廣東省東莞市七校聯(lián)考2024-2025學年高三上學期12月月考數(shù)學+答案

東莞市2024-2025學年第一學期七校聯(lián)考試題一、單項選擇題1．已知集合，，則（

）A． B．C． D． 2．已知復數(shù)滿足，則（

）A．0 B．1 C． D．23．已知，滿足，，，則，的夾角為（

）A． B． C． D．4．已知，，則sin（α＋β）=（

）A． B． C．D．5．已知一個圓錐和圓柱的底面半徑和高分別相等，若圓錐的軸截面是等邊三角形，則這個圓錐和圓柱的側(cè)面積之比為（

）A． B． C． D．6．古希臘畢達哥拉斯學派的“三角形數(shù)”是一列點（或圓球）在等距的排列下可以形成正三角形的數(shù)，如1，3，6，10，15，…，我國宋元時期數(shù)學家朱世杰在《四元玉鑒》中所記載的“垛積術(shù)”，其中的“落一形”錐垛就是每層為“三角形數(shù)”的三角錐的錐垛（如圖所示，從上到下，頂上一層1個球，第二層3個球，第三層6個球…），若一“落一形”三角錐垛有20層，則該錐垛第18層球的個數(shù)為（

）A．190 B．171 C．153 D．1367．對任意兩個實數(shù)，，定義，若，，則下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（

）A．函數(shù)是奇函數(shù)B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C．函數(shù)圖象與軸有三個交點D．函數(shù)最大值為28．定義在R上的函數(shù)滿足，若且，則（

）A．B．C． D．與的大小不確定多項選擇題9．甲、乙兩名高中學生某學科歷次測試成績(百分制)分別服從正態(tài)分布，，其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，則下列說法中正確的是（

）附：若隨機變量X服從正態(tài)分布，則.A．甲同學的平均成績優(yōu)于乙同學的平均成績B．乙同學的平均成績優(yōu)于甲同學的平均成績C．甲同學的成績比乙同學成績更集中于平均值附近D．若，則甲同學成績高于80分的概率約為0.158710．對于函數(shù)，給出下列結(jié)論，其中正確的有（）A.函數(shù)在區(qū)間上的值域為B.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象D.曲線在處的切線的斜率為111．已知雙曲線C：的左右焦點分別為，且，A、P、B為雙曲線上不同的三點，且A、B兩點關(guān)于原點對稱，直線與斜率的乘積為1，則下列正確的是（

）A．雙曲線C的實軸長為B．雙曲線C的離心率為C．若，則三角形的周長為D．的取值范圍為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．寫出過點且與圓相切的一條直線方程：_____________.13．在中，若，且AB邊上的中線長為2，則面積的最大值為_______.14．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)在上的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）某數(shù)學興趣小組為研究本校學生數(shù)學成績與語文成績的關(guān)系，采取有放回的簡單隨機抽樣，從學校抽取樣本容量為200的樣本，將所得數(shù)學成績與語文成績的樣本觀測數(shù)據(jù)整理如下：語文成績合計優(yōu)秀不優(yōu)秀數(shù)學成績優(yōu)秀503080不優(yōu)秀4080120合計90110200(1)根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為數(shù)學成績與語文成績有關(guān)聯(lián)？(2)在人工智能中常用表示在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的優(yōu)勢，在統(tǒng)計中稱為似然比.現(xiàn)從該校學生中任選一人，表示“選到的學生語文成績不優(yōu)秀”，表示“選到的學生數(shù)學成績不優(yōu)秀”.請利用樣本數(shù)據(jù)，估計的值.附：16．（本小題滿分15分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面為的中點．(1)證明：平面．(2)若平面與平面的夾角為，求的長．17．（本小題滿分15分）已知數(shù)列的前項和為，，數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若對于任意正整數(shù)，都有，求實數(shù)的最小值.18．（本小題滿分17分）已知函數(shù)（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若函數(shù)有兩個不同的零點，.①求實數(shù)a的取值范圍；②證明：.19．（本小題滿分17分）通過研究，已知對任意平面向量，把繞其起點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點B繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點P(1)已知平面內(nèi)點，點，把點B繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到點P，求點P的坐標：(2)已知二次方程的圖象是由平面直角坐標系下某標準橢圓繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)所得的斜橢圓C，（i）求斜橢圓C的離心率；（ⅱ）過點作與兩坐標軸都不平行的直線交斜橢圓C于點M、N，過原點O作直線與直線垂直，直線交斜橢圓C于點G、H，判斷是否為定值，若是，請求出定值，若不是，請說明理由.東莞市2024-2025學年第一學期七校聯(lián)考高三數(shù)學參考答案題號1234567891011答案DABDCBCABCDADBCD1．D2．A3．?！驹斀狻恳驗?，所以，則，由于，所以．故選：B4．D【詳解】因為，所以，所以，兩式相加可得：，所以所以，解得，故選：D5．C【詳解】設(shè)圓錐和圓柱的底面半徑為，因為圓錐的軸截面是等邊三角形，所以圓錐的母線長為，則圓錐和圓柱的高為，所以圓錐的側(cè)面積為，圓柱的側(cè)面積為，所以圓錐和圓柱的側(cè)面積之比為，故選：C．6．B【詳解】由于“三角形數(shù)”可以寫為，故第層“三角形數(shù)”為，則第18層球的個數(shù)為171．7．C【詳解】由題意可得：，令；解得或；令；解得；所以，即，作出函數(shù)的圖象如圖：對于選項A：由圖像可知為偶函數(shù)，故選項A錯誤．對于選項B：由圖像可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，但．可得在區(qū)間上不單調(diào)遞增，故選項B錯誤．對于選項C：由圖像可知：函數(shù)圖象與軸有三個交點，故選項C正確．對于選項D：由圖像可知：當時，函數(shù)最大值為1，故選項D錯誤．故選：C．8．A【詳解】因為，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，又因為，所以在上遞增，在上遞減，當時，，當時，因為，所以，所以，所以，綜上：．故選：A9．BCD【詳解】解：由圖象可知，甲的圖象關(guān)于對稱，乙的圖象關(guān)于對稱，所以甲同學的平均成績?yōu)?5分，乙同學的平均成績?yōu)?5分，故選項B正確，A錯誤；因為甲的圖象比乙的圖象更“高瘦”，所以甲的成績比乙的成績更集中于平均值左右，則甲同學成績的方差比乙同學成績的方差小，故選項C正確；若，則甲同學成績高于80分的概率約為，故選項D正確．故選：ACD．10．AD【詳解】由題意知，對于A，因為，所以，則，A正確；對于B，，故函數(shù)的圖象不關(guān)于點對稱，B錯誤；對于C，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，C錯誤；對于D，，則，故曲線在處的切線的斜率為1，D正確，故選：BD11．【答案】BCD【詳解】根據(jù)題意可知，所以，設(shè)，則，將分別代入到雙曲線后相減可得代入可求解出，對A，根據(jù)，解之可得，所以雙曲線的實軸長為，故A錯誤；對B，根據(jù)離心率，將代入可得，故B正確；對C，根據(jù)，可知，則，可求得，所以三角形的周長為，故C正確；對D，設(shè)與雙曲線聯(lián)立可得，若有解，需要解之可求出或，故D正確．故選：BCD12．，或．（寫出其中一條即可）【詳解】（方法一）在直角坐標系中作圖可快速得出符合條件（方法二）點在圓外，切線有兩條．當直線的斜率存在時，設(shè)過點的切線方程為，即．，得，切線方程為．當過點的直線的斜率不存在時，方程為，圓心到直線的距離等于1，符合條件．所求的切線方程是，或．13．【詳解】因，則．所以，又，所以．設(shè)邊上的中線為，則，則，所以，當且僅當時等號成立，所以14．【詳解】令，即，解得，因為函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，又，即中必有一個為1，則另一個為0，所以，則，符合題意；則，所以當時，當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以函數(shù)在上的最小值為．故答案為：15．【詳解】（1）零假設(shè)：數(shù)學成績與語文成績無關(guān)．據(jù)表中數(shù)據(jù)計算得：根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為數(shù)學成績與語文成績有關(guān)；（2）即估計的值為．16．【詳解】（1）連接交于點，連接，如圖，因為為的中點，為的中點，所以．又平面平面，所以平面．（2）因為平面平面，所以．又，所以兩兩互相垂直，故以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間坐標系如圖所示，設(shè)，則，所以顯然為平面的一個法向量．設(shè)平面的一個法向量為，則，即令，得由平面與平面的夾角為得，解得或（舍去），即．17．【詳解】（1）數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，且，，，當時，．當時，上式也成立．（2）由則而所以，即的最小值為18．【詳解】解：（1）當時，，，所以，所以曲線在點處的切線方程是（2）函數(shù)有兩個不同的零點，等價于方程有兩個不同實根，①令，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由于，當時，；當，的大致圖象如圖所示：（此處圖象正確直接得2分）所以，當，即時，函數(shù)有兩個不同的零點．②證明：不妨設(shè)，兩式相加得，兩式相減得，所以．要證，只需證即證設(shè)，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，即．19．【詳解】（1）