西南名校聯(lián)盟2025屆“3+3+3”高考備考診斷性聯(lián)考（一）數(shù)學(xué)-答案

數(shù)學(xué)參考答案·第頁(yè)）西南名校聯(lián)盟2025屆“3+3+3”高考備考診斷性聯(lián)考（一）數(shù)學(xué)參考答案一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）題號(hào)12345678答案DDCCBAAB【解析】1．，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，故選D．2．對(duì)A，由得，反之，當(dāng)時(shí)，不能推出，故是成立的充分不必要條件；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，不成立，故不是成立的充分條件，反之，當(dāng)時(shí)，成立，故是成立的必要不充分條件；對(duì)C，是的既不充分也不必要條件；對(duì)D，是的充要條件，故選D．3．第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，故選C．4．由，由此可知數(shù)列的周期為4，故，故選C．5．由兩直線垂直得

，解得

，故選B．圖16．設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為，記點(diǎn)是底面圓周上的一點(diǎn)，作出圓錐側(cè)面展開圖如圖1所示：又因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)最短距離為，故，又因?yàn)?，所以，所以．設(shè)圓錐底面半徑為，高為，則，解得，所以，所以圓錐的體積，故選A．圖17．，因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)為，所以在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn).此時(shí)方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)根.則，且，解得若不等式恒成立，則恒成立.因?yàn)?，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選A．8．由題可得，故選B．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）題號(hào)91011答案ACDACAD【解析】9．對(duì)A，若可以作為基底，則不共線，當(dāng)共線時(shí)，故可以作為基底時(shí)，，故A正確；對(duì)B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，若，則，故C正確；對(duì)D，，，故D正確，故選ACD．10．由冪函數(shù)知，，解得，故A正確；的定義域?yàn)椋院瘮?shù)為非奇非偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤，C正確；由知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以由可得，解得，故D錯(cuò)誤，故選AC．11．由題意，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，故A正確；當(dāng)時(shí)，，解得，，所以B錯(cuò)誤；假設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，則，，矛盾，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋裕?，所以?shù)列是遞增數(shù)列，所以，假設(shè)對(duì)任意的，，則，取，則，矛盾，所以中存在大于100的數(shù)，故D正確，故選AD．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）題號(hào)121314答案【解析】12．當(dāng)時(shí)，雙曲線E的漸近線方程為，雙曲線E的離心率為．13．，令或14．若兩次取球后，乙袋中恰有4個(gè)球，則兩次取球均為同色；若第一次取球均取到紅球，其概率為，第一次取球后甲袋中有4個(gè)紅球和2個(gè)白球，乙袋有1個(gè)紅球和4個(gè)白球，第二次取到同色球概率為；此時(shí)乙袋中恰有4個(gè)小球的概率是；若第一次取球均取到白球，其概率為，第一次取球后甲袋中有3個(gè)紅球和3個(gè)白球，乙袋有2個(gè)紅球和3個(gè)白球，第二次取到同色球概率為；此時(shí)乙袋中恰有4個(gè)小球的概率是；所以乙袋中恰有4個(gè)小球的概率是，故答案為：．四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）15．（本小題滿分13分）解：（1）由題意得，解得， …………………（3分）拋物線方程為． …………………（5分）（2）直線l的方程為， …………………（6分）

聯(lián)立，得，…………………（8分）

若滿足要求， …………………（10分）

若，則需滿足，解得，

綜上：． …………………（13分）16．（本小題滿分15分）解：（1）由題可得 …………………（4分）當(dāng)時(shí)，，． ……………（7分）（2），折線段賽道MNP的長(zhǎng)度為千米. ……………（15分）17．（本小題滿分15分）（1）證明：如圖2，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)閭?cè)面為菱形，，所以，……（2分）圖2又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面圖2平面，所以平面， …………………（4分）又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以平面，又平面，所以平面平面． …………………（6分）（2）解：連接，因?yàn)闉榈冗吶切危瑒t，所以兩兩垂直，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖3所示：圖3令三棱柱的棱長(zhǎng)為2，所以，故圖3又，所以， …………………（8分）設(shè)，，則，即；又，設(shè)平面的法向量為，則則取，則；故平面的法向量可為； …………………（11分）又設(shè)直線與平面所成角為，由題可得，即，整理得：，解得，故當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為． ……（15分）18．（本小題滿分17分）解：（1）， …………………（2分），， …………………（4分）在處的切線方程為． …………………（5分）（2）因?yàn)?，令，?…………（7分）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，，，所以，使得， …………………（9分）當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增， …………………（11分），，所以，使得， …………………（13分）當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增， …………………（15分），，所以，故． ……………（17分）19．（本小題滿分17分）解：（1）由題意可得，每個(gè)大腸桿菌的存活率為，設(shè)一升水中大腸桿菌個(gè)數(shù)為，則， ………（2分）故一升水中大腸桿菌個(gè)數(shù)不超出5個(gè)的概率約為0.786． …………（5分）（2）①因?yàn)椋?………（6分）所以，，，，，， ………（9分）； …………………（11分）②因?yàn)椤瓌t出現(xiàn)上述情況