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北師大長春附屬學校2025屆高考沖刺模擬數(shù)學試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖,設為內(nèi)一點,且,則與的面積之比為A. B.C. D.2.已知的部分圖象如圖所示,則的表達式是()A. B.C. D.3.函數(shù)的定義域為()A. B. C. D.4.已知函數(shù),若,,,則a,b,c的大小關系是()A. B. C. D.5.設(是虛數(shù)單位),則()A. B.1 C.2 D.6.復數(shù)的實部與虛部相等,其中為虛部單位,則實數(shù)()A.3 B. C. D.7.已知橢圓+=1(a>b>0)與直線交于A,B兩點,焦點F(0,-c),其中c為半焦距,若△ABF是直角三角形,則該橢圓的離心率為()A. B. C. D.8.已知函數(shù)的圖像與一條平行于軸的直線有兩個交點,其橫坐標分別為,則()A. B. C. D.9.已知定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足(且),若,則函數(shù)的單調遞增區(qū)間為()A. B. C. D.10.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調遞增的是()A. B. C. D.11.已知是虛數(shù)單位,則()A. B. C. D.12.已知復數(shù)滿足,則=()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.圓關于直線的對稱圓的方程為_____.14.設的內(nèi)角的對邊分別為,,.若,,,則_____________15.已知不等式組所表示的平面區(qū)域為,則區(qū)域的外接圓的面積為______.16.在中,點在邊上,且,設,,則________(用,表示)三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知曲線:和:(為參數(shù)).以原點為極點,軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,且兩種坐標系中取相同的長度單位.(1)求曲線的直角坐標方程和的方程化為極坐標方程;(2)設與,軸交于,兩點,且線段的中點為.若射線與,交于,兩點,求,兩點間的距離.18.(12分)已知橢圓的左、右焦點分別為,離心率為,為橢圓上一動點(異于左右頂點),面積的最大值為.(1)求橢圓的方程;(2)若直線與橢圓相交于點兩點,問軸上是否存在點,使得是以為直角頂點的等腰直角三角形?若存在,求點的坐標;若不存在,請說明理由.19.(12分)已知函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程;(2)若對任意的,當時,都有恒成立,求最大的整數(shù).(參考數(shù)據(jù):)20.(12分)在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).在以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸的極坐標系中,直線的極坐標方程為.(1)求曲線的普通方程及直線的直角坐標方程;(2)求曲線上的點到直線的距離的最大值與最小值.21.(12分)等差數(shù)列中,.(1)求的通項公式;(2)設,記為數(shù)列前項的和,若,求.22.(10分)在極坐標系中,直線的極坐標方程為,以極點為原點,極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標系,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),求直線與曲線的交點的直角坐標.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

作交于點,根據(jù)向量比例,利用三角形面積公式,得出與的比例,再由與的比例,可得到結果.【詳解】如圖,作交于點,則,由題意,,,且,所以又,所以,,即,所以本題答案為A.【點睛】本題考查三角函數(shù)與向量的結合,三角形面積公式,屬基礎題,作出合適的輔助線是本題的關鍵.2、D【解析】

由圖象求出以及函數(shù)的最小正周期的值,利用周期公式可求得的值,然后將點的坐標代入函數(shù)的解析式,結合的取值范圍求出的值,由此可得出函數(shù)的解析式.【詳解】由圖象可得,函數(shù)的最小正周期為,.將點代入函數(shù)的解析式得,得,,,則,,因此,.故選:D.【點睛】本題考查利用圖象求三角函數(shù)解析式,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.3、C【解析】

函數(shù)的定義域應滿足故選C.4、D【解析】

根據(jù)題意,求出函數(shù)的導數(shù),由函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)單調性的關系分析可得在上為增函數(shù),又由,分析可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,函數(shù),其導數(shù)函數(shù),則有在上恒成立,則在上為增函數(shù);又由,則;故選:.【點睛】本題考查函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)單調性的關系,涉及函數(shù)單調性的性質,屬于基礎題.5、A【解析】

先利用復數(shù)代數(shù)形式的四則運算法則求出,即可根據(jù)復數(shù)的模計算公式求出.【詳解】∵,∴.故選:A.【點睛】本題主要考查復數(shù)代數(shù)形式的四則運算法則的應用,以及復數(shù)的模計算公式的應用,屬于容易題.6、B【解析】

利用乘法運算化簡復數(shù)即可得到答案.【詳解】由已知,,所以,解得.故選:B【點睛】本題考查復數(shù)的概念及復數(shù)的乘法運算,考查學生的基本計算能力,是一道容易題.7、A【解析】

聯(lián)立直線與橢圓方程求出交點A,B兩點,利用平面向量垂直的坐標表示得到關于的關系式,解方程求解即可.【詳解】聯(lián)立方程,解方程可得或,不妨設A(0,a),B(-b,0),由題意可知,·=0,因為,,由平面向量垂直的坐標表示可得,,因為,所以a2-c2=ac,兩邊同時除以可得,,解得e=或(舍去),所以該橢圓的離心率為.故選:A【點睛】本題考查橢圓方程及其性質、離心率的求解、平面向量垂直的坐標表示;考查運算求解能力和知識遷移能力;利用平面向量垂直的坐標表示得到關于的關系式是求解本題的關鍵;屬于中檔題、??碱}型.8、A【解析】

畫出函數(shù)的圖像,函數(shù)對稱軸方程為,由圖可得與關于對稱,即得解.【詳解】函數(shù)的圖像如圖,對稱軸方程為,,又,由圖可得與關于對稱,故選:A【點睛】本題考查了正弦型函數(shù)的對稱性,考查了學生綜合分析,數(shù)形結合,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.9、D【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性用方程法求出的解析式,進而求出,再根據(jù)復合函數(shù)的單調性,即可求出結論.【詳解】依題意有,①,②①②得,又因為,所以,在上單調遞增,所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為.故選:D.【點睛】本題考查求函數(shù)的解析式、函數(shù)的性質,要熟記復合函數(shù)單調性判斷方法,屬于中檔題.10、C【解析】

結合基本初等函數(shù)的奇偶性及單調性,結合各選項進行判斷即可.【詳解】A:為非奇非偶函數(shù),不符合題意;B:在上不單調,不符合題意;C:為偶函數(shù),且在上單調遞增,符合題意;D:為非奇非偶函數(shù),不符合題意.故選:C.【點睛】本小題主要考查函數(shù)的單調性和奇偶性,屬于基礎題.11、B【解析】

根據(jù)復數(shù)的乘法運算法則,直接計算,即可得出結果.【詳解】.故選B【點睛】本題主要考查復數(shù)的乘法,熟記運算法則即可,屬于基礎題型.12、B【解析】

利用復數(shù)的代數(shù)運算法則化簡即可得到結論.【詳解】由,得,所以,.故選:B.【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查復數(shù)的基本概念,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

求出圓心關于直線的對稱點,即可得解.【詳解】的圓心為,關于對稱點設為,則有:,解得,所以對稱后的圓心為,故所求圓的方程為.故答案為:【點睛】此題考查求圓關于直線的對稱圓方程,關鍵在于準確求出圓心關于直線的對稱點坐標.14、或【解析】試題分析:由,則可運用同角三角函數(shù)的平方關系:,已知兩邊及其對角,求角.用正弦定理;,則;可得.考點:運用正弦定理解三角形.(注意多解的情況判斷)15、【解析】

先作可行域,根據(jù)解三角形得外接圓半徑,最后根據(jù)圓面積公式得結果.【詳解】由題意作出區(qū)域,如圖中陰影部分所示,易知,故,又,設的外接圓的半徑為,則由正弦定理得,即,故所求外接圓的面積為.【點睛】線性規(guī)劃問題,首先明確可行域對應的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實線還是虛線,其次確定目標函數(shù)的幾何意義,是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離、可行域面積、可行域外接圓等等,最后結合圖形確定目標函數(shù)最值取法、值域范圍.16、【解析】

結合圖形及向量的線性運算將轉化為用向量表示,即可得到結果.【詳解】在中,因為,所以,又因為,所以.故答案為:【點睛】本題主要考查三角形中向量的線性運算,關鍵是利用已知向量為基底,將未知向量通過幾何條件向基底轉化.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),;(2)1.【解析】

(1)利用正弦的和角公式,結合極坐標化為直角坐標的公式,即可求得曲線的直角坐標方程;先寫出曲線的普通方程,再利用公式化簡為極坐標即可;(2)先求出的直角坐標,據(jù)此求得中點的直角坐標,將其轉化為極坐標,聯(lián)立曲線的極坐標方程,即可求得兩點的極坐標,則距離可解.【詳解】(1):可整理為,利用公式可得其直角坐標方程為:,:的普通方程為,利用公式可得其極坐標方程為(2)由(1)可得的直角坐標方程為,故容易得,,∴,∴的極坐標方程為,把代入得,.把代入得,.∴,即,兩點間的距離為1.【點睛】本題考查極坐標方程和直角坐標方程之間的轉化,涉及參數(shù)方程轉化為普通方程,以及在極坐標系中求兩點之間的距離,屬綜合基礎題.18、(1);(2)見解析【解析】

(1)由面積最大值可得,又,以及,解得,即可得到橢圓的方程,(2)假設軸上存在點,是以為直角頂點的等腰直角三角形,設,,線段的中點為,根據(jù)韋達定理求出點的坐標,再根據(jù),,即可求出的值,可得點的坐標.【詳解】(1)面積的最大值為,則:又,,解得:,橢圓的方程為:(2)假設軸上存在點,是以為直角頂點的等腰直角三角形設,,線段的中點為由,消去可得:,解得:∴,,依題意有,由可得:,可得:由可得:,代入上式化簡可得:則:,解得:當時,點滿足題意;當時,點滿足題意故軸上存在點,使得是以為直角頂點的等腰直角三角形【點睛】本題考查了橢圓的方程,直線和橢圓的位置關系,斜率公式,考查了運算能力和轉化能力,屬于中檔題.19、(1)(2)2【解析】

(1)先求得切點坐標,利用導數(shù)求得切線的斜率,由此求得切線方程.(2)對分成,兩種情況進行分類討論.當時,將不等式轉化為,構造函數(shù),利用導數(shù)求得的最小值(設為)的取值范圍,由的得在上恒成立,結合一元二次不等式恒成立,判別式小于零列不等式,解不等式求得的取值范圍.【詳解】(1)已知函數(shù),則處即為,又,,可知函數(shù)過點的切線為,即.(2)注意到,不等式中,當時,顯然成立;當時,不等式可化為令,則,,所以存在,使.由于在上遞增,在上遞減,所以是的唯一零點.且在區(qū)間上,遞減,在區(qū)間上,遞增,即的最小值為,令,則,將的最小值設為,則,因此原式需滿足,即在上恒成立,又,可知判別式即可,即,且可以取到的最大整數(shù)為2.【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)求切線方程,考查利用導數(shù)研究不等式恒成立問題,考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法,屬于難題.20、(1),(2)最大值,最小值【解析】

(1)由曲線的參數(shù)方程,得兩式平方相加求解,根據(jù)直線的極坐標方程,展開有,再根據(jù)求解.(2)因為曲線C是一個半圓,利用數(shù)形結合,圓心到直線的距離減半徑即為最小值,最大值點由圖可知.【詳解】(1)因為曲線的參數(shù)方程為所以兩式平方相加得:因為直線的極坐標方程為.所以所以即(2)如圖所示:圓心C到直線的距離為:所以圓上的點到直線的最小值為:則點M(2,0)到直線的距離為最大值:【點睛】本題主要考查參數(shù)方程,普通方程及極坐標方程的轉化和直線與圓的位置關系,還考查了數(shù)形結合的思想和運算求解的能力,屬于中檔題.21、(1)(2)【解析】

(1)由基本量法求出公差后可得通項公式;(2)由等差數(shù)列前項和公式求得,可求得.【詳解】解:(1)設的公差為,由題設得因為,所以解得,故.(2)由(1)得.所以數(shù)列是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,所以,由得,解得.【點睛】本題考查求等差數(shù)列的通

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