(zhǔn).13．已知若存在，使得成立，則的最大值為.【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問(wèn)題【分析】根據(jù)兩函數(shù)的同構(gòu)特征，不難發(fā)現(xiàn)，考查利用函數(shù)的單調(diào)性推得，從而將轉(zhuǎn)化為，最后通過(guò)的最大值求得的最大值.【詳解】因則，由知時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增.由可得：且,故得：，則，不妨設(shè)，則，故當(dāng)時(shí)，，遞增，當(dāng)時(shí)，，遞減，即，故的最大值為.故答案為：.14．已知函數(shù)在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，得到在區(qū)間上恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)，且趨向正無(wú)窮時(shí)，趨向正無(wú)窮，所以在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上恒成立，設(shè)，可得，因?yàn)?，，可得，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.15．已知函數(shù)，若函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.（結(jié)果用區(qū)間表示）【答案】【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)【分析】分類求導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，極值，函數(shù)的變化趨勢(shì)，作出大致圖形，再作出直線，觀察直線與函數(shù)圖象有1個(gè)交點(diǎn)得的范圍．【詳解】時(shí)，，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，在上遞減，且此時(shí)，時(shí)，，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，在上遞減，且此時(shí)，因此函數(shù)在處取得極小值，在處取得極大值，又，，當(dāng)時(shí)，，而函數(shù)在上的取值集合為，因此在上的取值集合為，函數(shù)的圖象如圖，觀察圖象得當(dāng)或時(shí)，直線與的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故答案為：16．已知，關(guān)于x的方程有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)二次函數(shù)零點(diǎn)的分布求參數(shù)的范圍、利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根、用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，作出函數(shù)的圖象，令，則所求等價(jià)于有兩個(gè)不同實(shí)根，則.當(dāng)時(shí)，不滿足，舍去．則或，根據(jù)二次方程根的分布即可求解.【詳解】，當(dāng)時(shí)，f′x>0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，f′x<0故當(dāng)時(shí)函數(shù)有最小值．當(dāng)時(shí)，，且時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，且時(shí)，.作出函數(shù)的圖象如圖所示：

令，則所求等價(jià)于有兩個(gè)不同實(shí)根，則.不妨設(shè)，當(dāng)時(shí)，不滿足，舍去．則或．當(dāng)時(shí)，可得,與矛盾，故舍去；當(dāng)，設(shè)，因?yàn)?，所?即，所以.故答案為:.17．已知函數(shù)，若，則的最小值為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問(wèn)題、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）【分析】由得，，令，利用導(dǎo)函數(shù)研究其單調(diào)性和最值即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，則，令，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，所以，故的最小值為.故答案為：.三、解答題18．已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)當(dāng)時(shí)，若對(duì)于任意，不等式成立，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析(3)【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題、含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的意義求出切線的斜率，再把代入原函數(shù)求出，最后由點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程即可；（2）分，和三種情況，求導(dǎo)后令導(dǎo)數(shù)為零，解出兩個(gè)根，再由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定單調(diào)區(qū)間即可；（3）含參數(shù)的函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題，先由單調(diào)性得到，，，解不等式得到參數(shù)的范圍，再比較參數(shù)大小，確定范圍即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，得到，所以，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．（2）因?yàn)?，定義域?yàn)?，所以．?dāng)時(shí)，令，即，解得，，所以，當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表所示，單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減此時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，，易知時(shí)，，，，此時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，令，即，解得，，若，即時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表所示，x單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，若，即時(shí)，恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)在上單調(diào)遞增，若，即時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表所示，單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.（3）當(dāng)，且時(shí)，由（2）知，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，因?yàn)閷?duì)于任意，不等式成立，所以，，．所以，得，，得；，得．因?yàn)?，所以，所以a的取值范圍是．19．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）轉(zhuǎn)化問(wèn)題為不等式對(duì)于恒成立，設(shè)，，進(jìn)而結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，則，則，所以所求切線方程為，即.（2）由，即，，整理得，，即不等式對(duì)于恒成立，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，，則；當(dāng)時(shí)，，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，則，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.20．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)若，不等式在上存在實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)答案見(jiàn)解析；(3).【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問(wèn)題、含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，討論參數(shù)的符號(hào)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）問(wèn)題化為在上存在實(shí)數(shù)解，利用導(dǎo)數(shù)求右側(cè)表達(dá)式在上最小值，即可得范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，所以，，故在處切線方程為，所以.（2）由題設(shè)，且，當(dāng)時(shí)，，即的遞增區(qū)間為，無(wú)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，有，有，此時(shí)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.（3）原條件等價(jià)于在上存在實(shí)數(shù)解.所以在上存在實(shí)數(shù)解，令，則，在上，得，故在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，故時(shí)不等式在上存在實(shí)數(shù)解.21．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；(2)【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）、利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問(wèn)題【分析】（1）求導(dǎo)，即可根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)求解，（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為存在，成立，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得函數(shù)的最值即可求解．【詳解】（1），解得，因?yàn)閤∈0,π，所以當(dāng)，當(dāng)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2），當(dāng)時(shí)，由可得不成立，當(dāng)時(shí)，，令恒成立，故在單調(diào)遞減，所以，所以的取值范圍為.22．已知函數(shù)．(1)若曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求a的值；(2)設(shè)，若對(duì)任意，均存在，使得，求a的取值范圍．【答案】(1)；(2).【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題、利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問(wèn)題、求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）、已知切線（斜率）求參數(shù)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程（含參數(shù)a），由切線過(guò)原點(diǎn)求出a的值；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性并求出上的最大值，由二次函數(shù)性質(zhì)求在上的最大值，根據(jù)已知不等式恒（能）成立求參數(shù)a的范圍.【詳解】（1）由，可得．因?yàn)?，，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線方程為：，因?yàn)榍芯€經(jīng)過(guò)，所以，解得．（2）由題知的定義域?yàn)椋?，令，解得或，因?yàn)樗?，所以，令，即，解得：，令，即，解得：或，所以增區(qū)間為，減區(qū)間為．因?yàn)?，所以函?shù)在區(qū)間的最大值為，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故在區(qū)間上，所以，即，故，所以a的取值范圍是.23．已知函數(shù)，(1)若，求在點(diǎn)處的切線方程.(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.【答案】(1)；(2).【知識(shí)點(diǎn)】求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)、根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（含參）【分析】（1）把代入，求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.（2）求導(dǎo)后，分別在、和的情況下，求得單調(diào)性和最值，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可確定符合題意的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，則，而，所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.（2）函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，①當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；②當(dāng)時(shí)，由，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，當(dāng)時(shí)，，則，則至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，，則，而，則在上有唯一零點(diǎn)；由（1）知，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，在上有唯一零點(diǎn)；因此當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同零點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.24．已知函數(shù)，(1)當(dāng)時(shí)，求在上的最大值；(2)求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)1(2)答案見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)單調(diào)性即可求解最值，（2）參數(shù)分離，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】（1），，令，則單調(diào)遞減，且從而，，單調(diào)遞增；，，單調(diào)遞減．故，最大值為1，（2）令，則由，故，令，則從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減．若，當(dāng)時(shí)，，若，當(dāng)時(shí)，；若，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．從而當(dāng)時(shí)，與有一個(gè)交點(diǎn)，時(shí)，與有兩個(gè)交點(diǎn)故時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)．25．設(shè)函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若已知，且的圖象與相切，求的值；(3)在（2）的條件下，的圖象與有三個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）、利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根、已知切線（斜率）求參數(shù)【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可求解單調(diào)性，（2）設(shè)出切點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)斜式求解切線方程，即可列等量關(guān)系，聯(lián)立方程求解，（3）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有三個(gè)實(shí)數(shù)根，即可對(duì)求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性求解值域求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）因，則，設(shè)函數(shù)與直線相切的切點(diǎn)是，因?yàn)?，所以，所以有，可得，又，相減得，所以，所以，解得：；（3）時(shí)，，的圖象與有三個(gè)公共點(diǎn)，即方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)函數(shù)，則，時(shí)，或時(shí)，，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，時(shí)取極大值時(shí)取極小值，所以的取值范圍為．26．已知，函數(shù)．(1)當(dāng)與都存在極小值，且極小值之和為0時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)時(shí)，若，求證：【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】求已知函數(shù)的極值、利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問(wèn)題、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題【分析】（1）分別對(duì)，求導(dǎo)，討論和，得出和的單調(diào)性，即可求出，的極小值，即可得出答案.（2）首先將函數(shù)零點(diǎn)代入函數(shù)，變形為，不等式轉(zhuǎn)化為，再利用換元，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式成立，即可證明.【詳解】（1），定義域均為，，

當(dāng)時(shí)，則，在單調(diào)遞增，無(wú)極值，與題不符；當(dāng)時(shí)，令，解得：，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在取極小值，且；

又，當(dāng)時(shí)：，在單調(diào)遞減，無(wú)極值，與題不符；當(dāng)時(shí)：令，解得：，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在取極小值，且；依題意，解得：，（2）當(dāng)時(shí)，，由題意可知，，兩式相減得，整理為，要證明，即證明，不妨設(shè)，即證明，即，設(shè)，即證明，設(shè)，，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，且，即在區(qū)間恒成立，即,即，得證.27．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)對(duì)任意的、，當(dāng)時(shí)都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題、含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問(wèn)題【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)數(shù)，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化，由此可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）設(shè)，分析可知函數(shù)在上為增函數(shù)，則在上恒成立，結(jié)合參變量分離法可得出，求出函數(shù)在上的最大值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：函數(shù)定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，所以，函數(shù)的減區(qū)間為，無(wú)增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，由得，由得.此時(shí)函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，無(wú)增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）解：由，即.令，因?yàn)椋瑒t，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，在上恒成立，即在上恒成立，只需，設(shè)，，在單調(diào)遞增，所以.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.28．設(shè)函數(shù)．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間和最小值；(2)在（1）的條件下，若存在零點(diǎn)，則討論在區(qū)間上零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3)若存在，使得，求a的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，最小值(2)僅有一個(gè)零點(diǎn)(3)【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問(wèn)題、用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)【分析】（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)通分化簡(jiǎn)，求出解得，在列出與在區(qū)間上的表格，即可得到答案.（2）由（1）知，在區(qū)間上的最小值為，因?yàn)榇嬖诹泓c(diǎn)，所以，從而．在對(duì)進(jìn)行分類討論，再利用函數(shù)的單調(diào)性得出結(jié)論.（3）構(gòu)造函數(shù)，在對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，在對(duì)進(jìn)行分情況討論，即可得的得到答案.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，由解得．與在區(qū)間上的情況如下：–↘↗所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；在處取得極小值，無(wú)極大值，所以的最小值為.（2）由（1）知，在區(qū)間上的最小值為．因?yàn)榇嬖诹泓c(diǎn)，所以，即，從而．當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以是在區(qū)間上的唯一零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，，所以在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn)．綜上可知，若存在零點(diǎn)，則在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn)．（3）設(shè)，．①若，則，符合題意．②若，則，故當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增．所以，存在，使得的充要條件為，解得．③若，則，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以，存在，使得的充要條件為，而，所以不合題意．綜上，的取值范圍是．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而確定函數(shù)的最值從而求解.29．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2).（i）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（ii）若在上恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在0,+∞上單調(diào)遞增.(2)（i）；（ii）【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題、含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【分析】（1）求出，就、分類討論后可得函數(shù)的單調(diào)性.（1）（i）求出，討論