湖南省A佳經(jīng)典聯(lián)考試卷2025屆高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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湖南省A佳經(jīng)典聯(lián)考試卷2025屆高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》中有“天池盆測(cè)雨”題:在下雨時(shí),用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸,盆底直徑為一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸,則平地降雨量是(注:①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積;②一尺等于十寸;③臺(tái)體的體積公式).A.2寸 B.3寸 C.4寸 D.5寸2.已知,且,則()A. B. C. D.3.已知集合,,,則的子集共有()A.個(gè) B.個(gè) C.個(gè) D.個(gè)4.已知正方體的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)在線段上,且,平面經(jīng)過(guò)點(diǎn),則正方體被平面截得的截面面積為()A. B. C. D.5.已知展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和與展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)相等,則項(xiàng)系數(shù)為()A.10 B.32 C.40 D.806.已知函數(shù),若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.7.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,則()A.4 B.8 C.16 D.28.對(duì)于函數(shù),定義滿足的實(shí)數(shù)為的不動(dòng)點(diǎn),設(shè),其中且,若有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),則的取值范圍是()A.或 B.C.或 D.9.不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)椋瑒t()A., B.,C., D.,10.已知,,,則的大小關(guān)系為()A. B. C. D.11.設(shè)i為數(shù)單位,為z的共軛復(fù)數(shù),若,則()A. B. C. D.12.設(shè)集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=AB,則集合中的元素共有()A.3個(gè) B.4個(gè) C.5個(gè) D.6個(gè)二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.三棱錐中,點(diǎn)是斜邊上一點(diǎn).給出下列四個(gè)命題:①若平面,則三棱錐的四個(gè)面都是直角三角形;②若,,,平面,則三棱錐的外接球體積為;③若,,,在平面上的射影是內(nèi)心,則三棱錐的體積為2;④若,,,平面,則直線與平面所成的最大角為.其中正確命題的序號(hào)是__________.(把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上)14.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為,粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為_(kāi)_______.15.西周初數(shù)學(xué)家商高在公元前1000年發(fā)現(xiàn)勾股定理的一個(gè)特例:勾三,股四,弦五.此發(fā)現(xiàn)早于畢達(dá)哥拉斯定理五百到六百年.我們把可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù)稱為勾股數(shù).現(xiàn)從3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13這11個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù),則這3個(gè)數(shù)能構(gòu)成勾股數(shù)的概率為_(kāi)_________.16.已知,滿足,則的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖,平面分別是上的動(dòng)點(diǎn),且.(1)若平面與平面的交線為,求證:;(2)當(dāng)平面平面時(shí),求平面與平面所成的二面角的余弦值.18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的普通方程及直線的直角坐標(biāo)方程;(2)求曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值與最小值.19.(12分)已知橢圓的左,右焦點(diǎn)分別為,,,M是橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且的面積的最大值為.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程,(2)若,,四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓E,,記直線AD,BC的斜率分別為,,求證:為定值.20.(12分)如圖,四棱錐中,側(cè)面為等腰直角三角形,平面.(1)求證:平面;(2)求直線與平面所成的角的正弦值.21.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn),,且,證明.22.(10分)如圖,在正四棱錐中,底面正方形的對(duì)角線交于點(diǎn)且(1)求直線與平面所成角的正弦值;(2)求銳二面角的大小.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】試題分析:根據(jù)題意可得平地降雨量,故選B.考點(diǎn):1.實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題;2.圓臺(tái)的體積.2、B【解析】分析:首先利用同角三角函數(shù)關(guān)系式,結(jié)合題中所給的角的范圍,求得的值,之后借助于倍角公式,將待求的式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子,代入從而求得結(jié)果.詳解:根據(jù)題中的條件,可得為銳角,根據(jù),可求得,而,故選B.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)同角三角函數(shù)關(guān)系式以及倍角公式的應(yīng)用,在解題的過(guò)程中,需要對(duì)已知真切求余弦的方法要明確,可以應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系式求解,也可以結(jié)合三角函數(shù)的定義式求解.3、B【解析】

根據(jù)集合中的元素,可得集合,然后根據(jù)交集的概念,可得,最后根據(jù)子集的概念,利用計(jì)算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以集合則所以的子集共有故選:B【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算以及集合子集個(gè)數(shù)的計(jì)算,當(dāng)集合中有元素時(shí),集合子集的個(gè)數(shù)為,真子集個(gè)數(shù)為,非空子集為,非空真子集為,屬基礎(chǔ)題.4、B【解析】

先根據(jù)平面的基本性質(zhì)確定平面,然后利用面面平行的性質(zhì)定理,得到截面的形狀再求解.【詳解】如圖所示:確定一個(gè)平面,因?yàn)槠矫嫫矫?,所以,同理,所以四邊形是平行四邊?即正方體被平面截的截面.因?yàn)?,所以,即所以由余弦定理得:所以所以四邊形故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查平面的基本性質(zhì),面面平行的性質(zhì)定理及截面面積的求法,還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.5、D【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式定理通項(xiàng)公式可得常數(shù)項(xiàng),然后二項(xiàng)式系數(shù)和,可得,最后依據(jù),可得結(jié)果.【詳解】由題可知:當(dāng)時(shí),常數(shù)項(xiàng)為又展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為由所以當(dāng)時(shí),所以項(xiàng)系數(shù)為故選:D【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理通項(xiàng)公式,熟悉公式,細(xì)心計(jì)算,屬基礎(chǔ)題.6、B【解析】

根據(jù)所給函數(shù)解析式,畫(huà)出函數(shù)圖像.結(jié)合圖像,分段討論函數(shù)的零點(diǎn)情況:易知為的一個(gè)零點(diǎn);對(duì)于當(dāng)時(shí),由代入解析式解方程可求得零點(diǎn),結(jié)合即可求得的范圍;對(duì)于當(dāng)時(shí),結(jié)合導(dǎo)函數(shù),結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷的范圍.綜合后可得的范圍.【詳解】根據(jù)題意,畫(huà)出函數(shù)圖像如下圖所示:函數(shù)的零點(diǎn),即.由圖像可知,,所以是的一個(gè)零點(diǎn),當(dāng)時(shí),,若,則,即,所以,解得;當(dāng)時(shí),,則,且若在時(shí)有一個(gè)零點(diǎn),則,綜上可得,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的畫(huà)法,函數(shù)零點(diǎn)定義及應(yīng)用,根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍,導(dǎo)數(shù)的幾何意義應(yīng)用,屬于中檔題.7、A【解析】

利用等差的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)即可求得.【詳解】.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì),考查基本量的計(jì)算,難度容易.8、C【解析】

根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)的定義,利用換底公式分離參數(shù)可得;構(gòu)造函數(shù),并討論的單調(diào)性與最值,畫(huà)出函數(shù)圖象,即可確定的取值范圍.【詳解】由得,.令,則,令,解得,所以當(dāng)時(shí),,則在內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,則在內(nèi)單調(diào)遞減;所以在處取得極大值,即最大值為,則的圖象如下圖所示:由有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),可得得或,解得或.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)新定義的應(yīng)用,由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性與最值,分離參數(shù)法與構(gòu)造函數(shù)方法的應(yīng)用,屬于中檔題.9、D【解析】

根據(jù)題意,分析不等式組的幾何意義,可得其表示的平面區(qū)域,設(shè),分析的幾何意義,可得的最小值,據(jù)此分析選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,不等式組其表示的平面區(qū)域如圖所示,其中,,

設(shè),則,的幾何意義為直線在軸上的截距的2倍,

由圖可得:當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí),直線在軸上的截距最大,即,當(dāng)過(guò)點(diǎn)原點(diǎn)時(shí),直線在軸上的截距最小,即,故AB錯(cuò)誤;

設(shè),則的幾何意義為點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率,由圖可得最大可到無(wú)窮大,最小可到無(wú)窮小,故C錯(cuò)誤,D正確;故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查本題考查二元一次不等式的性質(zhì)以及應(yīng)用,關(guān)鍵是對(duì)目標(biāo)函數(shù)幾何意義的認(rèn)識(shí),屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,借助特殊值即可比較大小.【詳解】因?yàn)?,所?因?yàn)椋?,因?yàn)?,為增函?shù),所以所以,故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,利用單調(diào)性比較大小,屬于中檔題.11、A【解析】

由復(fù)數(shù)的除法求出,然后計(jì)算.【詳解】,∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算,考查共軛復(fù)數(shù)的概念,掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.12、A【解析】試題分析:,,所以,即集合中共有3個(gè)元素,故選A.考點(diǎn):集合的運(yùn)算.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、①②③【解析】

對(duì)①,由線面平行的性質(zhì)可判斷正確;對(duì)②,三棱錐外接球可看作正方體的外接球,結(jié)合外接球半徑公式即可求解;對(duì)③,結(jié)合題意作出圖形,由勾股定理和內(nèi)接圓對(duì)應(yīng)面積公式求出錐體的高,則可求解;對(duì)④,由動(dòng)點(diǎn)分析可知,當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),直線與平面所成的角最大,結(jié)合幾何關(guān)系可判斷錯(cuò)誤;【詳解】對(duì)于①,因?yàn)槠矫?,所以,,,又,所以平面,所以,故四個(gè)面都是直角三角形,∴①正確;對(duì)于②,若,,,平面,∴三棱錐的外接球可以看作棱長(zhǎng)為4的正方體的外接球,∴,,∴體積為,∴②正確;對(duì)于③,設(shè)內(nèi)心是,則平面,連接,則有,又內(nèi)切圓半徑,所以,,故,∴三棱錐的體積為,∴③正確;對(duì)于④,∵若,平面,則直線與平面所成的角最大時(shí),點(diǎn)與點(diǎn)重合,在中,,∴,即直線與平面所成的最大角為,∴④不正確,故答案為:①②③.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何基本關(guān)系的應(yīng)用,線面垂直的性質(zhì)及判定、錐體體積、外接球半徑求解,線面角的求解,屬于中檔題14、【解析】

根據(jù)三視圖知該幾何體是三棱柱與半圓錐的組合體,結(jié)合圖中數(shù)據(jù)求出它的體積.【詳解】根據(jù)三視圖知,該幾何體是三棱柱與半圓錐的組合體,如圖所示:結(jié)合圖中數(shù)據(jù),計(jì)算它的體積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)三視圖求簡(jiǎn)單組合體的體積應(yīng)用問(wèn)題,是基礎(chǔ)題.15、【解析】

由組合數(shù)結(jié)合古典概型求解即可【詳解】從11個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)有種不同的方法,其中能構(gòu)成勾股數(shù)的有共三種,所以,所求概率為.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查古典概型與數(shù)學(xué)文化,考查組合問(wèn)題,數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí).16、1【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式定理求出,然后再由二項(xiàng)式定理或多項(xiàng)式的乘法法則結(jié)合組合的知識(shí)求得系數(shù).【詳解】由題意,.∴的展開(kāi)式中的系數(shù)為.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理,掌握二項(xiàng)式定理的應(yīng)用是解題關(guān)鍵.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)解析;(2)【解析】

(1)首先由線面平行的判定定理可得平面,再由線面平行的性質(zhì)定理即可得證;(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),,所在的直線分別為軸,以過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法求出二面角的余弦值;【詳解】解:(1)由,又平面,平面,所以平面.又平面,且平面平面,故.(2)因?yàn)槠矫?,所以,又,所以平面,所以,又,所?若平面平面,則平面,所以,由且,又,所以.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),,所在的直線分別為軸,以過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,設(shè)則由,可得,,即,所以可得,所以,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,,,取,得所以易知平面的法向量為,設(shè)平面與平面所成的二面角為,則,結(jié)合圖形可知平面與平面所成的二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定定理及性質(zhì)定理的應(yīng)用,利用空間向量法求二面角,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng),屬于中檔題.18、(1),(2)最大值,最小值【解析】

(1)由曲線的參數(shù)方程,得兩式平方相加求解,根據(jù)直線的極坐標(biāo)方程,展開(kāi)有,再根據(jù)求解.(2)因?yàn)榍€C是一個(gè)半圓,利用數(shù)形結(jié)合,圓心到直線的距離減半徑即為最小值,最大值點(diǎn)由圖可知.【詳解】(1)因?yàn)榍€的參數(shù)方程為所以兩式平方相加得:因?yàn)橹本€的極坐標(biāo)方程為.所以所以即(2)如圖所示:圓心C到直線的距離為:所以圓上的點(diǎn)到直線的最小值為:則點(diǎn)M(2,0)到直線的距離為最大值:【點(diǎn)睛】本題主要考查參數(shù)方程,普通方程及極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化和直線與圓的位置關(guān)系,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.19、(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】

(1)設(shè)橢圓E的半焦距為c,由題意可知,當(dāng)M為橢圓E的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí),的面積取得最大值,求出,即可得答案;(2)根據(jù)題意可知,,因?yàn)?,所以可設(shè)直線CD的方程為,將直線代入曲線的方程,利用韋達(dá)定理得到的關(guān)系,再代入斜率公式可證得為定值.【詳解】(1)設(shè)橢圓E的半焦距為c,由題意可知,當(dāng)M為橢圓E的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí),的面積取得最大值.所以,所以,,故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)根據(jù)題意可知,,因?yàn)?,所以可設(shè)直線CD的方程為.由,消去y可得,所以,即.直線AD的斜率,直線BC的斜率,所以,故為定值.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、橢圓中的定值問(wèn)題,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意坐標(biāo)法的運(yùn)用.20、(1)見(jiàn)解析(2)【解析】

(1)根據(jù)平面,利用線面垂直的定義可得,再由,根據(jù)線面垂直的判定定理即可證出.(2)取的中點(diǎn),連接,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別為正半軸建立空間直角坐標(biāo)系求出平面的一個(gè)法向量,利用空間向量法即可求解.【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?,所以由為等腰直角三角形,所以又,故平?取的中點(diǎn),連接,因?yàn)椋砸驗(yàn)槠矫妫云矫嫠云矫嫒鐖D,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別為正半軸建立空間直角坐標(biāo)系則,又,所以且于是設(shè)平面的法向量為,則令得平面的一個(gè)法向量設(shè)直線與平面所成的角為,則【點(diǎn)睛】

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